用图象法求一元二次方程的近似根课件
2.5.2图象法求一元二次方程的近似根
图象法求一元二次方程的近似根（2013•开阳县校级模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A．﹣1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．【解答】解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．【点评】此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．利用二次函数的图象，求下列一元二次方程的近似根．（1）x2+11x=9；（2）x2+3x+2=0；（3）x2+2x﹣9=0；（4）x2+3=3x．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】数形结合．【分析】（1）画抛物线y=x2+11x和直线y=9，它们的交点的横坐标为所求；（2）画抛物线y=x2+3x+2，抛物线与x轴的交点的横坐标为所求；（3）画抛物线y=x2+2x﹣9，抛物线与x轴的交点的横坐标为所求；（4）画抛物线y=x2﹣3x+3，抛物线与x轴没有交点，说明方程没有实数解．【解答】解：（1）如图1：方程的近似根为x1=0.8，x2=﹣11.8；（2）如图2：方程的根为x1=﹣1.0，x2=﹣2.0；（3）如图3：方程的近似根为x1=﹣4.2，x2=2.2；（4）如图4：方程没有实数解．【点评】本题考查了利用二次函数图象求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的．（2012•富平县模拟）小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4y﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题；探究型．【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．【解答】解：当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．故选C．【点评】当y等于0时等到的x值即为方程x2+2x﹣10=0的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．（2012•福州质检）方程x2+3x﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3﹣x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以x以后再转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数的图象即可得到实数根x0所在的范围．【解答】解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．【点评】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．（2011•安徽模拟）先阅读下列表格x… 1.1 1.2 1.3 1.4…x2+12x﹣15…﹣0.590.84 2.29 3.76…由表格可知方程x2+12x﹣15=0的正根的十分位是（）A．0B．1C．2D．3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】由图表可以得出x2+12x﹣15＜0，以及x2+12x﹣15＞0时对应的x的值，进而得出答案即可．【解答】解：由图表可以得出x2+12x﹣15=﹣0.59时，x由一个值为1.1，x2+12x﹣15=0.84时，x由一个值为1.2，可得出x2+12x﹣15=0的正根一定位于1.1与1.2之间，故方程x2+12x﹣15=0的正根的十分位是：1，故选：B．【点评】此题主要考查了图表法求一元二次方程的近似值，根据已知得出x2+12x﹣15=0的正根一定位于1.1与1.2之间是解题关键．（2009•连云港模拟）下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x﹣2.14﹣2.13﹣2.12﹣2.11y=ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04A．﹣2＜x＜﹣2.14B．﹣2.14＜x＜2.13C．﹣2.13＜x＜﹣2.12D．﹣2.12＜x＜﹣2.11【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．（2006•南通）根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（）x00.51 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是2【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】仔细看表，可知x2+px+q的值﹣0.59和0.84最接近于0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选：C．【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）x2 2.23 2.24 2.25ax2+bx+c﹣0.05﹣0.020.030.07A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.25【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】计算题；压轴题．【分析】将方程ax2+bx+c=0的解理解为函数y=ax2+bx+c当y=0时与x轴交点的横坐标，再解答．【解答】解：∵对于函数y=ax2+bx+c，当x=2.23时y＜0，当x=2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选B．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟悉函数与方程的关系式解题的关键．（2010•上饶校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是①②④．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】计算题；压轴题．【分析】由上表得与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）；函数图象有最低点（1，﹣9）；有抛物线的对称性可得出可得出与x轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．从而可得出答案．【解答】解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，锻炼了学生数形结合的思想方法．（2005•贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=﹣3.3．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】先根据图象找出函数的对称轴，得出x1和x2的关系，再把x1=1.3代入即可得x2．【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．故答案为：﹣3.3【点评】考查二次函数和一元二次方程的关系．（2005•三明）已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2﹣5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．（1）在表内的空格中填上正确的数；（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分．y=x2+px+q p q△x1x2dy=x2﹣5x+6﹣561231y=x2﹣x﹣y=x2+x﹣2﹣2﹣23【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】（1）p为一次项系数；q为二次函数的常数项；△为b2﹣4ac；一根为常数项÷另一根；d为较大根于较小根之差；（2）代入相关值后可得相关量之间的关系；（3）令y=0，得出x1+x2=﹣p，x1•x2=q．继而推出d2=（|x1﹣x2|）2=△【解答】解：（1）易得第三行q=0，x1=0，d=；第四行为p=1，△=9，x2=1；（2）猜想：d2=△．例如：y=x2﹣x﹣2中；p=﹣1，q=﹣2，△=9；由x2﹣x﹣2=0得x1=2，x2=﹣1，d=3，d2=9，∴d2=△；（3）证明．令y=0，得x2+px+q=0，∵△＞0设x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣p，x1•x2=q，d2=（|x1﹣x2|）2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（﹣p）2﹣4q=p2﹣4q=△，【点评】本题考查二次函数的性质的综合运用，需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系．（2015•广州校级模拟）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A．