常微分方程积分因子法的求解 毕业论文
常微分方程积分因子问题综述 毕业论文
目录第一章 绪论 (2)第二章 积分因子问题综述..................................................................3 1积分因子的定义..............................................................................3 2积分因子的存在条件........................................................................4 3积分因子的形式 (5)3.1一般教材给出的积分因子形式及其存在的充要条件 (6)3.2其它特殊形式的积分因子 (7)3.3一般结论：方程有特殊形式的积分因子(),x y μϕ=Φ⎡⎤⎣⎦的充要条件...9 4求解积分因子的一般方法 (10)4.1观察法 (10)4.2分组法 (11)4.3一种特殊积分因子的求法.........................................................13 5 四种常见类型的一阶微分方程的积分因子解法 (15)5.1变量分离方程 (15)5.2齐次方程 (15)5.3一阶线性方程 (17)5.4伯努利方程...........................................................................17 参考文献 ....................................................................................18 致 谢 (19)常微分方程积分因子问题综述摘要：采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段。
本文首先介绍了积分因子的定义和存在条件等基本概念，使积分因子与求解微分方程之间建立了桥梁关系，也是引入积分因子的原因所在。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dx dy变为dydx 的形式 ................................................................... 18 6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
微分方程的积分因子求解法
常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1.2） 证明见参考文献[1].定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xy x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N yy x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。
积分因子法在求解常微分方程中的应用
一
、
（ ４ ） 齐 次 方 程 老＝ ｇ （ ÷ ） ．
（ １ ． １ ． １ ）
１ ． 如果微分形式 的一 阶方程 Ｍ（ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ＋Ⅳ（ ， ｙ ） ｄ ｙ＝０
的左端恰好是一个二元 函数 Ｕ （ ｘ ， Ｙ ）的全微分 ， 即
ｄ Ｕ （ ｘ ， Ｙ ）＝Ｍ（ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ＋Ⅳ（ ， ） ｄ ｙ ， （ １ ． １ ． ２ ） 得
［ Ｍ１ （ ） ⅣＩ （ ｙ ） ＋Ｍ２ （ ） Ｎ ２ （ ｙ ） ｄ ｙ ］＝０ ，
＋ 。 ，
则称式 （ １ ． １ ． １ ）是全微分方 程 ， 而函数 ｕ （ ， Ｙ ）称为微 分式 （ １ ． １ ． ２ ）的原函数 ， 方程 （ １ ． １ ． １ ）的通解 为 （ ， Ｙ ）＝ Ｃ （ ｃ为任意常数 ） ． 判别式 （ １ ． １ ． １ ）为全微分方 程 的充 要条
件 是
丽
ｆ Ｉ 一 １ Ｊ
（ 【 １ Ｊ ． 一 ２ ． ２ ）
只与 有关 ， 且此 时有
ｕ ＝ｇ （ ） 代入原方程 ， 有 ｕ＋ ｄ ｕ＝ ｇ （ ｕ ） 即 ｄ
Ⅱ
，
～
ｕ．
Ⅱ
（ ）：。 Ｊ （ 等 一
．
（ １ ． ２ ． ３ ）
分离变量得＝ ７
而
掣 … ，
丽
（ 一 ） ：。 一
．
件为 ｄ ： ｄ ； 求式 （ １ ． １ ． １ ）为 全 微 分 方 程 时 的 原 函数
Ｕ （ ｘ ， ， ， ）有 如 下 公 式 ：
Ｕ （ ｘ ， Ｙ ） ＝Ｊ Ｍ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ ＋ Ｊ Ｎ （ ｘ ｏ ～ Ｙ ｄ ｙ ．
积分因子在一阶常微分方程中的应用
一阶常微分方程中积分因子求解以及组合法在通解的求解过程中的应用摘 要 主要探讨在一般的形式下积分因子在计算技巧，并探究组合法在解题过称中的所受的限制，从而比较系统的提出解答一阶常微分方程的一般解法，并且举例说明。
关键词 一阶常微分方程 积分因子 组合法 恰当方程 通解解答一般的常微分方程的核心是解决方程的特性，即是尽可能的将方程化为恰当方程；这对于初学者而言，往往在其中的转换过程中容易将组合法的积分内容判断错误，从而导致结果的不正确性；本文将着重从上述问题入手，对存在的问题找到最为简单快捷的办法。
