恰当微分
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。
本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可别离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。
关键词：变量别离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量别离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量别离 2.1 变量可别离方程形如()()dyf xg y dx= 〔1.1〕 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = 〔1.2〕 的方程，称为变量可别离方程。
常微分方程§2.3恰当方程与积分因子
在某些复杂系统中，恰当方程和积分因子可以用来描述系统的动态行为， 并预测未来的发展趋势。
05 实例分析
实例一：简单的一阶恰当方程与积分因子
总结词
通过简单的一阶恰当方程，理解积分因子的概念和作用。
详细描述
一阶恰当方程的形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的有理函数。求解这类方程时，可以 通过引入积分因子M(x,y)的方法，将方程转化为一个全微分方程，从而简化求解过程。
形式简单
恰当方程的形式相对简单，未知函数的各阶导数都包 含在方程的右边。
可解性
由于最高阶导数的系数不为零，恰当方程可以通过解 代数方程来求解。
应用广泛
恰当方程在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
恰当方的判别方法
导数项系数不为零
在微分方程中，如果最高阶导数 的系数不为零，则该微分方程可 能是恰当方程。
实例三：实际问题的恰当方程与积分因子应用
总结词
通过实际问题的恰当方程，了解 积分因子的实际应用价值和意义。
详细描述
在实际问题中，许多物理、工程 和经济领域的问题都可以转化为 恰当方程的形式。通过引入积分 因子，可以简化问题求解过程， 提高求解效率。
实例展示
例如，在经济学中研究商品价格的变化时， 经常会遇到类似“商品的需求量D与价格p和 消费者的收入I有关，需求量D对价格的导数 Ddp与需求弹性有关”的问题。通过引入积 分因子并转化为全微分方程，可以更方便地 研究商品价格的变化规律和趋势。
02
[2] 丁同仁, 李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 北京: 高 等教育出版社, 2004.
03
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
恰当方程积分因子通解微分方程论文
v摘要本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件, 然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。
鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性, 我们总结出几种特殊形式的积分因子, 并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子, 然后通过实例验证这些方法的有效性，最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。
关键词：恰当方程 积分因子 通解 微分方程AbstractThis paper firstly introduces the definition and the necessary and sufficient conditions of exact equation, and then introduce the definition of integral factor and the existence conditions for the exact equation.Considering the no uniqueness of exact equation and the complex of the process of solving, we summarized some special form of integral factor, and analyzes the various methods to solve integral factor of differential equations，then we shows the effectiveness of these methods through the example , finally we use these methods to work out integral factors of four basic types the equation.目录一、恰当方程的定义和充要条件 (1)二、积分因子的定义 (1)三、积分因子的存在条件 (2)四、积分因子的形式 (3)4.1只与x 有关的积分因子 (3)4.2只与y 有关的积分因子 (4)4.3形为)(y x u +的积分因子 (5)4.4形为)(by ax u +的积分因子 (7)4.5形为)(xy u 的积分因子 (9)4.6形为)(22y x u +的积分因子 (10)4.7形为)(b a ny mx u +的积分因子 (12)4.8形为)(βαy x u 的积分因子 (13)4.9形为))()((y g x f u 的积分因子 (15)4.10形为)()(s t by ax g y x f +βα的积分因子 (16)4.11形为)(βαny y mx lx u u t s ++=的积分因子 (20)4.12形为1)(),(-+=yN xM y x u 的积分因子 (23)4.13形为1)(),(--=yN xM y x u 的积分因子 (24)4.14形为()()⎰⎰=+dy y dx x e y x u ψϕ),(的积分因子 .................................................. 