2018年第23届华罗庚金杯赛小中组决赛试题和答案
第23届华杯赛中年级试卷【含答案】
第23届华杯赛中年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 在第23届华杯赛中，关于数学原理的应用，下列哪项是正确的？A. 函数的增长速度与其导数无关B. 微积分基本定理说明函数的原函数存在C. 线性方程组的解集总是非空D. 概率论中的大数定律与小数定律是相同的2. 在第23届华杯赛物理原理部分，下列哪项描述了牛顿第一定律？A. 力是改变物体运动状态的原因B. 力与物体的加速度成正比C. 物体在平衡力的作用下保持静止或匀速直线运动D. 力总是成对出现，大小相等方向相反3. 第23届华杯赛化学原理中，下列哪项关于酸碱中和反应的说法是正确的？A. 中和反应只发生在水溶液中B. 中和反应产生的盐一定是中性的C. 酸碱中和反应一定会放热D. 中和反应中，酸的质子会转移到碱上4. 在第23届华杯赛生物学原理中，下列哪项关于细胞结构的描述是正确的？A. 所有细胞都有细胞壁B. 细胞核是细胞内最大的细胞器C. 真核细胞和原核细胞的主要区别在于是否有细胞核D. 细胞膜是细胞内最不活跃的部分5. 在第23届华杯赛地理原理中，下列哪项关于板块构造理论的描述是正确的？A. 地球表层由几块不动的板块组成B. 板块内部相对稳定，板块交界处地壳活动频繁C. 海沟总是位于板块的张裂边界D. 火山活动只发生在板块的俯冲边界二、判断题（每题1分，共5分）1. 第23届华杯赛中的数学原理表明，任何连续函数在其定义域内必有最大值和最小值。
（）2. 在第23届华杯赛物理原理中，能量守恒定律指出能量可以从一种形式转换为另一种形式，但总能量保持不变。
（）3. 第23届华杯赛化学原理中，所有的氧化还原反应都涉及到电子的转移。
（）4. 在第23届华杯赛生物学原理中，所有生物的遗传物质都是DNA。
（）5. 第23届华杯赛地理原理中，地球上的气候是由纬度、海陆分布和地形共同决定的。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 在第23届华杯赛数学原理中，若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的切线斜率是______。
第23届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题(小学高年级组·练习用)
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（小学高年级组·练习用） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如图，一个4 ⨯ 4 方形点阵，每个点与其相邻的上、下、左、右点的距离都相等. 以这些点为端点的、不同长度的线段共有 条. 2. a , b , c , d 四个数，每次去掉 2 个数，将其余 2 个数求平均数， 这样计算了 6 次，得到 6 个数是: 23，26，29，32，24，31，则四个数a , b , c , d 的平均数是 . 3. 甲、乙两车从同一地点出发沿同一高速公路从 A 地到 B 地。
甲车先出发 2 小时，乙车出发后经 5 小时与甲车同时到达 B 地。
如果乙车时速增加 8 千米， 那么，出发后 4 小时可追上甲车。
A 地与 B 地的距离是 千米. 4. 如图, 一个6⨯9 方格网. 先将其中的任意几个方格染黑, 然后按照以下规则继续染色: 如果某个方格至少与2 个黑格都有公共边, 那么就将这个方格染黑. 要按照这个规则将整个棋盘都染成黑色, 所需要的最少初始染黑方格是 个。
5. 有五张标有 A ，B ，C ，D ，E 的卡片，从左到右排成一行，已知： （1）C 和 E 都不和 B 相邻； （2）C 和 E 都不和 D 相邻； （3）B 和 E 都不和 A 相邻； （4）A 的右边是 D 。
请问：这个五张卡片的从左到右排列顺序是 。
6. 如图，由 6 个正方形与 12 个等边三角形构成的图形，整个图形的面积是 2018，阴影部分的面积是 .7. 圆周有 101 个格子，从某格 A 开始，沿着逆时针方向，第一次移动1格，第二次移动2 格， ，每次比前次多移动1格，移动到的格子中放一枚棋子，最多有 个格子放有棋子.总分 学校姓名参赛证号密封线内请勿答题第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组)8. 从 1 到 2018 这 2018 个数中，任取 2 个数 x , y ，使得9| x 3 + y 3 ，这样的数对(x , y ) 有 对.二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 求 22 + 3 + 32 + 3 + 42 + 3 + 52 + 3 + 22 -1 32 -1 42 -1 52 -1 + 20172 + 3 的整数部分。
第二十三届华杯赛试题(2018)
第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛2018年一、选择题（每小题10分，共60分）1.A、B均为小于1的小数，算式A×B+0.1的结果( )。
A.大于1 B．小于l C．等于1 D．无法确定和l的大小2．小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等。
然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。
那么，反面上的三个数的平均数是( )。
A．11 B．12 C．39 D．403．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有( )种。
A. 12 B．17 C．22 D．104．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6的网格中共有( )枚黑色围棋子。
A. 18 B．14 C．12 D．105．数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n=( )。
A. 22 B．23 C．24 D．256．I型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，I型每5分钟跑1圈，Ⅱ型每3分钟跑1圈。
某同一时刻，I型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则I型比Ⅱ型提前( )分钟开始跑动。
A．32 B．36 C．38 D．54二、填空题（每小题10分，共40分）7．题图是某市未来十日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100为优良。
从图上看，连续两天优良的是____号，____号。
8．如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形纸片。
第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移了3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ。
第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是____平方厘米。
历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油 量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶 的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进 价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共 获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ （A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.)
