方程求积分因子的一个定理及其应用

于是方程化为一个全微分方程
例２．对Ｂｅｒｎｕｌｌｉ方程
万方数据
戈ｄｘ＋垒上丑粤二皂￡上迪：０
ｚ。＋Ｙ。
·３３·
（１４）
（１５） （１６） （１７） （１８） （１９） （２０） （２１） （２２） （２３） （２４） （２５）
（２６）
玉溪师范学院学报
一谚ｙ＋［ｐ（ｘ）ｙ＋ｇ（ｘ）ｙ“］ｄｘ＝０，（ｎ≠０，１）
（３１）
例３．设工（ｚ）Ｚ（ｚ）连续可微，对方程
Ｚ（ｘｙ）ｙｄｘ＋正（拶）戈咖＝０
（３２）
若记ｚ＝ｘｙＺ＝Ｚ（ｘｙ）＝工（ｚ）Ｚ＝五（ｘｙ）＝五（戈）
由于 Ｍ＝工ｙ．Ｎ＝Ｌｘ，石ＯＭ＝＿＋菇ｙｆｔＩ）石ＯＮ＝五＋戈ｙｆ’：
从而（８）式为
—ｄ—ｘ一丑一
型些
硬一奶一（■一以）＋戈ｙＵ’。一ｆ’：）
（３３）
8.期刊论文 张奕河.郭文川.ZHANG Yi-he.GUO Wen-chuan 关于一阶常微分方程的积分因子求解问题 -四川理工学
院学报（自然科学版）2009,22(6)
一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程时,寻找它的积分因子成为求解方程的关键,但又是比较棘手的问题.针对这一情况,本文通过对方 程的积分因子存在的充要条件定理的证明,利用定理结论求解积分因子,进而求出其通解,是一种行之有效又直观方便的方法,从而达到化难为易的目的,而 且定理结论具有一般性,可以进行推广,使求积分因子时不再盲目,变得有规可循.
从而（８）式为 式（２３）可化为 利用合分比性质可得
即等等＝当
盘一一一二生ｚ 一生些
Ｙ一茁一菇３＋ｘｙ２＋菇＋Ｙ一２ｘｙ＋２
２ｘｄｘ一
２迹．
生兰
一
一ｘｙ＋戈２一石３ｙ＋ｘｙ３＋ｘｙ＋Ｙ２一一（ｘｙ＋１）
２ｘ…ｄ—ｘ．＋２ｙａｙ～一ｄＭ一．
ｘｙ（ｘ２＋Ｙ２）一一（ｘｙ＋１）
解得首次积分为：１１．＝一ｌｎ（ｘ２＋Ｙ２） 从而积分因子为：／ｘ＝Ｉ÷１
参考文献(2条) 1.东北师大数学系 常微分方程 2001 2.蔡燧林 常微分方程 2000
相似文献(10条)
1.期刊论文 段志霞.卫艳荣 全微分方程与积分因子法 -宿州教育学院学报2009,12(1)
给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解,并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法.
式（３３）可化为
ｚ城ｄｘ一．ｘ一ｙ． ｆ，－一ｘｄ（ｙ工一一五）＋ｘｙ（ｆ’生些。一ｆ’：）
（３４）
利用合分比性质可得
ｚ堡兰±兰堡ｚ 一
生些
ｘｙ（ｆ２一Ｚ）一（■一五）＋ｘｙ（ｆ’。－ｆ’：）
（３５）
即
尘
一
生兰
（３６）
ｘｙ（Ｌ一■）一（■一厶）＋ｚ（ｆ’。一ｆ’：）
从而积分因子为：肛＝忑万瓦南＝万百了石产丽 解得首次积分为：ｕ＝一ｌ眦［工（ｚ）－Ｌ（ｚ）］
Ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ Ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ Ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕｉｔｉｏｎｓ
ＺＨＡＯ Ｋａｉ—ｈｏｎｇ ＬＩ Ｘｉａｏ—ｆｅｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｙｕｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ，Ｙｕｎｎａｎ ６５３１００）
解得一个首次积分为：Ｕ＝Ｊｐ（石）ｄｘ
从而得积分因子：肛＝ｅＪ９‘。№ （２）若Ｓ＝Ｍ·Ｑ（ｙ），则由（８）式得
解得一个首次积分为：ｕ＝ｌＱ（ｙ）ｄｙ
坐一 生堡 Ｍ Ｍ·Ｑ（ｙ）
从而得积分因子：ｐ＝ｅＪ。‘７’毋 ２．利用定理可求方程（１）某些情形的各种类型的积分因子 例如：对方程
式（８）为
ｙｄｘ—ｘｄｙ＝０
2.期刊论文 徐安农.段复建 全微分方程与积分因子法 -桂林电ห้องสมุดไป่ตู้工业学院学报2002,22(2)
在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分 因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.