为了方便我们将0),(),(M =+dy y x N dx y x 定义为标准型；有时也令),(),,(y x N N y x M M ==；我们将积分因子分为两类：1）单变量型所谓单变量型，及时积分因子只是关于的一元函数或关于只是关于y x y x u ),(，这是简单一阶微分方程中常用的方法之一，并且利用恰当方程的充要条件很容易推导可以得到u 的表达式：由： xuN y uM ∂∂=∂∂)()( 式子可得：u du dx N x N y M x u =∂∂-∂∂）（：的函数，则由上式可得只是关于若是在令)(x g Nx N y M =∂∂-∂∂，则⎰=dx x g e u )( 同理，若u 只是关于y 的一元函数，则由同样的变换可以得到下式：u du dy M x N y M =∂∂-∂∂-，令)(y g Mx N y M =∂∂-∂∂-，则⎰=dy y g e u )(，在由组合法，很容易可以得到满足方程的通解。
2）多变量型关于多变量型，我们又可以将积分因子分为))()((y g x f g +型 并且有如下定理： 若方程 （1）中),(),,(y x N y x M 在D 内连续且 有连续的偏导数x N y M ∂∂∂∂,，并且满足xN y M ∂∂≠∂∂，D y x ∈),(，则方程（1）存在型如))()((y g x f u +的积分因子的充要条件是 ))()((y g x f dydg M dx df N x N y M +Φ=-∂∂-∂∂- （2） 并且积分因子),(y x u 由式子：⎰=Φdz z e y x u )(),(决定，其中)()(y g x f z +=；证明： 先证明必要性，设),(y x u =)(z ϕ，其中)()(y g x f z +=，是方程（1）的积分因子， 则由D y x x N y M ∈∂∂=∂∂),(,ϕϕ，即得ϕϕϕϕxN N dx df dz d y M M dy dg dz d ∂∂+=∂∂+，从而整理得到：ϕϕd dz dy dg M dx df N x N y M =-∂∂-∂∂，显然可得dydg M dx df N x N y M -∂∂-∂∂即为只是关于z 的一元函数， 并且积分因子),(y x u 由式子：⎰=Φdz z e y x u )(),(决定，其中)()(y g x f z +=；在证充分性： 若)(z dz dydg M dx df N x N y M Φ=-∂∂-∂∂，)()(y g x f z +=，令⎰=Φdz z e y x u )(),(，则有： ,)()()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+Φ⎰=∂∂⎰+∂∂Φ⎰=∂∂+∂∂=∂∂ΦΦΦy M dy dg z e y M e M y z z e u y M M y u y uM dz z dz z dz z y uM x N dx dg z e x N e N x z z e u x N N x u x uN dz z dz z dz z ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+Φ⎰=∂∂⎰+∂∂Φ⎰=∂∂+∂∂=∂∂ΦΦΦ)()()()()()()(所以（1）式微全微分方程，从而（3）微积分因子。
毕业论文--关于一阶线性微分方程积分因子的求法
关于一阶线性微分方程积分因子的求法摘要：在学习微分方程过程中,总会遇到一些微分方程无从下手求解,但只要它转化为恰当方程求解就变得简单,但转化时需要求解出积分因子,因此找出积分因子对解题具有重要意义.从课本定义理论出发,归纳总结了有关积分因子的一些知识,详细讨论了它的一般求解方法;并收集资料归纳出几种特殊类型微分方程积分因子的求法.文章介绍一些特定条件下微分方程如何直接、有效的计算积分因子,从而高效的求解的方法.同时简要说明了,在求解此类型题目时的心得体会.关键词：微分方程;恰当方程;积分因子1. 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一,其主要研究的问题是对常微分方程的求解.在常微分方程理论中,一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础,一阶常微分方程一般的有两种方法求解：一是以可变量分离方程为基础,通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程;另外就是以恰当微分方程为基础,采取积分因子法把一阶微分方程转化为恰当微分方程求解.对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式.但是,就如大家都知道的,并不是所有的一阶微分方程的都是恰当微分方程.对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢,这就需要用到这里我们讨论的积分因子了.而这种利用积分因子将方程化为恰当微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统的研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的.通过相关资料的查阅及分析,现有的教材对一阶微分方程积分因子的求法都仅局限于一些简单的情况,介绍的求解方法都比较零散,对积分因子的求法没有一个系统全面的总结.然而寻找积分因子不是容易的事情,一般的解题方法只介绍了依据个人经验或者通过观察来寻找积分因子.