第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组b卷)
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝．2．（10分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于度．3．（10分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了角．4．（10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为．5．（10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是元．6．（10分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶千米．7．（10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．8．（10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝61 ．【分析】根据除法的性质，原式＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61，据此解答即可．【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61；故答案为：61．2．（10分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于360 度．【分析】连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，这样就转化成四边形的内角和了，四边形的内角和是360度．【解答】解：连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠EDC+∠ECD＝四边形ABCD的内角和，180×（4﹣2）＝180×2＝360（度）答：∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于 360度．故答案为：360．3．（10分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了47 角．【分析】将14.57元化为整数是1457分，售价应是不超过42的奇数，容易试出答案．【解答】1457分解质因数是1457＝31×47，47超过了21的2倍，31符合条件，所以售价是31分，进而数量是47张，47×（31﹣21）＝470分＝47角故答案为：47．4．（10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为37 ．【分析】设一班a人，二班b人，则有3a+5b＝115，求两班人数最多，算式转化成：3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝2时，a+b ＝37．【解答】解：设一班a人，二班b人，则3a+5b＝115，3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝1时，得出a不是整数，b＝2时，3（a+2）+2×2＝1153a+6+4＝1153a＝105a＝35a+b＝35+2＝37（人）答：两班人数之和最多的是37人．故答案为：37．5．（10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是 4 元．【分析】设第一天每支笔售价x元，卖出y支，那么根据总价＝单价×数量可知：第一天卖出的钱数就是xy元，第二天的单价就是x﹣1元，卖出的支数是y+100支，第二天卖出的总价就是（x﹣1）（y+100）；同理得出第三天卖出的总价，再分别根据第一天卖出的钱数与第二天和第三天卖出的钱数分别相等列出方程组，再化简求解．【解答】解：设第一天的单价为x元，数量为y只，那么有：化简得：解得：答：第一天每支笔售价是 4元．故答案为：4．6．（10分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶10 千米．【分析】在流水行船问题中，两船相遇的速度即两船的速度和，两船追及速度即两船的速度差．相向而行两船所行的路程是A、B两个码头之间的距离，同向而行两船的距离差也为A、B两个码头之间的距离，因此根据路程相等，设乙船的速度是x千米/小时，列出方程（x+6）×4＝（x﹣6）×16，解决问题．【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，（x+6）×4＝（x﹣6）×164x+24＝16x﹣9612x＝120x＝10答：乙在静水中划船每小时行驶10千米．故答案为：10．7．（10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是62 ．【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；据此解答即可．【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数是：2×3×2×5＝60，已知这个两位数是偶数，在60～70之间5的倍数是65，又知这个两位数加上3是5的倍数，所以这个两位数是65﹣3＝62，答：这个两位数是62．故答案为：62．8．（10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于7 ．【分析】通过分析可知：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，可得方程：可得3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水＝19×3＝57而1～8的和是36，则有2尽+1力+1山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力＝21 “力”为4，此时山＝5，心＝3，尽＝6；（1）式满足：6+3+6+4＝19；（3）式：5+穷+水+6＝19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7若水最大取8时，有但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大为7．