26 4.15形为⎰=ωωφd e y x u )(),(的积分因子 . (27)4.16形为)]()([y g x f u +的积分因子 (28)五、利用积分因子求解微分方程的一般方法 (29)5.1凑微分法求积分因子 (29)5.2分组法求积分因子 (31)六、四种类型方程的积分因子法 (32)6.1变量分离方程 (33)6.2齐次方程 (33)6.3一阶线性微分方程 (33)6.4伯努利方程 (34)七、结束语 ................................................................................................................... 34 附录 .. (37)一、英文原文 (37)二、中文译文 (48)一、恰当方程的定义和充要条件对于具有对称形式的一阶微分方程0 dy N ( x,y )dx M ( x, y) =+ ① 其求解方法是根据方程的不同类型确定的。
常微分第二单元第3节
2．3 恰当微分方程与积分因子一、恰当微分方程 将(,)dyf x y dx=改写成关于,x y 的对称形式: (,)(,)0M x y dx N x y dy +=.1． 定义：若(,)(,)0M x y dx N x y dy +=(2.42)的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=(,)(,)u x y u x y dx dy x y∂∂=+∂∂ 则称(2.42)为恰当微分方程。
其中(,),(,)M x y N x y 在某个矩形区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数。
2．通解：(,),u x y c c =为任意常数。
3．恰当微分方程的判别及求解方法。
命题 1 方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是恰当微分方程的充要条件是M Ny x∂∂=∂∂。
证明 ： 必要性， 若方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是恰当微分方程，则存在某个二元函数(,)u x y ，使得(,)(,)(,)(,)(,)u x y u x y M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 成立，有M x u =∂∂，N yu =∂∂,所以 22,M u N uy x y x y x∂∂∂∂= =∂∂∂∂∂∂， 而(,),(,)M x y N x y 是连续函数且具有连续的一阶偏导数，知22u ux y y x∂∂=∂∂∂∂，即有M Ny x∂∂=∂∂。
充分性 ，由所找的u 满足(,)(,)u x y M x y x∂=∂，把y 看成参数，积分得， (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰，又由()(,)(,)u d y M x y dx N x y y y dy ϕ∂∂=+=∂∂⎰，得()(,)(,)d y N x y M x y dx dy yϕ∂=-∂⎰ 只需说明上式右端与x 无关，关于它对 x 求导，[(,)(,)](,)[(,)](,)[(,)](,)(,)0N x y M x y dx x y N x y M x y dx x x yN x y M x y dx x y x N x y M x y x y ∂∂-∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂∂=-∂∂∂∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰从而 ()[(,)(,)],y N x y M x y dx dy yϕ∂=-∂⎰⎰ 得(,)[(,)(,)].u M x y dx N x y M x y dx dy y∂=+-∂⎰⎰⎰有(,)(,)(,)(,)(,)u x y u x y M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂， 因而方程为恰当微分方程。
微分方程的建立与求解
微分方程的建立与求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将探讨微分方程的建立与求解方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的概念与分类微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
它通常包含未知函数、自变量和它们的导数。
根据方程中含有的未知函数的最高阶导数的次数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是未知函数的导数只涉及一个自变量的微分方程，通常用于描述物理、生物等自然界现象。
偏微分方程是未知函数的导数涉及两个或两个以上自变量的微分方程，常用于描述流体力学、电磁场等现象。
二、微分方程的建立过程微分方程的建立是通过观察实际问题、分析其特点和规律，将问题转化为数学方程。
建立微分方程的过程通常涉及以下几个步骤：1. 确定未知函数：根据问题的背景和目标，确定需要求解的未知函数。
例如，根据物体的速度变化情况，可以确定未知函数为物体的位移函数。
2. 建立变量关系：分析问题中涉及到的各个变量之间的关系，建立它们之间的数学模型。
例如，根据牛顿第二定律和速度与加速度的关系，可以建立运动物体的微分方程。
3. 确定边界条件：根据问题的具体条件，确定微分方程的边界条件，以求解特定的解。
边界条件通常包括初始条件和边界值条件。
4. 化简方程：根据问题的特点和求解的需要，对微分方程进行适当的化简和变形，以便更好地求解。
三、微分方程的求解方法微分方程的求解是通过找到满足方程的函数，从而得到该方程的解。
常用的求解方法有：1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，得到两个只包含一个变量的方程，然后分别对两个方程进行积分，最后得到方程的解。
2. 变量代换法：通过适当的变量代换，将原微分方程转化为已知的、易于求解的微分方程。