但本文我通过了解积分因子的定义、讨论了积分因子存在的充要条件、判断恰当微分方程充要条件以及求解积分因子的几种方法和给出了若干特殊类型的积分因子的求法,来缩短我们求解一阶线性微分方程的时间.文章最后我通过实例来说明应用方法,文章虽给出了一些以特殊类型的积分因子求解线性微分方程的方法,但是依然存在许多用以下方法难以解决的问题,还需要继续努力探索.1.1恰当微分方程的定义[1]若方程),(),(=+dyyxNdxyxM的左端恰好是某个二元函数),(yxu的全微分,则称上式式为恰当微分方程.1.2判断恰当微分方程的充要条件若方程),(),(=+dyyxNdxyxM分别对xy,求偏导数,以及xNyM∂∂∂∂,的连续性可得到x Ny M ∂∂=∂∂是0),(),(=+dy y x N dx y x M 为恰当微分方程的充要条件.1.3积分因子的定义若对于一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy += （1）其中(),M x y ,(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数,且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μμ=≠,使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=,为一恰当方程,即存在函数V ,使Mdx Ndy dV μμ+=．则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．显然,此时c y x V =),(是上式的通解,因而也就是方程（1）的通解．1.4积分因子存在的充要条件先假设对于方程（1）,存在这样的连续可微函数(),0x y μμ=≠使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+= （2）方程（2）可变为()()(),,,0x y Mx y d x N x y d y μ+=⎡⎤⎣⎦由于(),0x y μ≠,显然（1）与（2）同解,可得函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件为()()=M N y x μμ∂∂∂∂即M ()M N Nx y y x μμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂． （3）但方程（3）是个以μ为未知数的一阶线性偏微分方程,要想通过解方程（3）来求积分因子通常很困难.但在若干特殊情形中，求（3）的一个特解还是容易的，所以（3）也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径.2 求解积分因子的几种方法[2]2.1 观察法求积分因子法对于一些简单的微分方程,用观察就可以得出积分因子． 例1 (1)0ydx xdy -= 有五种不同形式的积分因子21x ,21y ,1xy ,221x y +,221x y -;(2)0ydx xdy +=的积分因子是：1()n xy ,作用到方程后得到的全微分方程是：]))(1(1[)(1---=+n n xy n d xy ydx xdy ;(3)0ydy xdx +=的积分因子是：221()n x y +．要使用观察法求出积分因子,我们就要熟记一些常见简单二元函数的全微分,具体类型如下：()ydx xdy d xy +=,2()ydx xdy xd y y -=,2()ydx xdy y d x x -+=,(ln )ydx xdy x d xy y -=, 22(arctan )ydx xdy x d x y y -=+,221(ln )2ydx xdy x y d x y x y --=-+．熟记、理解、掌握并利用几种简单微分方程的积分因子,便可以提高我们求解有关微分方程的做题效率．例2 求解微分方程：(1)(1)0xy ydx xy xdy ++-=． 解 将原方程各项重新组合后可以写成()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-=根据上面结论,1()n xy 是ydx xdy +的积分因子,而1xy 是ydx xdy -的积分因子, 从而可得原方程的积分因子为 21()xy ,于是有20()ydx xdy ydx xdyxy xy +-+=即 1()(ln )0xd d xy y -+=两边积分得原方程解为1ln xcxy y -+=．总结：观察法只适用于求解简单的微分方程的积分因子,有的可以直接看出,有的则需要将原方程通过重新组合,再运用观察法得出．2.2 分组法求积分因子法对于一些复杂的方程,往往不容易直接求出它们的积分因子,这是可以把它的左边分组,利用分组求解积分因子,然后再求整体的的积分因子． 例如分成两组：()()11220M dx N dy M dx N dy +++=(4)可分别求每个的积分因子1μ和2μ,也就是如果有1u ,2u 使：11111M dx N dy du μμ+=,22222M dx N dy du μμ+=．于是借助1μ,2μ常可求得0Mdx Ndy +=得积分因子．2.2.1 定理 如果μ是0Mdx Ndy +=的一个积分因子,且Mdx Ndy du μμ+=,则()u μϕ也是0Mdx Ndy +=的积分因子．此处()u ϕ是u 的任一连续函数．而()()()()()()u Mdx u Ndy u Mdx Ndy u du d u μϕμϕϕμμϕφ+=+==,其中φ是ϕ的一个原函数．