全微分方程
全微分方程的通解
全微分方程的通解引言全微分方程是微积分的一个重要分支，对于描述自然界中的各种现象具有重要的应用价值。
全微分方程的通解是指能够满足给定微分方程所有解的最一般的解。
本文将介绍全微分方程的定义、求解方法、以及应用领域。
一、全微分方程的定义全微分方程是指一个方程，其中未知函数的每个导数都作为独立变量和未知函数的函数给出。
一般形式可表示为：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0其中，M(x,y)和N(x,y)是关于x和y的已知函数，dx和dy是独立变量。
二、全微分方程的求解方法全微分方程的求解方法主要包括可分离变量法、线性方程法、恰当方程法等。
2.1 可分离变量法可分离变量法是全微分方程求解的一种常用方法。
该方法的基本思想是将方程分离成x和y的函数相乘的形式，然后对两边同时积分。
求解步骤如下： 1. 将方程写成M(x)dx=−N(y)dy的形式。
2. 对两边同时积分，得到∫M(x)dx=−∫N(y)dy。
3. 对两边进行求积分，得到方程的解。
2.2 线性方程法线性方程法适用于形如y′+P(x)y=Q(x)的一阶线性微分方程。
该方法的基本思想是利用积分因子将方程化为恰当方程，从而求得解析解。
求解步骤如下： 1. 将方程写成标准形式y′+P(x)y=Q(x)。
2. 确定积分因子I(x)。
3. 将方程两边同乘以积分因子I(x)，得到I(x)y′+I(x)P(x)y=I(x)Q(x)。
4. 将左侧视为恰当方程，利用恰当方程的求解方法求解。
2.3 恰当方程法恰当方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的全微分方程。
该方法的基本思想是找出一个函数u(x,y)，使得M(x,y)dx+N(x,y)dy=∂u/∂xdx+∂u/∂ydy。
求解步骤如下： 1. 确定函数u(x,y)。
2. 对u(x,y)求偏导数，得到∂u/∂x和∂u/∂y。
3. 求得∂u/∂xdx+∂u/∂ydy。
4. 比较方程左右两边，得到新的方程。
高数第十二章全微分方程
解 分项组合
( y d x x d y ) x y ( y d x x d y ) 0
即 d(xy)x2y2(dxdy)0 xy
d(xy) dx dy ( )0
x2y2 x y 积 分 得 x 1yln|x|ln|y|C1 或
x
1
Ce xy
y
15
第六节
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
P y
6xy
3 y2
Q x
所 以 方 程 是 全 微 分 方 程 .
u (x ,y )x (5 x 4 3 x y 2 y 3 )d x yy 2 d y
0
0
x53x2y2xy31y3
2
3
7
所 以 原 方 程 的 通 解 为
x53x2y2xy31y3C
2
3
另 解 设 u(x,y)满 足
u 5 x 4 3 x y 2 y 3 , u 3 x 2y 3 x y 2 y 2
5
结 论 :如 果 方 程
P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y 0 ( 1 )
的 左 端 是 函 数 u (x ,y ) 的 全 微 分 ,则
u(x, y)C
就 是 该 微 分 方 程 的 隐 式 通 解 . 其 中 C 为 任 意 常 数 .
u(x,y)的求法
x
y
u (x ,y ) x 0P (x ,y )d x y 0 Q (x 0 ,y )dy
例如对于方程 xd y xd 0 y ,
xdxydyd(1(x2y2)), 2
所以方程是全微分方程.
