上海市七宝中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

上海市七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．方程cosx =sin π

6的解集为________.

2．设{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28a a +=_____． 3．求值：2sin arccos 3????-= ???????

_____．

4．函数()arccos sin y x =，2,33x ππ??∈- ???

的值域是_____．

5．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，()*11

02

n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_____．

6．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212

n n n n N +

++?+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．

7．若()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的最小值为_____．

8．设数列{}n a 的通项公式为 ,1?31,32n n n n a n ≤≤??

=???-> ????

?，则()12lim n n a a a →∞

+++=_____．

9．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，12,21,n n n a n n -?=?-?为正奇数

为正偶数

，则9S =_____.

10．对于正项数列{}n a ，定义12323n n

n

H a a a na =+++

+为{}n a 的“光阴”值，现知

某数列的“光阴”值为2

2

n H n =

+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 11．ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______． 12．关于x 的方程()2

2

4 arctan cos 0x x a π-+?=只有一个实数根，则实数a =_____．

13．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知()()3

222014220132sin

3

a a π

-+-=，()

()3

201320132015220132cos

6

a a π

-+-=，则2014S =_____．

14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，1

4

，

24，34，15，25，35，45

，

1n ，2

n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438

a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，

23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为2

4

n n n

T +=；④若存在正整数k ，使

10k S <，110k S +≥，则5

7

k a =

.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）

二、单选题

15．已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2n

n n

a b →∞

=，12n n S a a a =++?+，则22lim n

n n

S nb →∞的值为（ ） A ．2

B ．-1

C ．1

D ．不存在

16．设{}n a 是公比为()

01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为

1

2

的等比数列 B

．公比为

2

的等比数列 C

．公比为

2

或-

D

或-的等比数列 17．函数sin(2)(0)2y x π

??=+<<图象的一条对称轴在(,)63

ππ

内，则满足此条件的

一个?值为（ ） A ．

12

π

B ．

6

π C ．

3

π D ．

56

π 18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：

（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列； （2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；

（3）若{}n a 是等差数列(0)d ≠，则120k S S S ??????=的充要条件是120k a a a ??????=； （4）若{}n a 是等比数列且2k ≥，则120k S S S ??????=的充要条件是10k k a a ++=； 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

三、解答题

19．已知函数()()2

22f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，

1,2,3,n =?．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令1

3(1)2n n a

a

n n b λ-=+-??（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意

正整数n ，都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 20

．已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =++-，x ∈R . （1）求函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间；

（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是,,a b c ，若()2f A =，4

C

π

，

2c =，求ABC △的面积ABC

S

的值.

21．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0>ω； （1）令1ω=，判定函数()()()2

F x f x f x π

=++

的奇偶性，并说明理由；

（2）令2ω=，将函数()y f x =图像向右平移

6

π

个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，对任意a R ∈，求()y g x =在区间],10[a a π+上零点个数的所有可能值；

22．已知数列{}n a 满足：11a =，10.52,n n n a n a a n n ++?=?-?为正奇数

为正偶数

，22n n b a =-.

（1）求2a 、3a 、4a ；

（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式； （3）求和242n n T a a a =++?+.

23．已知{}n a ，{}n b 为两非零有理数列（即对任意的*i ∈N ，i a ，i b 均为有理数），{}

n d

为一个无理数列（即对任意的*i ∈N ，i d 为无理数）．

（1）已知2n n b a =-，并且22

10()()n n n n n n a b d a d d +-+=对任意的*n ∈N 恒成立，

试求{}n d 的通项公式；

（2）若3

{}n d 为有理数列，试证明：对任意的*n ∈N ，2211

()()n n n n n n a b d a d d +-+=恒成立的充要条件为66111n n

n n n a d d b d ?=?+???=?+?

；

（3）已知24sin 20252πθθ??=<< ???

，n d =n b ．

参考答案

1．{x|x =2kπ±π

3,k ∈Z}

【分析】

由诱导公式可得cosx =sin π

6=cos π

3=cos(?π

3)，由余弦函数的周期性可得：x =2kπ±

π3

,k ∈Z .