据此解答即可．【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，可得方程：（1）+（2）+（3）可得：3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水＝19×3＝57而1～8的和是36，则有2尽+1力+1山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力＝21 “力”为4，此时山＝5，心＝3，尽＝6；（1）式满足：6+3+6+4＝19；（3）式：5+穷+水+6＝19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5＝19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7若水最大取8时，有但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大为7．故答案为：7．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？【分析】根据题意知道，这批作业的总数本变，即工作总量一定，那么计划与实际的工作效率与工作时间成反比例，据此设出原计划x小时批改完，列出方程先求出原计划用的小时数，再根据工作效率×工作时间＝工作量进而得解．【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：6×2+8（x﹣3﹣2）＝6x12+8x﹣40＝6x8x﹣6x＝282x＝28x＝14．6×14＝84（本）；答：这批作业有84本．10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）【分析】用五种不同的颜色涂正方体的六个面．先确定1种颜色染一组对面，剩下的4种颜色（用a、b、c、d表示）有abcd、acdb、acbd，3种染色方法，有•3＝15种；据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，•3＝5×3＝15（种）；答：共有15种不同的涂色方法．11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？【分析】可以按照数字找位置来分析，数字2不能在1附近，数字3有不在2附近，可以根据数字的位置枚举出来进行分析即可．【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为2，设如图所示字母为a，b，c，d，e所以2只能填在d和e．（1）d处填2，2的周围不能有3．所以3只能填在a处.3的周围不能填4，4只能填在c和e．，5、6不能在一起，所以5填在b.6和4可以在c 和e交换，此时2种填法；（见中图）（2）e处填2，3填a或者b处．3填a处，4、5、6必有两个相邻，没有满足条件的填法；3填b处，4只能填入c处，5只能填入a处，6填入d处．1种填法；（见右图）故共2+1＝3种填法．答：共有3种不同的方法．12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？【分析】首先需要将阴影部分和已知的正方形的边长的关系找到，可根据△APG转换成同底等高的△DPG，然后再根据等积变形的原理与边长为6的正方形联系起来即可解决．【解答】解：依题意可知：将△APG移到△DPG（如上面中图），连接DB，DB与GE平行．△DGE等于△BGE的面积（如上面右图）．S阴＝6×6÷2＝18cm2．答：影部分APEG的面积是18cm2．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:15；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
第 届“华杯赛”决赛小中组A组试题和参考答案
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学中年级组）（时间: 2016年3月12日10:00～11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算: =-⨯⨯+⨯÷⨯-⨯)332525624()86797698(________.2. 从1, 2, 3, 4, 5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□ + □ > □ + □,有________种不同的填法使式子成立.（提示: 3251+>+和3215+>+是不同的填法.）3. 将下图左边的大三角形纸板剪3刀, 得到4个大小相同的小三角形纸板 (第一次操作), 见下图中间. 再将每个小三角形纸板剪3刀, 得到16个大小相同的更小的三角形纸板 (第二次操作), 见下图右边. 这样继续操作下去, 完成前六次操作共剪了________刀.4. 一个两位数与109的乘积为四位数, 它能被23整除且商是一位数, 这个两位数最大等于________.5. 右图中的网格是由6个相同的小正方形构成. 将其中4个小正方形涂上灰色, 要求每行每列都有涂色的小正方形. 经旋转后两种涂色的网格相同, 则视为相同的涂法, 那么有________种不同的涂色方法.学校____________ 姓名_________ 参赛证号密 封 线 内 请 勿 答 题第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学中年级组)6.有若干个连续的自然数, 任取其中4个不同的数相加, 可得到385个不同的和,则这些自然数有________个.7.