北京市朝阳区高三数学二模试题 理
北京市朝阳高考二模数学试题
高三数学试卷第1页（共17页）北京市朝阳区高三数学试卷（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为(A)(0,)+∞(B)(0,1)(1,)+∞ (C)[0,)+∞(D)[0,1)(1,)+∞ （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A）22ac bc >（B）222a b c >>（C）2a c b+>（D）->-a c b c（4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A）22(1)(1)1-+-=x y （B）22(1)(1)1+++=x y （C）22(1)(1)2-+-=x y （D）22(1)(1)2+++=x y （5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A）4（B）5（C）6（D）8高三数学试卷第2页（共17页）（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是（A）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称（B）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称（C）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增（8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（第8题图）高三数学试卷第3页（共17页）（A）sin 532sin 47a oo（B）2sin 47sin 53a oo（C）tan 26.5tan 73.5tan 47a o oo（D）sin 26.5sin 73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=BM CN BC CD ，则⋅ AM AN 的最大值为（A）2（B）4（C）5（D）6（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ；②()3=xf x ；③3()log =f x x ；④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区高考数学二模试卷 理(含解析)
2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．7 B．10 C．66 D．1663．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（）A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣1005．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）A．2 B．4 C．πD．2π6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= ．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为．13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：题 A B C答卷数180 300 120（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k﹣1|=2或3，则称A n为H数列．（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．7 B．10 C．66 D．166【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=166时满足条件S ＞100，退出循环，输出n的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1n=4，S=17，不满足条件S＞100，n=7，S=66不满足条件S＞100，n=10，S=166满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为10．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．【解答】解：复数m（m﹣1）+i是纯虚数，则m=0或m=1，显然m=1，复数是纯虚数，所以，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查．4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（）A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后进行向量的数量积运算，注意向量的夹角．【解答】解：由题意||2+||2=||2=100，所以△ABC是直角三角形，∠A=90°，所以•+•+•=6×10×（﹣）+8×10×（﹣）+0=﹣100；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及向量的数量积运算；关键是明确向量的夹角，利用公式解答．5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）A．2 B．4 C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，即===2，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点坐标F（1，0），p=2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=1，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+1=，∴m=．∴P点的坐标为（，±）∴解得：，则渐近线方程为y=±x，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；f′（x）=e x+e﹣x＞0；∴f（x）在R上单调递增；由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；∴sinθ＞m﹣1；即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1；∴m﹣1≤0；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选D．【点评】考查奇函数的定义，根据函数导数判断函数单调性的方法，复合函数的求导公式，以及函数单调性定义的运用，正弦函数的值域．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；推理和证明．【分析】先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．【解答】解：如图，过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，连BB′，交MN于Q．则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，∴△MQB∽△B′AB，∴．设AB′=x，则BB′=，BQ=，代入上式得：BM=B'M=（1+x2）．∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，∴∠MNR=∠ABB′，在Rt△MRN和Rt△B′AB中，∵，∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），∴MR=AB′=x．故C'N=CN=BR=MB﹣MR=（1+x2）﹣x=（x﹣1）2．∴S梯形MNC′B′= [（x﹣1）2+（x2+1）]×1=（x2﹣x+1）=（x﹣）2+，得当x=时，梯形面积最小，其最小值．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项中求得答案．【解答】解：由，令﹣r=﹣3，得r=3．∴（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．故答案为：．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣3）2=18 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆心在直线x﹣y=0上，设出圆心，利用圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，就是圆心到直线等距离，求解即可．【解答】解：圆心在x﹣y=0上，圆心为（a，a），因为圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，所以=，解得a=3，圆c的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．【点评】考查圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= 3 ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用△CDB是等边三角形，求出CD，再利用割线定理，即可求出AD．【解答】解：由题意，CD=DB=BC=5，AN=12，∵直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，∴AD×（AD+5）=2×12，∴AD2+5AD﹣24=0，∴AD=3，故答案为：3．