§2.3-恰当方程与积分因子-常微分方程课件-高教社

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常微分方程§2.3恰当方程与积分因子

在解决某些数学问题时，恰当方程和积分因子可以提供有效的解题思路和方法。
在某些复杂系统中，恰当方程和积分因子可以用来描述系统的动态行为，并预测未来的发展趋势。
05 实例分析
实例一：简单的一阶恰当方程与积分因子
总结词
通过简单的一阶恰当方程，理解积分因子的概念和作用。
详细描述
一阶恰当方程的形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的有理函数。求解这类方程时，可以通过引入积分因子M(x,y)的方法，将方程转化为一个全微分方程，从而简化求解过程。
形式简单
恰当方程的形式相对简单，未知函数的各阶导数都包含在方程的右边。
可解性
由于最高阶导数的系数不为零，恰当方程可以通过解代数方程来求解。
应用广泛
恰当方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
恰当方的判别方法
导数项系数不为零
在微分方程中，如果最高阶导数的系数不为零，则该微分方程可能是恰当方程。
实例三：实际问题的恰当方程与积分因子应用
总结词
通过实际问题的恰当方程，了解积分因子的实际应用价值和意义。
详细描述
在实际问题中，许多物理、工程和经济领域的问题都可以转化为恰当方程的形式。通过引入积分因子，可以简化问题求解过程，提高求解效率。
实例展示
例如，在经济学中研究商品价格的变化时，经常会遇到类似“商品的需求量D与价格p和消费者的收入I有关，需求量D对价格的导数 Ddp与需求弹性有关”的问题。通过引入积分因子并转化为全微分方程，可以更方便地研究商品价格的变化规律和趋势。
02
[2] 丁同仁, 李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.
03

第五讲常微分方程PPT课件

5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
第37页/共47页
综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
第26页/共47页
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构

《高等数学》课件第6章常微分方程

将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程，设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx

常微分方程-恰当方程.ppt

例3 验证方程 (cos x sin x xy2 )dx y(1 x2 )dy 0,
是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.
解:这里M (x, y) cos x sin x xy2, N (x, y) y(1 x2 ),
M (x, y) 2xy N (x, y) ,
y
x
故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得
下面证明(7)的右端与 x无关, 即对x的偏导数常等于零
事实上
x
[N
y
M
(x, y)dx] N
x x
[
y
M
(
x,
y)dx]
N x
[ y x
M (x,
y)dx]
N x
M y
0.
于是, (7)右端的确只含有 y,积分之得
(
y)
[N
y
M
(
x,
y)dx]dy,
故
u(
x,
y)
M
(x,
y)dx
du u dx u dy x y
如果我们恰好碰见了方程
u(x, y) dx u(x, y) dy 0
x
y
就可以马上写出它的隐式解
u(x, y) c.
1 恰当方程的定义
定义1 若有函数u(x, y), 使得
du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
则称微分方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
由于 2u 和 2u 都是连续的 ,从而有 2u 2u ,
yx xy
yx xy
故
M (x, y) N (x, y) .
y
x

《常微分方程》全套课件(完整版)

捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１设函数在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，

高等数学常微分方程PPT课件

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【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待定
特征方程的根及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程可降阶方程
线性方程解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作变换
降阶
高阶方程
分离变量法全微分方程常数变易法
作变换积分因子
非非变全量微可分
分方离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx

常微分方程常见形式及解法课件PPT

2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
12
常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx，的解是 y=-cosx+C，其中C是待定常数；例如，如果知道 y=f(π)=2，则可推出 C=1，而可知 y=-cosx+1，
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):

第三节恰当方程和积分因子

d x ( y x ) d y 0 . 例4 求解方程 y 解：可以判定该方程不是一个恰当方程。但是，在等式
两端同乘以 1 ，此时原方程化为恰当方程。 2
y
(1)、定义：对于一般非恰当微分方程（3.1）,如果存在连续可微的函数
( x ,y ) 0，使得方程
( x , y ) M ( x , y ) d xx ( , y ) N ( x , y ) d y 0
是y的任意可微函数。下面的任务是如何选择 h(y) 使得由（3.5）表示的函数 u(x ,y) 满足（3.2）中的第二个等式。今在（3.5）中，对y 求微分，并应用积分对参数y的微分法则，有
u ( x , y ) ( , y ) d h ( y )( 3 . 5 ) M
x x 0
有时候根据判别条件（3.4），确认所给方程是恰当方程后，并不需要按照上述的一般方法来求恰当方程的
通解，通常用观察法凑微分的方法求恰当方程的通解
是比较方便的，即采取将原方程重新分组的办法，先
把那些本身已经构成全微分的项分去，再把剩下的项
凑成全微分，这样就容易求出恰当方程的通解了（见前例2）。所以，在使用这种方法时，熟记下面的二元函数的全微分公式是有益的。
M ( x , y ) d x N ( x , y ) d y 0( 2 . 4 2 )
1、恰当方程的定义定义：设给定方程
M ( x , y ) d x N ( x , y ) d y 0 ( 3 . 1 )
其中 M ( x, y ) 和 N ( x , y ) 是在平面上某区域 D 内的已知连续函 M ( x , y ) 和 N ( x , y ) 不同时为零。如数，且在 D内的每一点处，果方程（3.1 ）的左端是某一个已知函数 u ( x , y ) 的全微分, 即 M ( x ,) y d x N ( x ,) y d y d u

