微分方程积分因子的求法

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全微分方程与积分因子法

已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内任意取
得．很多情况下都选（0，0）为（x0，y0），只有当点（0，0）不在上述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p －坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程（1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解：将（8）式改写成［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公式法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因

微分方程的积分因子

在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。

积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。

积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。

3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。

5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。

6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。

7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。

通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。

积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。

需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。

在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

常微分方程积分因子法的求解

用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程2(),2d y dy b cy f t dt dt++= （1.1） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭++= （1.2）就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3）这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4）则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),u x y c = （1.5）这里c 是任意常数.定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).M x y N x y x y∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式方法2 不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=由此，函数(,)u x y 应适合方程组(,),(,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂对(,)u M x y x∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y xϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程'()(,)N dx y N x y xϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.方法3 公式法：方程的通解为000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 其中c 是任意常数[3].例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解解这里2,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N yx∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法）现在求u ，使它同时满足如下两个方程：2u x y x∂=+∂，（1）2u x y y ∂=-∂. （2）由（1）对x 积分，得到31()3u x xy y ϕ=++，（3）将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得()2ud y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，于是()2,d y y dy ϕ=-积分后得2(),y y ϕ=-将()y ϕ代入（3），得到321.3u x xy y =+-因此，方程的通解为321,3x xy y c +-=这里c 是任意常数.方法2 （公式法）取00(,)(0,0)x y =因此00(,)(,)(,)xy u x y M x y dx N x y dy=+⎰⎰200()(2)x yx y dx x y dy =++-⎰⎰321()003x y x xy y =+- 3213x xy y =+- 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.方法3（凑微分法）将方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即32103d x dxy dy +-= 或者写成321()03d x xy y +-= 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。

一类典型微分方程积分因子的求法

）Ｐ＋ｘＱ— Ｃ，＂ｆ）一２Ｃ
例求方程
２Ｐ一，（，＝２ｚ再由ｘＰ＋ＹＱ＝，）Ｚ’ ）ｚｘＰ，＇（两边关于戈求导可得Ｐ＝厂（一ｍＰ — ｘ）ｘ
ＹＱ， “ 于是
积分因子，并求其通解．
ＰｌｎｍｉｓｗｔｐｉａｏｓｔｏｙｏａｈＡｐｌｔｎｏＮｕｍｅｃｌＡｎｙｉ．ＪＩｓ．ｌｉｃｉｉｒａａ８８．ｎｔｌ
［］ＪＣｕｈｒＴｅＮｍｒａＡａｓｆｒｉｒＤｆｒｎａ１．．Ｂｔｅ，ｈｕｅｃｎｌｉｏＯｄａｉｅｔｌｃｉｌｙｓｎｙｅｉ
文章编号：０８—１０（０１０１０４２２１）２—０７ｏ２４一２
一
类典型微分方程积分因子的求法①
沈浮，王金山，王鹏
（放军炮兵学院数学教研室。安徽合肥２０３）解３０１
摘
一
要：讨论了一阶微分方程有形如＝（
＝ｙ
若方程Ｐ＋ｄｘ２Ｃ；ｙ＝ｏ）一 ’ 一 … ｙｙ — Ｊ—ｕ）Ｐ）＝（
满足ｙＰ一Ｑ＝，）和（
＝
＋ｙ的函数．定理２若方程（）满足条件：Ｐ＋ｒＱ＝１ｎ
推论２若方程（）满足条件＂＋ｙＱ：１－ＰＸ｜ｋ非零常数）和（ｊ为｝（ｋ＋ｃＰ）＝Ｃ＋则方程（）Ｑ，１有积分因子
，一ｙＶ一

微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

一、基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称（1。

1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1。

1 （全微分方程的判别法)设),(y x M ，),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则(1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1。

2) 证明见参考文献[1].定义1。

2 对于微分方程(1。

1）,如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子。

定理1。

2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=xy x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1。

4）证明：由定理1。

1得，),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ，展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ—y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂。

