找最大公因数和最小公倍数的方法(修)
【求最大公因数和最小公倍数的方法】
浅谈最小公倍数和最大公因数的教学明光市桥头镇司巷中心小学黄海燕摘要: 准确快速地求出两个数的最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。
通过观察比较不难发现，当两数成倍数关系或互质关系时可直接写出它们的最大公因数和最小公倍数。
当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。
当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。
看清之间关系，看清数据特征，看清条件与要求，用好最佳方法，认真细心计算。
一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。
准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。
对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。
而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。
而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。
它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。
只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。
最大公因数和最小公倍数怎么求
最大公因数和最小公倍数怎么求最大公因数和最小公倍数是数学中常用的概念，用于描述两个数的公共因数和公共倍数。
最大公因数（GCD）是两个或多个整数共有的最大的正整数因子。
求最大公因数有多种方法，其中欧几里得算法（Euclidean algorithm）是最常用的一种。
欧几里得算法的基本思想是通过连续除法来找到最大公因数。
具体步骤如下：1.写出两个数的表达式：a = b ×gcd(a, b) + r2.交换a和b的位置3.重复步骤1和2，直到b为04.此时，a就是最大公因数例如，求8和12的最大公因数：1.8 = 12 ×0 + 82.12 = 8 ×1 + 43.8 = 4 ×2 + 04.4 = 0 ×4 + 45.此时，4是最大公因数最小公倍数（LCM）是两个或多个整数的最小的公倍数。
求最小公倍数的方法有多种，其中常用的有公式法和分解质因数法。
公式法是通过公式求解最小公倍数，公式为：LCM(a, b) = (a ×b) / GCD(a, b)。
其中，a和b是要求最小公倍数的两个数，GCD(a, b)是它们的最大公因数。
分解质因数法是通过将每个数分解为质因数的乘积，然后取每个数的所有质因数的最高次幂的乘积来求解最小公倍数。
例如，求12和15的最小公倍数：1.将12分解为质因数的乘积：12 = 2^2 ×3^12.将15分解为质因数的乘积：15 = 3^1 ×5^13.取每个数的所有质因数的最高次幂的乘积：LCM(12, 15) = 2^2 ×3^1 ×5^1 = 60。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数在数学的世界中，最大公因数与最小公倍数是两个非常重要的概念，尤其是在数论和初等数学中，这些概念经常出现，它们不仅有趣，还有着极为广泛的应用。
无论是在解决分数问题、划分物品，还是在处理比例和倍数的场景中，你会发现这两个概念的卓越之处。
最大公因数，也称为GCD（GreatestCommonDivisor），指的是两个或多个自然数的最大共同因子。
举个例子，考虑数字12和15。
它们的因子分别是：12的因子：1,2,3,4,6,1215的因子：1,3,5,15这两个数字的共同因子是1和3，其中最大的就是3。
所以，12和15的最大公因数是3。
相较而言，最小公倍数则是寻找两个或多个自然数的最小共同倍数，通常记作LCM（LeastCommonMultiple）。
继续用12和15为例，它们的倍数分别为：12的倍数：12,24,36,48,60,72,…15的倍数：15,30,45,60,75,…在这些倍数中，最小的共同倍数就是60。
所以，12和15的最小公倍数为60。
这两个概念之间的联系十分密切。
利用最大公因数与最小公倍数之间的关系，可以轻松地求解这两个值。
常用的公式为：[(a,b)(a,b)=ab]这个公式直观而简明，表明了最大公因数和最小公倍数之间的相互依赖。
求取最大公因数的方法有多种，最常用的一种是辗转相除法。
以12和15为例，首先分别将较大的15除以较小的12，得到余数3。
接下来用12除以3，结果是4，余数为0。
在余数为0时，最后一个非零的余数，即3，便是最大公因数。
另一种方法是素因数分解。
将数字分解为其基本素因子，然后取相同素因子的最低次幂。
例如，12的素因数分解为(2^2^1)，而15为(3^1^1)。
在这两个分解中，只有3是共同素因子，且它的最低次幂仅为1。
因此，最大公因数仍为3。
计算最小公倍数时，可以通过素因数分解的方式找到。
依然使用12和15，素因数分解为：12:(2^2^1)15:(3^1^1)在计算最小公倍数时，取每个不同素因子的最高次幂。
求最大公因数,最小公倍数的方法
求最大公因数,最小公倍数的方法
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲求最大公因数和最小公倍数的那些超棒方法！