【点评】本题考查割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为菱形的四棱锥，画出几何体的直观图，求出它的侧面积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为菱形的四棱锥，且菱形的边长为=2，三棱锥的高为3，且侧面四个三角形的面积相等，如图所示；∴该四棱锥的侧面积为4S△PAB=4×AB•PE=4××2×=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的侧面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的直观图，是基础题目．13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为a n=（）n；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由对数函数可得通项公式，又可得△OA n M n的面积S n的表达式，由函数的单调性可得．【解答】解：由题意可得n=log a n，∴a n=（）n，又可得△OA n M n的面积S n=×a n×n=n（）n，构造函数y=x（）x，可判函数单调递减，∴当n=1时，S n取最大值故答案为：a n=（）n；【点评】本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为27 ；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为18 ．【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【专题】集合；排列组合．【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可．【解答】解：m1从集合{﹣2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；∴构成集合A的元素有3×3×3=27种情况；即集合A元素个数为27；对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；∴集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．故答案为：27，18．【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，解得AD，过点D作DE⊥AB 于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=．由正弦定理得：，即==2．（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，整理得AD2+2AD﹣24=0，解得AD=4．过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．∵AB∥CD，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°=2．即梯形ABCD的高为．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：题 A B C答卷数180 300 120（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）由=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出；（II）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出；（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．利用P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份．（Ⅱ）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意P（M）==．（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=0）=，随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P∴E（X）=np==．【点评】本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质证明：FA⊥平面ABCD，即可证明FA⊥BC；（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐标，即可求MH的长．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面A BEF∩平面ABCD=AB，所以FA⊥平面ABCD，由于BC⊂平面ABCD，所以FA⊥BC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，FA⊥AD．由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为AD=DC=AB=1，则B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），所以=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z）．所以．令x=1，则=（1，1，1）．设直线BD与平面BCE所成角为θ，因为=（1，﹣2，0），所以sinθ=||=．所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），H（，1，0）．设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），∴=（k﹣，1，﹣k），=（1，0，﹣1）．若FD⊥平面MNH，则FD⊥MH．即=0．∴k﹣+k=0．解得k=．则=（，1，﹣），||=．【点评】本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键．18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．即可得出离心率与焦点坐标；（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△＞0．由于直线MA与直线MB 斜率之积为，可得=，把根与系数的关系代入可得：m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．分别讨论解出即可．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．故离心率e==，焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）．（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0．∴x1+x2=，x1x2=，∵直线MA与直线MB斜率之积为．∴=，∴4（kx1+m）（kx2+m）=（x1﹣2）（x2﹣2）．化简得（4k2﹣1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4m2﹣4=0，∴++4m2﹣4=0，化简得m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．当m=4k时，直线AB方程为y=k（x+4），过定点（﹣4，0）．m=4k代入判别式大于零中，解得．当m=﹣2k时，直线AB的方程为y=k（x﹣2），过定点（2，0），不符合题意．故直线AB过定点（﹣4，0）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a=0代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，通过讨论x的范围，得到函数的单调性，进而求出a的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=e x（x2+2x），由e x（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=e x（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=e x（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）•（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，熟练掌握基础知识并对其灵活应用是解题的关键，本题是一道难题．20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k﹣1|=2或3，则称A n为H数列．（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．【考点】数列的应用；数列与函数的综合；数列与解析几何的综合．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接写出数列即可．（Ⅱ）数列A5，推出a5=5，把数列各项分别加5后，所得各数依次排在后，利用|a6﹣a5|=2，得到a10=10．推出a5K=5k，（k=1，2，…，403）的H数列A2015即可．（Ⅲ）利用已知条件推出d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．转化为（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．分别讨论推出结果即可．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；2，4，1，3，5．（Ⅱ）由（1）知数列A5：2，4，1，3，5满足a5=5，把各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为|a6﹣a5|=2，所得数列A10显然满足|a k﹣a k﹣1|=2或3，k∈{2，3，4，…，10}，即得H数列A10：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中a5=5，a10=10．