据此知,对任意的函数()u ϕ,()u ψ,()11u μϕ及()22u μψ都分别是（4）的第一组和第二组的积分因子．函数ϕ、ψ有着广泛选择的可能性,若能选择ϕ、ψ使：()()1122u u μμϕμψ==,则μ就既是(4)的第一组也是第二组的积分因子．因而也就是0Mdx Ndy +=的积分因子．例3 求解微分方程3222()0y d x x x y d y +-=．解 原方程可改写为02)2(223=+-dy x dy xy dx y前一组满足15()2M N N y x x ∂∂-=-∂∂,且仅与x 有关,故有积分因子52x-,则5533232222()0x y dx x xy dy d x y ----==因而有更一般的积分因子533221()x x y μϕ--=,而对于后一组,显然有积分因子21x ,则 ()()221220x dy d y x ==因而有更一般的积分因子221()y x μψ=,为了使21μμ=即5332221()()x x y y x ϕψ--=只需取13313313222()()x y x y y x ϕ----==,1()y y ψ=,如此可得原方程有积分因子 21x y μ=,且有()()223222212222ln ||0y dx xydy y y dx x xy dy dy d d y x y x y x ⎛⎫-⎡⎤+-=+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭积分上式即可得22ln ||y y c x -+=．此外原方程还有解x =0和y =0．注: 运用分组法求积分因子时有两个重要问题（1）关键在于对较复杂对称形式的的方程进行适当分组;（2）重难点在于适当选取()1φμ和()2ψμ,使得()()1122μφμμψμ=．2.2.2分项组合法组合原则定义 在全微分方程中,对于dy y g x f dx y g x f )()()()(2211+,若)()(2'1x f x f =,)()(1'2y g y g =则称)()(11y g x f 和)()(22y g x f 为全微分相关项;若dy y g x f x l dy y g x f x l )()()()()()(2211+满足上面关系,)()(11y g x f 和)()(22y g x f 也是微分相关项;而dx x f )(或dy y f )(为独立微分项.例4 求方程0)32(1432=-+dy y x ye dx y y 的通解.解 本例可用分项组合法求通解.求解过程如下：（1） 拆项 dy y x dy ye dx y dy y x ye dx y y y 4343321)32(122-+=-+（2） 组合 因dy ye y 22与dy 和y 相关,应单独为一项,4'33)1(--=y y ,1'=x ,所以3y dx 和dy y x43-为全微分相关项,应组合成一新项.（3） 将方程转换成分组全微分方程.因222y y de dy ye =,)(3343y xd dy y x y dx =-,所以原方程转化为0)()(3322=+=+y x e d y x d de y y .通解为C y xe y =+32.注： 分项组合法的关键在于组合,组合的原则为：（1）分项后,若存在只与dx 和x 相关的项,或只与dy 和y 相关的项,应为独立项,不与其它项组合.（2）所有微分相关项组合成一项. 3 微分方程中几种特殊类型的的积分因子[3]定理 方程()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如(),x y μμφ=⎡⎤⎣⎦的积分因子的充要条件为：()1,M N M N f x y y x x y φφφ-⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--=⎡⎤ ⎪⎪⎣⎦∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭．证明 因为()(),,0M x y dx N x y dy +=有积分因子的充要条件为M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭．令(),x y μμφ=⎡⎤⎣⎦,则有()d d M N NM d x d y y x μφμφμφφφ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭,即()1,d M N N M f x y y x x y μφφφμ-⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=--=⎡⎤ ⎪⎪⎣⎦∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭．并由此得出其积分因子为()(),f d x y e φφμ⎰=．根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件．3.1具有()x μμ=形式的积分因子[4]方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()x μμ=的充要条件为()M N y xx N ϕ∂∂-∂∂=,这里()x ϕ仅为x 的函数．于是积分因子为()x dxe ϕμ⎰=．例1 求()20y x dx xdy --=的积分因子．解 因为2M y x =-,N x =-,且1M y ∂=∂,1N x ∂=-∂,则2M Ny x N x ∂∂-∂∂=-, 于是积分因子为22dxx ex μ--⎰==．