微分方程的积分因子求解法
全微分方程与积分因子法
已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜ ｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内 任 意 取
得．很 多 情 况 下 都 选 （0，0）为 （x0，y0），只 有 当 点 （0，0）不 在 上 述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p － 坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程 （1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解 ： 将 （8）式 改 写 成 ［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公 式 法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因
微分方程的积分因子
在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。
积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。
对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。
积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。
3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。
5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。
6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。
7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。
通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。
积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。
需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。
在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。
全微分积分因子
全微分积分因子全微分积分因子是微分方程中的一个重要概念，它在解决微分方程的问题时起到了至关重要的作用。
本文将从全微分的定义、积分因子的概念以及如何确定积分因子这三个方面进行阐述。
全微分是微分学的一个重要概念，它是指一个函数在某一点附近的微小变化。
在数学上，全微分可以通过求偏导数来表示。
对于函数f(x,y)，它的全微分可以表示为df=f_xdx+f_ydy，其中f_x和f_y 分别表示f对x和y的偏导数，dx和dy表示自变量x和y的微小变化量。
全微分的概念是微分方程求解中的关键，通过对方程进行全微分，可以将其化简为可积分的形式。
积分因子是指用于求解非恰当微分方程的一个乘法因子，通过乘以这个因子，可以将非恰当微分方程转化为恰当微分方程。
对于一个一阶微分方程Mdx+Ndy=0，如果存在一个函数μ(x, y)，使得μMdx+μNdy=0是恰当微分方程，那么μ就是这个微分方程的积分因子。
积分因子的作用在于将原方程乘以积分因子后，可以使得新方程满足恰当微分方程的条件，从而利用恰当微分方程的性质来求解。
确定积分因子的方法有很多，常用的方法包括查表法、分离变量法、恰当微分方程的判别法和常数变易法等。
其中查表法是一种快速确定积分因子的方法，通过查表可以找到常见的一些微分方程的积分因子。
分离变量法是一种常用的确定积分因子的方法，通过将方程进行变形，使得方程的两边可以分离变量，从而求得积分因子。
恰当微分方程的判别法是一种判断方程是否是恰当微分方程的方法，如果一个方程满足恰当微分方程的条件，则可以确定它的积分因子。
常数变易法是一种通过引入一个未知函数来确定积分因子的方法，通过求解这个未知函数，可以得到积分因子的表达式。
在实际应用中，确定积分因子是求解非恰当微分方程的关键一步。
通过确定积分因子，可以将非恰当微分方程转化为恰当微分方程，从而利用恰当微分方程的性质来求解。
积分因子的选择不仅要满足方程的形式要求，还要考虑计算的复杂度和求解的效果。
微分方程求解方法
微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。
根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分的表达式，然后求解原方程。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。
2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。
3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。
4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5.求出积分的表达式，然后求解原方程。
三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。
具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。
2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。
3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。
4.根据特征根的情况，得到相应的通解。
四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。
具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。
2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。
2.2-线性微分方程(积分因子法)
s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)
1.5全微分方程及积分因子 .
(x,y)
(0,0)
u( x, y )
x 0 x
( x, y)
( 0, 0 )
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
y 0
M ( x,0)dx N ( x, y)dy 2 xdx (sin x x e 2)dy
y 2 y
0
0
x y sin x x (e 1) 2 y y sin x x 2e y 2 y.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
(2).