3. 积分因子法：通过求解积分因子，将原微分方程化简为恰当微分方程，从而求解得到方程的解。
4. 拉普拉斯变换法：将微分方程通过拉普拉斯变换转化为代数方程，然后求解代数方程得到解，最后通过拉普拉斯逆变换得到原微分方程的解。
一阶线性微分方程通解公式
一阶线性微分方程通解公式引言在微积分中，线性微分方程是一种非常重要的方程形式。
一阶线性微分方程是指关于未知函数及其导数的一阶方程，且方程可以写成如下形式：$$\\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，P(x)和Q(x)分别是给定的函数。
解一阶线性微分方程的通解公式可以帮助我们找到方程的所有解。
解一阶线性微分方程的通解公式我们使用常数变易法来解一阶线性微分方程。
假设方程的解为y(x)，且y(x)的导数为$\\frac{dy}{dx}$，则通解公式可表示为：$$y(x) = \\frac{1}{\\mu(x)} \\left(\\int \\mu(x)Q(x)dx + C\\right)$$其中，$\\mu(x)$是一个称为积分因子的函数，C是一个任意常数。
求解积分因子为了求解积分因子$\\mu(x)$，我们需要满足以下条件：1.积分因子$\\mu(x)$是一个非零函数，即$\\mu(x) \ eq 0$。
2.方程$\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right) = \\mu(x)Q(x)$是一个恰当微分方程。
为满足第二个条件，我们引入一个新的函数M(x,y)，使得$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} +P(x)y\\right)]$。
利用偏导数的性质，我们可以得到：$$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\mu'(x)\\left(\\frac{dy}{dx} +P(x)y\\right) + \\mu(x)\\left(\\frac{d}{dx}\\frac{dy}{dx} + P'(x)y +P(x)\\frac{dy}{dx}\\right)$$化简上式，并与$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right)]$进行对比，得到：$$\\mu'(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right) +\\mu(x)\\left(\\frac{d}{dx}\\frac{dy}{dx} + P'(x)y + P(x)\\frac{dy}{dx}\\right) = \\frac{d}{dx}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right)]$$对以上公式重新整理，得到：$$\\mu'(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)\\frac{d^2y}{dx^2} + \\mu(x)P'(x)y =\\mu'(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)P(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)P'(x)y$$ 进一步简化，得到：$$\\mu(x)\\frac{d^2y}{dx^2} = \\mu(x)P(x)\\frac{dy}{dx}$$根据以上结果，我们可以得到一个关于$\\mu(x)$的常微分方程：$$\\frac{d^2\\mu(x)}{dx^2} = P(x)\\frac{d\\mu(x)}{dx}$$求解上述常微分方程，找到$\\mu(x)$后，我们就可以利用通解公式求解一阶线性微分方程的解。
微分方程的解题技巧
微分方程的解题技巧微分方程是数学中一个重要的概念，解决微分方程问题需要掌握一定的解题技巧。
以下是一些常用的解题技巧：1. 分离变量法分离变量法是解决一阶微分方程的常用方法。
通过将变量分离到等式的两侧，可以将微分方程转化为可分离的方程。
具体步骤如下：- 将微分方程写成 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的形式；- 将等式两侧分离变量： $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$；- 对两侧进行积分，得到解析解。
2. 常数变易法常数变易法是解决二阶非齐次线性微分方程的常用方法。
通过猜测一个特解，将原方程变为齐次方程，再根据齐次方程的通解和特解的形式，得到原方程的通解。
具体步骤如下：- 假设原方程的一个特解，记为 $y_1(x)$；- 将原方程变为齐次方程： $y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0$；- 求解齐次方程的通解： $y_0(x)$；- 原方程的通解为 $y(x) = y_0(x) + C y_1(x)$，其中 $C$ 为任意常数。
3. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将微分方程转化为代数方程的变换方法，适用于解决线性常系数微分方程。
通过将微分方程转化为代数方程，可以利用拉普拉斯变换表格快速求解微分方程。
具体步骤如下：- 对微分方程取拉普拉斯变换，变换的结果为代数方程；- 解代数方程得到拉普拉斯变换后的函数表达式；- 对变换后的函数进行反变换，得到原微分方程的解析解。
4. 整理与化简方程在解题过程中，有时可以通过适当的整理和化简方程，简化解题步骤。
例如，可以利用恰当的代换将高阶微分方程转化为一阶微分方程，或通过观察方程的特点得到简化的形式。
以上是一些常用的微分方程解题技巧，掌握这些技巧可以帮助我们更快、更准确地解决微分方程问题。
当然，在解题过程中也需要根据具体问题灵活运用这些技巧，提高解题效率。
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关于恰当微分方程解法的探究
摘 要：本文首先给出了微分方程的基本概念．在此基础上，探讨了恰当微分方程的解法.