4.4B．3.4C．2.4D．1.4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x=﹣1，∴另一个交点坐标为：（1.4，0），则方程的另一个近似根为1.4，故选：D．【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．（2012秋•平和县期中）观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71A．0.11B．1.6C．1.7D．1.19【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】设y=x2﹣x，根据表格，可以看出y=x2﹣x在区间【1.1，1.9】上是增函数，根据函数是单调性，来确定一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解．【解答】解：令y=x2﹣x，根据表格，可以看出y=x2﹣x在区间【1.1，1.9】上是增函数，∴当x2﹣x=1.1，即y=1.1时，y=x2﹣x的值域是【0.96，1.19】上，它对应的定义域是【1.6，1.7】，∵与0.96相比，y=1.1更接近于1.19，∴方程x2﹣x=1.1的定义域更接近于1.7．故选C【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．（2011•花都区一模）已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】首先由，可得：k=x3+x，然后由关于x的方程有一个正的实数根，可得k的取值范围．【解答】解：∵，∴k=x3+x，∵关于x的方程有一个正的实数根，∴x＞0，∴k＞0．故选B．【点评】此题考查了方程根与方程的关系．注意用x表示出k的值是解此题的关键．（2005•浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．（2011秋•大荔县期末）根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为（）x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax2+bx+c﹣0.095﹣0.0460.0030.052A．1.40＜x＜1.43B．1.43＜x＜1.44C．1.44＜x＜1.45D．1.45＜x＜1.46【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.046和0.003最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．（2015秋•荣成市校级期中）已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据图象与x轴的交点坐标关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象，得对称轴是x=﹣1，x1与x2关于对称轴对称，1.3﹣（﹣1）=﹣1﹣x2，解得x2=﹣3.3．故选：D．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，利用图象与x轴的交点坐标关于对称轴对称是解题关键．（2015秋•普兰店市校级期中）根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y=ax2+bx+c﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.03与y=0.09之间，对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．故选：D．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键．（2015秋•福安市校级期中）根据下列表格对应值：x345ax2+bx+c0.5﹣0.5﹣1判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（）A．x＜3B．x＜2C．4＜x＜5D．3＜x＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．【解答】解：由图表可知，ax2+bx+c=0时，3＜x＜4．故选D．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．（2013秋•海宁市期中）二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134…y…242﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质．【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c=0即y=0时x的值取值范围，得出答案即可．【解答】解；A、由图表中数据可得出：x=1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；B、∵x=0时，y=2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；C、当x=﹣1时与x=4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；D、∵y=0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．故选；D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．（2012•贵港一模）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）x 6.176.18 6.196.20y=ax2+bx+c0.02﹣0.010.020.04A．0B．1C．2D．1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】计算题．【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．【解答】解：∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间，故选C．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，当函数值由正变为负或由负变为正时，方程的根在这两个自变量之间．（2012•西陵区校级模拟）根据下列表格的对应值：x89101112ax2+bx+c﹣4.56﹣2.01﹣0.38 1.2 3.4判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．8＜x＜9B．9＜x＜10C．10＜x＜11D．11＜x＜12【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围．【解答】解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11．故选C．【点评】此题主要考查了抛物线的增减性，利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．（2012•富平县模拟）小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4y﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题；探究型．【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．【解答】解：当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．故选C．【点评】当y等于0时等到的x值即为方程x2+2x﹣10=0的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．（2012•福州质检）方程x2+3x﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3﹣x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以x以后再转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数的图象即可得到实数根x0所在的范围．【解答】解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．【点评】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．（2012•思明区质检）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣2m m﹣2…若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2的取值范围是（）A．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C．0＜x1＜1，1＜x2＜2D．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．【解答】解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．