3.2 具有()y μμ=形式的积分因子方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()y μμ=的充要条件为()M Ny xy M ψ∂∂-∂∂=-,这里()f y 仅为y 的函数．于是积分因子为()y dye ψμ⎰=．例2 求()()cos sin sin cos 0y x x x dx y x x x dy -++=的积分因子．解 因为cos sin M y x x x =-,sin cos N y x x x =+,且1M Ny xM ∂∂-∂∂=-,于是积分因子为(),dyyx y e e μ⎰==．3.3 具有()x y μμ=±形式的积分因子[5]方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()x y μμ=±的充要条件为()()1M N M N f x y y x -⎛⎫∂∂-±=± ⎪∂∂⎝⎭．例3 求方程()()3223322223230x x y y y dx y xy x x ++-+++-=的积分因子．解 因为322323M x x y y y =++-, 322223N y xy x x =++-,且()12M N N M y x x y -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂+⎝⎭,只与x y +有关,于是有积分因子 ()()22,d x y x y x y ex y μ-++⎰==+．3.4 具有()22x y μμ=±形式的积分因子方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()22x y μμ=±的充要条件为 ()()122M N Nx My f x y y x -⎛⎫∂∂-±=± ⎪∂∂⎝⎭．例4 求方程()220x y y dx xdy ++-=的积分因子．解 因为22M x y y =++, N x =-,且()1221M N Nx My y x x y -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂+⎝⎭,于是积分因子为()22221221d xy x y ex y μ-++⎰==+．推广方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()x y αβμμ=+的充要条件是：()()111M N x N y M f x y y x αβαβαβ---⎛⎫∂∂--=+ ⎪∂∂⎝⎭．3.5 具有()x y αβμμ=形式的积分因子[6]方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()x y αβμμ=的充要条件为()11M N N M f x y x y y x x y αβαβαβ-⎛⎫⎛⎫∂∂--= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭．由此又可分为二种类型：()1 方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子()xy μμ=的充要条件为()11M N Nx My y x xy -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂⎝⎭; ()2 方程0Mdx Ndy +=具有特殊因子x yμμ⎛⎫= ⎪⎝⎭的充要条件为12M N M Ny y f y x x x x -⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例5 求方程()()22324430y x y dx xy x dy +++=的积分因子．解 设积分因子为p q x y ,于是有()()2232443p q p q x y y x y x y xy x y x ∂∂⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦∂∂,或写成()()()()121222414133p q p q p q p qq x y q x y p x y p x y +++++++=+++．上式对任意x 和y 都满足时,必须有()()2241q p +=+,()()4133q p +=+,解之得1p =,2q =．于是有积分因子2xy μ=．注： 此种类型中α,β的确定可用待定系数法．以上所讨论的是微分方程具有特殊因子的求法．而有些方程具有特殊结构,我们可根据其特殊结构求出其积分因子．3.6 特殊结构方程的积分因子[7]定理2 方程()()()()0M x N y dx P x Q y dy +=有积分因子：()()1N y P x μ=．定理3 如果0xM yN +≠,而M 和N 皆为m 次齐次函数,则方程0Mdx Ndy +=有积分因子：1xM yN μ=+．3.7变dx dy 为dy dx若微分方程为（或可转换为）),(),(y x g y x f dx dy = 当),(),(y x f y x g 较),(),(y x g y x f 简单（常常是约掉一些因子）时,可变dx dy为dy dx ,此时方程变为),(),(y x f y x g dy dx =经此变换后方程可能是前面所介绍的某类方程或可能变成某类方程.例6 求方程y x xy dx dy +=22的通解.解 令xy y x f 2),(=,y x y x g +=2),(,因此原方程不属于前面所介绍的各类方程,但x y x y x f y x g 212),(),(+=.