全微分方程与积分因子法
全微分方程与积分因子法
已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜ ｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内 任 意 取
得．很 多 情 况 下 都 选 （0，0）为 （x0，y0），只 有 当 点 （0，0）不 在 上 述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p － 坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程 （1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解 ： 将 （8）式 改 写 成 ［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公 式 法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因
如何求解全微分方程
全微分方程是一类常见的偏微分方程，它描述了函数的某些性质。
求解全微分方程通常需要使用一些特定的方法，如分离变量法、变量代换法、积分因子法等。
以下是一个求解全微分方程的步骤：
确定方程的形式：首先需要确定全微分方程的形式，以便了解方程中包含哪些未知函数和它们的导数。
寻找积分因子：积分因子是使全微分方程成为恰当方程的函数。
通过寻找积分因子，可以将全微分方程转化为恰当方程，从而更容易求解。
变量代换：如果全微分方程的形式比较复杂，可以考虑使用变量代换，将方程中的未知函数和导数转换为更简单的形式。
分离变量：如果全微分方程中包含多个未知函数，可以考虑使用分离变量的方法，将方程中的未知函数分离出来，分别求解。
求解方程：根据具体情况选择适当的方法求解全微分方程。
如果方程是恰当方程，可以使用直接积分法求解；如果方程不是恰当方程，可以考虑使用其他方法，如常数变异法、参数法等。
验证解的正确性：最后需要验证求解得到的解是否正确。
可以通过将解代入原方程进行验证，或者使用其他方法验证解的正确性。
需要注意的是，求解全微分方程的方法并不是唯一的，具体的方法需要根据具体情况选择。
同时，全微分方程的解可能存在多种形式，需要根据问题的实际背景选择适当的解的形式。
常微分方程的积分因子法
常微分方程的积分因子法在数学中，常微分方程是一种描述动态系统的重要工具。
在实际应用中，常微分方程模型广泛应用于物理、化学、生物学等领域，用于研究自然界中各种现象的演化规律。
常微分方程除了数值解法外，还有一种有力的解法——积分因子法。
积分因子法是通过引入一个特殊的乘数，将常微分方程转化为可积分的形式，从而求出它的通解。
1. 常微分方程与积分因子首先，我们需要了解什么是常微分方程。
简单来说，常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间关系的方程。
比如，一阶常微分方程可以写成：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y=y(x)$ 是未知函数，$f(x,y)$ 是已知函数。
解此方程的一般方法是使用分离变量法或者变量代换法，但是有些方程并不方便通过这些方法求解。
这时候，就需要借助积分因子法。
积分因子法是常微分方程中的一种特殊解法，通过引入一个特殊的函数，将原方程乘上这个函数，使它变为可积分的形式。
其必要条件是，乘上这个函数后，原方程满足以下形式：$$\mu(x,y,z)\frac{\partial f(x,y,z)}{\partialx}+\mu(x,y,z)\frac{\partial g(x,y,z)}{\partialy}+\mu(x,y,z)\frac{\partial h(x,y,z)}{\partialz}+\mu(x,y,z)P(x,y,z)=0$$其中，$\mu(x,y,z)$ 是引入的积分因子。
这时，我们可以通过将这个新方程改写成完全微分形式来求解，从而得到原方程的通解。
2. 积分因子法的应用举例下面，我们来看一个实际的例子，说明积分因子法的应用。
考虑以下常微分方程：$$\frac{dy}{dx}+2y=xe^{-x}$$这是一个一阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常见的解法——待定系数法或变量分离法，但这里我们要演示积分因子法的应用。