上式整理即得（1。

求解积分因子的方法整理

求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。

它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。

本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。

1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。

例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。

我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。

因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。

由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。

解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。

因此，我们就得到了积分因子 f(x)。

3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。

对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。

特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。

第二章-2.3恰当微分方程与积分因子

3
由全微分的定义，有
u u du dx dy x y
因此，当而且仅当存在函数 u u ( x, y )，使得
u u M ( x, y ), N ( x, y ) x y (3.2)
时，方程(3.1 )是恰当微分方程，并可写成下列形式
du ( x, y) 0
结论: 关系式
sin 2 x x 2 y 2 y 2 c,
由初始条件 y(0) 2, 得 c 4,
故所求的初值问题的解为:
sin 2 x x 2 y 2 y 2 4.
18
3 曲线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法: M ( x, y ) N ( x, y) 由于 , y x 由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:
§2.3. 恰当方程和积分因子
一阶常微分方程的一般形式为 dy f ( x, y ) dx 可改写成微分的形式（或对称的形式）
f ( x, y)dx dy 0 进一步把 x, y 平等看待，写成下面形式的一阶
微分方程
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
(3.1)
1
2.3.1 恰当微分方程 1.定义
故所给方程是恰当方程.
由于M ( x, y), N ( x, y)在全平面上连续 ,
故取( x0 , y0 ) (0,0),则
21
M ( x, y ) y cos x 2 xe y N ( x, y ) sin x x 2 e y 2,
u( x, y)
( x, y )
2 y
2 xdx (sin x x e 2)dy
xdx ydy x y
2 2

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微分方程积分因子的求法何佳【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。

所以我们必须能够求出它的解。

同时，对于全微分方程我们有一个通用的求解公式。

但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是全微分方程。

那时对于这类不是全微分方程的一阶微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

§1、与()x y αβμ有关的积分因子一般的，我们有这样的定义：假如存在这样的连续可微函数μ( x , y )≠0使方程：μ( x , y ) M ( x , y ) dx +μ( x , y ) N ( x , y ) dy =0 .（1-1）成为全微分方程，我们就把μ( x , y )称为方程（1-1）的一个积分因子。

推论1 若111()()m n P Q y x x y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦仅是n m y x 的函数时，设 111()()m n P Q y xx y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦=)(n m y x ϕ则方程(1-1)有积分因子：exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰ ．证明：设()m n x y μμ=，令n m y x z =，则μ满足：xQ y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒11ln m n m n d P Q mx y Q nx y P dz y x μ--∂∂⎡⎤-=-⎣⎦∂∂ ⇒=dz d μln 111()()m n P Q y xx y myQ nyP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦ 因此，当且仅当上式的右端是关于n m y x 的函数，设为)(n m y x ϕ，方程(1-1)有积分因子：exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例1 求方程3243(2)(48)0y x y x dx x xy y dy +++++=的积分因子．解：∵1()P Q yQ xP y x ∂∂--∂∂344332(1)(14)(48)(2)x y y x xy y x y x y x +-+=++-++12xy =-+ ∴ 方程有积分因子：l n (2)11exp ()22xy u d xy e xy xy -+=-==++⎰§2、与()m n ax by μ+有关的积分因子推论 1 如果)(1xQ y P P Q ∂∂-∂∂-仅是关于)(y x +的函数，则可设 )(1xQ y P P Q ∂∂-∂∂-)(y x +=ϕ 则方程(1-1)有积分因子：exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．证明：如果μ仅是关于)(y x +的函数，即)(y x +=μμ，设y x z +=，此时μ满足： y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂μμln ln ，xQ y P P ∂∂-∂∂= 即=dzd μln )(1x Q y P P Q ∂∂-∂∂- 因此，当上式右端仅是关于)(y x +的函数时，设为)(y x +=μμ，则方程(1-1)有积分因子：exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．推论 2 若 )()(21xQ y P yP xQ ∂∂-∂∂-仅是)22(y x +的函数时，设)()()(2122y x x Q y P xP yQ +=∂∂-∂∂-ϕ 则方程(1-1)有积分因子：2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．证明设)(22y x +=μμ，令22y x z +=，则μ满足(1-1)式，即：有 xQ y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒[]ln 22d P Q xQ yP dz y xμ∂∂-=-∂∂ ⇒ln 1(22)d P Q dz xQ yP y x μ∂∂=--∂∂．因此，当上式右端为22()x y +的函数时，设为22()x y ϕ+，则方程(1-1)有积分因子：2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰ 推论 3 若 1()(0)(2)P Q a xQ aP y x∂∂-≠-∂∂仅是2()x ay +的函数时，设21()()(2)P Q x ay xQ aP y x ϕ∂∂-=+-∂∂ 则方程(1-1)有积分因子：22exp ()()x ay d x ay μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．证明：设2()x ay μμ=+，令2z x ay =+，则μ满足(1-1)式，即：ln ln d z d z P Q Q P dz x dz y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ ⇒[]ln 2d P Q xQ aP dz y xμ∂∂-=-∂∂ ⇒ln 1()(2)d P Q dz xQ aP y x μ∂∂=--∂∂ 因此，仅当上式右端为2()x ay +的函数时，设为2()x ay ϕ+，则方程(1-1)有积分因子：22exp[()()]x ay d x ay μϕ=++⎰例1 求解32233223(23)(23)0x x y y y dx y xy x x dy ++-+++-=的积分因子．解：由 1()P Q Q P y x ∂∂--∂∂222232233223(323)(323)(23)(23)x y y y x x y x y x x x x y y y +--+-=++--++- 2x y =-+ 可知方程有积分因子： 2exp ()u d x y x y=-++⎰()2ln x y e -+=21()x y =-+．例2 求解方程20x dx dy ++=（的积分因子．解：由方程可知 P x = ； 2Q = 因为 211()(4)22(4)P Q a xQ aP y x x y ∂∂--==-∂∂+仅是24x y +的函数，则方程的积分因子是：μ=二、微分方程积分因子求法的推广微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。

