线性时变周期系统的能控性分析
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线性时变周期系统的能控性分析
1
引
言
线性时变系统也称为线性变系数系统，其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或 差分方程中,至少包含一个参数为随时间变化的函数。在现实世界中，由于系统外部和内部的 原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。相比 于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方法比线性时不变系统要复杂的多。然而， 在物理和工程技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最终都能导致具有周期系 数的线性微分方程组，大量的工业过程和社会系统的数学模型可归结为周期时变线性系统。 例如弹性力系统的动力学稳定性、卫星姿态控制、直升飞机传动系统、 生态系统和经济系统 中周期环境的竞争平衡等。又如在机械故障诊断中, 齿轮等零件周期性旋转而产生的振动信 号的模型；由于人体规律性作息，一天内不同时刻对相同刺激产生不同脑电信号的模型等。 这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。若系统还是线性的 , 则称为线性时变周期 ( linear time-varying periodic, LTVP)系统。为了研究用非线性微分方程描述的周期运动 的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微分方程组而进行探索。 系统的能控性和能观性是线性系统理论中最基本的概念，两者之间已有了熟知的对偶关 系。线性定常系统经过半个多世纪的发展,系统能控性、能测性和能稳定性等基本问题已经有 相当完善的结果, 但与时变系统的对应结论一直欠缺。时变系统是一类重要而又研究较少的
线性时变周期系统的能控性分析
摘要: 本文讨论了线性时变系统研究现状及研究意义，介绍了线性时变周期系统的概念，并举出了 几种应用实例。 从线性时不变系统能控性的两个充要条件入手， 分别提出了两种类似线性时不变系 统能控性的判定时变周期系统能控性的必要条件的假设并加以证明。 该判别条件的优点是不必计算 系统的状态转移矩阵, 使判别时变周期系统能控性与能观性简单、 高效、 易于实现。并对两个判 定线性时变系统的能控性的必要条件的应用进行讨论。 关键词: 时变周期系统; 能控性; 状态转移矩阵;必要条件 Problem on controllability and stabilizability of linear time-varying periodic system Abstract: The present research situation and research significance of linear time-varying periodic system are discussed. The basic application instances are introduced. Two necessary conditions to judge the controllability of time-varying periodic systems are hypothesized from two necessary and sufficient conditions to judge the controllability of linear time invariant system. The determinant condition has such a merit of not calculating the system state transition matrix that it is simple and easy to judge the controllability and observability of time-varying periodic system. And application of the two necessary conditions to judge the controllability and observability of time-varying periodic systems are discussed. Keywords: time-varying periodic system; controllability; state transition matrix; necessary conditions
能控性与能观性
c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
线性系统的能控性判据分析
线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。
本文主要讨论线性系统的能控性判据。
其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。
一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。
因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。
能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。
现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。
1. 能控性定义 能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。
能控性主要看其状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。
具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。
二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：能控性判据：1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH 秩判据.,,,,)1(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x01>t 为非奇异⎰--=tt A T At c dte BB e t W T],0[.][,][11阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A AB B Q A n nB A AB B rank n c n --==线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值4. PBH 特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列相正交的非零左特征向量。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
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线性系统理论
北方工业大学
线性系统理论
总结
北方工业大学
两种判定周期时变系统能控性的必要条件
线性系统理论
两点说明
北方工业大学
利用对偶性, 可以得到完全对应的能观性结 论。 与线性时不变系统可控性PBH判据不同，以 上两种判别可控性的条件都为必要条件而 非充分条件。 下面举一个反例加以说明