首先，我们需要找到这个方程的积分因子。
全微分方程与积分因子
全微分方程与积分因子在数学中，微分方程是研究自然现象的一种重要工具，它是描述自然现象变化的一种数学模型。
而全微分方程是其中的一种重要类型，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛应用。
全微分方程的定义全微分方程指的是能够写成下面形式的方程：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0其中，M(x,y)和N(x,y)是定义在平面区域D上的连续函数。
dx 和dy分别表示x和y的微小变化量，而该式的解y=f(x)就是D中的一个隐函数。
当该式满足以下条件时，被称作全微分方程：∂M/∂y=∂N/∂x换言之，就是该式的两个偏导数相等。
全微分方程的求解对于全微分方程，求解的方法非常简单，只需要对其进行积分，就得到了y=f(x)的通解。
以一个简单的例子来说明：设M(x,y)=3x^2y, N(x,y)=x^3，则上式就变成了：3x^2ydx+x^3dy=0对该式两边同时积分，得到：x^3y+θ=y^2/2其中，θ是一个常数。
积分因子积分因子是用于求解非全微分方程的一种技巧，它能够将非全微分方程转化成全微分方程从而求解。
设非全微分方程为：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称一个与M(x,y)和N(x,y)有关的非零函数μ(x,y)为该非全微分方程的积分因子，当且仅当以下条件成立时：μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0是一个全微分方程。
在实际应用中，常常可以通过以下步骤求解积分因子：1.检查M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否满足条件∂M/∂y≠∂N/∂x。
2.令μ(x,y)=exp(Q(x,y)),其中Q(x,y)是希望得到的积分因子。
3.代入μ(x,y)和求导后的积分因子到M(x,y)和N(x,y)的总和中，判断是否为全微分方程，如果是，则可得到积分因子。
例如，考虑非全微分方程：(2y^3 +3x^2y)dx+(3x^2+y^2)dy=0通过检查偏导数条件可知：∂M/∂y=6y^2+3x^2≠∂N/∂x=6x所以该方程不是全微分方程。
微分方程几种求解方法
微分方程几种求解方法微分方程是数学中重要的概念之一，用于描述变量之间的函数关系。
求解微分方程是数学和工程中的常见问题。
根据问题的性质和条件，有多种方法可以用来求解微分方程，下面将介绍几种常见的求解方法。
1.变量分离法：变量分离法是求解一阶常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将微分方程中的变量分离，然后进行积分。
具体步骤是将微分方程写成形式dy/dx=f(x)g(y)，然后将方程变换为g(y)dy=f(x)dx，再两边同时积分，即可得到方程的解。
这种方法适用于一阶常微分方程，如y'=f(x)。
2.齐次方程方法：齐次方程是指微分方程中不包含任意常数项的方程。
对于齐次方程可以使用变量代换法进行求解。
具体的步骤是将微分方程中y的函数形式换成u，然后进行代换，将微分方程变为可分离变量的形式。
然后用变量分离法来求解，最后再进行反代还原，得到原方程的解。
这种方法适用于一阶齐次常微分方程，如dy/dx=f(y/x)。
3.线性方程方法：线性微分方程是指微分方程中只有一阶导数，并且函数关系是线性的。
线性方程可以使用常数变易法或者待定系数法来进行求解。
常数变易法的基本思想是假设方程的解具有特定的形式，然后将其带入方程，通过确定待定的常数来求解。
待定系数法的基本思想是假设方程的解是一组形式已知的函数的线性组合，然后通过确定待定系数来求解。
这些方法适用于一阶线性常微分方程，如dy/dx+a(x)y=b(x)。
4.积分因子法：积分因子法是一种用于求解一阶非齐次线性常微分方程的方法。
它的基本思想是通过引入一个合适的因子，将一阶非齐次线性微分方程转化为恰当微分方程，从而利用变量分离法来求解。
具体步骤是先将非齐次方程写成标准形式dy/dx+p(x)y=q(x)，然后通过选择合适的积分因子μ(x)来将方程转为恰当微分方程（即满足(dμ(x)/dx)y+p(x)μ(x)=q(x)），再对该恰当微分方程进行积分，即可得到原方程的解。
1.5全微分方程及积分因子.