在44 方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数, 每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等. 右图给出了几个所填的数, 那么五角星所在的小方格中所填的数是________.8.甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑, 甲的速度是5米/秒, 乙的速度是3米/秒. 若他们同时从同一端出发跑了15分钟, 则他们在这段时间内共迎面相遇________次（端点除外）.二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9.右图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF, E在AB的延长线上, 则图中阴影部分的面积为多少平方厘米?10.有10个两两不同的自然数, 其中任意5个的乘积是偶数, 全部10个数的和是奇数. 则这10个自然数的和最小是多少？11.在1到200这200个自然数中任意选数, 至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？12.最初, 盒子中有三张卡片, 分别写着数1, 2, 3. 每次, 从盒子里取出两张卡片,将上面的数之和写到另一张空白卡片上, 再把三张卡片放回盒子. 如此5次后, 除了最后一张写数的卡片外, 其它的卡片都至少取出过一次, 不超过两次. 问: 此时盒子里面卡片上的数最大为多少？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（小学中年级组）第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学中年级组）一、填空（每题10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9.【答案】22平方厘米10.【答案】5111.【答案】19812.【答案】28。
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组·练习用,含答案)
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组·练习用）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 点O 为线段 AB 上一点， ∠AOC = 10︒ ， ∠COD = 50︒ ，A O B则 ∠BOD =或．2.已知 m ＞0 ，且对任意整数 k ，2018123k m+均为整数，则 m 的最大值为 ．3. [ x ] 表示不超过x 的最大整数，如[-1.3] = -2 ， [1.3] = 1 ． 已知129[][][]=4101010a a a ++++++ ，则 a 的取值范围是 ．4. 使 2n +1 和11n +121都是平方数的最小正整数 n 为 ．5. 在3⨯ 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3， 10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于．6. 已知某三角形的三条高线长 a ，b ，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值为 ．7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数 的和为 17，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字 的顺序，视为相同的分法．)8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则423abcab bc ca-+的最小值为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年年初交10 万元，第6 年年初返6 万元，以后每年处返1.5万元；方案二：购买一款年利率5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来两年每年年初追加本金10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 +1.053 +1.052=3.47563125）10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整的一个“角”，考古专家判定D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ， D 两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量∠CDE =135︒，DE =13厘米．原正多边形的周长是多少厘米？11. 一筐苹果，若分给全班同学每人3 个，则还剩下25 个；若全班同学一起吃，其中5 个同学每人每天吃1 个，其他同学每人每天吃2 个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？12. 给定一个5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格）．如果开始时所有25 个小方格均为白色，请问：能否经过8 次这样的操作，使得5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前4 次操作中至多变色1 次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 求证：不存在3 个有理数的平方和等于15．14.如图，一个由41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任意8 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与2 个黑格都有恰好1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染成黑色？