不等式和绝对值不等式

不等式的性质及绝对值不等式
1．求不等式|x＋1|＋|2x－1|>4的解集．
2．已知a，b∈R＋，且a3－b3＝a2－b2，求a＋b的取值范围．3．[2013·邯郸一模] 已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x＋2|－a)．
(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求a的取值范围．
4．[2013·辽宁卷] 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值；
(2)若⎪⎪⎪
⎪f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．
不等式的性质及绝对值不等式
1．[2013·浙大附中月考] 解不等式|log 2x －3|＋|2x －8|≥9.
2．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，求M 的取值范围．
3．[2013·长春调研] 已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.
4．[2013·课程标准卷] 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
1．(1)x ≤－1时，原不等式可化为－x －1－2x ＋1>4，解得x <－43，此时解为x <－43
；(2)－1<x <12
时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋1>4，解得x <－2，此时无解； (3)x ≥12时，原不等式可化为x ＋1＋2x －1>4，解得x >43
. 综上原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪x <－43或x >43. 2．解：由a 3－b 3＝a 2－b 2变形得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，整理得(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab ，
而0<ab <（a ＋b ）24
. 所以0<(a ＋b )2－(a ＋b )<（a ＋b ）24
， 得1<a ＋b <43
. 3．解：(1)由题设知|x －1|＋|x ＋2|>7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集．
⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2>7或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－x ＋1＋x ＋2>7 或⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－x ＋1－x －2>7， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－4)∪(3，＋∞)．
(2)不等式f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋2|≥a ＋8，
因为x ∈R 时，恒有|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x ＋2)|＝3，
又|x －1|＋|x ＋2|≥a ＋8解集是R ，
所以a ＋8≤3，即a ≤－5.
所以a 的取值范围是(－∞，－5]．
4．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．
当a >0时，－4a ≤x ≤2a
，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，
则h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12
， 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
课时作业(六十八)B
1．(1)当0<x <3时，3－log 2x ＋8－2x ≥9⇔log 2x ＋2x ≤2⇔0<x ≤1；
(2)当3≤x <8时，3－log 2x ＋2x －8≥9⇔2x －log 2x ≥14⇒x ≥4，∴4≤x <8.
(3)当x ≥8时，log 2x －3＋2x －8≥9⇔log 2x ＋2x ≥20.
因为f (x )＝log 2x ＋2x 在[8，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (8)＝3＋28>20.
即当x ≥8时，恒有log 2x ＋2x ≥20.
综上，原不等式的解集为{x |0<x ≤1或x ≥4}．
2．解：由a ＋b ＋c ＝1，
得M ＝a ＋b ＋c a －1a ＋b ＋c b －1a ＋b ＋c c
－1
＝
（b ＋c ）（a ＋c ）（a ＋b ）abc
≥8ab bc ac abc ＝8. 3．证明：因为|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2| ＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2
＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b
2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |
＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，
所以|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2
<1. 因为a ≠b ，所以|a －b |>0.
所以|f (a )－f (b )|<|a －b |.
4．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋5，x ≤2，
1，2<x <3，2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2<x <3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；
所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}．
(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |
⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |
⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]．
课时作业(六十九)A
1．解：由柯西不等式得，(mx ＋ny )2≤(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)＝3，故mx ＋ny 的最大值为 3.
2．证明：因为a a b b
（ab ）a ＋b 2
＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝a b a －b 2，当a >b >0时，a b >1，a －b 2
>0， 由指数函数的性质知a b a －b 2>1，所以a a b b >(ab )a ＋b 2
. 当b >a >0时，0<a b <1，a －b 2
<0， 由指数函数的性质知a b a －b 2>1，所以a a b b >(ab )a ＋b 2
. 综上知a a b b >(ab )a ＋b 2
. 3．证明：因为A －B ＝2x 2＋y 2＋1－2x (y －1)
＝(x 2－2xy ＋y 2)＋(x 2＋2x ＋1)
＝(x －y )2＋(x ＋1)2≥0，
所以A ≥B ，
当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立．
4．解：∵⎣⎡⎦
⎤1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）· ⎝⎛⎭⎫x ＋1x
＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z 2 即⎣⎡⎦
⎤1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）·4≥1. ∴
1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）≥14
，此时1x ＝1y ＝1z 即x ＝y ＝z ＝3. 因此1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）的最小值为14.。