一元二次方程及解法归类
一元二次方程解法大全
一元二次方程解法大全一元二次方程是数学中的一个基本概念，它的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c 是常数，x 是未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
具体如下：1、直接开平方法：形如x²=p 或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化为x²=p（p≥0）的形式，那么可得x=±√p;如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p。
2、配方法解一元二次方程：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1)把原方程化为的形式；2)将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4)再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5)若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.3、公式法一个一元二次方程经过整理化成ax²+bx+c=0（a≠0）后，其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0 时，将a、b、c 代入式子x=(−b±√b2−4ac）/2a 就得到方程的根。
这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
4、因式分解法解一元二次方程的步骤:1)将方程右边化为0；2)将方程左边分解为两个一次式的积；3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.。
二次函数与一元二次方程不等式6种常见考法归类(原卷版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念2一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 4、简单的分式不等式的解法(1)ax ＋bcx ＋d＞0(＜0)∅(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0). (2)ax ＋bcx ＋d ≥0(≤0)∅⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0(≤0)，cx ＋d ≠0. 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 6、利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数．（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． （3）求解所列出的不等式(组)． （4）结合题目的实际意义确定答案． 7、解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 8、解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：∅关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.∅关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ∅关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 9、三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：10、根据一元二次不等式解集求参数已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 11、分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式．特别地，形如y 1y 2＞a (a ≠0)的分式不等式，可同解变形为12y 2＞0，故可转化为解y 2(y 1－ay 2)＞0.12、一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0)；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0).(2)在解关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意． 13、解不等式应用题的步骤考点一 一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 一元二次不等式的解法1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合{}|1M x x =>-，{}260N x x x =--<∣，则M N ⋂= ．2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+> （3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-4．（2023·上海·高一专题练习）二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则y >0的解集为（ ） A ．{x |2<x <1} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <0或x >3}5．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x 的不等式2230x x --<解集是 ．考点二 含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.7．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.8．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．9．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. （二）对判别式的讨论10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式210x ax ++<． 11．（2023·全国·高一假期作业）解关于x 的不等式2210x mx m -++>. （三）对两根大小的讨论12．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．13．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->14．（2023秋·高一校考单元测试）已知函数2()(21)2f x ax a x =-++. (1)当2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤..15．（2023·全国·高三对口高考）解关于x 的不等式： (1)22(1)40ax a x -++< (2)(1)(2)02a x a x -+->-考点三 根据一元二次不等式的解集求参数16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．10B ．6C ．0D ．217．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式250ax x b -+>的解集是{}32x x -<<-，则a b +的值为（ ）A ．7-B ．7C ．17-D ．1718．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -19．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-20．【多选】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣ C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭ 21．（2023秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（ ）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥22．【多选】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（ ）A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤∣的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么43b =或4b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么4b a -= 23．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数()()2f x x a b x a =-++．(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．24．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112a <≤ B ．12a << C ．12a ≤< D ．11a -<<25．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法26．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式11x<-的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ． 28．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 29．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 30．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x 的不等式2340+->x x ； （2）解关于x 的不等式115xx -≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立问题31．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．32．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．33．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．34．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .考点六 一元二次不等式的实际应用35．（2023秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.36．（2023秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 37．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间的关系为：2202200y x x =-+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 .38．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,639．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
解一元二次方程（十字相乘法）专项训练一、一元二次方程的解法归类：1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。
如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+=±=-=-x x x x2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
如：1562=+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。
因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。
如：455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+--=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122=-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-⨯⨯-=-ac b ∴431±-=x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x②运用平方差公式：))((22b a b a b a -+=-如0)12(22=--x x 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+-如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(2122===-=-+x x x x④十字相乘法：如：0652=++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x xx 2x 3x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x又如：035682=-+x x 解：47,25,0)74)(52(21=-==-+x x x x x 2 5x 4 7-x x x 62014=+-0)74)(52(=-+x x二、十字相乘法专题练习：（1）01072=++x x （2）0672=++x x（3）0862=+-x x （4）01582=+-x x（5）01662=-+x x（6）0122=--x x（7）03722=++x x（8）071362=+-x x（9）0101962=++x x（10）0351162=--x x三、用恰当的方法解方程：（1）02732=-x（2）142=-x x （3）42)2(3-=-x x x（4）01522=+-x x （5）01492=+-x x （6）07252=--x x。
一元二次方程的解法(知识梳理)
一元二次方程的解法
1、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
2、方法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±
.
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+
x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+
x+(
)2=-
+(
)2方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=
(这就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=
(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。
在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。
一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。
通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。
最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
通过求根公式，可以直接计算出方程的解。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
其中，a、b、c为方程的系数。
将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。
四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。
通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。
最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。
五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。
通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。
一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。
将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。
六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。
因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它可以通过求解来确定方程的根或解。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、图像法等。
本文将对这些方法进行归纳总结，以便读者更清晰地理解和应用一元二次方程的解法。
一、公式法公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，它基于一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0。
一元二次方程的解可通过求根公式得到。
求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
1. 判别式D = b^2 - 4ac。
- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。
- 当D = 0时，方程有两个相等的实根。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
2. 根据判别式的情况，求解一元二次方程的根。
- 当D > 0时，方程的两个根为 x1 = (-b + √D)/(2a) 和 x2 = (-b -√D)/(2a)。
- 当D = 0时，方程的两个根为 x1 = x2 = -b/(2a)。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
公式法适用于所有一元二次方程，但需注意的是，当D ＜ 0时，方程没有实数解，因此解为复数，需要用复数域来表示。
二、配方法对于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方差、平方差、求负等，可以通过配方法将其转化成更容易求解的方程，进而求得解。