【详解】

因为方程cosx =sin π

6，由诱导公式得sin π

6=cos π

3=cos(?π

3)， 所以x =2kπ±π

3,k ∈Z ， 故答案为{x|x =2kπ±π

3,k ∈Z}． 【点睛】

本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 2．

23

π 【解析】 【分析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+即可 【详解】

15953a a a a π++==

53

a π

∴=

285223

a a a π∴+==

故答案为：23

π 【点睛】

本题主要考查的等差数列的性质：若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，这一性质是常考的知识点，属于基础题。

3【解析】

【分析】

根据同角三角函数的基本关系：22sin cos 1a a +=，以及反三角函数即可解决。 【详解】

由题意2sin arccos 3????-

== ???????

故答案为：3

． 【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，同角角三角函数基本关系主要有:

22sin cos 1a a +=,sin tan cos a

a a

=

.属于基础题。 4．50,

6π??

????

【解析】 【分析】

首先根据x 的范围求出sin x 的范围，从而求出值域。 【详解】

当23

3x π

π-

<<

时，sin 1x <≤， 由于反余弦函数是定义域[-1,1]上的减函数，

且5arccos ,arccos1026π

?-== ??

所以值域为50,

6π??

???? 故答案为：50,6π??

????

． 【点睛】

本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。属于基础题。

5．2

1,

123,2n n n a n --=?=?-?≥?

【解析】 【分析】

已知n S 求n a ，通常分11,1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?进行求解即可。

【详解】

2n ≥时，1111

22

n n n n n a S S a a -+=-=

-，化为：13n n a a +=． 1n =时，121

12

a a -==，解得22a =-．不满足上式．

∴数列{}n a 在2n ≥时成等比数列．

∴2n ≥时，2

23n n a -=-?．

∴2

1,

123,2n n s n a n --=?=?-?≥?

． 故答案为： 2

1,

123

,2

n n n a n --=?=?-?≥?．

【点睛】

本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。 6．2k . 【分析】

分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边111111

12321221

k k k +=+++?+++?+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果. 【详解】

当n k =时，左边111

12321

k =+

+++-…， 当1n k =+时，左边111111

12321221

k k k +=+

++?+++?+--，

观察可知，增加的项数是1

121(21)222k k k k k ++---=-=，

故答案是2k . 【点睛】

该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果. 7．

863

π 【解析】 【分析】

首先求出()f x 在[]0,π上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时a b 、的值即可 【详解】

根据()2sin 10f x x =-=，即1sin 2x =

，故26x k ππ=+，或526

x k ππ=+， ∵()2sin 1f x x =-在区间[]

,a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点， ∴不妨假设6

a π

=

（此时，0k =），则此时b 的最小值为5286

π

π+

，（此时，14k =）， ∴b a -的最小值为58628663

ππππ+-=， 故答案为：86

3

π 【点睛】

本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。 8．

145

24

【解析】 【分析】

根据数列的通项式求出前n 项和，再极限的思想即可解决此题。 【详解】

数列{}n a 的通项公式为,131,32n

n n n a n ≤≤??=???-> ????

?，

则3

n 312

1111621112361124212

n n a a a --????

-- ? ? ?

????????+++=+++

=++- ? ? ?????

+，

则答案()3

1211145

lim lim 6124224n n n n a a a -→∞

→∞??????++

+=++-=?? ? ? ?????????