如此下去即可得到一个满足a5K=5K（k=1，2，…，403）的H数列A2015为：a n=（其中k=1，2， (403)（Ⅲ）由题意知d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．|x|+|y|=5有解：（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．①（|x|，|y|）=（0，5），y=±5，d=±15，则b403=b1+402d=b1±6030，这与1≤b1，b403≤2015 是矛盾的．②（|x|，|y|）=（5，0）时，与①类似可得不成立．③（|x|，|y|）=（1，4）时，|d|≥3×4﹣2=1，则b403=b1+402d不可能成立．④（|x|，|y|）=（4，1）时，若（|x|，|y|）=（4，﹣1）或（﹣4，1），则d=5或﹣5．若（|x|，|y|）=（4，1）或（﹣4，﹣1），则|d|=11，类似于③可知不成立．④（|x|，|y|）=（2，3）时，若x，y同号，则d|=13，由上面的讨论可知不可能；若（x，y）=（2，﹣3）或（x，y）=（﹣2，3），则d=﹣5或5；⑤（|x|，|y|）=（3，2）时，若x，y异号，则d=0，不行；若x，y同号，则|d|=12，同样由前面的讨论可知与1≤b1，b403≤2015 矛盾．综上，d只能为5或﹣5，且（2）中的数列是d=5的情形，将（2）中的数列倒过来就是d=﹣5，所以d为5或﹣5．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
2020届北京市朝阳区高三年级学业水平等级性考试(二模) 数学试卷及解析
2020届北京市朝阳区高三年级学业水平等级性考试（二模）数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回.第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ,集合2{|0}A x x x =->,那么集合U A （ ） A. (,0][1,)-∞⋃+∞B. (,0)(1,)-∞⋃+∞C. (0,1)D. [0,1] 【答案】D【解析】先解不等式20x x ->求出集合A,再求补集即可.【详解】由20x x ->得：1x >或0x <,所以{1A x =>或}0x <,所以|01U A x x ,故选：D2. 在△ABC 中,若π4A =,π3B =,a =则b =（ ）A. B.C.D. 【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B =,sin sin 43b π=,解得b =故选：B.3. 函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（ ） A. 1B. 2C. πD. 2π 【答案】A【解析】 化简得到1()sin 22f x x π=,利用周期公式得到答案. 【详解】1()sin πcos πsin 22f x x x x π==,故周期212T ππ==. 故选：A.4. 若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为（ ）C. 2【答案】C【解析】利用双曲线的渐近线过点,可以求得b a 的值,再利用e = 即可求出离心率. 【详解】双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线为b y x a =,因为渐近线过点,1b a =⨯,所以b a =所以2e =====, 故选：C5. 函数2()x f x e x =-的零点个数为（ ）A. 0B. 1。
北京市朝阳区年高三二模数学理科试题
中国威望高考信息资源门户北京市旭日区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)2014．5第一部分（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知会合Ax R|2x3≥0 ，会合 B x R |x23x 20，则 A B（）．A．≥ 3B．3≤x 2C．x |1 x 2x | x x |223x2D． x |22．假如a b0 ，那么以下不等式必定建立的是（）．A ． log 3 a log 3 b B． (1)a(1)b C．11D． a2b244a b3．履行如右图所示的程序框图，若输出的结果为 2 ，则输入的正整数a的可能取值的会合是（）．A． 1,2,3,4,5B． 1,2,3,4,5,6C． 2,3,4,5D． 2,3,4,5,64．已知函数 f (x) A sin( x)(A 0,0,π则（）．) 的部分图像如右图所示，2πππD．πA ．B．C．3 6635．已知命题p :复数 z 1 iq : x 0，在复平面内所对应的点位于第四象限；命题ix cos x ，则以下命题中为真命题的是（）．A ． ( p) ( q)B． ( p) q C． p ( q)D．p q6．若双曲线x2y21(b0) 的一条渐近线与圆x2( y2) 2 1 至多有一个交点，则双曲线b2离心率的取值范围是（）．A． (1,2]B． [2, )C． (1, 3]D．[ 3, )7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获取的纯收益以下表所示．煤（吨）电（千度）纯收益（万元）1箱甲产品3121箱乙产品111若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超出120吨，电不超出60 千度，则可获取的最大纯收益和是（）．A．60万元B．80万元C．90万元D．100万元8．如图搁置的边长为1的正△PMN沿边长为3的正方形ABCD的各边内侧逆时针方向滚动．当△ PMN 沿正方形各边转动一周后，回到初始地点时，点P 的轨迹长度是D C （）．A ．8πB． 16πC．4πD．5πM33A(P)N B第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分）9．已知平面向量a，b知足a 1，b 2 ，a与b的夹角为60，则2a b__________ ．10． (1 2x)5的睁开式中x3项的系数为 ___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆 O 的直径， AB 2 ，过圆 O 上一点 M 作圆 O 的切线，交AB 的延伸线于点 C ，过点 M 作 MD AB于点 D ，若 D 是OB中点．则AC ?BC___________ ．DA OB CM12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图以下图，则其体积是________；表面积是 _________．13．已知数列a n的前n项和为 S n，且知足 S n2a n 4 (n N* ) ，则 a n =_________ ；数列log 2 a n的前 n 项和为_____________．14M ，关于随意x(1,) ，都有 f ( x) ≤M ，则称函数 f (x) 在 (1, +) 上．若存在正实数是有界函数．以下函数① f ( x)1；② f (x)x ln xf ( x)x sin x ，1x2；③ f( x)；④x1x此中“在 (1, +) 上是有界函数”的序号为 __________ ．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）在△ABC 中，角A，B ，C 的对边分别是 a ，b， c ，且A2πb3△ ABC3，，的面积为15 3．4（ I）求边a的边长；（ II ）求cos 2B的值．16．（此题满分13 分）某市规定，高中学生三年在校时期参加许多于80 小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200 学生参加社区服务的数据，准时间段75 ,80， 80 ,85， 85 ,90，90 , 95 ， 95 ,100 （单位：小时）进行统计，其频次散布直方图以下图．（I）求抽取的200 位学生中，参加社区服务时间许多于90 小时的学生人数，并预计从全市高中学生中随意选用一人，其参加社区服务时间许多于90 小时的概率；（ II ）从全市高中学生（人数好多）中随意选用 3 位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间许多于90 小时的人数．试求随机变量的散布列和数学希望Eξ．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，E,F分别为PA , BD 中点，PA PD AD 2 ．（I）求证：EF //平面PBC;（II ）求二面角 E DF A的余弦值；（III ）在棱PC上能否存在一点G ,使GF平面EDF?若存在，指出点G 的地点；若不存在，说明原因．18．（本小分13 分）已知函数 f ( x)e2 x 1ax 1,a R．（I）若曲 y f (x) 在点 (0, f (0)) 的切与直 x ey 1 0 垂直，求 a 的；（II ）求函数 f ( x) 的区；（III ） a 2e3，当 x[0,1] ，都有 f (x)⋯1 建立，求数 a 的取范．19．（本小题满分14分）已知椭圆 C 的中心在原点O ,焦点在x轴上，离心率为1，右焦点到到右极点的距离为1．2（I）求椭圆C的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C交于A , B两点的直线l： y kx m(k R ) ，使得uur uuur uur uuurm 的取值范围，若不存在，请说明理OA2OB OA2OB 建立？若存在，求出实数由．20．（本小题满分13 分）n 已知 x1, x2是函数 f ( x) x2mx t 的两个零点，此中常数m, t Z，设 T nx1n r x2rr0（ n N*）．（ I）用m,t表示 T1， T2 ;（ II ）求证： T5mT4tT3 ;（ III ）求证：对随意的n N *，T n Z ．更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查察试题）高考模拟试题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】点击此链接还可查察更多高考有关试题【下载】。
