2.2_线性微分方程(积分因子法)
2.2-线性微分方程(积分因子法)
s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)
常微分方程2.2
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
在a( x) 0的区间上可写成
dy P( x) y Q( x) (1) dx 其中P( x), Q( x)在考虑的区间上是x的连续函数
若Q( x) 0,则(1)变为
dy P( x) y (2) dx
解线性方程: dI R I E . dt L L
得通解为:
I(t)
Rt
ce L
E
R
I(t)
Rt
ce L
E
R
由初始条件I(0) 0得, c E R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
I(t)
E
Rt
(1 e L )
R
作业
P37 7,8,11,12,15,16,20
代入(1)得 dc( x) Q( x)e p( x)dx
dx
积分得:
c(x)
Q(
x )e
p(
x )dxdx
~
c
故(1)的通解为
y e p( x)dx (
Q(
x)e
p(
x
)dxdx
~
c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
( x 1) dy ny e x ( x 1)n1 dx
注：对任意x0 I常数变易法求解
注意到一阶齐次线性方程的通解为y Ce P( x)dx ,
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解) 令y c( x)e p( x)dx为(1)的解,则
dy dc( x) e p( x)dx c( x) p( x)e p( x)dx dx dx
2.2线性方程与常数变易法
/Linear ODE and variation of constants Method/
内容提要/Constant Abstract/
齐次线性方程 : 特点 解法 举例 线性方程 常数变易法(积分因子方法） 非齐次线性方程 求解步骤 举例 随堂练习 伯努利方程 线性方程与常数变易法 特点 可化为线性方程的方程 黎卡提方程 解法 其他可化为线性方程的方程 重点与难点 思考
当 Q( x ) 0
称为齐次线性方程;
时，称为非齐次线性方程。
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
假设
P( x), Q( x) 函数在区间a<x<b上连续,则
根据解的存在性及唯一性定理可知，在区域
D:a x b y
dy dx
b(x) y c(x) 0
………………(2.2.1)
形如
y P (x) y Q (x)
的方程称为一阶线性微分方程(即关于 y, y 是线性的) 其中 P( x), Q( x) 为 x 的已知函数。当 Q( x) 0 时，
y P ( x ) y …………(2.2.2)
二、 可化为线性方程的方程
1 伯努利方程/Bernoulli ODE/ 2* 黎卡提方程/ Riccati ODE/
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
1 伯努利方程/Bernoulli ODE/ 形如
y P ( x) y Q ( x) y
本节要求/Requirements/
微分方程的经典解法
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分方程2.1 线性方程
的通解之和是非齐次方程的通解。
11
y e p( x)dx[ g( x)e p( x)dxdx C]
求方程 y 1 y sin x 的通解. p( x) ? g( x) ?
x
x
解
y
e
1 dx x
[
sin x x
e
1 dx
x dx
C
]
cos x
x
C x
考虑：dy dx , yx
对应齐通解：y C , x
设非齐通解：y u( x) , x
u( x) sin x ,
x
x
u( x) cos x C.
12
解初值问题:
( x2 1) y 2xy cos x 0
1
本章的主要内容
2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法
2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程1 线性方程
一阶线性微分方程 y ' p(x) y g(x)
一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，
先解：dx dy , x y ln y
ln x ln ln y lnC,
设 : x u( y) , u( y) 1 , u( y) 1 ln2 y C,
ln y ln y y
2
x 1 ln y C .
2
ln y
此外, y = 1 也是原方程的解.
16
解微分方程 dy sin y x cos y x 0 dx
浅谈线性微分方程的若干解法
浅谈线性微分方程的若干解法【摘要】本文主要讨论了线性微分方程的若干解法。
首先介绍了线性微分方程的定义和分类，包括常系数和变系数线性微分方程。
接着分别展示了常系数线性微分方程和变系数线性微分方程的解法，并介绍了矩阵法、特征方程法以及常数变易法求解线性微分方程的具体步骤。
对不同方法进行了比较，探讨了线性微分方程解法的选择原则和实际意义。
本文通过系统的介绍和分析，帮助读者更好地理解和解决线性微分方程问题，为相关领域的学习和研究提供了重要参考。
【关键词】线性微分方程、常系数、变系数、矩阵法、特征方程法、常数变易法、解法、比较、选择原则、实际意义、引言、正文、结论。
1. 引言1.1 线性微分方程的定义和分类线性微分方程是一类重要的微分方程，其定义为形如\[a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x )\]的微分方程，其中\(a_i(x)\)和\(g(x)\)是给定的连续函数，\(y\)是未知函数，\(n\)为非负整数。
线性微分方程可分为常系数线性微分方程和变系数线性微分方程两大类。
常系数线性微分方程的系数\(a_i\)为常数，变系数线性微分方程的系数\(a_i(x)\)是关于自变量\(x\)的函数。
常系数线性微分方程的解法包括特征方程法和常数变易法两种常用方法。
特征方程法通过求解特征方程来得到方程的通解，而常数变易法则通过假设方程的特解为常数函数来求得方程的一个特解。
变系数线性微分方程的解法相对困难一些，通常需要利用适当的变换或逼近方法来求解。
除了以上方法，矩阵法也是一种求解线性微分方程的有效方法。
通过将线性微分方程转换为矩阵方程，可以利用矩阵的性质和运算来求得其解。
线性微分方程是微分方程理论中重要的研究对象，其解法涉及多种不同的方法。
在选择解法时需要根据具体问题的特点和系数的性质来确定最合适的方法。
解决线性微分方程不仅有理论意义，也在实际科学和工程问题中起着重要作用。
积分因子的求法及简单应用
积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径,体现了积分因子的简单应用价值。
关键词：恰当微分方程;积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y ），N(x ，y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数,如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u （x,y ）的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程。
[]11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M （x,y)和N （x,y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程。
2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。
对于非恰当微分方程,如果存在某个连续可微的函数u(x ，y ）≠0，使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明,只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。
定理2[]2 函数u （x,y ）是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如：⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +,221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子。
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( (4 x 1)e
2
2
3 dx x
dx c)
1 x ( (4 x 1) 3 dx c) x
3
1 x (4 ln x 2 c) 2x x 3 4 x ln x cx3 2 3 将初始条件 y(1) 1代入后得 c 2
3
1 x ( (4 x 1) 3 dx c) x
3 2
故所给初值问题的解为
3 4
3 3 x y x ln x x 2 2
初值问题
dy P( x) y Q( x) dx
(1)
y( x0 ) y0
的解为：
y y0e
x0
x
P ( s ) ds
x
x0
P ( t ) dt x Q( s )e ds (3)
s
二 伯努利( Bernoulli )方程
dy n x n y e ( x 1) dx x 1
n dx x 1
p ( x ) dx 积分因子为 e e
( x 1)
n
故通解为
y ( x 1)n (ex c), c为任意常数
dy y 例2 求方程 2 通解. dx 2 x y
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
2
将z y 代入得所给方程的通解 为:
1 3 y cx x 2
作业
P49 1(2),(4),(12),(15),(16) 2, 5
3
0
变量还原
dy y 2 6 xy 的通解. 例3 求方程 dx x
解 这是 n 2 时的伯努利微分方程。令 z y 1
x 6 x8 代回原来的变量，得到方程的通解为 y 8 c
此外，方程还有解 y 0
dz 2 dy y 得 dx dx dz 6 zx 代入原方程得到 dx x c x2 求得它的通解为 z 6 x 8
ye
p ( x ) dx
p ( x ) dx ( Q( x)e dx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
的通解,这里n为常数 解: 将方程改写为
§2.2 线性微分方程与积分因子法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) 标准形式 dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q( x) 0, 则(1)变为
dy P( x) y 0 (2) 齐次线性方程 dx
若Q( x) 0, 则(1)称为非齐次线性方程。
一阶线性微分方程的一般形式为 dy a ( x ) b( x ) y c ( x ) dx
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P( x) y Q( x) dx (1)
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
例4 求方程
的通解.
dy y x dx 2 x 2 y
2
2 令 z y , 代入方程得 解: 这是Bernoulli 方程, n 1, dz 1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z e
2
1 dx x
( x e
2
1 dx x
1 3 dx c) cx 2 x
y ( ln y c), c为任意常数.
2
此外， y=0 也是解
例3 求初值问题 dy 3 y 4 x 2 1, dx x
的解. 解: 先求原方程的通解
y (1) 1
ye
p ( x ) dx
p ( x ) dx ( Q( x)e dx c)
e
3 dx x
形如
dy p( x) y Q( x) y n dx
0
n 0,1是常数
。 的方程,称为伯努利方程. 这里P( x),Q( x)为x的连续函数
解法:
1
引入变量变换 zy
1n
, 方程变为
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx 20 求以上线性方程的通解
dx 2 x y 2 dy y
即
dx 2 x y dy y
p ( y ) dy ( Q( y)e dy c)
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
x e 故其通解为
e
p ( y ) dy
2 dy y
( ( y )e
2 dy y
dy c)