故x y x dy dx 212+=,移项得x y x dy dx 212=-.方程属于伯努利方程,令2x Z =,dy dx x Z 2'=,方程变为1=-y z dy dz .解之得)(ln )(2C y y C dy e e Z x y dyy dy+=+⎰⎰==-.4 用积分因子法求非齐次线性微分方程的通解[8]一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy += （1）其中)(),(x Q x P 在考虑的区间上是x 的连续函数.若,0)(=x Q （1）变为y x P dx dy )(= （2）则（2）称为一阶齐次线性微分方程.若0)(≠x Q ,（2）称为一阶非齐次线性微分方程.一阶齐次线性微分方程可用分离变量法简单求解.下面介绍用积分因子法求解一阶非齐次线性微分方程.用积分因子法求解：把（1）改成如下的对称形式：dx x Q ydx x P dy )()(=- （3）一般而言[9],（3）不是恰当方程,但以因子⎰=-dx x P e x u )()(乘 （3）两侧,得到方程dx x Q e ydx x P e dy e dx x P dx x P dx x P )()()()()(⎰=⎰-⎰---亦即dx e x Q y e d dx x P dx x P ⎰=⎰--)()()()(,它是恰当方程.由此可直接积分,得到通解 C dx e x Q y e dx x P dx x P +⎰=⎰⎰--)()()( 其中C 是任意常数,这样就求出了方程(3)的通解))(()()(⎰+⎰⎰=-C dx e x Q e y dx x P dx x P (4) 5 结束语[10]综上所述,该文介绍了一阶微分方程积分因子的求解方法和一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法.掌握这几种方法,就能较容易的解出一些方程的积分因子,将大大提高解微分方程的效率和可操作性.对于文中讲述到的几种主要方法,其中观察法适合比较简单的微分方程积分因子的求解,分组法、解方程更适合于一些比较复杂的微分方程.因而,要想提高做题速度,在做题过程中要认真审题,通过对一些常见简单二元函数的全微分的熟记掌握,进而就能通过观察法求出简单微分方程的积分因子.所以要把握好各个题目的特点,然后选取一种合适的方法进行求解,当然,有时也可以多种方法混合使用,从而熟练掌握求解微分方程的方法．微分方程在各科学领域中有着广泛的应用,有些问题涉及到一阶微分方程求解,因而就涉及到积分因子的求法,因此,系统的研究一阶微分方程积分因子的求法对诸多领域所涉及的一阶微分方程的求解将有很大帮助.这样做可以大大缩短求解一阶微分方程所耗费的时间,使问题的处理可以更加便捷高效.参考文献：[1] 王高雄, 朱思铭，周之铭，王寿松，李艳会.常微分方程（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.[2] 石瑞青，闫晓红，郭红建等.常微分方程全程导学及习题全解[M].北京：中国时代经济出版社，2009.[3] 刘文武.两类微分方程的积分因子[J]. 黔南民族师范学院学报，2003，(06)．[4] 冯世强.西华师范大学学报（自然科学版），2011.[5] 丁同仁.常微分方程基础［M］.上海：上海科学技术出版社，2003.[6] 王金城.积分因子的探讨[J].科技教育创新报，2007年第20期．[7] 李君士．积分因子的求法[J]．九江师专学报：自然科学版，1989，8（2）：64-68[8] 王燕.关于一阶线性常微分方程求解的探讨.中国科教创新导刊,2010.[9] 邵丽梅.微分方程积分因子法及其应用.科技信息.2010[10]E.卡姆克. 常微分方程手册[M].科学出版社.1977.。
常微分方程毕业论文.
安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。
关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。
常微分方程积分因子法的求解
课题现代意义
在当代由电力网、城市交通网、自动运输 网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂 的工业系统、指令控制系统等提出大系统 的数学模型都是由常微分方程组描述的。
对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越 多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只 是初步的。
恰当微分方程
恰当微分方程可通过积分求出它的通解, 但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。 如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微 分方程，则求其通解将变得简单。
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
通过对常微分方程积分因子存在 性的讨论和研究，得出积分因子 的求解形式和一定的推广。 通过论文，可以对同学们今后的 学习达到一定的帮助。
论文主要内容
1 2 3
课题的历史发展 积分因子存在性
积分因子求解推广
课题历史意义