如下的等价形式
Ｎ ０１＿．业一Ｍ挚：巡一型
（６）
ｄｘ
ｄＶ
ｄｙ
Ｏｘ
若记
瓤收稿日期］２００４一０８—０６ ［作者简介］赵凯宏（１９７４一），男，甘肃泾川人，硕士，讲师，主要从事微分方程方面的研究
万方数据
玉溪师范学院学报
ｕ＝ｌｒｇｔ，Ｓ＝警一碧
则（６）为
Ｎ塑一Ｍ塑：Ｓ
（７）
Ｏｘ
Ｏｙ
方程（７）的特征方程为
7.期刊论文 申小琳.Shen Xiaolin 变量分离型积分因子存在性及其应用 -延安职业技术学院学报2009,23(3)
由变量分离型积分因子u(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离因子u(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因 子的公式,然后应用到一些微分方程的求解中.
于是方程化为一个全微分方程袅芳拿Ｊｘ砉＼Ｊ２ｌ＝一Ｙ辱）。，Ｊ孚ｔ耸一Ｊ苦２）
（３７）
通过上面的例子可以看出，利用定理求解方程（１）关键是求解方程（８）．而（８）可以用“可积组合法”求 解首次积分，但这需要很强的技巧性．
［参考文献］
［１］ 东北师大数学系．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１． ［２］ 蔡燧林．常微分方程［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２０００．
一ｄｘ一立一垫
一戈一一Ｙ一２
若由（１２）得：亟：ｉｄｕ
（９） （１０）
（１１） （１２）
可得积分因子：肛＝专
若ｆ１３（１２）得：鱼：ｉｄｕ
若可得由积（分１因２）子及：合肛＝分二２比眭质得：兰徽＝譬
一ｌ戈 十Ｖ Ｊ
二
可得积分因子：肛＝Ｔ÷１
３．利用定理可求一类特殊Ｒｉｃｃａｔｉ方程
Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一般形式是
（２７）
由于Ｍ－ｐ（咖＋ｑ（ｘ矿．Ｎ．＿ｌ，詈＝ｐ（ｘ）＋ｎｙ＂－１ｑ㈤，箬＝０
从而（８）式为
—ｄ—ｘ一
二尘
一
生些
一ｌ ｐ（ｘ）ｙ＋ｑ（ｘ）ｙ”ｐ（ｘ）ｙ＋ｎｑｆｘ）ｙ８。１
式（２８）可化为
堡苎一
翌坐
二ｚ生兰
一
１ ｎｐ（ｘ）ｙ＋ｎｑ（ｘ）ｙ４ Ｐ（ｘ）ｙ＋ｎｑ（ｘ）ｙ８
利用合分比性质可得
坐一 翌堡ｚ±ｚ生些
１
（ｎ一１）Ｐ（戈）Ｙ
即 （ｎ一１）Ｐ（ｘ）ｙ＝ｎｙ“ｄｙ＋ｄＨ
（２８） （２９） （３０）
解得首次积分为：ｕ＝（ｎ一１）ｆｐ（戈）ｄｘ—ｎｌｎｙ
从而积分因子为：ｐ＝ｙ－ｎＰ（ｎ－１）１ｑ‘。’出 于是方程化为一个全微分方程
［ｐ（ｘ）ｙ１一“＋ｇ（菇）］ｅ（ｎ－１）ｘ）ｄｘｄｘ—ｙ－．ｅ（．－１）ｆｑ（ｘ）ｄｘｄｙ＝０
6.期刊论文 刘许成.LIU Xu-cheng 变量分离型积分因子存在定理及应用 -大学数学2006,22(4)
给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件 和计算积分因子的公式.
