微分方程的积分因子求解法
全微分方程与积分因子法
已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜ ｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内 任 意 取
得．很 多 情 况 下 都 选 （0，0）为 （x0，y0），只 有 当 点 （0，0）不 在 上 述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p － 坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程 （1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解 ： 将 （8）式 改 写 成 ［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公 式 法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因
一阶线性微分方程的积分因子解法
一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪;赵临龙【摘要】对于一阶线性常微分方程P(x+y)dx+Q(x,y)dy=0,给出2种只依赖和xayb和(xa+yb)形式的积分因子存在的充分必要条件,有助于积分因子的求解.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】3页(P53-54,65)【关键词】常微分方程;积分因子;通解【作者】刘海浪;赵临龙【作者单位】安康学院,数学系,陕西,安康725000;安康学院,数学系,陕西,安康725000【正文语种】中文【中图分类】教科文艺第30 卷2010 年第 2 期3 月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30No.2Mar.2010文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪，赵临龙（安康学院数学系，陕西安康 725000 ）摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6 ，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．关键词：常微分方程；积分因子；通解中图分类号： 0175.1文献标识码： A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2010.02.015 1引言及预备知识对于一阶微分方程P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x，y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ，恰当微分方程，即存在函数 v(x， y) ，使 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)且称不取零值 u(x， )， ) 为方程 (1) 的积分因子． (1)则称方程 (1) 为一阶 (2)一旦找到方程 (1) 的积分因子，就很容易求得式 (2) 的原函数 v （五） ' ），从而 v （工，），） =c 是方程 (1)的通解，引理‘ 11 设 P(x ，珐 Q( 工， y)， u(x， y) 在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，则函数 u(x， y) 为 (1) 的积分因子的充分必要条件是a “c3PaQ “ (3) Q尝一 P 考匆舐式(3)是一个以 u(x， )，）为未知数函数的一阶线性偏微分函数，通常情况下，要想通过具体求解方程 (3)而求得积分因子 u(x， y) 是比较困难的，但某些特殊情况下，不难求得 (3) 的一个特解 u(x， )， ) ，而作为积分因子，文献[1] 给出了结论：方程 (1) 有只与工有关的积分因子“（工）： e 』妒(J)出的充分必要条件是（茜一号） Q-1=cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子u(y)=ei(p(y)dy 的充分必要条件是号一罢 ] （一P ）一 = 妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，当微分方程不存在只与工或 y 有关的积分因子，用此方法无法求解．本文给出 2 种只依赖 xoy6 和 xa+y6形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解．收稿日期： 2009-10-11基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03; 2009AKXYDXS06)；安康学院重点扶持学科《基础数学》建设项目（ AZX20107 ）；安康学院重点项目( 2(X)8akxy029)作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail: 通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@第30卷 2010年第2期 3月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30 No.2 Mar.文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．引言及预备知识对于一阶微分方程 P(x ，y)dx+ Q(x ，y)dy=0若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x， y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ， u(x, y)P(x, y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)的通解，引理‘11设P(x ，珐Q( 工，y)，u(x，y)在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，a“ c3PaQ Q尝一P考匆舐式茜号Q-1= cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子 u(y)=ei(p(y)dy 的充分罢]一P=妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03;作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail:通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@高师理科学刊第30 卷2主要结果及证明定理 1方程 (1) 有一个只依赖 xoy6 形式的积分因子的充分必要条件是若 _ （茜一 oaQ]（等一等 ] 。
微分方程的积分因子