先来说说求最大公因数吧。
好比咱有一堆糖果，要公平地分给几个人，就得找到能整除这些糖果数的最大那个数，这就是最大公因数啦！比如说12 和 18，咱可以用列举法呀，12 的因数有 1、2、3、4、6、12，18 的因数有 1、2、3、6、9、18，那它们共有的最大的那个就是 6，这不就找到最大公因数啦！是不是挺简单？
还有一种方法叫短除法，就像给数字们来个瘦身计划！比如 24 和 36，咱用短除法一试，一下子就能找到它们的最大公因数是 12。
想象一下，短除法就像是一把神奇的剪刀，帮我们快速剪掉多余的部分，找到最关键的那个公因数呀！
再讲讲最小公倍数。
哎呀呀，这就好像是给数字们找一个最舒服的“家”，能把它们都包含进去的最小的那个数。
举个例子，4 和 6，它们的倍数分别有好多，但是最小公倍数就是 12 呀。
用列举法能找到，用短除法也能轻松搞定呢！
咱来做个小结哈，求最大公因数和最小公倍数的方法是不是特别有趣？就像在玩一场数字的游戏。
我们可以用不同的方法去尝试，去探索，每一种方法都有它独特的魅力！就问你，以后遇到这些问题，还会害怕吗？肯定不会啦！所以呀，赶紧把这些方法学会，去征服那些数字世界吧！让我们一起在数字的海洋里快乐遨游！。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
第十三讲最大公因数最小公倍数（修复的）（PDF）
-169-第十三讲最大公因数与最小公倍数知识导航：1.最大公因数和最小公倍数的概念和最简单的表示方法（1）几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
自然数a 、b 最大公因数记作(a,b)。
例如：12和18的最大公因数是6，可以记作（12,18）=6。
（2）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a 、b 的最小公倍数记作﹝a,b ﹞例如：24和18的最小公倍数是72，记作﹝24,18﹞=72。
2．关于最大公因数和最小公倍数的有关性质（1）如果a 和b 互质，那么a 和b 的最大公因数是1，最小公倍数是ab 。
（2）如果a 是b 的整数倍，那么a 和b 的最大公因数是b,最小公倍数是a 。
（3）非零自然数a、b 分别除以它们的最大公因数d，所得商是互质的。
（4）公因数是最大公因数的因数。
（5）若两个数同时扩大m 倍，它们的最大公因数也扩大m 倍。
（6）两个数的任意公倍数是它们最小公倍数的倍数。
（7）两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积与它们最大公因数的商。
3．求最大公因数和最小公倍数的方法（1）列举法：例：12的因数：1、2、3、4、6、12；12的倍数:12、24、36、48…18的因数：1、2、3、6、9、18；18的倍数：18、36、54…即（12，18）=6〔12，18〕=36（2）短除法：求几个数的最大公因数，用几个数的公因数去除，除到这几个数只有公因数“1”为止，将左半边的公因数相乘。
求几个数的最小公倍数，也是用几个数的公因数去除，除到两两互质为止。
将左半边的公因数和拐弯处剩下的数都相乘。
（3）分解质因数法：12=2×2×3;18=2×3×3即（12，18）=6〔12,18〕=36（4）辗转相除法：主要针对两个较大数求最大公因数而言的。
就是用其中较大数除以较小数，得余数r 1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r 2…以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。
最大公因数和最小公倍数的求法
最大公因数与最小公倍数质数和合数质数：一个数除了1和它本身以外，不再有别的因数，这个数叫质数。
因数：一个数除了1和它本身以外，还有别的因数，这个数叫做合数。
☆1既不是质数也不是合数。
☆最小的质数是2，最小的合数是4。
☆常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共计25个。
☆除了2，其余的质数都是奇数，除了2和5，其余质数的各位数字只能是1、3、7或9.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。
例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数的方法——短除法把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小开始）去除，出得商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商是合数，按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止．然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
★合数都能分解质因数。
★1是任何合数的因数。
★质因数、合数与1组成自然数。
最大公因数定义：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。
公因数中最大的一个公因数，称为这几个自然数的最大公因数。
最大公因数的求法：1、短除法。
2、分解质因数法。
3、列举法。
例如：12=2×2×3 18=2×3×3 （12，18）=2×3=6互质数：公因数只有1的两个数叫互质数。