4
为恰当方程的充要条件是
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
常微分方程
绵阳师范学院
u 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 则有函数 ( x, y ), 使得
u u du( x, y ) dx dy M ( x , y )dx N ( x , y )dy x y
故有
u M ( x , y ), x
2 u M , yx y
u N ( x, y ) y
从而
2 u N . xy x
2u 2u , y x x y
2u 2u 由于 和 都 是 连 续 的从 而 有 , yx xy
12
常微分方程
绵阳师范学院
(3 x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 的通解. 例2 求方程
解:
由于M ( x, y) 3 x 2 6 xy2 , N ( x, y) 6 x 2 y 4 y 3 ,
N ( x , y ) M ( x, y) , 12xy x y
一类典型微分方程积分因子的求法
） Ｐ ＋ｘ Ｑ— Ｃ ， ＂ ｆ ）一２ Ｃ
例 求方 程
２ Ｐ 一 ，（ ， ＝２ ｚ再 由 ｘＰ＋ＹＱ ＝， ） Ｚ’ ）ｚ ｘＰ ， ＇ （ 两边关 于 戈求 导 可 得 Ｐ ＝厂（ 一ｍ Ｐ — ｘ ） ｘ
ＹＱ ， “ 于是
积分因子 ， 并求其通解．
Ｐ ｌｎ ｍｉ ｓｗ ｔ ｐｉａ ｏ ｓ ｔ ｏｙ ｏ ａ ｈ Ａｐ ｌ ｔ ｎ ｏ Ｎｕｍｅ ｃ ｌＡｎ ｙ ｉ．Ｊ Ｉ ｓ． ｌ ｉ ｃｉ ｉ ｒ ａ ａ ８８ ． ｎｔ ｌ
［ ］ ＪＣ ｕ ｈ ｒ Ｔ ｅＮ ｍ ｒ ａ Ａ ａ ｓ ｆ ｒｉ ｒ Ｄｆｒｎａ １ ． ．Ｂ ｔ ｅ ， ｈ ｕ ｅ ｃ ｎ ｌ ｉ ｏ Ｏ ｄ ａ ｉ ｅｔ ｌ ｃ ｉｌ ｙ ｓ ｎ ｙ ｅ ｉ
文章编号 ：０ ８—１０ （０ １ ０ １０ ４ ２ ２ １ ） ２—０ ７ ｏ ２４一 ２
一
类 典 型 微 分 方 程 积 分 因 子 的 求 法①
沈 浮 ， 王金 山 ， 王 鹏
（ 放军炮兵学院数学教研室 。安徽 合肥 ２ ０３ ） 解 ３０ １
摘
一
要 ： 讨论了一阶微分方程有形如 ＝ （
＝ ｙ
若方 程 Ｐ ＋ ｄ ｘ ２ Ｃ； ｙ＝ｏ ）一 ’ 一 … ｙ ｙ — Ｊ—ｕ ） Ｐ） ＝ （
满 足 ｙ Ｐ 一 Ｑ ＝ ， ） 和 （
＝
＋ｙ 的函数 ． 定 理 ２ 若 方程 （ ）满 足 条 件 ： Ｐ ＋ｒＱ ＝ １ ｎ
推论 ２ 若 方 程 （ ）满 足 条 件 ＂ ＋ｙＱ ： １ － Ｐ Ｘ ｜ ｋ 非零 常数 ）和 （ ｊ 为 ｝ （ ｋ＋ｃ Ｐ ） ＝Ｃ ＋则方 程 （ ） Ｑ， １ 有积分 因子
， 一 ｙ Ｖ 一
微分方程的积分因子求解法
常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称（1。
1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1。
1 （全微分方程的判别法)设),(y x M ，),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则(1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1。
2) 证明见参考文献[1].定义1。
2 对于微分方程(1。
1）,如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程(1。
1）的积分因子。
定理1。
2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=xy x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1。
4） 证明：由定理1。
1得，),(y x μ为微分方程(1。
1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ—y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂。
上式整理即得（1。
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创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词：全微分方程，积分因子。
一、基本知识定义1.1 对于形如dxyNM（1.1）x),(),(=+dyxy的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数),(y xU的全微分，即d),(yyxM),(dx),(+，则称（1.1）为全微分方程.xU= dyyNx易知，上述全微分方程的通解为),(yU=C, （C为任意常数）.x定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(yxN在x，y平面上M，),(yx的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1.2） 证明见参考文献[1].定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1.4）证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得（1.4）. 证毕注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。
所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。
为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。
一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为dxx d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),(， 即 dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到：定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N ex ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(1)(μ.类似地定理2.2 微分方程（1.1）具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M ey ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(1)(μ.例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解. 解: 因 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ. 