第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中一年级组）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9.【答案】：方案二更划算.解：方案二，第4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第6 年年初时，共有本息10⨯ (1+ 5%)5 +10⨯ (1+ 5%)4 +10⨯ (1+ 5%)3 ≈10.5⨯3.4756 ≈36.5 （万元），F C D提取 6 万元后仍有约36.5 - 6 = 30.5（万元）可不断续存，以后每年可提取利息约30.5⨯5% =1.525 （万元）．在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5 万元划算．而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．综上所述，方案二更划算．10. 【答案】156 厘米【解答】如图，设原图是正n 边形，其中C ， D 间的 顶 点 为 F ， 连 接 CF， DF ， 则∠CFD = ∠FDE = (n - 2 )︒ ，n因为 C F = F ，180所以∠C D F = ∠ =1 8 0︒ - ∠C F D 2=1 8 ，nF D C = ⨯所以 ∠C D E = ∠ F D E - ∠ 解得n =12 ．n - 31 8 ︒01= ︒3，n所以原本多边形是正 12 边形，周长为13⨯12=156 （厘米）．11. 【答案】130.【解答】解答 1：设全班同学有n 人，根据题意， 3n + 25 是2n - 5 的倍数，则 n + 30为整2n - 5数．又∵ n + 30 = 1 ⋅ 2n - 5 + 65 = 1 ⎛1+ 65 ⎫， 2n - 5 2 2n - 5 22n - 5 ⎪∴652n - 5⎝ ⎭是奇数，∴ 2n - 5最大为 65， n 最大为 35，∴ 筐里最多共有3⨯35 + 25 =130 个苹果．解答 2：设全班同学有n 人，根据题意， 3n + 25 是2n - 5 的倍数，则 n + 30 为整2n - 5数． 记n + 30= k ， k 为正整数，则n + 30 = k (2n - 5) ，两边同乘 2，得到2n - 52n + 60 = 2k (2n - 5) ， 2n + 60 = 2n - 5 + 65 ， 2n - 5 + 65 = 2k (2n - 5) ，(2k -1)(2n - 5) = 65 = 5⨯13 ．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)2k -1 =1时，2n - 5 = 65 ，n = 35，2k -1 = 5 时，2n -5=13，n =9 ，2k -1 =13 时，2n -5= 5，n = 5，2k -1 = 65 时，2n -5=1，n = 3，n 为35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35⨯3 + 25 =130 ．12.【答案】可以【解答】操作如下：（1）经过4 次操作可染成如下：第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)，（2）继续操作第5 次第6 次第7 次第8 次三、解答下列各题（每题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13.证明：注意到(-x)2 =x2 ，只需考虑非负有理数的平方和．假设存在3 个有理数n，q，t，其中m，n，p，q，k，t 是自然数，m p k且(m，n) =1，( p，q) =1，(k，t) =1 ，使得15 =n 2+q 2+t 2，( ) ( ) ( ) m p k那么15m2n2 p2 = (npk)2 + (mqk)2 + (mpt)2 ，第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)1即15d 2 = a 2 + b 2 + c 2 ，其中a ，b ，c ，d 是自然数．（1） 如果d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得d 为奇数．假设d = 2d ，若a ，b ，c两奇一偶，则a 2 + b 2 + c 2 被 4 除余 2，而15d 2 被 4整除，矛盾！所以a ，b ，c 都是偶数，故令a = 2a 1 ， b = 2b 1 ， c = 2c 1 （ a 1，b 1，c 1都是自然数），所以15d 2 = a 2 + b 2 + c 2 （其中a + b + c < a + b + c ）．如果d 还11 1 1 1 1 1 1是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．（2） 如果d 为奇数，即d = 2r +1（ r 是自然数），那么15d 2 = 15(2r +1)2 = 15(4r (r +1) +1) ，即15d 2 被 8 除余 7．另一方面，若a ，b ，c 为三个奇数，那么a 2 + b 2 + c 2 被 8 除余 3；若a ，b ，c为两偶一奇，那么a 2 + b 2 + c 2 被 8 除余 1 或 5；第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)矛盾！因此，假设不成立，故不存在 3 个有理数的平方和等于 15． 14. 【答案】不可能【理由】如右图，可以将棋盘上的方格分为两类，灰色方格和白色方格．由染色规则可知，两类方格的染色互不影响， 因此需要分别考虑．首先考虑灰色方格．将只属于 1 个黑色方格的顶点数量称为“边界顶点数”．由染色的规则可以知道，每染一个方格，“边界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此时的“边界顶点数”为 20虑白色方格．将所有白色方格都染黑， 此时的“边界顶点数”此白色方格中初始染为黑色的至少需要 4 个．所以初始染色方格数为 8 时，无法将整个棋盘都染成黑 色．初始染色方格数为 9 时，如右图所示，将蓝色和红色方格作为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．。