②求原函数，按公式 M ( x, y )dx [N
x
x0
M ( x, y )dx N ( x 0 , y )dy u ( x, y ) （10）
y0 x y x0 y0
证明： （略） 问题： （1） 如何判断（1）是恰当微分方程？ （2） 如果（1）是恰当微分方程，如何求得函数 u u ( x, y ) ？ （3）如果（1）是恰当微分方程，函数 M ( x, y ), N ( x, y ) 应有什么性质？ 定理 2：如果（1）中的 M ( x, y ), N ( x, y ) 在矩形区域 R：|x-x0|≤a,|y-y0|≤b 上 连续可微，那么方程（1）是恰当微分方程的充要条件是：
0
1 1 1 即有通解为 x 4 x 2 y 2 x 3 C 4 2 3
2） (2xy4e y 2xy3 y)dx ( x2 y4e y x2 y2 3x)dy 0 解：由于
M N 2 xy 4 e y 8 xy 3e y 6 xy 2 1 y x 2 xy 4 e y 2 xy 2 3 8 xy 3e y 8 xy 2 4 4 M y
M N （5） y x
且此时恰当微分方程（2）的通解是
M ( x, y )dx [N y M ( x, y)dx]dy = c （9）或
x
x0
M ( x, y )dx N ( x, y )dy u ( x, y ) （10）
y0
y
证明： （略） 3、全微分方程的解题方法 ①由
微分方程的积分因子求解法
微分方程的积分因子求解法常微分方程的积分因子求解法内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词：全微分方程，积分因子。
—、基本知识定义1、1对于形如M(x. y)dx + N(x. y)dy = 0 (l x 1)的微分方程，如果方程的左端恰就是X , y的一个可微函数(7(x,y)的全微分，即d U(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 1 s 1)为全微分方程、易知上述全微分方程的通解为U^y) = C, (C为任意常数).定理k 1 (全微分方程的判别法)设M(x,y),N(x,y)在x*平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则(1、1)就是全微分方程的充要条件为OM (x, y) = 6N(x, y) (1 2) dy dx证明见参考文献［1］、定义1、2对于微分方程(1、1),如果存在可微函数“(a),使得方程“(x, y) M (x, y)clx + “(x, y)N(x, y)dy = 0 (1、3)就是全微分方翟则称“(x, y)为微分方程(1、1)的积分因子、定理1、2 可微函数“(x,y)为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为Ng y ）別】"（"）_ M （X y ） 6 In “g ）二 6M （x, y ） _ 4V （x,y ）dx ， dy dy dx证明:由定理1.1得/心y ）为微分方程（1、1）的积分因子的充要条件为0（“ （俎刃N （x 』））ax展开即得:上 证毕Ng 严小-M （3）沁也」竺』一空y （料）.dxdy I dy dx 丿式整理即得（1.4）注1、1 若“（3）工0,则（1、3）与（1、1）同解。
所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1. 3 ）的通解即可，而（1、3 ）就是全微分方程，故关键在于求积分因子“（X, y ）。
为了求解积分因子A （x,y ）z 必须求解方程（1、4）。
积分因子与全微分方程
积分因子与全微分方程1 微分方程的用途镭是一种放射性物质，它的原子不停地向外放射出氦原子和其它的射线．从而自身的原子量减少，这样就变成了其它的物质（如常见的铅）．一定质量的镭随着时间的变化，它的质量就会减少．现在已经发现镭的裂变速度（即单位时间裂变的质量）与它的剩余量成正比，设一块镭在时刻0t t =时，其质量0R R =，请确定这块镭在时刻t 的质量R ．分析：时刻t 时镭的剩余量R 是t 的函数，由于R 将随时间t 的流逝而减少．故镭的裂变速度dRdt应该是负值，于是按照镭的裂变规律可列出方程dRkR dt=-，其中k 为一正的比例常数． 1.1 微分方程 定义1[]()1P 1 联系着自变量、未知函数以及它的导数的方程叫做微分方程．上式是一个关于未知函数R 的微分方程，上述的问题就是要从这个式子中求出未知函数()R R t =来．不仅镭的质量满足这样的规律，其它的放射性物质也都满足这一规律，不同的只是各种放射性物质具有各自不同的系数k ．从这个关系式出发，可以利用放射性物资来测定某种物体的绝对年龄，实际上，火箭的升空，弹道的计算，自动控制，化学反应过程中稳定性的研究等都要用到微分方程．微分方程其实就是联系着自变量，未知函数以及它的导数的关系式，它的本质也是一个方程．像上面这些例子都可以建立成微分方程的的模型．我们了解了什么是微分方程，和微分方程在现实中的应用．那么解这样的方程就是理所应当该首先考虑的问题了．