朝阳区高考二模数学理试题目及答案word精品文档9页
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2019.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U=R，集合A={x︱0<2x<1},B={x︱log3x>0},则A∩(C U B)=(A){x︱x>1} (B){x︱x>0} (C){x︱0<x<1} (D){x︱x<0}（2）设x,y∈R那么“x>y>0”是“xy>1”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为（A）8 （B）4 （C）43（D）3（4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为(A)1 (B)3(C)2 (D)4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。
现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120个（B）80个（C）40个（D）20个（6）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0,–1）的距离与到直线x=–1的距离和最小值是（A）5（B）3（C）2 （D）2（7）已知棱长为1的正方体ABCD–A1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1上的动点，且BE=D1 F=λ（0＜λ≤12）。
2019北京市朝阳区高三二模理科试题答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sin cos f x x x x =+-sin 2x x =+2sin(2)3x π=+所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π.………….6分（II ）因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()=f x所以当[,]312x ππ∈-时， ()f x ≥ ………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分 （Ⅱ）X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===. 所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=. 由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分（Ⅲ）122x x x +<. ………….13分 17．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D , 所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D ，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0)D，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C ,E ,(0,2,0)C .所以1(0,DB =-，DA =，1BC =. 又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥. 又因为1DADB D =，所以1BC ⊥平面1AB D .………….9分（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ， 又(AC =-，1(0,4,B C =-，B由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得20,40.y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则y =，z =，则2=n .所以121212cos 10,⋅<>===n n n n n n . 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos θ=. ………….14分 18． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分 （Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--因为10a -<<，所以2a =.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=， 解得2a=-+2a =--，故不成立.综上所述2a =-+.………….13分 19． (本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2213x y +=.………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A ，(1,B ，D . 此时，直线BD 的方程为：2)3y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合{}0,1,2A =, 则{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分 （Ⅱ）令12{,,}n A x x x =.不妨设12n x x x <<<.充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤ 且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-. 必要性：若(())21d S A n =-. 因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-.所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++.任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-.所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/,1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 若2n =, 则()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 则223322331,2,,1,,1,2,,2(),a a a a a a a a T A +++∈从而1,2,3,4(())T T A ∈.若25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,则5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥. (i)若2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 则有81422,21428(T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)若2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 则有16925(()T T A +=∈, 若26(())T T A ∈, 则216226a +=或216(8)26,a ++= 解得25a =或22a =.当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意. 当{1,5,8}A =时,(()){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},T T A =满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。
北京市朝阳区2023届高三二模数学试题
一、单选题1. 已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（ ）A ．B．C．D．2. 下列命题中的假命题是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）A．圆的方程为B ．轨迹圆的面积为C．在上存在使得D．当，，三点不共线时，射线是的平分线4.抛物线的准线方程是（ ）A．B．C．D．5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图2），则h 与t 的函数关系式为（）A．，B ．，C．，D ．，6. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（）A．B．C．D．7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列5个命题：①若，则；北京市朝阳区2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、填空题②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）A．B．C．D．9. 如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，，G 为线段AE 上的动点，则（）A ．若G 为线段AE 的中点，则平面CEFB．C．的最小值为48D ．点B 到平面CEF的距离为10. 某物理量的测量结果服从正态分布，则（ ）A ．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称B ．