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解因
M y, N y x, M 1, N 1
y
x
• 方程不是恰当方程。
方法1 M N
• • •
因
y x 2
M
y
只与
方程有积分因子为
于是以 μ 乘方程两边得
y
有关，
(y) e
2 y
d
y
1 y2
1dx y
1d y
y
xd y y2
ydx xd y y2
dy y
x y
ln
y
0
• 得通解
d ( ye P(x) d x ) Q(x)e P(x) d x d x
• 得通解
即 ye P(x)d x Q(x)e P(x)d x d x c
y e P(x)d x Q(x)e P(x)d x d x c
例5 解方程 d y x dx y
1
x y
2
( y 0)
4y2
y
• 偏积分 x 第一式得 u x3 3x2 y2 ( y)
• 上式对 y 偏微分，由第二式有
• 于是
d(y) 4y3
dy
u 6x2 y d( y) 6x2 y 4 y3
y
dy
例1 解方程（续）
(3x2 6xy2 ) d x (6x2 y 4 y2 ) d y 0
(2) 分项组合全微分方法
• 将恰当方程的各项分项组合成全微分形式 • 简单二元函数的全微分：
y d x x d y d(xy),
y
d
x xd y2
y
d
x y
yd
x x2
xd
y
d
y x
,
ydx xd y xy
d ln
x y
ydx x2
xd y2
y
d
arctg
y x
,
ydx xdy x2 y2
•
d(y) 4y3
dy
解得
(y) y4
• 从而全微方式为 u x3 3x2 y2 y4
• 方程的通解为
x3 3x2 y2 y4 c
其中 c 为任意常数。 • 亦可直接引用全微方公式求解
M
(
x,
y)
d
x
N
(x,
y)
y
M
(
x,
y)
d
x
d
y
x3 3x2 y2 (6x2 y 4 y3 6x2 y) d y x3 3x2 y2 y4 c
x ln y c y
方法2 方程 yd x (y x)d y 0
• 方程改写为
ydx xd y yd y
• 显然方程有积分因子为
其中 c 为任意常数。
cos
x
d
x
1 y
d
y
1 y
d
x
x y2
d
y
d sin
x
d ln
y
yd
x xd y2
y
d sin x d ln
y
d
x y
d
sin
x
ln
y
x y
0
（3）积分因子
• 积分因子定义：微分方程 M d x N d y 0
• 如存在连续可微函数 (x, y) 使得 M d x N d y du
N
• 此时积分因子为 (x) e (x)dx • 同样，
(y)形式的积分因子的充分必要条件：
M N
y x ) e( y)dy
例4 试用积分因子法解线性微分方程
d y P(x) y Q(x) dx
解方程改写为 [P(x)y Q(x)] d x d y 0
则称 (x, y)为方程 M d x N d y 0的积分因子。
• 同一方程可以有不同的积分因子。
• (x, y) 为积分因子的充分必要条件：
(M ) (N) 即
y
x
N
x
M
y
M y
N x
(4) 单变量积分因子 (x)、(y)
• (x) 形式的积分因子的充分必要条件：
M N
y x (x)
§2.3 恰当方程与积分因子
(1) 恰当方程 (2) 分项组合全微分方法 (3) 积分因子 (4) 单变量积分因子
(x)、( y)
(1) 恰当方程
•
将一阶微分方程
dy dx
=
M(x,y）
N（x,y写) 成对称形式
M (x, y)d x N(x, y)d y 0
如方程右端恰可表为某函数 u(x,y) 的全微分：
解方程改写为
xd x yd y x2 y2 d x
1 d(x2 y2 ) x2 y2 d x 2
• 显然方程有积分因子为 x2 y2
于是
d(x2 y2 ) d x 2 x2 y2
• 通解为
x2 y2 x c
•或
y2 c(c 2x)
例6 解方程 yd x (y x)d y 0
•有
M P(x)y Q(x), N 1
M N y x P(x)
•
方程有积分因子为
(x) e P(x)d x
N
• 于是
P(x)e P(x) d x y d x e P(x) d xdy Q(x)e P(x) d x d x
y d e P(x) d x e P(x) d x d y Q(x)e P(x) d x d x
1 2
d
ln
x x
y y
例1 解方程 (3x2 6xy2 )d x (6x2 y 4y2)d y 0
解这里
M 3x2 6xy2 , N 6x2 y 4 y2
•有
M 12xy, N 12xy
y
x
• 方程是恰当方程。
• 求 u 使其满足
u x
M
3x2
6 xy 2
u
N
6x2 y
例2 用“分项组合”方法求解例1
解重组
(3x2 6xy2 ) d x (6x2 y 4 y2 ) d y 3x2 d x 4 y2 d y 6xy2 d x 6x2 y d y d x3 d y4 (3y2 d x2 3x2 d y2 ) d x3 d y4 3d(x2 y2 ) d(x3 y4 3x2 y2 ) 0
M (x, y)d x N(x, y)d y du(x, y)
则称方程为恰当方程。
• 恰当方程的通解为u(x,y)=c
•
方程为恰当方程的充分必要条件为 M N
此时有
y x
u
M
(x,
y)
d
x
N
(
x,
y)
y
M
(
x,
y)
d
x
d
y
• 这里积分式 M(x, y)d x 是 x 的偏积分，
把 y 视为常量对 x 进行积分。
• 即得方程的通解 x3 3x2 y2 y4 c 其中 c 为任意常数。
例3 求解 cos x
1 y
d
x
1 y
x y2
d
y
0
解因
M cos x 1 , y
N
1 y
x y2
,
M y
1 y2
N x
方程是恰当方程。 • 用“分项组合”方法重组
• 即得方程的通解
sin x ln y x c y