全微分方程的判别
P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y 0 是 全 微 分 方 程
1.4全微分方程
M (s, y)ds
x0
y0 N (x0, s)ds
所有与 F(x, y)相差一个常数的函数都满足
dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
( x, y)
F(x, y) M (x, y)dx N (x, y)dy ( x0 , y0 )
3.全微分方程的积分
当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
y
x
故该方程不是全微分方程,对该方程两边
同时乘以 x后得:
(2xy 4x3)dx x2dy 0
(2xy 4x3)dx x2dy 0
由于 (2xy 4x2 ) 2x x2
y
x
利用凑微分的方法可得通解为:
x2y x4 C 如果有函数 u(x, y) 使方程
x
F(x, y) M (s, y)ds ( y) x0
F (x, y) y
N(x, y) N(x0, y) '( y)
令
y
( y) y0 N (x0, s)ds
则找到一个满足 dF(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy的函数
x
y
F(x, y)
x
y
计算 F(x, y) 的二阶混合偏导数:
2F (x, y) M (x, y) , 2F (x, y) N (x, y)
yx
y
xy
x
由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,
从而有 2F (x, y) 2F(x, y)
yx
xy
故 M (x, y) N (x, y) 成立。
原方程的通解: x3 x4 xy y C 34
全微分方程——精选推荐
§7.11 全微分方程一、定义一阶微分方程写成P x y dx Q x y dy (,)(,)+=0 ❶ 形式后，如果它的左端恰好是某一函数u u x y =(,)的全微分，即 du P x y dx Q x y dy =+(,)(,)则方程❶就叫做全微分方程。
二、全微分方程的求解设方程❶是一个全微分方程，则存在二元函数u u x y =(,)，使得du P x y dx Q x y dy =+(,)(,)则 ∂∂∂∂u x P x y u yQ x y ==(,),(,) 方程❶可写成 d u x y (,)=0 ❷ 如果y x =ϕ()是❶的解，那么这个解也满足方程❷，故d u x x [,()]ϕ≡0因此 u x x C [,()]ϕ=这表明，❶的解y x =ϕ()是由方程u x y C (,)=所确定的隐函数。
反过来，若方程u x y C (,)=确定了一个可微分的隐函数yx =ϕ()， 则 u x x C [,()]ϕ≡两端对x 求导得∂∂∂∂u x u y dy dx+⋅=0 或 ∂∂∂∂u x dx u ydy +=0 即 P x y dx Q x y dy (,)(,)+=0这表明，由方程u x y C (,)=所确定的隐函数是方程❶的解。
综合上述两点， 我们有结论全微分方程❶的解是由C y x u =),(所确定的隐函数，而由C y x u =),(所确定的隐函数一定是方程❶的解。
因此，若方程❶的左端是函数u x y (,)的全微分，那么它的通解为u x y C (,)=其中C 是任意常数。
三、方程❶是全微分方程的条件若P x y (,)，Q x y (,)在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，则方程❶成为全微分方程的充要条件为∂∂P Q = ❸ 在G 或 【例1所以这是全微分方程，有u x y x xy y dx y dy x y(,)()=+-+⎰⎰04232053=+-+x x y xy y 522333213 于是，方程的通解为x x y xy y C 522333213+-+= 五、积分因子 当条件∂∂∂∂P y Q x=不能满足时，方程❶ P x y dx Q x y dy (,)(,)+=0就不是全微分方程。
如何求解全微分方程
如何求解全微分方程 全微分方程是微分方程的一种特殊形式，它能够描述函数或变量之间的变化关系。
对于求解全微分方程，需要进行一系列的数学推导和计算，以找到函数的解析表达式或近似解。
本文将以详细的步骤介绍如何求解全微分方程，从基本概念的解释开始，逐步推导，并给出具体的解题方法。
一、全微分的概念及性质:1. 全微分的定义: 全微分是函数的一阶微分的按照各自变量对其他自变量的偏导数的线性组合。
对于具有两个自变量的函数f(x,y)，全微分df可以表示为: df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
2. 全微分的性质:- 全微分是函数的线性逼近。
- 全微分是函数变化的最小量。
- 全微分可以用于近似计算。
二、全微分方程的定义与求解方法:1. 全微分方程的定义: 全微分方程是形如df = Mdx + Ndy的方程，其中M和N是x 和y的某一函数关系的偏导数。
2. 求解全微分方程的方法:(1) 通过分离变量的方法: a. 将全微分方程中的Mdx和Ndy分别移到方程的一边，并进行整理。
b. 对于得到的形式为df = g(x)dx + h(y)dy的方程，即可以通过对g(x)和h(y)分别积分，找到f的表达式。
c. 检验所得方程，以确保其满足全微分方程。
(2) 通过恰当的积分因子法: a. 通过观察方程中系数M和N的形式，找到适当的积分因子μ。
b. 对全微分方程乘以积分因子μ，得到经过变换的方程μdf = μMdx + μNdy。
c. 再次使用分离变量的方法，将得到的新方程分离变量并进行整理。
d. 对新方程进行积分，找到f的表达式。
e. 检验所得方程，以确保其满足全微分方程。
三、举例求解全微分方程:以下通过例题详细示范求解全微分方程的步骤: 例题：求解方程(3x^2 + 4y^2)dx + (2xy + 3x^2y)dy = 0。
1. 使用分离变量的方法: a. 移项得到(3x^2 + 4y^2)dx = -(2xy + 3x^2y)dy。
全微分方程及积分因子