．

故为：

145

24

． 【点睛】

本题主要考查了给出数列的通项式求前n 项和以及极限。求数列的前n 常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。 9．377 【解析】 【分析】

本题主要考查了已知数列的通项式求前n 和，根据题目分奇数项和偶数项直接求9S 即可。 【详解】

12,21,n n n a n n -?=?-?为正奇数为正偶数

，

则()()9141664256371115S =++++++++

514363413637714

-=+=+=-． 故答案为：377． 【点睛】

本题主要考查了给出数列的通项式求前n 项和以及极限。求数列的前n 常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。属于基础题。 10．21

2n n a n

+= 【解析】 【分析】

根据n H 的定义把2

2

n H n =+带入n H 即可。 【详解】

∵12323n n

n

H a a a na =

+++

+

∴122n n

n a a na H +++=

∵2

2

n H n =

+ ∴()12222

n n n a a na +++?+=

①

∴()()()12111212

n n n a a n a --+++

+-=②

①-②得()()()211212

2

2

n n n n n n na +-++=-

=

∴21

2n n a n

+=

故答案为：21

2n n a n

+= 【点睛】

本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。 11．0,

3π?

?

??

?

【分析】

由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定理推论

可求2221

cos 22

b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A 的取值范围．

【详解】

因为sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，所以222a b c bc +-≤，即 222bc b c a ≤+-．

所以2221

cos 22b c a A bc +-=≥ ，

因为A 0π∈（，）

，所以A 0]3

π

∈（，． 【点睛】

在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a b

A B R R

=

=

，将角化为边． 12．±1 【解析】 【分析】

首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。 【详解】

设()()2

2

4arctan cos f x x x a π=-+?，则

()()()()()()2

2224arctan cos 4arctan cos f x x x a x x a f x ππ-=---+?=-+?=

∴()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，

又依题意()f x 只有一个零点，故此零点只能是0x =， 所以()2

04arctan cos00a π-+?=，

∴24arctan10a π-+?=， ∴2404

a π

π-?

+?=，

∴21a =，∴1a =±， 故答案为：1± 【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。 13．4028 【解析】 【分析】

首先根据()()3

222014220132sin

3a a π-+-=、()()3

201320132015220132cos 6

a a π-+-=即可求出2a 和2013a ，从而求出2014S 。 【详解】

()

()3

222014220132sin

3a a π-+-==

①

()()3

201320132015220132cos

62

a a π-+-==-

② ①+②得，

()

()()()3

3

22201320132201322201320a a a a -+-+-+-=，

即

()()()()()()22

220132

220132013220132222222013220

a a a a a a a a ??-+-----+-+-+-=??

，

∴22013220a a -+-=， 即220134a a +=， ∴()()120142014220132014100740282

a a S a a +?=

=?

+=，

故答案为：4028． 【点睛】

本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前n 项和。其中等差数列的性质:若

m n p q +=+则m n p q a a a a +=+比较常考，需理解掌握。

14．①③④ 【分析】

①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列1a ，23a a +，456a a a ++，

78910a a a a +++，…是

1

2，1，64，2，…，22

n -，12n -，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前n 项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算

57.510T =<，610.50T =>即可判定④正确.

【详解】

①前24项构成的数列是：

1

2，13，23，14，24，34，15，25，35，45

，

16，26，36，46，56，17，27，37，47，57，67，18，28，38

， 所以243

8

a =

，故①正确. ②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，… 是

1

2，1，64，2，…，22

n -，12n -， 由等差数列定义

121

222

n n ---=（常数） 所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列， 故②不正确.

③因为数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列，

所以由等差数列前n 项和公式可知：2

1(1)12224

n n n n n

T n -+=+?=

， 故③正确.

④由③知：1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，

1112131415a a a a a ++++，161718192021a a a a a a +++++，

是

1

2，1，64

，2，52，12345615677777777+++++=

+. 因为57.510T =<，610.50T =>

所以存在20k =，使2010S <，2110S ≥，且205

=7

a . 故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】

本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题. 15．C 【解析】 【分析】

首先根据lim 2n n n a b →∞=求出数列{}n a 、{}n b 公差之间的关系，再代入22lim n n n

S

nb →∞即可。

【详解】

因为{}n a 和{}n b 都是公差不为零的等差数列，

所以设()()11121?

1n n b b n d a a n d =+-=+- 故()()1112

1lim

lim 21n

n n n a n d a b b n d →∞→∞+-==+-，可得122d d =

又因为()1

12112

n n n d a a a na -++

+=+

和()21121n b b n d =+-代入

则()()1112122122lim lim 21212n n n n

n n d na S d nb nb n n d d →∞→∞??