数学发展的历史告诉我们，数学分析是 数学的首要分支，而微分方程不但是数 学分析的心脏，它还是高等分析里大部 分思想和理论的根源。 常微分方程从它产生的那天起，就是研 究自然界变化规律、研究人类社会结构、 生态结构和工程技术问题的强有力工具。
为此本文寻求微分方程各类积分因子,化 微分方程为恰当方程求解，这样给解题带 来很大的方便 。
积分因子存在性
1
2
各种形式积分因子存在的充要 条件 具体列出几种常见类型的微分
方程的积分因子
积分因子求解及推广
1
2
3 4
积分因子求解及推广
对积分因子的求解方法进行了推 广，总结出几类特定方程积分因 子的固定求法，以便加深对微分 方程积分因子的认识和了解，熟 悉一阶微分方程求解方法。
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摘要微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。
它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。
所以我们必须能够求出它的解。
同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。
但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。
对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。
关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clearSo we must be able to find its solution.Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factorKeywords:Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential第1章绪论 (1)1.1 常微分方程 (1)1.2 恰当微分方程 (1)第2章积分因子的存在性 (2)2.1 各种形式积分因子存在的充要条件 (2)2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子 (5)第3章积分因子求法的推广 (7)3.1 满足条件()P Q PQf xy x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)3.2 方程1123422(3)36330m m mm x mx y xy dx y x y x y dy+-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (9)3.3 方程13()30m m mx m x y x dx x dy-⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (11)3.4 方程1(4)4450m m mm x mx y y dx x x y dy-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (12)参考文献 (15)致谢 (16)第1章绪论1.1 常微分方程数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。
人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。
它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的。
常微分方程的发展史大致可分为五个阶段：第一阶段是十七世纪前半期, 即它的萌芽阶段。
第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末, 即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段。
这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法, 把解表示为初等函数或初等函数的积分形式。
这个阶段可化为积分的方程的基本类型巳被研究明白, 如果精确解找不到就求近似解。
第三阶段是十九世纪上半期。
这个阶段数学分析的新概念（如极限、无穷小、连续函数、微分、积分等）和新方法，大大影响了微分方程理论的发展。
这是建立常徽分方程基础的阶段。
第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代，是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段。
第五阶段是20世纪30年代直至现在, 是常微分方程全面发展的阶段。
1.2 恰当微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。
如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。
为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。
第2章 积分因子的存在性2.1 各种形式积分因子存在的充要条件定义 对于一阶微分方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M 如果存在连续可微的函数0),(≠=y x u u ，使得0),(),(),(),(=+y x N y x u dx y x M y x u 为一恰当微分方程，即存在函数U ，使得dU Ndy uMdx =+，则称),(y x u 为方程的积分因子。