方程两边同乘以⎰=dxx p e x )()(μ得⎰dx x p e)(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dx x p , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d dss p dxx p )()()(0=, 故通解为⎰⎰-⎰dx e x q ye dss p dxx p )()()(=C ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(，（C 为任意常数）.情况2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1, 于是得到:定理2.3 微分方程（1.1）具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x M y x N Cey x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1)()( μμ, (C 为任意非零常数).例2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1=y x +-2 故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得，)(y x +μ⎰=++-)(2y x d y x e=2)(1y x +.情况 3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1, 于是得到:定理2.4 微分方程（1.1）具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1只是xy z = 的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x xM y x yN Cexy z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(),(1)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.3 求0)3(23=-+dy y x x ydx 的积分因子.创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1=xy 3-， 故方程具有形如)(xy μ的积分因子, 取1=C 得)(xy μ⎰=-)(3xy d xy e=3)(1xy -. 情况 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如)(n m y x ±μ的积分因子, 令n m y x z ±=, 则)(n m y x ±μ)(z μ=. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 , 于是得到定理2.5 微分方程（1.1）具有形如)(n m y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 只是n m y x z ±=的连续函数,此时积分因子为dz x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m n m Cey x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂--),(),(),(),(111)()( μμ, (C 为任意非零常数).类似地, 我们有定理2.6 微分方程（1.1）具有形如)(l k y x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111只是lk y x z =的连续函数,此时积分因子为dz x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k l k Cey x z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂---),(),(),(),(111)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.4 求 0)(2223=-+dy xy x dx y 的积分因子. 解: 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N yy x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111， =])2(2[4522y l k kx y x xy l k +--,易知, 欲使上式仅是lky x z =的函数, 只须22)2(245yl k kx xy +--等于常数即可. 为此, 令 42=k , 52=+l k , 得 2=k , 1=l . 此时22)2(245y l k kx x y +--=-1. 取1=C 得yx e y x y xd yx 2)(1121)(22=⎰=-μ.三、一般理论定理 3.1 如果),(y x μ是微分方程(1.1)的积分因子, (1.1)乘以),(y x μ后得到(1.3). 设(1.3)的左端为),(y x dU , 则)),((),(y x U y x Φμ仍是(1.1)的积分因子. 其中, )(•Φ是任何可微函数.定理 3.2 在(1.1)中, 若),(y x M 和),(y x N 在长方形区域Q 上连续,且),(y x N 在Q 上处处不为零. 对于(1.1)的任何两个在Q 上处处连续且恒不为零的积分因子),(1y x μ, ),(2y x μ(从而),(1y x μ, ),(2y x μ在Q 上不变号), 设]),(),()[,(),(11dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ]),(),()[,(),(22dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ.则在Q 内任一点),(y x , 可定出一邻域, 在此邻域内,),(),(12y x y x μμ只是),(1y x U 的函数.上述两定理的证明可参见参考文献[3].注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 设),(y x μ是(1.1)的积分因子, (1.3)的左端为),(y x dU , 则(1.1)的积分因子通式为)),((),(y x U y x Φμ. 其中,)(•Φ是任何可微函数.例3.1 求 0)73()35(223=-+-dy xy x dx y xy 的积分因子及通解. 解: 重新组合: )35(2dy x xydx +0)73(23=+-dy xy dx y , 对于前一个括号内可求得一个积分因子y x 211=μ, 乘之得dy y dx x 35+ ][ln 35y x d =. 故前一个括号内可取积分因子通式为yx 21)(351y x Φ.同样可得后一个括号内的积分因子通式为31xy)(732y x Φ. 下面求出1Φ, 2Φ, 使得yx 21)(351y x Φ=31xy)(732y x Φ. 设 αs s =Φ)(1, βs s =Φ)(2, 即有yx 21α)(35y x =31xyβ)(73y x , 于是得 ⎩⎨⎧-=--=-37131325βαβα, 解得21=α, 21=β. 从而即得原微分方程的一个积分因子为2121y x , 用2121y x 乘以方程的两边可求得通积分为 C y x y x =-27232325, (C 为任意常数).创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*。