-+ ?=?== ?+- ? ???

． 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。 16．B 【解析】 【分析】

根据题意可得42n S S =，带入等比数列前n 和即可解决。 【详解】

根据题意，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和， 则42n S S =，

又由{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，则()

4

1

11211a q a q q

-=--，变形可得

41

2

q =

，则q =，

数列{}21n a -为{}n a 的奇数项组成的数列，则数列{}21n a -

为公比为2q =

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查了利用等比数列前n 项和计算公比，属于基础题。 17．A 【解析】 【分析】

求出函数的对称轴方程，使得满足在63ππ??

???

，内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值． 【详解】

解：函数()202y sin x π???

?

=+ ??

?

＜＜

图象的对称轴方程为：x 242

k ππ?

=

+- k ∈Z ， 函数()202y sin x π????

=+ ??

?

＜＜图象的一条对称轴在63ππ??

??

?，内， 所以

6

2423k π

ππ?π+-＜

＜当 k ＝0 时 12212π?π-＞＞，φ12

π

= 故选A ． 【点睛】

本题是基础题，考查三角函数的基本性质，不等式的解法，考查计算能力，能够充分利用基本函数的性质解题是学好数学的前提． 18．B 【分析】

对各选项逐个论证或给出反例后可得正确的命题的个数. 【详解】

对于（1），取210n a n =-，则()

218292

n n n S n n n -=-+?=-， 因该数列的公差为2，故{}n a 是递增数列.

129108,14,0,10S S S S =-=-==，故12910,S S S S ><，所以数列{}n S 不是递增数列，

故（1）错.

对于（2），取23n a n =-，则()

21222

n n n S n n n -=-+

?=-，数列{}n S 是递增数列，但

110a =-<，故数列{}n S 是递增数列推不出{}n a 的各项均为正数，故（2）错.

对于（3），取23n a n =-，则2

2n S n n =-，20S =，

故当2k ≥时120k S S S ??????=，但0n a ≠总成立， 故120k a a a ??????≠总成立，

故120k S S S ??????=推不出120k a a a ??????=，故（3）错. 对于（4），设公比为q ， 若120k S S S ??????=，

若1q =，则10n a a =≠，1210k

k S S S a ??????=≠，矛盾，故1q ≠.

又120k S S S ??????=，故必存在2k ≥，使得0k S =即()1101k k a q S q

-=

=-，

即1k

q =，所以1q =-，故10k k k k a a a a ++=-=，

所以10k k a a ++=是120k S S S ??????=的必要条件.

若10k k a a ++=，则1q =-，所以()2121102

n

n

a S ??

--?

?==， 所以()1202k S S S k ??????=≥，

所以10k k a a ++=是120k S S S ??????=的充分条件

故120k S S S ??????=的充要条件是10k k a a ++=，故（4）正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查数列的单调性、数列的前n 项和的单调性以及等比数列前n 项和的积的性质，对于等差数列的单调性，我们可以求出前n 项和关于n 的二次函数的形式，再由二次函数的性质讨论其单调性，也可以根据项的符号来判断前n 项和的单调性.应用等比数列的求和公式时，注意对公比是否为1分类讨论. 19．（1）n a n =；（2）存在，1-. 【分析】

（1）把点A 带入()()2

22f x x n x n =+--即可

（2）根据（1）的{}n a 计算出n b 、1n b +，再解不等式即可 【详解】

（1）设()0f x =，()2

220x n x n +--=得12x =-，2x n =．

所以n a n = ； （2）()

1

312n n n n b λ-=+-??，若存在0λ≠，满足1n n b b +>恒成立

即：()()

1

11312312n

n n n n n λλ-+++-??>+-??，

()

1

1

312n n λ--??>-? ???

恒成立

当n 为奇数时，1

312n λλ-??>?< ???

当n 为偶数时，1

33

22

n λλ-??>-?>- ???

所以3

12

λ-

<<， 故：1λ=- . 【点睛】

本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题．

20．（1）0,3π?? ???，5,6π

π??