§1 满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法定理1 假设(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中(,)P x y ，(,)Q x y 存在以下关系：()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂ 其中()f x 是x 的连续函数，则该方程的积分因子是：1()(,)f x dx dyy x y e μ+⎰⎰= ()f x dx e y ⎰=⋅．证明：1()()f x dx dy y f x e x μ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰∂=∂ ()(,)f x x y μ=1()1f x dx dy y e y yμ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰∂=∂ 1(,)x y y μ= (,)(,)(,)(,)0x y P x y dx x y Q x y dy μμ+=即：P P P y y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ P P y yμμ∂=+∂ Q Q Q x x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ ()Q Qf x xμμ∂=+∂ 若要使得(,)x y μ是积分因子，必须满足：Q P x yμμ∂∂=∂∂ 则 ()P P Q Qf x y y xμμμμ∂∂+=+∂∂ 即 ()P Q P Qf x y x y μμ⎡⎤⎡⎤∂∂-=-⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦即要满足： ()Q P P Qf x x y y∂∂-=-∂∂．若满足以上定理可得到如下定理：定理2 如果()(,)f x dx x y e y μ⎰=⋅是方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子，则()2()222(,)()f x dx f x dx x y e y e y μ⎰⎰=⋅=⋅也是该方程的积分因子证明：∵ 220Pdx Qdy μμ+=∴ 22()2P P P y y yμμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 222P P y yμμ∂=+∂ 22()2Q Q Q x x xμμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 222()Q Qf x xμμμ∂=+∂ 22()()P Q y xμμ∂∂-=∂∂22(2)(2)P Q P Q y y x x μμμμμμ∂∂∂∂+-+∂∂∂∂ 22()()P Q P Q y x y xμμμμ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂ 22(())()P P Q Q f x y y xμμμμ∂∂=-+-∂∂ 222(())()P P Q Qf x y y xμμ∂∂=-+-∂∂ 因为()f x ，1y 分别是x ，y 的连续函数，则由连续函数的局部性质知2()f x ，2y 也分别是x ，y 的连续函数．又因为 22()P Q P Q f x y x y∂∂-=-∂∂ 22()()P Q y xμμ∂∂-=∂∂222(())()P P Q Qf x y y x μμ∂∂-+-∂∂ 222(())2(())P P Qf x Qf x y yμμ=-+- =0 所以 220Pdx Qdy μμ+=是全微分方程．所以 2μ也是该方程的积分因子．例3 求3sin 0y yx dx e xdy +=的积分因子．解：3cos y P Q x e x y x∂∂-=-∂∂ ()cot f x x =-可以由上面的定理得到方程的积分因子：cot xdx e y μ-⎰=⋅．例 4 求23sin 0y y xdx x ye dy +=的积分因子．解：22sin 3y M N x x ye y x∂∂-=-∂∂ 可以取 2333()y y x ye f x x ye x--== 从而使该方程能够满足定理1所需条件则有：313331dx dx x x y e y e y y x xμ--⎰⎰=⋅=⋅=⋅= 所以方程的积分因子是：3y x μ=．同理，由定理2知：26y xμ= 也是该方程的积分因子．§2方程1123422(3)36330m m m m xmx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子定理3 齐次方程为：1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦ 则该方程有积分因子：1222()x y μ=+．