2 全微分方程的定义我们可以将一阶方程(),dyf x y dx=写成微分的形式(),0f x y dx dy -=，写成具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=．其中(),M x y ，(),N x y 在某矩形域内是x ， y 的连续且具有连续的一阶偏导数． 2.1 全微分方程 定义2[]()139P 如果微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的左边恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即()()(),,,M x y dx N x y dy du x y +≡u u dx dy x y∂∂≡+∂∂ 则称()(),,0M x y dx N x y dy +=为全微分方程．3 全微分方程的求解知道了什么是全微分方程，自然会提出一些问题，①如何来判断方程是全微分方程，②判断了方程为全微分方程，那如何来求全微分方程的通解呢？下面我们来给一些结论：方程()(),,0M x y dx N x y dy +=为全微分方程的冲要条件为：M Ny x∂∂=∂∂． 一般求解全微分方程通解的过程我们用一个例题来演示一下： 例1 求()()222336640x xy dx x y y dy +++=的通解． 解 这里2236M x xy =+，2364N x y y =+， 这时12M xy y ∂=∂，12N xy x∂=∂， 因此方程是全微分方程．现在求u ，使它满足如下两个方程2236ux xy x∂=+∂， 2364ux y y y∂=+∂， 由2236ux xy x∂=+∂，对x 积分，得到 ()3223u x x y y ϕ=++．为了确定()y ϕ，将()3223u x x y y ϕ=++对y 求导数，并且使它满足2364ux y y y∂=+∂，即得到()223664d y ux y x y y y dyϕ∂=+=+∂， 于是()34d y y dyϕ=，积分后得()4y y ϕ=， 将()y ϕ代入()3223u x x y y ϕ=++，得到32243u x x y y =++因此，方程的通解为32243x x y y c ++=，这里c 为任意常数．4 积分因子当方程()(),,0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时，则M Ny x∂∂=∂∂不成立． 4.1 积分因子 定义3[]()241P 如果存在连续可微的函数(),0x y μμ=≠，使得非全微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=两边同时乘以(),x y μ并且使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=变为一个全微分方程，即存在函数(),x y ν使()()()(),,,,x y M x y dx x y N x y dy d μμν+≡则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子．这时(),x y c ν=是()()()(),,,,x y M x y dx x y N x y dy d μμν+≡的通解．因而就是()(),,0M x y dx N x y dy +=的通解．全微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非全微分方程化为全微分方程就有很大的意义．积分因子是在考虑将非全微分方程化为全微分方程进行求解这一问题上引进的．对于某些简单的微分方程，可以通过“凑微分”的方法来找到它的积分因子．所以熟悉的掌握一些基本地二元函数的全微分是必要的．例如[]()143P ：()ydx xdy d xy += 2ydx xdyx d y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ydx xdy y d x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ln ydx xdy y d xy x -⎛⎫= ⎪⎝⎭22ydx xdy y d arcty x y x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 221ln2ydx xdy x yd x y x y⎛⎫--= ⎪-+⎝⎭例 2 方程0ydx xdy -=不是全微分方程，而21y 是它的积分因子，在方程两边同时乘以21y 后，即得到全微分方程20ydx xdy y -=解它得到：0x d y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即这个方程的通解为xc y =． 5 求积分因子一般情况下用方程来求解积分因子比求这个微分方程本身都困难，但是有一些特殊的微分方程还是比较适合求得它的积分因子的．5.1 积分因子不唯一定理 定理1[]()36P 如果方程()(),,0M x y dx N x y dy +=存在解，则该方程必有积分因子存在，且不唯一．