关键词：恰当微分方程；通解；特解
Solving Method of The Proper Differential Equation
Abstract ： This paper firstly introduces the basic concept of differential equations ． on such a basis, the paper probes into the solutions of the proper differential equations .
Key words ：Proper differential equation; general solution; particular solution 引言
本文结合一些典型的例题，介绍微分方程解的一些基本概念，重点探究了恰当微分方程和可化为恰当微分方程的解法.
1.有关微分方程的解的一些概念
1.1解的表示形式
定义:设函数()y x ϕ=在区间I 有直到n 阶的导数,如果把()y x ϕ=及其相应
的各阶导数代入方程()()()()
,0n F x x x ϕϕ= 能使得该式成立,则函数()y x ϕ=,()x I ∈为方程的一个解.
例 1 试验证函数
tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭
是方程
21dy y dx
=+ 的解.
解 显然tan y x =在区间,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
上可导,把他代入方程后对一切的
,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
有 ()
'22tan sec 1tan x x x =≡+.
1. 2通解和特解
1 通解 我们知道一个重要事实,就是微分方程存在有含有任意常数的解,而且我们看到,解中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,我们把含有任意个常数的解叫方程的通解.
例如 x y ce =为一阶方程'y y =的通解.
2 特解
如果已求得一微分方程的通解,而欲求满足一个初值条件的特解,往往可以用初值条件去确定通解中的常数从而得到特解.
对于一阶微分方程而言,设已知通解为(),y x c ϕ=,想要求满足初值条件
()00y x y =
的特解.为了确定(),y x c ϕ=中的c ,可将()00y x y =代入得到方程
()()00,y x x c ϕ=
解出c 代入通解中得到0c
即
()0,y x c ϕ=
为满足初值条件的特解.
2.恰当微分方程
2.1 一般恰当微分方程的解法
若一阶微分方程
0),(),(=+dy y x N dx y x M ()1.1.2
的左端恰好是某个二元函数的全微分，即
dy y
u dx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂==+),(),(),(
则()1.1.2为恰当微分方程，其中),(y x M ，),(y x N 为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数．
那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法． 若()1.1.2为恰当微分方程，则
x u M ∂∂=
()2.1.2 y
u N ∂∂= )3.1.2( 对()2.1.2，)3.1.2(分别求关于y ，x 的偏导数，有
y
x u y M ∂∂∂=∂∂2 x
y u x N ∂∂∂=∂∂2 由y M ∂∂，x N ∂∂的连续性，x
y u y x u ∂∂∂=∂∂∂22 故x
N y M ∂∂=∂∂，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件． 下面来讨论()1.1.2的通解形式
由()2.1.2知
⎰+=)(),(y dx y x M u ψ
()y ψ是y 的可微函数，下面来求()y ψ使()y ψ也满足)3.1.2(
N dy
y d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ψ 由此知
⎰∂∂-=dx y x M Y
N dy y d ),()(ψ 下证⎰
∂∂-dx y x M y N ),(与x 无关即可．
[]
0),(),(),(=∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂=-∂∂⎰⎰⎰Y M x N dx y x M x
y x N dx y x M y x x N dx y x M N x 所以左边与x 无关．
积分得 dy dx y x M y N y ⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-=),()(ψ 所以 dy dx y x M y N dx y x M y x u ⎰⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-+=),(),(),( 从而，原方程的通解为