1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ¶¶+¶¶=如果我们恰好碰见了方程0),(),(=¶¶+¶¶dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程?(2) 若(1)是全微分方程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ¶¶=¶¶)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ¶¶+¶¶=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =¶¶),(y x N y U =¶¶从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ¶¶¶¶¶¶,22y x U x y U ¶¶¶=¶¶¶故.),(),(xy x N y y x M ¶¶=¶¶yx U y N x y U y M ¶¶¶=¶¶¶¶¶=¶¶22,“充分性”，xy x N y y x M ¶¶=¶¶),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满足)5(),,(y x M x U =¶¶)6(),,(y x N yU =¶¶ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这里y y j =¶¶y U 因此ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(无关的右端与下面证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò¶¶-¶¶dx y x M y N x ]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =¶¶即同时满足使下面选择),6(),(U y j ò+¶¶dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M x y x N yM x N ¶¶-¶¶=.0º积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò¶¶-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò¶¶-+(8)。
全微分的概念与计算
全微分基本公式是dz=z'(x)dx+z'(y)dy。
如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。
全微分定义
全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。
但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。
全微分方程
• 3.3.1 全微分方程 微分形式的一阶微分方程可以写成
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 (3.3.1)
如果上式左端恰是某个二元函数的全微分,即
P(x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
du(
x,
y)
u
dx
u
(3.3.2) dy
x y
则称方程（3.3.1）为全微分方程或者恰当方程。函数
在判断微分方程是全微分方程以后， 也可以采用所谓“分项组合”的方法 来求解。先把那些本身构成全微分的 项分出，再把剩下的项凑成全微分。 这样需要熟记一些简单二元函数的全 微分，如
ydx xdy d (xy)
ydx xdy x
y2
d
y
ydx x2
P(x, y)dx g y
(3.3.11)
的任意可微函数。为了使u
满足（3.3.4），应该有
u x P(x, y)dx g' y Q(x, y), (3.3.12)
y y x0
由参变量积分的性质和条件（3.3.5），
上式即是
x Q(x, y) dx g' y Q(x, y),
现在有两个基本问题：
1 判断微分方程（3.3.1）是全微分方程？
2 如果方程（3.3.1）是全微分方程，如何 求得原函数？
为了回答上述问题，首先查看当（3.3.1）
是全微分方程时，函数应该具备什么性
质？从方程（3.3.2）知应有
u P(x, y) x
(3.3.3)
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1 dx 1+ x
dx + C ],
x x 通解为 y + xy + + = C. 3 4
dy x2 + x3 + y 求微分方程 = − 的通解. dx 1+ x
2 3 ( x + x + y )dx + (1 + x )dy = 0, 解2 整理得 ∂P ∂Q Q =1= , ∴ 是全微分方程 . ∂y ∂x
将方程左端重新组合,有
d ( x ) + x − yd ( x − y ) = 0,
2 2 2
2 2 原方程的通解为 x + ( x − y ) = C . 3
2
3 2
3. 设 f ( x )在( −∞ ,+∞ )内可微， f (0 ) = 0, L为 xoy 面内 任意闭曲线， ∫ 2 xyf ( x )dx + [ f ( x ) − x ]dy = 0成立，
2 x2
− 2( x 2 + 1)
4、已知 f(0)=1/2,试确定 f ( x ) , 使 [e x + f ( x )] ydx + f ( x )dy = 0 为全微分方程, 并求此全微分方程的通解.
解：P = [e + f ( x )] y
x
Q 是全微分方程
f ( x) = e
∫ dx
x
x ′ ⇒ f ( x) = f ( x) + e
1.观察法: 凭观察凑微分得到 µ ( x , y ) 常见的全微分表达式
x2 + y2 xdx + ydy = d 2
xdy − ydx y d arctan = x x2 + y2
xdy − ydx y = d 2 x x xdy + ydx = d (ln xy ) xy
2 3
∂u 2 3 = x + x + y, D 不定积分法: Q ∂x 3 4 x x 2 3 ∴ ∫ ( x + x + y )dx = + + xy + C ( y ), 3 4 ∂u ∂u ∴ = x + C ′( y ), 又 = 1 + x, ∂y ∂y
∴ x + C ′( y ) = 1 + x , C ′( y ) = 1,
( 2) ( xdy + ydx )( y + 1) + x y dy = 0
1 1 解： (1) ⋅ ( x + y )(dx − dy ) = ⋅ (dx + dy ) x+ y x+ y
2 2
1 d ( x − y) − d ( x + y) = 0 x+ y
1 x 2 y 2 ( y + 1)
2 1 x 1 x = d ( − ) + d ( 3 ) = d ( − + 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 − + 3 = C . y y
2
2x y2 − 3 x2 例2 求方程 3 dx + dy = 0的通解. 4 y y
解
∂P 6 x ∂Q =− 4 = , y ∂x ∂y
2 2 4 L
求 f ( x ).