5.2 只与x 或y 有关的积分因子对于方程()(),,0M x y dx N x y dy +=如果存在只与x 有关的积分因子的()x μμ=，则0y μ∂=∂．这时方程M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭变成了d M N N dx y x μμ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭，即M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂=．由此可知，方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有只与x 有关的积分因子的充要条件是()M N y x x N ψ∂∂-∂∂=，这里()x ψ仅是x 的函数．假如条件()M Ny xx Nψ∂∂-∂∂=成立，则根据方程M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂=可以求得方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子()x dxe ψμ⎰=同样，假如()(),,0M x y dx N x y dy +=有只于y 有关的积分因子的充要条件是()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-，这里()y ϕ仅是关于y 的函数．从而求得方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子．例3 求解方程()4430x y dx xy dy +-= 解 因为M= 44x y +，N= 3xy -，所以34M y y ∂=∂，3Ny x∂=-∂，显然M N y x ∂∂≠∂∂，从而原方程不是全微分方程．考虑到33345y y xy x+=--，从而方程有只与x 有关的积分因子551dx x ex μ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰==． 原方程两边乘以积分因子μ，变为435410y y dx dx dy x x x+-=，整理得()44ln 04y d x d x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以原方程的通解为44ln 4y x c x -=，（这里c 为任意的常数）． 例4 求解方程()0ydx y x dy +-= 解 因为M y =，N y x =-，所以1M y ∂=∂，1Nx∂=-∂也容易看出原方程不是全微分方程，所以方程有只与y 有关的积分因子221dy y eyμ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰==． 原方程两边都乘以积分因子μ，变成了2110xdx dy dy y y y+-=，整理得()ln 0x d y d y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以通解为ln xy c y +=（这里c 为任意常数）．另外，此方程还有0y =一个解．5.3 用分项组合的方法求积分因子下面我们再介绍一种用分项的方法求积分因子的方法． 当方程()(),,0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时，则M Ny x∂∂=∂∂不成立．但如果存在不恒为零的连续可微函数(),x y μμ=使方程()(),,0M x y dx N x y dy μμ+=成为全微分方程的积分因子．5.3.1 积分因子扩展定理 定理2[]()43132P - 如果(),x y μ是微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，即存在可微函数(),x y μμ=使得()(),,M x y dx N x y dy du μμ+=那么(),x y μ也是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()(),x y u μμφ=，这里()u φ是u 的可微函数．证明 充分性．()()()()()()u Mdx Ndy u Mdx Ndy u du d u μφφμμφ+=+==Φ，这里()u Φ是()u φ的一个原函数，这就说明了()()0u Mdx Ndy μφ+=是全微分方程，其通解就是()u c Φ=（c 任意的常数）．必要性．因为(),x y μ是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，所以存在可微函数(),u u x y =，使得Mdx Ndy du μμ+=，两边都乘以μ，得()Mdx Ndy du du μμμμμ+==，所以()du u du μμμ==Φ，这里令()duu duΦ=为可微函数，得证． 