C dy dx y x M y N dx y x M y x u =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-+=⎰⎰⎰),(),(),( C 为任意常数．
例 2 求解方程()()
046633222=+++dy y y x dx xy x
解 由于()2263,xy x y x M +=，()y x y x N 26,=
所以 xy y M 12=∂∂，xy x N 12=∂∂ 因此原方程为恰当微分方程．
现在求u 使其满足
2263xy x x
u +=∂∂ 3246y y x y
u +=∂∂ 由()15.2得
()()y y x x y dx xy x u ϕϕ++=++=⎰22322363
为了确定()y ϕ对()17.2求关于y 的导数
()322466y y x dy
y d y x y u +=+=∂∂ϕ 即得
()34y dy
y d =ϕ 两边积分得
()4y y =ϕ
所以
42233y y x x u ++=
从而，原方程的解为
C y y x x =++42233
注 对于一些恰当微分方程不需要如此复杂的过程，通过观察可以采用“分项组合”的方法．
例 3 求解方程01sin cos 11cos sin 1222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-dy y y x y x x y x
dx x y x y y x y 解 原方程可以变形为
01cos 1sin 222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-y dy dx dy x dx x y x y dy y x dx y y x 即
0cos sin
2=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛y dy dx x y d x y y x d y x 即 01sin cos =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y d dx x y d y x d 所以，原方程的通解为
C y
x y x x y =-+-1cos sin 2.2 可化为恰当微分方程的解法
对非恰当微分方程我们可引入积分因子将其化为恰当微分方程，从而加以解决.
若存在连续的函数()y x u ,且()0,≠y x u 使
()()()()0,,,,=+dy y x N y x u dx y x M y x u
为一恰当微分方程，即存在函数()y x v ,
()()()()()y x dv dy y x N y x u dx y x M y x u ,,,,,=+
则()y x u ,为原方程()1.1.2的积分因子．
注 这时原方程的解为()C y x v =,
下面只对含()y x 的积分因子作寻求．
由微分方程为恰当微分方程的必要条件得
()()x
uN y uM ∂∂=∂∂ 即得
x
N u x u N y M u y u M ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 从而有
u y M x N x u N y u M ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 若只含有关于x 的积分因子，则
0=∂∂y u 从而有
N
x N y M u du ∂∂-∂∂= 从而只含有与x 有关的积分因子充要条件是 ()x N
x N y M u du ϕ=∂∂-∂∂= 这里()x ϕ仅为x 的函数．所以原方程的一个积分因子为
()⎰=dx x e u ϕ
同理，可以得到原方程只含有与y 有关的积分因子的充要条件是 ()y M
x N y M ψ=-∂∂-∂∂ 这里()y ψ仅为y 的函数．求得原方程的一个积分因子
()dy y e u ⎰=ψ
例 4 求解方程()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y dx x x x y 解 由于x y
M cos =∂∂，x x x x y x N sin cos cos -+=∂∂ 由此知方程不是恰当微分方程．
又
1c o s s i n c o s s i n =--=-∂∂-∂∂x y x x x y x x M x N y M 所以原方程含有与y 有关的积分因子
y e u =
用y e u =乘原方程的两边得
()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y e dx x x x y e y y
令
()y x e x xe x ye y dx x xe x ye u y y y y y ϕϕ+++=+-=⎰sin cos sin )()sin cos ( 所以
()x xe x ye y x e x xe x ye x e y
u y y y y y y cos sin sin cos sin sin +=++++=∂∂ψ 从而
()x e y y sin 2-=ψ
进一步有x e x xe x ye u y y y sin cos sin -+=
原方程的解为C x e x xe x ye y y y =-+sin cos sin。