在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。
积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。
对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。
积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。
3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。
5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。
6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。
7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。
通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。
积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。
需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。
在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。
微分方程的求解方法与应用案例分享
微分方程的求解方法与应用案例分享微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。
微分方程的求解方法多种多样，本文将介绍常见的几种求解方法，并结合实际应用案例进行分享。
一、常微分方程的求解方法1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。
首先将方程中的变量分离，然后进行积分得到结果。
例如，对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以将其化简为dy/g(y)=f(x)dx，再对两边同时进行积分即可得到解析解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的方程。
通过令v=y/x，将方程转化为dv/dx=F(v)-v/x，再进行变量分离和积分即可求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程。
通过乘以一个积分因子，可以将方程化为d(μy)/dx=μq(x)，再对两边同时积分得到解析解。
4. 变量替换法变量替换法是一种常用的求解微分方程的方法。
通过引入新的变量替换原方程中的变量，可以将方程化为更简单的形式。
例如，对于形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来进行变量替换，从而简化求解过程。
二、微分方程的应用案例分享1. 放射性衰变问题放射性衰变是微分方程在物理学中的一个重要应用。
以放射性核素的衰变为例，其衰变速率与核素的数量成正比，可以用微分方程dy/dt=-ky来描述，其中y表示核素的数量，t表示时间，k为比例常数。
通过求解这个微分方程，可以得到核素的衰变规律，进而预测未来的衰变情况。
2. 振动问题微分方程在工程学中的应用也非常广泛，例如振动问题。
以简谐振动为例，可以通过微分方程m(d²x/dt²)+kx=0来描述，其中m为质量，k为弹性系数。
通过求解这个微分方程，可以得到振动的解析解，进而研究振动的频率、幅度等特性。
3. 生物种群模型微分方程在生态学中的应用也非常重要，例如生物种群模型。
2.2-线性微分方程(积分因子法)
s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)
常微分方程积分因子法的求解
用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程2(),2d y dy b cy f t dt dt++= （1.1） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭++= （1.2） 就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3） 这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4） 则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),u x y c = （1.5） 这里c 是任意常数.定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).M x y N x y x y∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式 方法2 不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=由此，函数(,)u x y 应适合方程组(,),(,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂对(,)u M x y x∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y xϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程'()(,)N dx y N x y xϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.方法3 公式法：方程的通解为000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 其中c 是任意常数[3].例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解解 这里2,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N yx∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法） 现在求u ，使它同时满足如下两个方程：2u x y x∂=+∂， （1）2u x y y ∂=-∂. （2） 由（1）对x 积分，得到31()3u x xy y ϕ=++， （3） 将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得()2ud y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，于是()2,d y y dy ϕ=-积分后得2(),y y ϕ=-将()y ϕ代入（3），得到321.3u x xy y =+-因此，方程的通解为321,3x xy y c +-=这里c 是任意常数.方法2 （公式法） 取00(,)(0,0)x y =因此00(,)(,)(,)xy u x y M x y dx N x y dy=+⎰⎰200()(2)x yx y dx x y dy =++-⎰⎰321()003x y x xy y =+- 3213x xy y =+- 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.方法3（凑微分法） 将方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即32103d x dxy dy +-= 或者写成321()03d x xy y +-= 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。