5.3.2 分组求积分因子 定理3[]540P 如果μ是微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，即Mdx Ndy du μμ+=，那么()u μϕ也是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，这里()u ϕ是u 的任何连续函数．证明 ()()()()()()u Mdx Ndy u Mdx Ndy u du d u μϕϕμϕ+=+==Φ，这里()u Φ是()u ϕ的一个原函数．对于比较复杂的微分方程，可以通过观察进行“分项组合”而求得积分因子．例如在分项组合的情况下，有()()11220M dx N dy M dx N dy +++=．然后，分别找出两组的积分因子1μ以及2μ，也就是说，存在函数()11,x y μμ=和()22,x y μμ=，使得11111M dx N dy du μμ+=，22222M dx N dy du μμ+=，再借助1μ以及2μ来求微分方程()()11220M dx N dy M dx N dy +++=的积分因子．这样，对于上述“分项组合”的情形，如果能够选取适当的函数()1u ϕ以及()2u ϕ，使得()()1122u u μμϕμϕ==，那么，μ即使第一组的积分因子，也是第二组的积分因子，因而也就是方程()()11220M dx N dy M dx N dy +++=的积分因子．例5 求微分方程()20xy y dx xdy ++=的通解．解 把它的左边“分项组合”成()20xy dx ydx xdy ++=．现在21μ=，2u xy =，于是(),x y φ是第二组的积分因子，只要适当选取(),x y φ，使(),x y φ也是第一组的积分因子即可．为此，取()221,x y x y φ=．在所给方程的两边乘以221x y得到()220d xy dx x x y +=， 积分得所给方程的通解为1ln x C xy-=，（这里C 为常数）． 5.4 积分因子是含x ，y 的关系式 连续可微函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=式的积分因子即当()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=时，存在函数(),x y ν，使()()()(),,,,x y M x y dx x y N x y dy d μμν+≡函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂ 即：M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 若方程()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形式(),x y μμ=Φ⎡⎤⎣⎦的积分因子，应有()(){}()(){},,,,x y M x y x y N x y y xμμ∂Φ∂Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∂∂ 即M Nd y xd N M x yμμ∂∂-∂∂=Φ∂Φ∂Φ-∂∂， 从而()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形式(),x y μμ=Φ的积分因子的充要条件为(),M Ny xf x y N M x y∂∂-∂∂=Φ⎡⎤⎣⎦∂Φ∂Φ-∂∂， 此时()f d e μΦΦ⎰=．例如（１）：当(),x y x y Φ=+时1x∂Φ=∂，1y ∂Φ=∂，从而()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如()x y μ+的积分因子的充要条件为()M Ny xf x y N M∂∂-∂∂=+-，()f d e μΦΦ⎰=其中(),x y x y Φ=Φ=+，例如（２）：当(),x y xy Φ=时，y x∂Φ=∂，x y ∂Φ=∂，从而()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如()xy μμ=的积分因子的充要条件是()M N y xf xy yN xM∂∂-∂∂=-， ()f d e μΦΦ⎰=，其中 (),x y xy Φ=Φ=．利用(),M Ny x f x y N M x y∂∂-∂∂=Φ⎡⎤⎣⎦∂Φ∂Φ-∂∂和()f d e μΦΦ⎰=两个式子还可以求出方程()(),,0M x y dx N x y dy +=还具有以下特殊形式：()x μ，()y μ，()x y μ-，()22x y μ-，()22x y μ+等好多的积分因子，相关证明请读者根据上述例题自己完成．参考文献[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2000[2] 东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2004[3] 滕文凯．积分因子的分组求法[J]．承德民族师专学报，2004.5，2期[4] 龚雅玲．求解微分方程的积分因子法[J]．南昌教育学院学报，2007，1期[5] 李振东，张永珍．求积分因子的新方法[J]．唐山学院报，2003，6期[6] (美)Dennis G．Zill，(美)Michael R．Cullen编．陈启宏，张凡，郭凯旋译．微分方程与边界值问题[M]．北京：机械工业出版社，2005[7] 徐安农，段复建．全微分方程与积分因子法[J]．桂林电子工业学院学报，2002.4，2期[8] Walter W. Ordinary differential equations. New york :springer-verlag, 1998。