????

；（2【解析】 【分析】

（1）首先把()f x 化成()()sin f x A wx ?=+的型式，再根据三角函的单调性即可解决 （2）根据（1）结果把()2f A =代入可得A 的大小，从而计算出B 的大小，根据正弦定理以及面积公式即可解决。 【详解】

（1）因为(

)22

cos 3sin cos 2f x x x x x =++-

22sin 1x x =+-

cos2x x =-

2sin 26x π?

?=- ??

?，

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-+≤-≤

+，k Z ∈，

得6

3

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+，k Z ∈，

又()0,x π∈，所以03

x π

<≤

或

56

x π

π≤<， 所以函数()f x 在()0,π上的递增区间为：0,

3π??

??

?

，5,6ππ??

??

??

； （2）因为()2f A =，∴2sin 226A π?

?

-= ??

?，∴sin 216A π?

?-= ???

， ∴226

2

A k π

π

π-

=

+，k Z ∈，∴3

A k π

π=

+，k Z ∈，

∵0A π<<，∴3

A π

=

．∴512

B π=

， 在三角形ABC 中由正弦定理得

sin sin a c

A C

=，

∴2csin sin A a C ?

=

==

115csin 2sin 2212ABC

S

a B π=

=?=

. 【点睛】

本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。三角函数问题常考周期、单调性最值等，在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。 21．（1）非奇非偶，理由见解析；（2）21或20个. 【分析】

（1）先利用辅助角公式化简()F x ，再利用(0)0F ≠和44F F ππ????

-≠ ? ?????

可判断()F x 为非奇非偶函数.

（2）求出()g x 的解析式后结合函数的图像、周期及给定区间的特点可判断在给定的范围上的零点的个数. 【详解】

（1）()2sin 2sin())24

F x x x x =++

=+π

π

， 则(0)20F =≠，故()F x 不是奇函数，

又0,44F F ππ????

-

== ? ?????44F F ππ????-≠ ? ?????

，故()F x 不是偶函数.

综上，()F x 为非奇非偶函数.

（2）()2sin(2),()2sin(2)1,3

f x x

g x x T ==-

+=π

π，()g x 的图象如图所示：

令()0g x =，则1

sin(2)32

x π

-=-， 则7223

6x k π

ππ-

=+

或2236

x k ππ

π-=-，k Z ∈， 也就是23

x k π

π=+

或者12x k ππ=+，k Z ∈，

所以()g x 在形如[),m m π+的区间上恰有两个不同零点. 把区间],10[a a π+分成10个小区间，它们分别为：

())1,a i a i ππ+-+??，1,2,9i =及[]9,10a a ππ++，

根据函数的图像可知：

前9个区间的长度恰为一个周期且左闭右开，故每个区间恰有两个不同的零点，

最后一个区间的长度恰为一个周期且为闭区间，故该区间上可能有两个不同的零点或3个不同的零点.

故在区间],10[a a π+上()g x 可有21个或者20个零点. 【点睛】

本题考查正弦型函数的奇偶性、正弦型函数在给定范围上的零点个数，注意说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，可通过反例来说明，而零点个数的判断则需综合考虑给定区间的长度、开闭情况及函数的周期.

22．（1）357,,224-；（2）证明见解析；（3）1212n

n T n ??=-+ ???

.

【解析】 【分析】

（1）直接带入递推公式即可

（2）证明1

n

n b b -等于一个常数即可。

（3）根据（2）的结果即可求出2n a ，从而求出n T 。 【详解】

（1）11a =， 10.5,2,n n n

a n n a a n n ++?=?-?为正奇数

为正偶数，

可得21113

11222a a =+

=+=； 32542a a =-=-，4317

324

a a =+=；

（2）证明：()2212211

22124421222

n n n n b a a n a n n --=-=+--=-++--

()22111

222

n n a b --=-=， 可得数列{}n b 为公比为12，首项为1

2

-等比数列，

即12n

n b ??=- ???

；