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析(小学中年级b组)
2016第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析（小学中年级)决赛试题A(小学中年级组)一、填空题1、计算：（98×76-679×8）÷（24×6+25×25×3-3）=_________。
解析：此题考察计算能力。
完全靠计算也能算出正确答案。
现在看一看有没有简便的方法。
原式=(98×76-97×7×8)÷[24×6+(25×25-1)×3]=(97×76+76-97×56)÷(24×6+24×26×3)=(97×20+76)÷(24×84)=2016÷2016=12、从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中：□ + □ > □ + □有_________种不同的填法使式子成立。
（提示：1+5>2+3和5+1>2+3是不同的填法）解析：此题意在考察同学们的推理思维能力。
右边小，先从右边1、2开始考虑(当然从左边最大5、4考虑起也可以，按个人习惯)当右边为：(1)1、2时，左边可为3、4，3、5，4、5根据题意，交换也算是不同填法，则右边为1、2的种类为3×2×2=12(2)1、3时，左边可为2、4，2、5，4、5同样种数为12(3)2、3时，左边可为1、5，4、5，此时种数为2×2×2=8(4)1、4时，与2、3相同，也是8种(5)2、4时，左边可为3、5，此时种数为2×2=4(6)1、5时，与2、4相同，也是4种其余数字无法满足式子，即总的种数为12+12+8+8+4+4=483、将下图左边的大三角形纸板剪三刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作）。
见下图中间。
再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边。
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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学中年级组·练习用）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算= . 1.919.992199.99931999.9999419999.999995+⨯+⨯+⨯+⨯2.的个位数字是 .()()()()()211221231241220181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+L3.右图是由相同的小正方形组成的4×4方格网,以这些小正方形的顶点为端点可以连成的不同长度的线段共有 条.4.有五个人A, B, C, D, E 一起去看电影,他们从左到右坐在一排椅子上,发现:(1) A 和E 都不和B 相邻;(2) A 和E 都不和D 相邻;(3) B 和E 都不和C 相邻;(4) D 在C 的右边与其相邻.那么这五个人从左到右是 .5.如图,四边形ABCD 和DEFG 都是平行四边形,点为C线段FG 的中点，E 在边AB 上.若三角形DCG 的面积为4平方厘米,则四边形ABCD 的面积为 平方厘米.6.有6名同学平均分成A,B 两组,玩传球游戏,每人只能把球传给不同组的人. 甲在A 组,由甲开始传球,球再次回到甲的手里时已经发生了6次传球.那么这6次传球共有 种不同的传球顺序.7.甲丙两人沿相同的路线从A 地到B 地,乙沿相反的路线从B 地到A 地,两地相距9公里. 已知甲的速度是乙的2倍.三人同时出发, 1小时后甲乙二人相遇. 甲到B 地时，乙丙二人正好相遇, 然后甲立即沿原路返回, 问甲丙二人相遇时,甲离开B 地 分钟.8.右图的8×8网格中的小方格中都填有奇数,有一类由网格线构成的长方形(包括正方形),它里面的数字之和是奇数,那么这类长方形共有 个.二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9.用每个面积为6平方米的正六边形地板砖铺砌地面,P为C,D为顶点的地板砖一条棱上的点（如图所示），阴影六角形ABCPDE的面积是多少?10.将从0开始的一串连续自然数: 0,1,2,3,…,写在一些卡片上,每张卡片上写一个数,然后按照从小到大的顺序叠在一起（小的在上面）.从最上面取走4张卡片,然后将这4张卡片上的数的和,写在一张新卡片上,并将新卡片放到这叠卡片的最下面.重复同样的操作,直到这叠卡片不足4张.如果最后剩下的这些卡片上的数的和是55,那么最后所写的那张卡片上的数是多少?11.从一个正二十边形的20个顶点中任取n个,顺次连结得到n边形,其中是正多边形的有几个? (正多边形是指各边相等, 各内角也相等的多边形)12.由7×7的正方形方格纸沿着方格的边界剪出相等数量的2×2的正方形和的长方形.可以剪出这些图形的最大数量共有多少个?第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛解析（小学中年级组·练习用）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1.计算= . 1.919.992199.99931999.9999419999.999995+⨯+⨯+⨯+⨯答案：108641.87655解析：原式=()2+2203200420005200000.120.0130.00140.000150.00001⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=108641.876552.的个位数字是 . ()()()()()211221231241220181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+L答案：5解析：只要看每个括号里的个位即可：3×5×7×9×1…×7，发现全是奇数并且有5存在，所以个位是5。