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例 1 求解（y－x3）dx＋（x＋y3）dy＝0
解 ： 这 里 ，P（x，y）＝y－x3，Q（x，y）＝x＋y3
这时
坠P 坠y
＝1＝ 坠Q 坠x
因此这是全微分方程．
求 μ（x，y）使它同时满足如下两个方程
坠u ＝y－x3， 坠x
坠u ＝x＋y3， 坠y
由 坠u ＝y－x3 中对 x 积分（把 y 看成常数），得到 坠x
或者写成 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
这与前面得到的结果完全一致。
结束语：对于全微分方程 P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0 来 说 ，其 中 P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝du（x，y），则通解为 μ（x，y）＝C，关 键 在 于 找 P（x，y）dQ（x，y）dy 的 全 微 分 du（x，y），若 P（x，y）dx＋Q（x， y）dy＝0 不是全微分方程，但 μ（x，y）P（x，y）＋μ（x，y）Q（x，y）dy＝ 0 是全微分，只要找出积分因子 μ（x，y），仍可利用全微分法求 出通解，常用的有观察法和公式法求出积分因子 μ（x，y）。
＝
1 2
d（ιn
x－y x＋y
）现Βιβλιοθήκη 这种方法求解下面例题．例 2 用“分项组合”的方法，求解例 1
解： 把方程重新“分项组合”，得到
ydx－x3dx＋xdy＋y3dy＝0
即 d（－ 1 x4）＋ydx＋xdy＋d（ 1 y4）＝0
4
4
或者写成 d（－ 1 x4＋xy＋ 1 y4）＝0
4
4
于是方程的通解为
以只含 x 的积分因子 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘方程（8），得
ye∫p（x）dx＋yp（x）e∫p（x）dx＝Q（x）e∫p（x）dx
即 ye∫p（x）dx＋y［e∫p（x）dx］＝Q（x）e∫p（x）dx
亦 即 ［ye∫p（x）dx］＝Q（x e） ∫p（x）dx
两端积分得：
ye∫p（x）dx＝∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C
求得积分因子，从而得到方程的解．然而在通常情况下，这个偏
微分方程比方程本身更难求解．但是，在某些特殊情形中，求此
方程的特解还是比较容易的．
如，假设 存 在 只 与 x 有 关 的 积 分 因 子 μ＝μ（x），则 坠μ ＝0， 坠y
这 时 （9）式 变 成
Q dμ ＝［ 坠p － 坠Q ］μ dy 坠y 坠x
＝ 坠Q 坠x
（2）
在 G 内恒成立．
3．当 条 件 （2）不 能 满 足 时 ，方 程 （1）就 不 是 全 微 分 方 程．这
时如果有一个适当的函数 μ（X，Y）（μ（X，Y）≠0，使方程（1）在
乘 上 μ（x，y）后 所 得 的 方 程 μPdx＋μQdy＝0 是 全 微 分 方 程 ，则
函数 μ（x，y）叫做方程（1）的积分因子．
积分求解全微分方程有时会方便些， 对于没有学过曲线积分
的读者来说，就用全微分方程的充分条件的证明过程或“分项
组合”的方法来处理．在做题时严格按照定义找到对应 P 和 Q，
然后选择合适的方法来求解．
三、积分因子法
寻找积分因子，把一阶微分方程化为全微分方程，一般说
来，不是一件容易的事．常用的方法有观察法和公式法．
一、 预备知识
1．一 个 一 阶 微 分 方 程 写 成
P（x，y）dx＋Q（x，y）
（1）
形式后，如果它的左端恰好是某一个函数的全微分
du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy
那 么 方 程 （1）就 叫 做 全 微 分 方 程 ．这 里
坠U 坠Χ
＝ρ（x，y），
坠U 坠y
＝Q（x，y），
Q（x，y）－
坠 坠y
∫P（x，y）dx
dy
（6）
将 （6）式 代 入 （5）式 中 即 求 得
［ ］ μ（X，Y）＝∫P（x，y）＋dx＋∫ Q（x，y）－ 坠 ∫P（x，y）dx dy 坠y
从而全微分方程的通解为
［ ］ ∫P（x，y）dx＋∫
Q（x，y）－
坠 坠y
∫P（x，y）dx
dy＝C
这里 C 为任意常数．
二、全微分方程的一般解法
1．按照 坠P ＝ 坠Q 为全微分方程充分条 件 的 证 明 过 程 可 得 坠y 坠x
第一种解法．
求μ