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡C ．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等11. 在棱长为1的正方体中，P 是底面内的动点，若，则（ ）A．B．平面C ．四面体的体积为定值D ．与底面所成的角最大为12.已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．13. 已知抛物线C ：，焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别作抛物线C 在A ，B 处的切线，且两切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为：___________．14.椭圆的左、右焦点分别为，过点作的角平分线交椭圆的长轴于点，则点的坐标为__________.15. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有____种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题则的最小值是________．17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 化简：．19. 我国是全球最早进行航天育种研究的国家，航天育种在我国粮食安全和生态环境建设等诸多领域作出了重要贡献，培育的小麦、水稻、玉米、大豆、棉花和番茄、辣椒等园艺作物新品种，累计种植推广面积超过万公顷，增产粮食约亿公斤.经过多年科研和地面选育后，通过国审和省审的航天育种新品种超过个，创造直接经济规模超过亿元.某地面工作站有甲，乙两个专门从事种子培育小组，为了比较他们的培育水平，现随机抽取了这两个小组在过去一年里其中经过次各自培育的种子结果如下：、、、、、、、、、、、、、、，其中、分别表示甲组培育种子发芽与不发芽：、分别表示乙组培育种子发芽与不发芽．(1)根据上面这组数据，计算至少有一组种子发芽的条件下，甲、乙两组同时都发芽的概率；(2)若某组成功培育一种新品种种子，则该组可直接为本次培育实验创造经济效益为万元，否则就亏损万元，试分别计算甲、乙两组种子培育的经济效益的平均数；(3)若某组成功培育一种新品种种子，单位奖励给该组千元，否则奖励元，分别计算甲、乙两组的奖金的方差，并且根据以上数据比较甲、乙两组的种子培育水平．20.如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.(1)当点是棱的中点时，求证：直线平面；(2)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.21. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？(2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？22.如图，抛物线（I）；（II）。
北京市朝阳区2022届高三二模数学试题 (解析版)
北京市朝阳区2022届高三二模数学试题一、单选题1．集合{}1,2,3,4,{2}A B x x ==>，则A B =I （ ）A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}2．在复平面内，复数1i i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线方程为y x =，则C 的离心率为（ ）AB C ．2D4．已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．725D ．24255．过点(1,2)作圆225x y +=的切线，则切线方程为（ ）A ．1x =B ．3450x y -+=C ．250x y +-=D ．1x =或250x y +-=6．“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先根据不等式的性质，求解出()22()log log 0-->m n m n ，进而根据逻辑关系进行判断即可.【详解】对于()22()log log 0-->m n m n 等价为：220log log 0m n m n ->⎧⎨->⎩或220log log 0m n m n -<⎧⎨-<⎩即：22log log m n m n >⎧⎨>⎩或22log log m n m n<⎧⎨<⎩解得：0m n >>或0m n <<，∴“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的充分不必要条件.故选：A.7．已知l ，m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下面正确的结论是（ ）A ．若//,//l m αα，则//l mB ．若//,m βαβ⊥，则m α⊥C ．若,l l m α⊥⊥，则//m αD ．若,,ββα⊥⊥⊥l m m ，则l α⊥【答案】D【分析】根据线面、面面的位置关系，由平面的基本性质判断线线、线面关系.【详解】A ：//,//l m αα，则,l m 可能平行、相交或异面，错误；B ：//,m βαβ⊥，则,m α可能相交、平行或m α⊂，错误；C ：,l l m α⊥⊥，则,m α平行或m α⊂，错误；D ：,l m ββ⊥⊥，则//l m ，又m α⊥，故l α⊥，正确.故选：D8．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为0,1,2,3,4,5,6A A A A A A A 的纸张的面积分别是0123456,,,,,,a a aa a a a ，它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为1,2,3,4,5,6B B B B B B 的纸张的面积分别是123456,,,,,b b b b b b 已知21(1,2,3,4,5,6)-==i i i b a a i ，则45a b 的值为（ ）A ．12BC D ．29．已知M 为ABC V 所在平面内的一点，||||1==MB MC ，且1,2=+⋅=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r AB MB MC MB MC ，则CA CB ⋅=u u r u u r （ ）A ．0B ．1CD ．3【答案】D又||||1==u u u r u u u u r MB MC 且MB MC ⋅u u u r u u u u r 所以23BMC π∠=，故C ∠所以||||cos CA CB CA CB C ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：D10．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0e kt P P -=，其中0P ，k 是正的常数．如果在前10h 污染物减少19%，那么再过5h 后污染物还剩余（ ）A ．40.5%B ．54%C ．65.6%D ．72.9%【答案】D【分析】根据给定的函数模型及已知可得5e 0.9k -=，再计算5h 后污染物剩余量.【详解】由题设，1000(119%)e k P P --=，可得5e 0.9k -=，再过5个小时，0005(0.81(119%)0.9)e0.729k P P P P -=⨯==-，所以最后还剩余72.9%.故选：D 二、填空题11．抛物线24y x =的准线方程为__________.【答案】=1x -12．在5(+x 的展开式中，3x 的系数是_________．（用数字作答）13．已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则能使cos cos A b B a =成立的一组A ，B 的值是________．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，E ，F ，G 分别为棱11111,,A A A B A D 上的点（与正方体顶点不重合），过1A 作1A H ⊥平面EFG ，垂足为H ．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，给出以下四个结论：①若E ，F ，G 分别是11111,,A A A B A D的中点，则1=A H ②若E ，F ，G 分别是11111,,A A A B A D 的中点，则用平行于平面EFG 的平面去截正方体1111ABCD A B C D -，得到的截面图形一定是等边三角形；③EFG V 可能为直角三角形；④222211111111++=A E A F AG A H ．其中所有正确结论的序号是________．当截面在面11AB D 与面1BDC 之间时为六边形，在面三角形，错误；③,E F 分别在111,A A A B 上不为顶点任意点，同理知：,GEF EFG ∠∠也小于三、解答题15．已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知．(1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件②：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择①②：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，()1f x =-.所以函数()f x 的最小值为1-．选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =．所以π1()sin(2)62f x x =++．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，πsin(216x +=-，所以函数()f x 的最小值为11122-+=-．