二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图象解法
九年级数学下册30、5二次函数与一元二次方程的关系第2课时用二次函数的图像解一元二次方程授课课件新版
知1－讲
例1 求方程x2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，设它与 x轴的交点的横坐标为x1和x2， 不妨设 x1＜x2. 现在来求x1的近似值.
知1－讲
(1) 容易看出：当 x＝－2 时，y＞0； 当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内， y随x的增大二减小，所以－2＜x1＜－1
知1－练
4 【中考·兰州】下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的 自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( C )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
知1－练
5 【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝ 2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个
况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋ c＝0的根．
知1－练
1 求例题中x2精确到0.1的近似值.
解：如图 ，画出二次函数 y＝x2－2x－6的图像. 观察画出的抛物线，现在求x2 的近似值． (1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且 在3＜x＜4范围内，y随x的增大而增大，∴3＜x2＜4.
知1－讲
例2 利用函数的图像，求方程x2＋2x－3＝0的根．
解：先把方程化成x2＝－2x＋3. 如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图像，得到它 们的交点为(－3，9)和(1，1)， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
总结
知1－讲
利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤： (1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式； (2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图像； (3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情
《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1
有两个交点:
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
学习目标(1分钟)
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根.
2.能利用图象确定方程的根和不等式的解集。
还可以解一元二自次学方指导一(3分钟) 思程考求：近由似图值象如何估计一元二次方程x2 +2x-10=0的根？ 由图象知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2 和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.
(2)经过_1_0_s ，炮弹落在地上爆炸．
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c与直线__y_=_h___交点的__横__坐标.
变式：（2019春•天心区校级期中）函数y=ax²+bx+c 的图象 如图所示，那么关于一元二次方程ax²+bx+c-2=0的根的情况
对应值：
x
1
1.1 1.2 1.3 1.4
y
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( C )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)
与飞行时间x(s)的关系满足:y=-x2＋10x． (1)经过_5___s，炮弹达到最高点，最高点的高度是_2_5_m．
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此x=-4.3是方程的一用个图近象似法根求一元二次 (2)另一个根可以类似的方求程出的：近似根时，结 x 2.1 2.2 2.3 果只2.取4到十分位
《利用函数的图象解一元二次方程》PPT课件
煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。
研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。
本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。
煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。
煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。
碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。
同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。
除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。
氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。
此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。
因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。
煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。
氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。
氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。
然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。
因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。
硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。
硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。
因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。
目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。
除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。
煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。
煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。
孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。
《二次函数与一元二次方程的关系》PPT赏析
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
深入理解
1.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m） 可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s） 表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时，足球的高度是多少？ （2）t为何值时，h最大？ （3）球经过多长时间球落地？ （4）方程－4.9t2＋19.6t=0的根的实际意义是什么？ 你能在图上表示吗? （5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是 什么？你能在图上表示吗?
解：（1）t=1时，h=14.7 （2）∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4.9t2＋19.6t 球落地意味着h=0, 即 －4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0（舍去），t2=4 ． 即足球被踢出后经过4s后球落地.
（4） 方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地 和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐标.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们 的关系如何 ?
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程.
2. 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交 点，求k的取值范围.
错解： 由△=（－7）2－4×k×（－7） =49＋28k＞0， 得k＞－ 9 ． 4
正确解法：
此函数为二次函数，
二次函数与一元二次方程的关系
情境导入
我们已经知道,竖直上抛物体的高 度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出 时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
二次函数与一元二次方程关系解题技巧
一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x =．【答案】x =【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四 判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一的范围是（A ．B ．C ．D ．【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x 的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五 与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400，∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个异号实根C．有两个相等实根D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0；（2）a的取值范围是.【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
用函数图像解一元二次方程、不等式
的解
当Δ＞0 时，
有两个不相等 的实数根
x1，x2
当Δ=0 时，
有两个相等的
实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ＜0 时， 无实数根
二次函数
y =ax2+bx+c
的图像
y
x1 o x2 x
y
一元二次不等式的解集
ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
o x1=x2 x y
o
x
本节课你有什么收获，还有哪些疑惑？
2、解一元二次不等式是否可以像以前用图像解一元一次不等式来解呢? 3、那么你现在知道二次函数与一元二次方程、不等式的关系吗？
因为一元二次不等式与二 次函数、一元二次方程三者之 间存在着密不可分的“亲缘” 关系, 你可以借助二次函数 的图像及相应一元二次方程的 根，彻底解决一元二次不等式 的解的问题.
任意一个一元二次不等式，都可以找到与它对应的二次 函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0（或＜0） 对应的二次函数为 y= ax²+bx+c； 对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0
例如：一元二次不等式
x²-2x-3＞0
对应的二次函数
y=x²-2x-3
对应的一元二次方程 x²-2x-3=0
一元二次不等式x22x30对应的二次函数yx22x3对应的一元二次方程x22x30一元二次方程axbxc的图像一元二次不等式的解集ax有两个不相等的实数根有两个相等的实数根一元二次方程一元二次不等式二次函数的相互关系及其解法
1、怎样解一元二次不等式呢？ 2、你知道二次函数与一元二次方程、不等式的关系吗？
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
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驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近 似根.
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
结束寄语
•
不知道并不可怕和有害, 任何人都不可能什么都知 道,可怕的和有害的是不 知道而伪装知道.
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的 近似根.
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与 x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为3 和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确 定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
一元二次方程的图象解法
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交 点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (3).确定方程x2+2x-10=3的解;
驶向胜利 的彼岸
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x10=0的根吗？
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3 的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (3).确定方程x2+2x-10=3的解;
二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图 象解法
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分 别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值,详见课本). (3).确定方程x2+2x-10=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
做一做P70 1
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象； (2).观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象 与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分 别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程-2x2+4x+1=0的解;