一类典型微分方程积分因子的求法
） Ｐ ＋ｘ Ｑ— Ｃ ， ＂ ｆ ）一２ Ｃ
例 求方 程
２ Ｐ 一 ，（ ， ＝２ ｚ再 由 ｘＰ＋ＹＱ ＝， ） Ｚ’ ）ｚ ｘＰ ， ＇ （ 两边关 于 戈求 导 可 得 Ｐ ＝厂（ 一ｍ Ｐ — ｘ ） ｘ
ＹＱ ， “ 于是
积分因子 ， 并求其通解．
Ｐ ｌｎ ｍｉ ｓｗ ｔ ｐｉａ ｏ ｓ ｔ ｏｙ ｏ ａ ｈ Ａｐ ｌ ｔ ｎ ｏ Ｎｕｍｅ ｃ ｌＡｎ ｙ ｉ．Ｊ Ｉ ｓ． ｌ ｉ ｃｉ ｉ ｒ ａ ａ ８８ ． ｎｔ ｌ
［ ］ ＪＣ ｕ ｈ ｒ Ｔ ｅＮ ｍ ｒ ａ Ａ ａ ｓ ｆ ｒｉ ｒ Ｄｆｒｎａ １ ． ．Ｂ ｔ ｅ ， ｈ ｕ ｅ ｃ ｎ ｌ ｉ ｏ Ｏ ｄ ａ ｉ ｅｔ ｌ ｃ ｉｌ ｙ ｓ ｎ ｙ ｅ ｉ
文章编号 ：０ ８—１０ （０ １ ０ １０ ４ ２ ２ １ ） ２—０ ７ ｏ ２４一 ２
一
类 典 型 微 分 方 程 积 分 因 子 的 求 法①
沈 浮 ， 王金 山 ， 王 鹏
（ 放军炮兵学院数学教研室 。安徽 合肥 ２ ０３ ） 解 ３０ １
摘
一
要 ： 讨论了一阶微分方程有形如 ＝ （
＝ ｙ
若方 程 Ｐ ＋ ｄ ｘ ２ Ｃ； ｙ＝ｏ ）一 ’ 一 … ｙ ｙ — Ｊ—ｕ ） Ｐ） ＝ （
满 足 ｙ Ｐ 一 Ｑ ＝ ， ） 和 （
＝
＋ｙ 的函数 ． 定 理 ２ 若 方程 （ ）满 足 条 件 ： Ｐ ＋ｒＱ ＝ １ ｎ
推论 ２ 若 方 程 （ ）满 足 条 件 ＂ ＋ｙＱ ： １ － Ｐ Ｘ ｜ ｋ 非零 常数 ）和 （ ｊ 为 ｝ （ ｋ＋ｃ Ｐ ） ＝Ｃ ＋则方 程 （ ） Ｑ， １ 有积分 因子
， 一 ｙ Ｖ 一
微分方程的积分因子求解法
微分方程的积分因子求解法常微分方程的积分因子求解法内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词：全微分方程，积分因子。
—、基本知识定义1、1对于形如M(x. y)dx + N(x. y)dy = 0 (l x 1)的微分方程，如果方程的左端恰就是X , y的一个可微函数(7(x,y)的全微分，即d U(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 1 s 1)为全微分方程、易知上述全微分方程的通解为U^y) = C, (C为任意常数).定理k 1 (全微分方程的判别法)设M(x,y),N(x,y)在x*平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则(1、1)就是全微分方程的充要条件为OM (x, y) = 6N(x, y) (1 2) dy dx证明见参考文献［1］、定义1、2对于微分方程(1、1),如果存在可微函数“(a),使得方程“(x, y) M (x, y)clx + “(x, y)N(x, y)dy = 0 (1、3)就是全微分方翟则称“(x, y)为微分方程(1、1)的积分因子、定理1、2 可微函数“(x,y)为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为Ng y ）別】"（"）_ M （X y ） 6 In “g ）二 6M （x, y ） _ 4V （x,y ）dx ， dy dy dx证明:由定理1.1得/心y ）为微分方程（1、1）的积分因子的充要条件为0（“ （俎刃N （x 』））ax展开即得:上 证毕Ng 严小-M （3）沁也」竺』一空y （料）.dxdy I dy dx 丿式整理即得（1.4）注1、1 若“（3）工0,则（1、3）与（1、1）同解。
所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1. 3 ）的通解即可，而（1、3 ）就是全微分方程，故关键在于求积分因子“（X, y ）。
为了求解积分因子A （x,y ）z 必须求解方程（1、4）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常微分方程的积分因子求解法容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1.2） 证明见参考文献[1].定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1.4）证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N yy x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。
所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。
为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。
一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为dxx d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),(， 即dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到：定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N ex ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(1)(μ.类似地定理2.2 微分方程（1.1）具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M ey ⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(1)(μ.例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解. 解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ. 方程两边同乘以⎰=dxx p e x )()(μ得 ⎰dxx p e )(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dx x p ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d ds s p dx x p )()()(0=, 故通解为⎰⎰-⎰dx e x q ye ds s p dx x p )()()(=C , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(，（C 为任意常数）. 