玉溪师范学院学报第２０卷２００４年第１２期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｕｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｖ０１．２０ Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ．２００４
常微分方程求积分因子的一个定理及其应用
赵凯宏 李晓飞米
（玉溪师范学院数学系，云南玉溪６５３１００）
［关键词］全微分方程；积分因子；首次积分 ［摘要］将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程，从而与常微分方程组的首次积分 相联系．利用“可积组合法”来求积分因子，从而使所求常微分方程化成全微分方程． ［中图分类号］０１７５ ［文献标识码］Ａ［文章编号］１００９—９５０６（２００４）１２—００３１—０４
Ｙ
这样，方程（１４）化成一个可求解的全微分方程
ｙ－２ｅ：ｑ（ｘ）ｄｘ［ｐ（菇）），２＋ｑ（ｘ）ｙ］ｄｘ—ｙ一２ｅＪ９‘。’出方 ４．利用定理可求方程（１）的某些情形的积分因子，使该方程化为可求解全微分方程 例１．对方程
（戈３＋ｘｙ２＋石＋ｙ）ｄｘ一（并一），）ａｙ＝０
由于 Ｍ＝Ｘ，３＋ｘｙ２＋石＋ｙ，Ⅳ＝ｙ一石，詈＝２ｘｙ，面ＯＮ＝一１
（５）
这里（ｚ。，Ｙｏ）是肛（戈，Ｙ）Ｍ（戈，Ｙ），肛（戈，Ｙ）Ｎ（戈，Ｙ）公共定义域内的任意一固定点．Ｃ为积分常数．由于方程（３）
与方程（１）是同解方程，所以（５）也是方程（１）的通解．
可见，要求解方程（１）关键是求积分因子肛（戈，Ｙ），而要求ｐ（ｚ，Ｙ）关键是解偏微分方程（４）．方程（４）可化成
如一一生一
ｄｕ
一１一ｐ（ｘ）ｙ２—２＂（石）＋ｑ（戈）
利用合分比性质得
ｄｘ一
２ｄｙ
一
一ｙｄｕ
１—２ｐ（ｘ）ｙ２＋２ｑ（ｘ）ｙ一２ｙ２ｐ（戈）＋ｑ（ｘ）ｙ
ａｘ—．２ｄｙ＋ｙｄｕ
１
ｇ（石）Ｙ
即
ｑ（ｘ）ｄｘ＝÷妙＋ｄｕ
于是得一首次积分
ｕ＝ｊｇ（石）ｄｘ一２１ｎｙ
从而得（１４）的一个积分因子
肚：与ｅｆｑ＜砧出
坐一立一妲
（８）
Ｎ一一Ｍ—Ｓ
求解方程（７）的关键是求解方程（８），因此有如下定理． 定理：方程（１）可求出积分因子的充要条件是方程（８）可求出首次积分．
２ 定理的应用
１．、定理包含了积分因子为ｇ（ｘ，Ｙ）＝ｐ（戈）（或／．ｔ（ｙ））的情形 （１）若Ｓ＝Ｎ·ｐ（戈），则由（８）式得
坐一 生坚 Ⅳ一Ｎ·Ｐ（并）
万方数据
常微分方程求积分因子的一个定理及其应用
作者： 作者单位： 刊名：