互质的两个数不一定都是质数。
有可能有以下几种情况：⊙两个数都是质数。
⊙两个数都是合数。
⊙一个是质数，另一个是合数。
⊙一个是1，另一个是质数或合数。
⊙相邻的两个数都是互质的。
最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数知识内容：知识点1、最大公因数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。
求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。
1、列举法：分别找出两个数的因数，然后看哪些是它们的公因数，从中找出最大的一个因数。
2、分解质因数法：先把两个数分解质因数，相同的质因数的积就是它们的最大公因数。
3、短除法：用两个数的最小质因数除起，一直除到两个商是互质数为止，除数相乘的积就是它们的最大公因数。
知识点2、最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。
两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。
教学辅助练习（或探究训练）知识点1、最大公因数例题1、求下面每组数的最大公因数。
24和36 36和27解：方法1：列举法：方法2：分解质因数法：方法3、短除法：练习1、1、用列举法求下面每组数的最大公因数。
15和12 30和45 18和722、用分解质因数法求下面每组数的最大公因数。
34和51 42和54 15和803、用短除法求下面每组数的最大公因数。
18和24 48和18 30和50 32、12和164、求下列各组数的最大公因数。
45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72知识点2、最小公倍数例题2、求下列每组数的最小公倍数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.观察法
（1）当两个数互质（互质数就是两个数只有公因数1）时，最大公因数就是1。
（2）当两个数中的一个是另一个的倍数时，最大公因数就是其中较小的那个数。
2.列举法
方法1：先列出两个数的因数，再找出两个数的公因数，最后找出两个数的最大公因数。
例如：用列举法找8和6的最大公因数
8的因数有1、2、4、8
6的因数有1、2、3、6
8和6的最大因数数是2。
方法2：先列出较小数的因数，再从大到小依次找其中哪些是较大数的因数，最后找它们的最大公因数。
例如：用列举法找8和6的最大公因数
6的因数有1、2、3、6，从大到小依次检测，6、3都不是8的因数，2是8的因数，所以 8和6的最大因数数是2。
3.分解质因数法
用分解质因数方法找二个数的最大公因数，是分解质因数后，找出相同的质因数，把相同的质因数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
例如：用分解质因数的方法找下面12和18的最大公因数
12=2×2×3
18=2×3×3
12和18相同的质因数是2×3，所以12和18的最大公因数是2×3=6 。
4.短除法。
用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。
然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。
例如：用短除法找48和36的最大公因数
1.观察法
（1）当两个数互质（互质数就是两个数只有公因数1）时，最小公倍数就是这两个数的乘积。
（2）当两个数中的一个是另一个的倍数时，最小公倍数就是其中较大的那个数。
2.列举法
方法1：先分别写各自的倍数，再找它们的公倍数，然后在公倍数里找它们的最小公倍数。
例如：用列举法找出6和8的最小公倍数。
6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……
8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……
6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。
方法2：先列较大数的倍数，再从小打大依次找其中哪些是较小数的倍数，最后找它们的最小公倍数。
例如：用列举法找出8和6的最小公倍数
8的倍数有：8、16、24、32 、40、48 、56、64......其中：24、48......也是6的倍数。
所以 8和6的最小公倍数是：24.
3.分解质因数法
用分解质因数方法找二个数的最大公因数，是分解质因数后，找出二个数相同的质因数，及二个数各自独有的质因数，然后把二个数相同的质因数和二个数各自独有的质因数全部相乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
例如：用分解质因数求12和18的最小公倍数。
12=2×2×3 18=2×3×3
12和18相同的质因数是2×3，12独有的因数是2，18独有的因数是3，所以12和18的最小公倍数：2×3×2×3=36 。
4.短除法。
用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。
把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数。
例如：用短除法找48和36的最小公倍数。