（2012秋•昆山市期末）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y﹣0.06﹣0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．3.23＜x＜3.24B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26D．不能确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．【解答】解：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．故选：B．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．（2012秋•温岭市校级期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（）A．x1≈﹣2.1，x2≈0.1B．x1≈﹣2.5，x2≈0.5C．x1≈﹣2.9，x2≈0.9D．x1≈﹣3，x2≈1【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】先测估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=﹣1，可以算出左侧交点横坐标．【解答】解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=﹣1，而对称轴右侧图象与x轴交点与原点的距离，约为0.5，∴x1=0.5；又∵对称轴为x=﹣1，则=﹣1，∴x2=2×（﹣1）﹣0.5=﹣2.5．故x1≈﹣2.5，x2≈0.5．故选：B．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要估计图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，必须估计尽量准确．（2012秋•沙坪坝区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…﹣1013…y…﹣3131…则方程ax2+bx+c=0的正根介于（）A．3与4之间B．2与3之间C．1与2之间D．0与1之间【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据图表内容找到方程ax2+bx+c=0即y=0时x的值取值范围，进而得出答案即可．【解答】解：根据图表所示知：方程ax2+bx+c=0的正根即为y=0时对应x的正值，利用图表可以得出：二次函数对称轴为x=，当x=0时，y=1，当x=3时，y=1，当x=4时，y=﹣3，则方程ax2+bx+c=0的正根介于：3与4之间，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．（2011•花都区一模）已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】首先由，可得：k=x3+x，然后由关于x的方程有一个正的实数根，可得k的取值范围．【解答】解：∵，∴k=x3+x，∵关于x的方程有一个正的实数根，∴x＞0，∴k＞0．故选B．【点评】此题考查了方程根与方程的关系．注意用x表示出k的值是解此题的关键．（2011秋•大荔县期末）根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为（）x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax2+bx+c﹣0.095﹣0.0460.0030.052A．1.40＜x＜1.43B．1.43＜x＜1.44C．1.44＜x＜1.45D．1.45＜x＜1.46【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.046和0.003最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．（2011秋•晋江市期末）根据下列表格中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为常数）一个解x的范围最可能是（）x0.750.80.850.9ax2+bx+c﹣0.25﹣0.040.190.44A．x＜0.75B．0.75＜x＜0.8C．0.8＜x＜0.85D．0.85＜x＜0.9【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】图表型．【分析】从表格中的数据可以看出，当x=0.8时，y=﹣0.04；当x=0.85时，y=0.19，函数值由负数变为正数，此过程中存在方程ax2+bx+c=0的一个根．【解答】解：∵当x=0.8时，y=﹣0.04；当x=0.85时，y=0.19，∴方程ax2+bx+c=0的一个根应在0.8﹣0.85之间，故选C．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．。
22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0
九年级数学下册30、5二次函数与一元二次方程的关系第2课时用二次函数的图像解一元二次方程授课课件新版
知1－讲
例1 求方程x2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，设它与 x轴的交点的横坐标为x1和x2， 不妨设 x1＜x2. 现在来求x1的近似值.
知1－讲
(1) 容易看出：当 x＝－2 时，y＞0； 当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内， y随x的增大二减小，所以－2＜x1＜－1
知1－练
4 【中考·兰州】下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的 自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
知1－练
5 【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝ 2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个
况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋ c＝0的根．
知1－练
1 求例题中x2精确到0.1的近似值.
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，现在求x2 的近似值． (1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且 在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
知1－讲
例2 利用函数的图像，求方程x2＋2x－3＝0的根．
解：先把方程化成x2＝－2x＋3. 如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图像，得到它 们的交点为(－3，9)和(1，1)， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
总结
知1－讲
利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤： (1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式； (2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图像； (3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情
《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求
得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4 D D．1.4
3.用图象法求一元二次方程
x2 的x 近1似根0（精确到0.1）.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个 实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器 进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
＋bx＋c＝0的近似根为( )
B
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而
对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称
轴为x＝－1，则
y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方1程
ax2+bx+c=0的根是__(2_,_0_)_.
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优质课件
新课讲解
新课讲解
练一练
已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 -x2+2x=-m 的解为 x1=-1，x2=3 .