（x，y）
使 它 满 足 坠U 坠x
＝p
（x，y）
（3）
和 坠U 坠y
＝Q（x，y）
（4）
从 （3）式 出 发 ， 把 看 成 参 数 对 进 行 积 分 ，解 这 个 方 程 得
＝x5＋ 3 x2y2－xy3＋ 1 y3
2
3
于是通解为 x5＋ 3 x2y2－xy3＋ 1 y3＝C
2
3
见 到 形 如 P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0 的 一 阶 微 分 方 程 ，首 先
要判断它是哪一种类型的方程，如是全微分方程，然后按全微
分方程的解法去求解．对于学过曲线积分的读者来说，用曲线
－ 1 x4＋xy＋ 1 y4＝C
4
4
这里 C 为任意常数．
2．由前面曲线积分的定 理 可 知 ，当 P（x，y），Q（x，y）在 单 连
通 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 时 ，要 使 方 程 （1）是 全 微 分 方
程，其充要条件是
坠p ＝ 坠Q 坠y 坠x
在区域 G 内恒成立 ，且 当 此 条 件 满 足 时 ，全 微 分 方 程 （1）
2009 年 2 月 第 12 卷·第 1 期
宿州教育学院学报
全微分方程与积分因子法
段志霞 卫艳荣
（济源职业技术学院 河南·济源 454650）
【摘 要】给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解， 并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程 来求解的一种方法．
【关键词】全微分方程 积分因子法 通解 【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】1009－8534（2009）01－0154－03
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公 式 法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因
子不同从而通解可能具有不同的形式．
即
dμ μ
＝
坠p 坠y
－
坠Q 坠x
Q
dx
方程（1）只与 x 有关的积分因子的充要条件是
φ（x）＝
坠p 坠y
－ 坠Q 坠x
Q
，
155
2009 年 2 月 第 12 卷·第 1 期
宿州教育学院学报
就可以求得方程（1）的一个积分因子 μ＝e∫φ（y）dy。
同理， 方程 （1） 只与有关的积分因子的充要条件是 φ （y）＝
1．观 察 法
有时，我们可以用观察法得出积分因子，如我们熟悉的微
分方程
ydx－xdy＝0
不是全微分方程．但由于
ydx－xdy y2
＝d（
x y
），
可知 1 y2
是
一
个
积
分
因
子
，
不
难
验
证
，
1 xy
和
1 x2
也都是积分因子．
乘上其中任一个并积分，便能得到所求方程的通解
x y
＝C．
现 用 积 分 因 子 法 解 一 阶 线 性 方 程 y ＋P （x）y ＝Q （x）． （8）
由前面知识知，函数 μ（x，y）为方程（1）的积分因子的充要
条件是 坠μp 坠y
＝
坠μQ 坠x
，
（9）
即 μ 坠p ＋p 坠μ ＝μ 坠Q ＋Q 坠μ 坠y 坠y 坠x 坠x
两边同时除以 μ 得
坠p 坠y
－
坠Q 坠x
＝Q
坠Inμ 坠x
－p
坠Inμ 坠y
这是一个以 μ 为未知函数的偏微分方程． 通过上述方程
参考文献： ［1］同 济 大 学 数 学 教 研 室．高 等 数 学 ［M］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2002， （7）：282－285． ［2］王高雄，周之铭，等，常微分方程 ［M］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，1983， （9）：39－49． ［3］潘 鼎 坤 ，高 等 数 学 习 题 详 解 ［M］西 安 ： 西 安 交 通 大 学出版社 2000，（6）：356－360． ［4］陈 小 柱 ，陈 敬 佳 ，高 等 数 学 习 题 全 解 ［M］．大 连 ： 大 连 理 工出版社 2002，（8）：498－589．
那么方程（1）就是 du（x，y），所以 u（x，y）＝C 就是全微分方
程（1）的隐式通解，其中 C 为任意常数．
2．曲 线 积 分 的 有 关 定 理
设函数 P（x，y），Q（x，y）在单连通域 G 上有一阶连续偏导
数，则 G 在内曲线积分∫LPdx＋Qdy 与路径无关的充分必要条件
是等式 坠P 坠y
Q（x）e∫p（x）dxdx－e∫p（x）dxdy－P（x）ye∫p（x）dxdx＝0
Q（x）e∫p（x）dxdx－e∫p（x）dxdy－yde∫p（x）dxdx＝0
Q（x）e∫p（x）dxdx－d（ye∫p（x）dxdx）＝0
因 此 （10）式 的 通 解 为
ye∫p（x）dx－∫Q（x）e∫p（x）dxdx＝C
μ（x，y）＝yx－ 1 x4＋g（y），其中 g（y）为 y 的 任 意 函 数 。 现 选 4