选择②③：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-，因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m Q 的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去.（2）选择①②：令πsin(2)06x +=，则π2π6x k +=，Z k ∈，所以ππ212k x =-，Z k ∈．当1,2k =时，函数()f x 的零点为5π11π,1212，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点，所以5π11π1212t ≤<．所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 选择①③：令π1sin(2)062++=x ，则π722π+π66+=x k ，Z k ∈，或π1122π+π66+=x k ，Z k ∈，所以ππ+2=x k ，Z k ∈，或5π+π6=x k ，Z k ∈．当0k =时，函数()f x 的零点分别为π5π,26，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点，所以π5π26t ≤<．所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14DD =，E ，F 分别是111,CC B C 的中点．(1)求证：1A F ∥平面1AED ；(2)设H 在棱1BB 上，且114=BH BB ，N 为CD 的中点，求证：NH ⊥平面1AED ；并求直线AN 与平面1AED 所成角的正弦值．（2）证明：由题得(2,2,1),H N→→,所以NH⊥平面所以//NH m由题得(2,0,0),(2,1,0)A AN→∴=-AED所成角为设直线AN与平面117．为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况400kg500kg各年的平均每亩产量频率0.250.75（注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本）(1)以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；(2)设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；(3)已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．【答案】(1)0.45；(2)分布列见解析，期望为5925元；(3)应该，理由见解析.所以()30000.150000.4575000.455925E X =⨯+⨯+⨯=元.（3）由（2）知：种植中药材的每亩期望年纯收入为5925元，而种植其他农作物每亩年纯收入为4500元，所以应该选择种植此品种中药材.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 作斜率为1k 的直线1l 交椭圆C 于另一点A ，过点P 作斜率为()221≠k k k 的直线2l 交椭圆C 于另一点B ．若121k k =，求证：直线AB 经过定点．（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．已知函数()sin cos f x x x x =+．(1)当()0,πx ∈时，求函数()f x 的单调区间；(2)设函数2()2=-+g x x ax ．若对任意[]1π,πx ∈-，存在2[0,1]x ∈，使得()()1212πf xg x ≤成立，求实数a 的取值范围．所以当x ()0,π∈时，函数()f x 的单调递增区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为π,π2⎛⎫⎪⎝⎭．（2）当[]π,πx ∈-时，()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数．所以当[]π,πx ∈-时，函数()f x 的单调递增区间为ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,π2⎛⎫⎪⎝⎭,所以函数()f x 的最大值为πππ222f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()12πh x f x =，则当[]π,πx ∈-时，()max 1π12π24h x =⋅=．对任意[]1π,πx ∈-，存在2[0,1]x ∈，使得12()()h x g x ≤成立，等价于max max ()()h x g x ≤．当0a ≤时，函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为(0)0g =，不合题意．当01a <<时，函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为2()g a a =，则214a ≥，解得12a ≥或12a ≤-，所以112a ≤<．当1a ≥时，函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为(1)21g a =-，则1214a -≥，解得58a ≥，所以1a ≥.综上所述，a 的取值范围是1[,)2+∞．20．已知集合(){}1234i ,,,,N,i 1,2,3,4A x x x x x αα==∈=．对集合A 中的任意元素()1234,,,x x x x α=，定义()12233441(),,,α=----T x x x x x x x x ，当正整数2n ≥时，定义()1()()αα-=n n T T T （约定1()()αα=T T ）．(1)若(2,0,2,1),(2,0,2,2)αβ==，求4()αT 和4()βT ；(2)若()1234,,,x x x x α=满足{0,1}(i 1,2,3,4)i x ∈=且2()(1,1,1,1)α=T ，求α的所有可能结果；(3)是否存在正整数n 使得对任意()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 都有()(0,0,0,0)α=n T ？若存在，求出n 的所有取值；若不存在，说明理由．【答案】(1)44()()(0,0,0,0)T T αβ==；(2)(1,0,0,1)、(0,1,1,0)、(1,1,0,0)、(0,0,1,1)；(3)存在，n 的所有取值为*{N |6}n n ∈≥，理由见解析.【分析】（1）根据定义依次写出(),{1,2,3,4}n T n α∈、(),{1,2,3,4}n T n β∈即可得结果.（2）由题设()T α有(1,0,1,0)或(0,1,0,1)，再依据定义确定α的所有可能结果；（3）由定义得12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----，依次写出()n T α直到()(0,0,0,0)α=n T 即可判断存在性，并确定n 的所有取值.（1）由题意()(2,2,1,1)T α=，2()(0,1,0,1)T α=，3()(1,1,1,1)T α=，4()(0,0,0,0)T α=，()(2,2,0,0)T β=，2()(0,2,0,2)T β=，3()(2,2,2,2)T β=，4()(0,0,0,0)T β=.（2）由2()(1,1,1,1)α=T 且{0,1}(i 1,2,3,4)i x ∈=，1223233434414112||||||1||||||1||||||1||||||1x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩①，当10x =或1时，411224||||||||1x x x x x x ---=-=，同理，20x =或1时，122313||||||||1x x x x x x ---=-=，30x =或1时，233424||||||||1x x x x x x ---=-=，40x =或1时，344113||||||||1x x x x x x ---=-=，所以①等价于1324||1||1x x x x -=⎧⎨-=⎩，则13x x ≠，24x x ≠，当10x =，20x =，则α为(0,0,1,1)满足；当10x =，21x =，则α为(0,1,1,0)满足，当11x =，20x =，则α为(1,0,0,1)满足，当11x =，21x =，则α为(1,1,0,0)满足，综上，α的所有可能结果(1,0,0,1)、(0,1,1,0)、(1,1,0,0)、(0,0,1,1).（3）存在正整数n 使()(0,0,0,0)α=n T 且*{N |6}n n ∈≥，理由如下：由()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x ，则12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----，所以21322413424()(|2|,,|2|,)T x x x x x x x x x x α=+--+--，若132|2|a x x x =+-，134|2|b x x x =+-，所以324242424()(||,||,||,||)T x x a x x b x x b x x a α=--------，若2424||||||c x x a x x b =-----，则4()(,0,,0)T c c α=，5()(,,,)T c c c c α=，6()(0,0,0,0)T α=，所以，对()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 都有6()(0,0,0,0)T α=，当7n ≥时，()(0,0,0,0)α=n T 恒成立，综上，n 所有取值为*{N |6}n n ∈≥使()(0,0,0,0)α=n T 成立.【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及()n T α的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果.四、双空题21．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{}n a 为2，3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{}n a 的前10项和为_________；若10,*=∈N m a m ，则m 的最大值为_____________．111121133114641151010511615201561M。