解：P = 2 xyf ( x 2 ), Q = f ( x 2 ) − x 4
∂ Q ∂P Q = ∂x ∂y
u
2 xf ′( x 2 ) − 4 x 3 = 2 xf ( x 2 )
∴ f ′( x 2 ) − f ( x 2 ) − 2 x 2 = 0 ∴ f ′( u ) − f ( u ) − 2 u = 0 f ( u ) = ce − 2u − 2 ⇒ f ( x ) = ce
∂Q ∂P ∴ = ∂x ∂y
x
Q = f ( x)
[c + ∫ e ⋅ e
∫ −1dx
x x −x = e [ c + e ⋅ e dx ] dx ] ∫
1 = e [c + x ] = e [ + x ] 2 x e x x x 1 微分方程变为 : (e + + xe ) ydx + e ( + x )dy = 0 2 2 1 x 1 x x x x ⇒ (e ydx + xe ydx + e xdy ) + e ydx + e dy = 0 2 2
À应用曲线积分与路径无关. Q ∂P = ∂Q
∂y ∂x
通解为 u( x , y ) = P ( x , y )d x + Q( x , y )dy 0 ∫x ∫y
0 0
x
y
= ∫y Q( x , y )dy + ∫x P ( x , y0 )d x , u( x , y ) = C ;
0 0
y
x
Á 用直接凑全微分的方法.
1 y ( xdy − ydx ) = d ( ) = 0 2 x x
二、积分因子法
定义: µ ( x , y ) ≠ 0 连续可微函数，使方程
µ( x , y ) P ( x , y )dx + µ( x , y )Q ( x , y )dy = 0 成为全
微分方程.则称 µ ( x , y ) 为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子?
可选用的积分因子有 1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x+ y x x y x + y y x 例 4 求微分方程
1 ∂P ∂Q ( − ) Q ∂ y ∂x
( 3 xy + y 2 )dx + ( x 2 + xy )dy = 0的通解.
解 观察知 µ( x ) = x 则原方程为
d [ x − y − ln( x + y )] = 0 ⇒ x − y − ln( x + y ) = c
( 2) ⋅ [( xdy + ydx )( y + 1) + x 2 y 2 dy ] = 0
1 xdy + ydx 1 + dy = 0 ⇒ d ( − ) + d ln( y + 1) = 0 2 2 xy y+1 x y
∂P ∂Q 全微分方程 ⇔ = . ∂y ∂x
1 xdx + ydy = 0 , 例如 Q u( x , y ) = ( x 2 + y 2 ),
2.解法:
∂Q ∂ P Q du( x , y ) = P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy ⇔ = ∂x ∂y P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = 0 全微分方程
4
4
4
x 3 2 2 y − x y + = C. 原方程的通解为 4 2 4
4
例1 求方程( x 3 − 3 xy 2 )dx + ( y 3 − 3 x 2 y )dy = 0 的通解. 解
∂P ∂Q = −6 xy = , 是全微分方程, ∂y ∂x
( x 3 − 3 xy 2 )dx + ( y 3 − 3 x 2 y )dy = x dx + y dy − 3 xy dx − 3 x ydy
u( x , y ) = ∫
y
是全微分方程,
x
1 y
1
dy + ∫ 2
2x y
0
dx 3
1 x2 = 1− + 3 y y
1 x 原方程的通解为 − + 3 = C . y y
2
xdy − ydx = 0
P = −y Q= x 1 ( xdy − ydx ) = 0 2 x
∂Q ∂ P ≠ ∂x ∂y
§13.4 全微分方程
一、全微分方程
1.定义: 若一阶微分方程
P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = 0
的左端是某函数的全微分
du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy
全微分方程 或恰当方程
2 ∴ du( x , y ) = xdx + ydy , 所以是全微分方程.
x
1 x 1 x ⇒ (e ydx + xe ydx + e xdy ) + e ydx + e dy = 0 2 2 1 x x ⇒ d (e xy ) + d ( e y ) = 0 2 1 x x ∴ e xy + e y = c为方程的解。 2
x x x
5、已知 f n′( x ) = f n ( x ) + x
xdx + ydy 1 2 2 = + d ln( x y ) 2 2 x + y 2 xdy − ydx x + y 1 = d ln 2 2 x − y 2 x− y
例 3 利用观察法求出下列各 方程积分因子，并求通 解 .
(1) ( x + y )( dx − dy ) = dx + dy
例1 求方程( x 3 − 3 xy 2 )dx + ( y 3 − 3 x 2 y )dy = 0 的通解. 解
∂P ∂Q = −6 xy = , 是全微分方程, ∂y ∂x
u( x , y ) = ∫0 ( x − 3 xy )d x + ∫0 y 3 dy
3 2
x
y
x 3 2 2 y = ( − x y + ), 4 2 4
B 用曲线积分法: