二阶常系数线性微分方程
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高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
10.5 二阶常系数线性微分方程
= C1e r1x + C2 e r2 x y
+ xC 2 )e rx y = (C 1
= eαx ( Acos βx + B sin βx) y
小结:求二阶常系数齐次线性方程 小结 求二阶常系数齐次线性方程y′′+py′+qy=0的通解 的步骤： 写出方程的特征方程： 的步骤：1、写出方程的特征方程： r2+r+q=0; 2、求出特征方程的两个根r1,r2; 按上表写出方程⑵的通解. 3、根据r1,r2，按上表写出方程⑵的通解.
2
⇒ y2 = xy1 = xe rx 故通解为： 故通解为： y = C1 y1 + C2 y2 = (C1 + xC2 )e .
rx
0的最简单形式) 的最简单形式
微积分九 微积分九③
2011-122011-12-16
8/17
⑶当△=p2-4q<0时，特征根 r1, 2 = α ±β i = e (α +iβ ) x , y2 = e (α −iβ ) x 是方程⑵的两个解 是方程⑵ 则 y1 y1 e = (α −iβ ) x = e 2 iβx ≠ 常数 ∴y 与y 线性无关 且 1 2 y2 e 现将复值函数化为实值函数形式 利用欧拉公式: 利用欧拉公式:eiθ =cosθ+isinθ,将y1与y2写为 = eαx (cos βx + i sin βx) y2 = eαx (cos βx − i sin βx) y1 作线性组合,得 作线性组合 得 i 1 αx = ( y2 − y1 ) = eαx sin β x Y1 = ( y1 + y2 ) = e cos βx Y2 2eαx cos βx 2 Y1 = cot βx ≠ 常数 也是方程⑵的解, 则Y1与Y2也是方程⑵的解, 且 = αx Y2 e sin βx 故方程的通解为： 故方程的通解为：y=C1Y1+C2Y2
二阶常系数齐次线性微分方程
第五节
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数齐次线性微分方程
小结
二阶常系数齐次线性微分方程 的解题歩骤：
(1) 写特征方程； (2) 解特征方程；
(3) 根据通解形式得通解;
L, — M
二阶常系数齐线性微分g方程矿+P E y=0 特征方
程 +标+q=0 .
特征根
孔丰& (实根) 人=為(实重根) 4,2 = a±i& (共轭复根)
通解形式 y = Ce41 x + Ce42 x y = e4 x (C1 + C x)
1)特征方程有两个不同的 实根4 了 22，则
yi = e4 x，
y2 =礬x
是方程⑴的两个线性无关的解，故方程⑴的通解 为
y = C1y1+G y2 = x + G 渺x .
二阶常系数齐线性微分方程
y" + p y9+q y = 0 ( i)
的特征方程为
无 + 人 p + q= 0 .
2)特征方程有实重根4 = % ,则 p p — 4q = 0,
y = e^x (G cos fix + Q sin fix)
二阶常系数齐线性微分方程
矿 + p y + q y = 0 ( i)
的特征方程为
九2 + Xp + q= 0。
3)特征方程有一对共轭复根：兀=1 + i P，
X2 = a-iP，则
y = * * = e ， 1+i p}
y2 =渺x = e （妇 p} x
是方程(1 )的两个线性无关的解，其通解为
p + 24i = 0
由求根公式為2
2
2
二阶线性常系数微分方程
令zu
0
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 zC 2Z (x)z(x)
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
由此得原方程③的通解: y C 1 y 1 ( x ) C 2 U ( x ) y 1 ( x ) u ( x ) y 1 ( x )
因此特y 原征 方p 方程y y 程的 e 通q r 2y 解x ( C 为p0 1 rc (qp o ,x q 0为 C s 2 s常 )ix ) n 数
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
第五节
第八章
二阶常系数线性微分方程
y p y q y f( x )( p ,q 是常数）
一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶线性常系数齐次微分方程
ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
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例5. 求 x 2 y 方 ( x 2 ) ( 程 x y y ) x 4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x 2 y (x 2 )(xy y ) 0
由观察可知它有特解: y1x, 令 yxu(x),代入非齐次方程后化简得
uux 解上述可降阶微分方程,可得通解:
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
§4.4.2二阶常系数线性微分方程1
r1,2 = α ± iβ
e α x [(C1 + C 2 x +L+ C k x k −1 )cosβ x
+ ( D1 + D2 x +L+ Dk x k −1 )sinβ x ]
例 6． 求 方 程 y ( 4 ) − 2 y ′′′ + 5 y ′′ = 0 的 通 解 。 ．
解 ： 特征方程为 r 4 − 2r 3 + 5r 2 = 0 ，
是方程①的特解， ∵ y1 = e ( α+ iβ ) x 、 y2 = e ( α−iβ ) x 是方程①的特解，
y1 e ( α+ iβ ) x 2β i x 不为常数，它们是线性无关的， 且 = 不为常数，它们是线性无关的， =e ( α−iβ ) x y2 e
∴ 方程 ① 的通解为 y = C1e ( α+ iβ ) x + C 2 e ( α−iβ ) x 。 方程①
4.4.2 4.4.2 二阶常系数线性微分方程的解法
方程 均为常数)， ay′′ + by′ + cy = f ( x ) ( a , b, c 均为常数 ， 称为二阶常系数线性微分方程。 称为二阶常系数线性微分方程。
（一）二阶常系数线性齐次方程的解法
ay′′+by′+cy =0 ，
①
猜想方程① 形式的解， 猜想方程① 具有 y= e rx 形式的解 ，其中 r 为待定常数 ， =
y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
y = e rx (C1 + C 2 x )
y = e α x (C1 cos β x + C 2 sin β x )
e α x [(C1 + C 2 x +L+ C k x k −1 )cosβ x
+ ( D1 + D2 x +L+ Dk x k −1 )sinβ x ]
例 6． 求 方 程 y ( 4 ) − 2 y ′′′ + 5 y ′′ = 0 的 通 解 。 ．
解 ： 特征方程为 r 4 − 2r 3 + 5r 2 = 0 ，
是方程①的特解， ∵ y1 = e ( α+ iβ ) x 、 y2 = e ( α−iβ ) x 是方程①的特解，
y1 e ( α+ iβ ) x 2β i x 不为常数，它们是线性无关的， 且 = 不为常数，它们是线性无关的， =e ( α−iβ ) x y2 e
∴ 方程 ① 的通解为 y = C1e ( α+ iβ ) x + C 2 e ( α−iβ ) x 。 方程①
4.4.2 4.4.2 二阶常系数线性微分方程的解法
方程 均为常数)， ay′′ + by′ + cy = f ( x ) ( a , b, c 均为常数 ， 称为二阶常系数线性微分方程。 称为二阶常系数线性微分方程。
（一）二阶常系数线性齐次方程的解法
ay′′+by′+cy =0 ，
①
猜想方程① 形式的解， 猜想方程① 具有 y= e rx 形式的解 ，其中 r 为待定常数 ， =
y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
y = e rx (C1 + C 2 x )
y = e α x (C1 cos β x + C 2 sin β x )
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3. f ( x) A1 cos x A2 sin x
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
a2 4b , 2
特征根的三种不同情况讨论：
(1) 特征方程有两个不同的实根 1 与 2 ,
a2 4b 0,
有
1 a
a2 4b , 2
2 a
a2 4b . 2
方程有两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
y C e P( x)d x e P( x)d x Q( x) e P( x)d xd x
齐次方程通解
非齐次方程特解
对二阶常系数微分方程y ay by f ( x)，它的通解：
y(x)
Y
y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
§9.3 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线系数齐次线性方程
形如
d2 y dx 2
P( x) dy Q( x) y dx
f (x)
称为二阶线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶齐次线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶非齐次线性微分方程．
a
二、二阶常系数非齐次线性方程
形如
y ay by f ( x)
(9 30)
的方程, 称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 a , b 为已知常数, f ( x) 0 . 通常称方程(9-25)
y ay by 0为方程 (9 30) 对应的齐次方程 .
常见的几种 f ( x) 形式： 1. f ( x) Pn( x) 2. f ( x) Pn( x)ex
例如，
定理9.1 设 y1( x), y2( x) 是方程 (9 25) 的两个线性 无关的解, 则 y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) (9 26) 是方程 (9 25) 的通解, 其中C1 , C2 为任意常数. 例如,
且 y2 sin x tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
1 i , 2 i ( 0),
a2 4b 0, 通过直接验证可知，
y1 ex cos x , y2 ex sin x ,
是方程的两个线性无关的特解, 得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x).
(9 29)
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 , 2
y C1e1x C2e2 x
两个相等的实根 1 2
y (C1 C2 x)e1x
一对共轭复根 1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y y 2 y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 0 其特征根 1 1, 2 2 为两个相异实根, 所以
所给方程的通解为 y( x) C1ex C2e2x
其中C1 , C2 为任意常数.
例2 求方程 y 2 y y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 1 0 其特征根 1 为二重实根,
所以所给方程的通解为 y( x) (C1 C2 x)ex
其中C1,C2 为任意常数.
例3 试确定常数 a , 使方程 y ay 0 的解都是以 2π 为周期的函数. 解 方程的特征方程为
2 a 0
于是容易得到: 当a 0 时, 方程的通解为 y( x) C1e ax C2e ax
当a 0时, 方程的通解为
y( x) C1x C2
以上通解均不是周期函数,
故 a 0, 并有 a i 时,
方程的通解为 y( x) C1 cos ax C2 sin ax,
要使方程的解均以2π 为周期, 只要 2π 2π, 即得 a 1.
因此该方程的通解为
(2) 特征方程有两个相同的实根 1 2 ,
a2 4b 0,
有
1
2
b, 2
得一个解为 y1 e1x , 验证得 y2 xe1x为另一特解,
由于 y2 x 常数, y1
则 y1 , y2 线性无关,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e1x
(9 28)
(3) 特征方程有一对共轭复根：
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
a2 4b , 2
特征根的三种不同情况讨论：
(1) 特征方程有两个不同的实根 1 与 2 ,
a2 4b 0,
有
1 a
a2 4b , 2
2 a
a2 4b . 2
方程有两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
y C e P( x)d x e P( x)d x Q( x) e P( x)d xd x
齐次方程通解
非齐次方程特解
对二阶常系数微分方程y ay by f ( x)，它的通解：
y(x)
Y
y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
§9.3 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线系数齐次线性方程
形如
d2 y dx 2
P( x) dy Q( x) y dx
f (x)
称为二阶线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶齐次线性微分方程．
当 f ( x) 0 时， 称为二阶非齐次线性微分方程．
a
二、二阶常系数非齐次线性方程
形如
y ay by f ( x)
(9 30)
的方程, 称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 a , b 为已知常数, f ( x) 0 . 通常称方程(9-25)
y ay by 0为方程 (9 30) 对应的齐次方程 .
常见的几种 f ( x) 形式： 1. f ( x) Pn( x) 2. f ( x) Pn( x)ex
例如，
定理9.1 设 y1( x), y2( x) 是方程 (9 25) 的两个线性 无关的解, 则 y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) (9 26) 是方程 (9 25) 的通解, 其中C1 , C2 为任意常数. 例如,
且 y2 sin x tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
1 i , 2 i ( 0),
a2 4b 0, 通过直接验证可知，
y1 ex cos x , y2 ex sin x ,
是方程的两个线性无关的特解, 得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x).
(9 29)
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 , 2
y C1e1x C2e2 x
两个相等的实根 1 2
y (C1 C2 x)e1x
一对共轭复根 1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y y 2 y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 0 其特征根 1 1, 2 2 为两个相异实根, 所以
所给方程的通解为 y( x) C1ex C2e2x
其中C1 , C2 为任意常数.
例2 求方程 y 2 y y 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 1 0 其特征根 1 为二重实根,
所以所给方程的通解为 y( x) (C1 C2 x)ex
其中C1,C2 为任意常数.
例3 试确定常数 a , 使方程 y ay 0 的解都是以 2π 为周期的函数. 解 方程的特征方程为
2 a 0
于是容易得到: 当a 0 时, 方程的通解为 y( x) C1e ax C2e ax
当a 0时, 方程的通解为
y( x) C1x C2
以上通解均不是周期函数,
故 a 0, 并有 a i 时,
方程的通解为 y( x) C1 cos ax C2 sin ax,
要使方程的解均以2π 为周期, 只要 2π 2π, 即得 a 1.
因此该方程的通解为
(2) 特征方程有两个相同的实根 1 2 ,
a2 4b 0,
有
1
2
b, 2
得一个解为 y1 e1x , 验证得 y2 xe1x为另一特解,
由于 y2 x 常数, y1
则 y1 , y2 线性无关,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e1x
(9 28)
(3) 特征方程有一对共轭复根：