分析：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x
轴的一个交点的横坐标为3， 所以另一个交点的横坐标为2×1-3=-1，
所以关于x的一元二次方程-x2+2x=-m， 即-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3．
新课讲解
知识点2 公共点的问题
例 2 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点 的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y=x2-x+1； (2) y=x2-6x+9； (3) y=x2+x-2.
当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.
即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面.
新课讲解
从上面发现，一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5 时，5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y=-x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一 元二次方程 -x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．
第二十二章 二次函数 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.通过探索，理解二次函数及其图象、性质确定方程的解
或不等式的解集.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
yx22x10
四、技能应用
1.二次函数 y2x24x1的图象如图所示，则一元二次方程
2x24x 10的近似根是
（精确到0.1）
2. 利用二次函数的图象求一元二次方程 2x2x1 50的近似根.
y A
x=2 B
O
x
五、小结反思
▪ 本节课你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学们一起交流一下。
（2）利用二次函数 的图象求一元二次方程 的近似根的一般步骤可以归 纳成哪几步？.
注：①作二次函数 的图象. ②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标. ③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
三、拓展提高
问题2：试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
（1）x22x82
（2）x22x1 03
(1) 画出对于二次函数 的图象；
(2) 观察二次函数的图象，抛物线与x轴的交
(3) 点的横坐标约为_______________
（3）由图象可知，方程 有 个根，一个Fra bibliotek根在 和
之间，另一个根在
和
（填两个整数）.
（4）估计方程 的近似根是
（精确到0.1）
小结反思：
（1）小组成员求一元二次方程根的近似解的方法有什么优劣？
北师大版 九年级（下）
第二章 二次函数
第五节 二次函数与一元二次方程（2）
宁夏银川六中 杨洋
一、复习回顾
1.如果关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则 _____,此时抛物线 与 轴 有______个交点.
2.二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解为
.
利用二次函数图象估算对于方程根的近似值步骤引导：
九年级数学 二次函数 二次函数与一元二次方程 .2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1 a＝－250，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－2150x2＋1000.
当 y＝0 时，－2150x2＋1000＝0，解得 x1＝500，x2＝－500(舍去)．
∴飞机到 P 处的水平距离 OP 应为 500 m.
12/12/2021
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
素养提升
阅读理解阅读材料，解答问题．
[解析] C 由于当x＝6.18时，y＝－0.01<0；当x＝6.19时，y＝0.02>0，说 明在6.18＜x＜6.19中有一个x的值使y＝0，即在这个范围内有一个x的值使 ax2＋bx＋c＝0.故选C.
12/12/2021
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
2．如图K－18－1 为二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图
图K－18－4
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
三、解答题
7．画出函数y＝－2x2＋8x－6的图象，根据图象回答： (1)方程－2x2＋8x－6＝0的解是什么？ (2)当x取何值时，y＞0? (3)当x取何值时，y＜0？
[解析] 利用描点、连线的方法画出函数y＝－2x2＋8x－6的图象，再根据图 象判断函数的增减性．
12/12/2021
图K－18－7
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
[解析] 由题意可知点A与点C的坐标，然后可求出抛物线的函数表达式．
解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(0，1000)，点 C 的坐标为(200，840)．
设抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋1000.
又∵点
C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得
九下数学课件 利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值(课件)
”
次函数图像的顶点落在点P处，写出平移后二次函数图像对应的函数表达式，并判断点P是否
在函数y ＝ x＋ 的图像上，请说明理由．
能力提升
(1) 图略
(2)图略
方程x2＋x＝1的近似根为x1≈－1.6，x2≈0.6
由图像，可知当x＜－1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值
(3)由y＝x2＋x＝
2x＋2
点P在函数y＝ x＋ 的图像上
×(－1)＋ ＝1.∴
理由：在y＝ x＋ 中，令x＝－1，得y＝
点P(－1，1)在函数y＝ x＋ 的图像上．
完成备作业。
课堂小结
1.利用图像法求一元二次方程的根的方法.
2.怎样利用二次函数的图像求一元二次不
等式的解集？
“ THANKS
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.4.2利用函数图像求一元二次
方程的根或根的近似值
1.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
2.会利用表格求一元二次方程的近似解。
3. 二次函数的图像与不等式问题。
函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出
方程x2－2x－3＝0的解吗？
函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
【归纳总结】
根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值
范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，