证明：令1222()z x y =+则知 1222()z x x y x -∂=+∂ 1222()z y x y y-∂=+∂ ∵ (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 1123(3)3m m P m x mx y xy +-=+++ 422633m Q y x y x y =++∴P d z P P y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 1222()d PPy x y dz yμμ-∂=++∂ Q d z Q Q x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 1222()d QQx x y dz xμμ-∂=++∂ 若有：P Qy xμμ∂∂=∂∂ 也即是有：1222()()()d Q PPy xQ x y dz x yμμ-∂∂-+=-∂∂ ⇒12221()()Q P d x y dzPy xQ x y μμ-∂∂-∂∂=-⋅+⇒1222ln ()()Q P d x y dzPy Qx x y μ-∂∂-∂∂=-⋅+12221()x y =+∴ 12221()(,)dzxy x y eμ+⎰=122212221()()d xy xy e++⎰= 1222ln()x y e+=1222()x y =+．例 5 求解齐次方程32342226cos 3cos 3cos (cos )63cos 30x y x y x d x y xy x y dy ⎡⎤⎡⎤+++++=⎣⎦⎣⎦的积分因子．解：由定理3得方程的积分因子是： 1222()x y μ=+§3、方程13()30mm mxm x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子定理4 齐次方程：13()30m m mx m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦则该方程有积分因子：2()x y μ=+．证明：令2()z x y =+ 则知22x y x μ∂=+∂ 22x y yμ∂=+∂ 因为 (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 所以有P d z PP y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ (22)d PP x y dz yμμ∂=++∂ Q d z QQ x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ (22)d QQ x y dz xμμ∂=++∂若有P Qy xμμ∂∂=∂∂ 则有：()(22)()d Q PP Q x y dz x yμμ∂∂-+=-∂∂ ⇒1()(22)Q P d x y dz P Q x y μμ∂∂-∂∂=-⋅+ ⇒ln ()(22)Q P d x y dz P Q x y μ∂∂-∂∂=-⋅+21()x y =+所以 (,)x y μ22211()()()dzd x y x y x y ee+++⎰⎰==2ln()x y e +=2()x y =+．例 6 求解齐次方程4343s i n 4(s i n )s i n (s i n )3s i nyy x x e x dx xde ⎡⎤+++=⎣⎦ 的积分因子．解：方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为： 2(s i n )y x e μ=+．§4方程1(4)4450mm mm xmx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子定理5 若齐次方程的形式为：1(4)4450m m mm x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦则方程的积分因子是：3()x y μ=+．证明：令3()z x y =+ 则知23()z x y x ∂=+∂ 23()z x y y∂=+∂ 因为 (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 1(4)4m m P m x mx y y -=+++ 45m Q x x y =++所以有P d z P P y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 23()d PP x y dz yμμ∂=++∂ Q d z QQ x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 23()d QQ x y dz xμμ∂=++∂若有P Qy xμμ∂∂=∂∂ 即有：23()()()d Q PP Q x y dz x yμμ∂∂-+=-∂∂ ⇒21()3()Q P d x y dz P Q x y μμ∂∂-∂∂=-⋅+ ⇒2ln ()3()Q P d x y dz P Q x y μ∂∂-∂∂=-⋅+31()x y =+ 所以 31()(,)dzx y x y eμ+⎰=31()()d x y x y e++⎰=3ln()x y e += 3()x y =+所以方程的积分因子是：3()x y μ=+．例7 求齐次方程323(7sin 3sin 4)(sin 4sin 5)0x xy y dx x x y dy +++++=的积分因子．解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是： 3()x y μ=+．本文讨论了几种微分方程积分因子的求解方法。