情况2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1μ, 于是得到:定理2.3 微分方程（1.1）具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1μ 只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x M y x N Cey x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1)()(μμμ, (C 为任意非零常数).例2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1μ=y x +-2故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得，)(y x +μ⎰=++-)(2y x d y x e=2)(1y x +.情况3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1, 于是得到:定理2.4 微分方程（1.1）具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1只是xy z = 的连续函数, 此时积分因子为dz x y x N y y x M y x xM y x yN Cexy z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(),(1)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.3 求0)3(23=-+dy y x x ydx 的积分因子. 解: 因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1=xy 3-， 故方程具有形如)(xy μ的积分因子, 取1=C 得 )(xy μ⎰=-)(3xy d xy e=3)(1xy -. 情况 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如)(n m y x ±μ的积分因子, 令n m y x z ±=, 则)(n m y x ±μ)(z μ=. 由(1.4)得dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N yy x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111μ, 于是得到定理2.5 微分方程（1.1）具有形如)(n m y x ±μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂--x y x N yy x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111μ只是nm y x z ±=的连续函数,此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m n m Ce y x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂--),(),(),(),(111)()(μμμ, (C 为任意非零常数).类似地, 我们有定理2.6 微分方程（1.1）具有形如)(l k y x μ的积分因子的充要条件为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111只是lk y x z =的连续函数, 此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k l k Ce y x z ⎰==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂---),(),(),(),(111)()(μμ, (C 为任意非零常数).例2.4 求 0)(2223=-+dy xy x dx y 的积分因子. 解: 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111， =])2(2[4522y l k kx y x xy l k +--, 易知, 欲使上式仅是lky x z =的函数, 只须22)2(245yl k kx xy +--等于常数即可. 为此, 令 42=k , 52=+l k , 得 2=k , 1=l . 此时 22)2(245y l k kx xy +--=-1. 取1=C 得yx ey x y xd y x 2)(1121)(22=⎰=-μ.三、一般理论定理 3.1 如果),(y x μ是微分方程(1.1)的积分因子, (1.1)乘以),(y x μ后得到(1.3). 设(1.3)的左端为),(y x dU , 则)),((),(y x U y x Φμ仍是(1.1)的积分因子. 其中, )(•Φ是任何可微函数.定理 3.2 在(1.1)中, 若),(y x M 和),(y x N 在长方形区域Q 上连续,且),(y x N 在Q 上处处不为零. 对于(1.1)的任何两个在Q 上处处连续且恒不为零的积分因子),(1y x μ, ),(2y x μ(从而),(1y x μ, ),(2y x μ在Q 上不变号), 设]),(),()[,(),(11dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ]),(),()[,(),(22dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ.则在Q 任一点),(y x , 可定出一邻域, 在此邻域, ),(),(12y x y x μμ只是),(1y x U 的函数.上述两定理的证明可参见参考文献[3].注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 设),(y x μ是(1.1)的积分因子, (1.3)的左端为),(y x dU , 则(1.1)的积分因子通式为)),((),(y x U y x Φμ. 其中, )(•Φ是任何可微函数.例3.1 求 0)73()35(223=-+-dy xy x dx y xy 的积分因子及通解. 解: 重新组合: )35(2dy x xydx +0)73(23=+-dy xy dx y , 对于前一个括号可求得一个积分因子yx 211=μ, 乘之得dy ydx x 35+ ][ln 35y x d =. 故前一个括号可取积分因子通式为yx 21)(351y x Φ.同样可得后一个括号的积分因子通式为31xy)(732y x Φ. 下面求出1Φ, 2Φ, 使得yx 21)(351y x Φ=31xy)(732y x Φ. 设 αs s =Φ)(1, βs s =Φ)(2, 即有yx 21α)(35y x =31xyβ)(73y x , 于是得 ⎩⎨⎧-=--=-37131325βαβα, 解得21=α, 21=β. 从而即得原微分方程的一个积分因子为2121y x , 用2121y x 乘以方程的两边可求得通积分为 C y x y x =-27232325, (C 为任意常数).。