1. 完全平方差形式对于形如(x ± a)^2 = b的方程，可利用完全平方差公式，将其转化为(x ± a) = √b的形式，然后解得解x。
2. 平方差形式对于形如x^2 - a^2 = b的方程，可通过配方法将其转化为(x + a)(x -a) = b的形式，然后选取合适的值求解。
3. 求负对于形如x^2 + px = q的方程，可通过将方程两边同乘以负一进行转化，变为x^2 - px = -q的形式，然后应用配方法解方程。
配方法是解特殊形式一元二次方程的有效方法，通过将方程转化为更简单的形式，能够简化解的过程。
(完整版)一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
寒假培训八年级下数学资料
一、一元二次方程及其相关概念
1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做
________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________.
典型例题：
1. 下列方程是一元二次方程的有___________
(1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2
33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( )
A. x 2+2x+1=0
B. x 2=1-3x
C. +1=0
D. x 2+x=(x+1)(x-2)
2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是
________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系
数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________.
3.
; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程
(m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。
【变式练习】已知m 是方程012=--x x
的一个根，则m m -2=（ ） A.
-1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________
【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k
的一个根是0，则k=_______
二、直接开平方法
若x 2
=25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____;
从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______
、
解下列方程：（1）1)
3(2=+x （2）18)54(22=-x
三、配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
① 化二次项系数为1；
② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④ 把原方程变为n m x =+2)(的形式；
⑤ 如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
◆ 在横线上填一个数，使左边变成一个完全平方式：
|
22_____)(x _____8+=++x x
22_____)(x _____5-=+-x x 22_____)-(x _____2
3=+-x x
22_____)(x _____+=++bx x 典型例题：
1： 将下列方程转化为a =2)
(的形式。
（1）522=+x x （2）0342=+-x x
2：用配方法解方程011242=--x x
【变式练习】用配方法解下列方程
（1）0132=+-x x （2）06822=--x x
（3）22_____)2(25________4+=++m m m
; <
若m x x ++642为完全平方式，则m=_________;
若92++mx x 为完全平方式，则m=_________.
【例3】 用配方法求代数式752+-x x 的最小值。
【变式练习】用配方法证明10422-+-x x
的值恒小于0.
四、公式法
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x . 根的判别式：ac b 42-=∆
（1）当ac b 42-=∆
>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当ac b 42-=∆
=0时，方程有两个相等的实数根 ；
(3) 当ac b 42-=∆
<0时，方程没有实数根。
"
典型例题：
【例】用求根公式法解下列方程：
（1）0622=-+x x
；
（2）242=+x x
用求根公式法解下列方程：
（1）0622=-+x x
（2）0132=+-x x （3）21342-=--x x x
【
五、因式分解法
（1）提公因式法：ma+mb+mc = m (a+b+c)
（2）公式法：① 平方差公式：a2-b2 = (a+b)(a-b);
② 完全平方公式：a2±2ab+b2 =(a ±b)2;
（3）十字相乘法：x2+(a+b)x+ab = (x+a) (x+b)
因式分解的步骤：
一“提”：先看多项式的各项有没有公因式，若有公因式必须先提出公因式；
二“套”：再看能不能用公式法分解；
三“查”：看是否每一个因式都不能再分解。
、
典型例题： 1）________________42=-x
2）_______________22=-x x 3）_____________962
=+-x x 4）___________322=--x x （十字双乘法） 【例】用因式分解法解下列方程：
（1）0232=+x x （2）x x 32=
（3）04)
1(2=-+x （4）09)2(42=--x
【练一练】用因式分解法解下列方程：
（1）)1(332+=+x x
（2）0322=--x x
（3） 01322=+-x x （4） 0)1(3)1(=-+-x x x
● 一元二次方程的四种解法的灵活运用：
…
对于方程)04,0( 022≥-≠=++ac b a c bx ax
若b=0, 则宜用__________法解；
若c=0, 则宜用__________法解；
若b ≠0, c ≠0, 则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。
① 方程化为标准形式 )0( 02≠=++a c bx ax
后，左边易于因式分解的用因式分解法. ② 若方程 )0( 02≠=++a c bx ax 中，a=1, b 是偶数，可以考虑用配方法.
③ 如果一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax
的系数是无理数，而且因式分解困难，配方法也很麻
烦的，用公式法.
④ 用合适的方法解下列方程：
（1）02732=-x
(2) 522=+x x (3) 9)2(2=-x
—
(4) 70)
2)(1(=--x x (5) x x x 2)1)(1(=-+ (6) 222=-x t 巩固训练：
1. 方程022=+x x
的解为___________ 2. 方程x x
62=的根是（ ） A.6 ,021-==x x B.6 ,021==x x C.6 =x D.0=x
3. 已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x
的两根为2 ,121==x x ，则c bx x ++2分解因
式的结果是（ ） A. )2)(1(++x x B. )2)(1(--x x C. )2)(1(+-x x D. )2)(1(-+x x
4. 若a, b 是方程式15x 2＋7x －2＝0的两根，且a ＞b ，则a －b ＝ .
5. 若x 2＋3x ＝0之两根为a, b ，求(a ＋b)2－(a －b)2＝ .
6. 若(3x ＋1)(x －3)＝0，则3x ＋1＝ .
7．方程(3)3x x x +=
+的解是______________. '
8、已知()(2)80x y x y +
++-=，则x+y 的值（ ）
（A ）-4或2 (B)-2或4 (C)2或-3 (D)3或-2
9、一元二次方程20x px q ++=的两根分别是1和-2，那么将2x px q ++因式分解的结果为________________.
10、用因式分解法解下列方程：
（1）2(1)
2(1)x x +=+ （2）4(1)10x x -+=
（3）3(21)42x x x +=+ （4）22(1)(52)x x -=-
·
（
|。