北京市朝阳区高三数学二模试题理
北京市朝阳区2017届高三数学二模试题 理（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分)和非选择题（共110分)两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y x xy+≥”的A ．充分而不必要条件 BC ．充分必要条件D 4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张,且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A．．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞D ．(0,1)(1,4)8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数"六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定:每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分．9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．俯视图正视图侧视图10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ．11．等比数列｛a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n ｝的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中,圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ．13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ，存在,i ja a B ()i j ≠,使得12ij xa a λλ（12,{1,0,1}λλ），则称B 为A 的一个基集．若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中， 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ)求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =,求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ)求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高;（Ⅲa 身高(cm))从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生(人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．(本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证:1A F BE ⊥;（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ平面1A DE ?若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；(Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．(本小题满分13分）已知椭圆W :22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点,且12120F BF ∠=．图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ)点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点,O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e x f x x x =+-,2(),g x x ax b =++,a b R ．（Ⅰ)当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；(Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ,求,,a b c 的值;（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件： ①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数(1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；(Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值; (Ⅲ)求证：对任意正整数m ,存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题:(15）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）因为2sin B A =,所以2b =．所以a =所以222cos 22a c b B ac b +-===． …………7分（Ⅱ)因为2a =，所以b c == 又因为cos B =sin B =． 所以11sin 2223ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分 （16）(本小题满分13分)解：（Ⅰ)根据题意得:(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ,则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=; 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=; 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=; 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~(3)4B ，,所以344EX =⨯=．…………………………………13分（17）（本小题满分14分)解：（Ⅰ)因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又ED DC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A FBE ⊥． …………5分（Ⅱ)由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -, (0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 1(0,1,A D =-，(1,0,0)DE =，BA 1F C ED QG所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=n 假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =,所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,)Q λλ。
北京市朝阳区高三数学二模试题 理
北京市朝阳区2017届高三数学二模试题 理（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 A ．23 B ．31 C ．32 D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 俯视图13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得 12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）a 身高(cm)如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ． （Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件： ①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分（Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos B =，所以sin B =．所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~(3)4B ，，所以13344EX =⨯=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,A D =-,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令1z =，所以y =(0,=n 假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈. 又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,)Q λλ.则(2,)FQλλ=. 所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. BA 1FCED QG则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ = ……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =．所以33(,24Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,4GQ =．因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分（Ⅱ）因为()e 21xf x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+；由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分11 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++， 则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S n n n n n n . 又对每一个n ，n S n 都为正整数，所以11++n S n m S n S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有n S n S nn =++11成立.当n S n S nn =++11时，则n SS n S n S S a nn n n n n =-+=-=++)1(11. 从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n Sn 及1+n a 均为整数， 所以=++22n S n =+1n a 11+=+n S n S n n ，故1212n n n S S Sn n n ++====++常数. 从而==-+=-=++n S S n S n S S a nn n n n n )1(11常数.故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。
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1 北京市朝阳区2017届高三数学二模试题 理 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知i为虚数单位，则复数zi(12i)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是 A．23 B．31 C．32 D．63
3．“0,0xy”是“2yxxy≥”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数π()sin()(0)6fxx＞的最小正周期为4π，则 A．函数()fx的图象关于原点对称 B．函数()fx的图象关于直线π3x对称 C．函数()fx图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数()fx在区间(0,π)上单调递增
5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 A．12 B． 24 C．36 D． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为
A．5 B．22 C．3 D．32
1 2 正视图 侧视图 1 2
开始 1kk
结束 输出S 是 20S？ 否
0k,0S 2kSS 2 7．已知函数log,0,()3,40axxfxxx (0a且1)a．若函数()fx的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是 A．(0,1) B．(1,4) C．(0,1)(1,)U D．(0,1)(1,4)U 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,abcabc且,,)Nabc；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是 A．每场比赛第一名得分a为4 B．甲可能有一场比赛获得第二名 C．乙有四场比赛获得第三名 D．丙可能有一场比赛获得第一名 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136xy的渐近线方程是 ，离心率是 ． 10．若平面向量(cos,sin)a=，(1,1)b=，且ab，则sin2的值是 ．
11．等比数列{an}的前n项和为nS．已知142,2aa，则{an}的通项公式na ， 9S ． 12．在极坐标系中，圆2cos被直线1cos2所截得的弦长为 ．
俯视图 3
13．已知,xy满足,4,2.yxxyxyk若2zxy有最大值8，则实数k的值为 ． 14．已知两个集合,AB，满足BA．若对任意的xAÎ，存在,ijaaBÎ()ij，使得 12ijxaa=+（12,{1,0,1}?），则称B为A的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A，则其基集B元素个数的最小值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
在△ABC中, 角,,ABC的对边分别为,,abc，且bc，2sin3sinBA． （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）若2a，求△ABC的面积．
16．（本小题满分13分） 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高； （Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．
17．（本小题满分14分）
组距 频率 0.005 0.040
140 150 160 170 180 a 190
0.020
身高(cm) O 200 4
如图1，在Rt△ABC中，90C，4,2ACBC，DE,分别为边,ACAB的中点，点,FG分别为线段,CDBE的中点．将△ADE沿DE折起到△1ADE的位置，使160ADC．点Q为线段1AB上的一点，如图2．
（Ⅰ）求证：1AFBE； （Ⅱ）线段1AB上是否存在点Q，使得FQP平面1ADE？若存在，求出1AQ的长，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当1134AQABuuuuruuur时，求直线GQ与平面1ADE所成角的大小．
18．（本小题满分13分） 已知椭圆W：22221xyab(0)ab的上下顶点分别为,AB，且点B(0,1)．12,FF分别为椭圆W的左、右焦点，且12120FBFo． （Ⅰ）求椭圆W的标准方程； （Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MNy轴于N，E为线段MN 的中点．直线AE与直线1y交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求 OEG的大小．
19．（本小题满分14分） 已知函数2()exfxxx，2(),gxxaxb,abÎR． （Ⅰ）当1a时，求函数()()()Fxfxgx的单调区间；
图1 图2 B A1
F C E D
Q
G
A
B C
D
E F
G 5 （Ⅱ）若曲线()yfx在点(0,1)处的切线l与曲线()ygx切于点(1,)c，求 ,,abc的值；
（Ⅲ）若()()fxgx恒成立，求ab的最大值．
20．（本小题满分13分） 各项均为非负整数的数列}{na同时满足下列条件：
①ma1 ()Nm*；②1nan (2)n；③n是12naaaL的因数（1n）． （Ⅰ）当5m时，写出数列}{na的前五项； （Ⅱ）若数列}{na的前三项互不相等，且3n时，na为常数，求m的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得nM时，na为常数． 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试答案（理工类） 2017.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 B B A C D C D C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）
答案 2yx 3 1 12(1)n 2 3 4 4
三、解答题： （15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为2sin3sinBA，所以23ba．
所以23ba．
所以2222222()33cos22323bbbacbBbacb． …………7分 6
（Ⅱ）因为2a，所以3bc． 又因为3cos3B，所以6sin3B． 所以116sin232223ABCSacBV． …………13分 （16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a． 解得 0.010a． …………3分 （Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x，则 1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x (145195)0.051550.1(165185)0.21750.4 1715.57070172.5．
所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm． …………7分 （Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3． 所以00331327(0)()()4464PXC； 1123
1327(1)()()4464PXC；
2213
139(2)()()4464PXC；
3303
131(3)()()4464PXC．
随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3
P 2764 2764 964 1
64
因为X~1(3)4B，，所以13344EX．…………………………………13分
（17）（本小题满分14分）