引理 函数),(y x u 为方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是dx uN d dy uM d )()(=。
积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件将形式各异。
下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。
结论1 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与x 有关的积分因子的充要条件是)(*1dx dN dy dM N -，且积分因子为⎰=))(exp(dx x u 。
结论2 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是)(*1dx dNdy dM M --，且积分因子为⎰=))(exp(dy x u 。
结论3 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(y x u +的积分因子的充要条件是)()(*1y x f dx dNdy dM M N +=--，且积分因子为⎰++=))()(exp(y x d y x u 。
证明 令u y x =+，则dy dudx du du du ==，假设)(y x u +为方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子，则由引理有充要条件dx uN d dy uM d )()(=，所以du duM N du du M du du N xy du M dx du N dx dN dy dM u *)()(*-=-=-=-，所以，du dx dN dy dM M N u du )(*1--=，当且仅当，)()(*1y x f dx dN dy dM M N +=--时可以解出u ，故方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(y x u +的积分因子的充要条件是)()(*1y x f dx dNdy dM M N +=--。
结论4 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(y x u -的积分因子的充要条件是)()(*1y x f dx dNdy dM M N -=--,且积分因子⎰--=)()(exp(y x d y x u 。
证明类似结论3的证明。
结论5 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(xy u 的积分因子的充要条件是)()(*1xy f dx dNdy dM Mx Ny =--,且积分因子⎰=)()(exp(xy d xy u 。
证明 v xy =，则dv dux dy dv dv du dy du dv du y dxdv dv du dx du ****====，，假设),(y x u 为方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子，则有充要条件dx uN d dy uM d )()(=，所以dv duMx Ny dv du Mx dv du Ny dy du M dx du N dx dN dy dM u *)(*)(-=-=-=-，所以，dv dx dN dy dM Mx Ny u du *)(*1--=，当且仅当)()(*1v f dx dN dy dM Mx Ny =--时,可以解出u ,故方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(xy u 的积分因子的充要条件是)()(*1xy f dx dNdy dM Mx Ny =--,且积分因子⎰=)()(exp(xy d xy u 。
结论6 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(ba y x u +的积分因子的充要条件是)()(*111b a b a y x f dx dNdy dM Mby Nax +=----，且有积分因子⎰++=))()(exp(b a b a y x d y x u 。
证明 令u y x b a =+，则du du by dy du du du dy du du du ax dx du du du dx du b a 11**--====，，假设)(b a y x u +是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子，则由引理有充要条件：dx uN d dy uM d )()(=，所以，du duMby Nax dy du M dx du N dx dN dy dM u b a )()(*11---=-=-，从而，)()(*)(111u f dx dN dy dM Mby Nax u du b a =--=---时，可以解出u ，得方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有形如)(b a y x u +的积分因子的充要条件是)()(*111b a b a y x f dx dNdy dM Mby Nax +=----，即可得积分因子⎰++=))()(exp(b a b a y x d y x u 。