线性系统理论
北方工业大学
北方工业大学
线 性 时 变 周 期系 统 的 能 控 性 分析
线 性 系 统 理 论 线 性 系 统 理 论
参考文献：张雪峰, 张庆灵. 线性时变周期系统的能控性与能稳定性问题[ J ]. 系统工 程与电子技术, 2010,32(4):812-815
主要内容
一．线性时变周期系统的状态描述 二．线性时变周期系统的应用实例
线性系统理论
3
北方工业大学
周期线性时变系统的定义
• 为了研究用非线性微分方程描述的周期运动的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微 分方程组而进行探索。例如在机械故障诊断中, 齿 轮等零件周期性旋转而产生的振动信号的模型; 由 于人体规律性作息, 一天内不同时刻对相同刺激产 生不同脑电信号的模型等。
假设是否成 立？
线性系统理论
12
北方工业大学
线性系统理论
13
北方工业大学
d t0 ,t t0 ,t A t dt
线性系统理论
北方工业大学
t0 0,t ,t0 t0 0 t , 0 t
线性系统理论
15
北方工业大学
线性系统理论
北方工业大学
• 这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。 若系统还是线性的, 则称为线性时变周期( linear time-varying periodic, LTVP ) 系统。
线性系统理论
4
状态方程及状态转移矩阵
线性时变系统： 状态方程： A x t x B t u 状态转移矩阵方程：
Wc (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d
t0
t1
线性系统理论
由线性时不变系统能控性的等价条件 北方工业大学 推导出时变周期系统能控的必要条件
结论2：[线性时不变系统能控性判据]
假设是否成 立？
线性系统理论
北方工业大学
证明: (与第一个假设证明类似)
1 0 0 2 1 1 0 2 0 1
北方工业 t 0 ,t A t
线性系统理论
状态方程及状态转移矩阵
北方工业大学
t At t ,
线性系统理论
0 I
7
二、周期时变系统的应用实例
• 实例 1 卫星姿态控制问题
北方工业大学
• 1976 年, Sticher 提出了卫星姿态控制问题。利用位 于卫星上传感器的三维磁力计测量地球磁场的相互 作用原理, 卫星绕地球轨道运动的姿态稳定性常常 通过磁转矩来实现。由于沿飞机所在位置的轨道地 球场磁力的相互作用产生了周期性, 因此这类问题 在数学领域的适当模型为周期模型, 即:
式中, K (·) 表示系统的刚度矩阵, 具有周期性; D 表示系统的阻尼矩阵; M 表示系统的质量矩阵; f 表示系统施加的主动力矩阵; di 表示对系统的干扰; u(· ) 表示主动施加力; x ( ) 表示系统的状态变量; y ( ) 表示测量系统的位移。
线性系统理论
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三、两种判定周期时变系统能控性 的必要条件
• 时变系统的能控性、 能观性、 稳定性问题在理论上有 一些基本结论, 但这些结果往往依赖于系统的状态转移 矩阵, 由于状态转移矩阵计算是十分困难和繁杂的, 因而 实际应用还并不现实。
• 下面对时变系统进行了讨论, 利用矩阵方程判定线性时 不变系统能控性、 能观性等价条件的方法, 得到了与定 常系统类似的结论。
对连续时间线性时变系统，满足矩阵方程：
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x t0 x 0
t t0 ,t
t ,t0 A t t ,t0 ,
的解矩阵ф(t,t0)称为状态转移矩阵。
结论：①状态转移矩阵为唯一
t0 ,t0 I
t ,t0 I ②
研究意义
• 线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是,表征系 统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个 参数为随时间变化的函数。 • 在现实世界中 , 由于系统外部和内部的原因 , 参数的变 化是不可避免的 , 因此严格地说几乎所有系统都属于时 变系统的范畴。 • 相比于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方 法比线性时不变系统要复杂的多。然而，在物理和工程 技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最 终都能导致具有周期系数的线性微分方程组。例如弹性 力系统的动力学稳定性、 卫星姿态控制、直升飞机传动 系统、 生态系统和经济系统中周期环境的竞争平衡等。
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线性系统理论
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线性系统理论
由线性时不变系统能控性的等价条件， 推导出时变周期系统能控的必要条件
线性系统理论
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由线性时不变系统能控性的等价条件， 推导出时变周期系统能控的必要条件
结论1：[线性时不变系统能控性PBH判据]
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连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件是， 对矩阵A的所有特征值λi (i=1,2,---n)，均成立：
式中, A( t ) 、 B( t ) 、 C ( t ) 分别为连续的周期函数 矩阵。
线性系统理论
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• 实例 2 直升飞机传动系统的振动衰减问题
直升飞机的传动系统由复杂的齿轮组成, 它的振动是典型的周期 振动问题, 其振动衰减研究是非常有意义的。振动的衰减可通过 主动控制方法来解决, 这一问题可由下述线性周期系统模型来描 述：
t A d t A t A d d
t t 1
0
1
2
2
1
0
0
线性系统理论
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状态转移矩阵的性质
1 t ,t I 2 t ,t t ,t 3 t ,t t ,t t ,t d d 4 t ,t t ,t
• 能控的定义
能控性：状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意 的始点达到原点，则是能控的，反之则不完全能控。
线性系统理论
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北方工业大学 • 对时变系统来说, 由于系统矩阵中状态转移矩阵计算的 复杂性, 在研究时变系统时, 纯代数方法较少。到目前为 止,没有关于利用特征多项式或矩阵代数方程判别系统能 控性、 能观性的判据。
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三．两种判定时变周期系统能控性的必要条件
由线性时不变系统能控性的等价条件，推导出两种 判别线性时变周期系统能控的必要条件； 该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别线性时变周期系统能控性与能观性简单、高 效、易于实现.
线性系统理论
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一、周期线性时变系统的状态描述