3.右图是由相同的小正方形组成的4×4方格网,以这些小正方形的顶点为端点可以连成的不同长度的线段共有 条.答案：14解析：先数长度是整数的有1,2,3,4共4条，再数长度是某个长方形对角线的共10条，4+10=14（条）4.有五个人A, B, C, D, E 一起去看电影,他们从左到右坐在一排椅子上,发现:(1) A 和E 都不和B 相邻;(2) A 和E 都不和D 相邻;(3) B 和E 都不和C 相邻;(4) D 在C 的右边与其相邻.那么这五个人从左到右是 .答案：EACDB解析：由（4）可以确定C 与D 的关系，再由（2）（3）得到E 不与C 和D 相邻，所以直接把可能性缩小为以下4种：E CD E CD CD E CD E再借助（1）（2）（3）三个条件可以轻易筛选出正确答案。
5.如图,四边形ABCD 和DEFG 都是平行四边形,点为C 线段FG 的中点，E 在边AB 上.若三角形DCG 的面积为4平方厘米,则四边形ABCD 的面积为 平方厘米.答案：16解析：根据平行四边形的一半模型可以得到△DCE既是ABCD的一半，又是DEFG的一半，所以四边形ABCD和DEFG面积是相等的，所以只要求出DEFG即可，因为C是中点，所以△DCG的面积是DEFG的四分之一，DEFG=4×4=166.有6名同学平均分成A,B两组,玩传球游戏,每人只能把球传给不同组的人. 甲在A组,由甲开始传球,球再次回到甲的手里时已经发生了6次传球.那么这6次传球共有种不同的传球顺序.答案：108解析：这里要注意“球再次回到甲的手里”这句话隐含了在前5次传球过程中并没有传给过甲，只在第6次又传回给了甲，所以在前5次传球里，A组的人传给B组的人每次有3种选择，而B组的人传给A组的人每次只有2种选择，所以用乘法原理轻松可以解决：3×2×3×2×3×1=108（种）7.甲丙两人沿相同的路线从A地到B地,乙沿相反的路线从B地到A地,两地相距9公里. 已知甲的速度是乙的2倍.三人同时出发, 1小时后甲乙二人相遇. 甲到B地时，乙丙二人正好相遇, 然后甲立即沿原路返回, 问甲丙二人相遇时,甲离开B地分钟.答案：30解析：先看甲乙的相遇可求得：V甲+V乙=9÷1=9（km/h），又因为其中V甲=2V乙，求出V甲=6，V乙=3，甲到达B用了9÷6=1.5（h）。
说明乙丙相遇用了1.5h，求出V乙+V丙=9÷1.5=6（km/h），所以V丙=6-3=3而甲回头与丙相遇的过程中，两人的路程和是2个AB,时间=9×2÷（9+3）=1.5（h），此时甲离开B地1.5-1=0.5（h）=30（min）8.右图的8×8网格中的小方格中都填有奇数,有一类由网格线构成的长方形(包括正方形),它里面的数字之和是奇数,那么这类长方形共有个.答案：400解析：因为所有的数字都是奇数，而奇数个奇数的和才能是奇数，所以就要求我们框选的长方形是奇数块的，然后分类去数。
1×1的：8×8=64（个）1×3的：8×6×2=96（个）1×5的：8×4×2=64（个）1×7的：8×2×2=32（个）3×3的：6×6=36（个）3×5的：6×4×2=48（个）3×7的：6×2×2=24（个）5×5的：4×4=16（个）5×7的：4×2×2=16（个）7×7的：2×2=4（个）共400个。
二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9.用每个面积为6平方米的正六边形地板砖铺砌地面,P 为C ,D 为顶点的地板砖一条棱上的点（如图所示），阴影六角形ABCPDE 的面积是多少?答案：18解析：如图, 将每个正六边形地板砖分割成6个面积为1平方米的正三角形, 形成右图的单位正三角形网格. 将阴影六角形ABCPDE 分为三角形ABE 和三角形CPD 两部分. 因AT//BE, 所以三角形ABE 的面积=三角形TBE 的面积=16平方米.补上一个单位正三角形KDN, 得平行四边形CDNM,三角形CPD 的面积= 平行四边形CDNM 面积平方米. 12⨯1=4=22⨯所以阴影六角形ABCPDE 的面积=16+2=18平方米.10.将从0开始的一串连续自然数: 0,1,2,3,…,写在一些卡片上,每张卡片上写一个数,然后按照从小到大的顺序叠在一起（小的在上面）.从最上面取走4张卡片,然后将这4张卡片上的数的和,写在一张新卡片上,并将新卡片放到这叠卡片的最下面.重复同样的操作,直到这叠卡片不足4张.如果最后剩下的这些卡片上的数的和是55,那么最后所写的那张卡片上的数是多少?答案：33解析：因为每次操作后, 卡片上的数的和不变, 总等于55. 所以开始写下一串连续的自然数是: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.第1次操作后, 卡片上的数是: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6;第2次操作后, 卡片上的数是: 8, 9, 10, 6, 22;第3次操作后, 卡片上的数是: 22, 33.所以, 最后所写的数是33.11.从一个正二十边形的20个顶点中任取n 个,顺次连结得到n 边形,其中是正多边形的有几个? (正多边形是指各边相等, 各内角也相等的多边形)答案：12解析：要使得取出的顶点构成正多边形, 顶点个数需要是20的约数. 因为20 的约数只有1, 2, 4, 5, 10, 20, 所以只能组成正四边形, 正五边形, 正十边形和正二十边形. 正四边形有5个, 正五边形有4个, 正十边形有2个, 正二十 边形有1个, 所以满足题意的正多边形共有12个.12.由7×7的正方形方格纸沿着方格的边界剪出相等数量的2×2的正方形和的长方形.可以剪出这些图形的最大数量共有多少个?答案：12解析：无论是正方形还是长方形都由4个方格组成. 所以剪出的图形的数量不多于, 即不大于12.两类图形相等,494所以2×2的正方形和1×4的长方形不多于6个. 右图指出了一个剪出6个的正方形和6个的长方形的方法.。