2.8二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图象解法 课件(北师大版九年级下册)
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《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1
有两个交点:
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
学习目标(1分钟)
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根.
2.能利用图象确定方程的根和不等式的解集。
还可以解一元二自次学方指导一(3分钟) 思程考求：近由似图值象如何估计一元二次方程x2 +2x-10=0的根？ 由图象知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2 和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.
(2)经过_1_0_s ，炮弹落在地上爆炸．
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c与直线__y_=_h___交点的__横__坐标.
变式：（2019春•天心区校级期中）函数y=ax²+bx+c 的图象 如图所示，那么关于一元二次方程ax²+bx+c-2=0的根的情况
对应值：
x
1
1.1 1.2 1.3 1.4
y
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( C )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)
与飞行时间x(s)的关系满足:y=-x2＋10x． (1)经过_5___s，炮弹达到最高点，最高点的高度是_2_5_m．
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此x=-4.3是方程的一用个图近象似法根求一元二次 (2)另一个根可以类似的方求程出的：近似根时，结 x 2.1 2.2 2.3 果只2.取4到十分位
北师大版数学九年级二次函数与一元二次方程课件PPT
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程 例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的
二次函数与一元二次方程
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间． （1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过 多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你 能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？ 你能在图上表示吗?
取值范围.
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－
9 ． 4
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－
9 4
，即k≥－
9 4
且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0； ②有交点，所以应为△≥0．
知识升华
一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4 的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2 1 0 M 1 2 3 N
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程 例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的
二次函数与一元二次方程
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间． （1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过 多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你 能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？ 你能在图上表示吗?
取值范围.
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－
9 ． 4
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－
9 4
，即k≥－
9 4
且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0； ②有交点，所以应为△≥0．
知识升华
一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4 的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2 1 0 M 1 2 3 N
九年级数学下册 25 二次函数与一元二次方程1课件 新版北师大版1
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数与一元二次方程
?(3). 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和 x轴交点的坐标与 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有什么关系 ?
(3). 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和 x轴交点有三种情况 : 有两个交点 , 有一个交点 , 没有交点 . 当二次函数 y=ax2+bx+c的图象和 x轴有交点时 , 交点的横 坐标就是当 y=0时自变量x 的值, 即一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根 .
?二次函数 y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 ?它们的关系 如何 ?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
牛刀小试
交流小结，收获感悟
? 1. 对自己说，你有什么收获？ ? 2. 对同学说，你有什么温馨提示？ ? 3. 对老师说，你还有什么困惑？
?(1).h和t的关系式是什么？
解 : ?1?.h ? ? 5t2 ? 40t.
?(2).小球经过多少秒后落地 ? 你有几种求解方法 ?与同伴 进行交流 .
?2?.8s,可以利用图象,也可以解方程? 5t2 ? 40t ? 0.
二次函数与一元二次方 程
?二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示 .
二次函数与一元二次方程
?(3). 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和 x轴交点的坐标与 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有什么关系 ?
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
北师大版数学九年级下册《二次函数与一元二次方程》课件
取值范围是( AD )
A.b＜1 B.b＞1 C.0＜b＜1 D.b＜1且b≠0
6.若二次函数y=mx2+(m-2)x-1的图象与x轴的交点是 A(a,0),B(b,0),且a+b=1,则有m= 1 .
7.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关 于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是__x_1=_-_1_,_x_2_=_3__.
△＞0
△=0
△＜0
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二
次方程ax2+bx+c=0的根的关系:
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
自学检测2(6分钟) 1.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（-2，0）和（3，. 0）
围是___k_＜______
.
易漏点
变式：二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有交点，则k
的取值范围__k_≥________≠__0____.
小结（3分钟） 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴的交点
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
(1)h和t的关系式是什么？
二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根课件北师大版数学九年级下册
与x轴交点情况
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性 计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的 准确性，故估计尽量要准确．
四 利用二次函数求一元二次不等式的近似解
思考1
函数 y = ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c=0 的根是 x_1_=_-_1_，___x_2=_3_; 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_x_<__-_1_或___x_>__3_; 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是__-_1_<__x_<_3___.
5
x
做一做
y
你还能利用其他方法二次函数
y3
5
y x2 2x 10 的图象求一元二次方程
x2 2x 10 3 的近似根吗？ x2+2x-10=3即x2+2x=7
–5
O
画出y1=x2+2x,y2=3的图象，交点的横坐标为解
–5
x1≈2.7，x2≈-4.7
–10
y x2 2x 10
5
x
归纳 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
y 2
–4 –2 O –2 –4 –6 –8 –10
2 4x
（1）先求－5和－4之间的根.
y值更接近0
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
y对应的值由负变为正 因此，x=－4.3是方程的一个近似根.
y 2
–4 –2 O –2 –4 –6 –8 –10
y 1.21 0.44 －0.31
初三下数学课件(北师大)-二次函数与一元二次方程的关系
【方法归纳】抛物线与 x 轴的两个交点为(x1,0)和(x2,0)．根据对称性可知抛 物线的对称轴为直线 x＝x1＋2 x2，解答此类题目应运用数形结合思想.
知识点：二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的关系
b2－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
13．如图，抛物线 y＝x2＋mx＋(m－1)与 x 轴交于点 A(x1,0)、B(x2,0)，x1＜ x2，与 y 轴交于点 C(0，c)，且满足 x21＋x22＋x1x2＝7.
(1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上能不能找到一点 P，使∠POC＝∠PCO？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
解：(1)依题意：x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1，∵x12＋x22＋x1x2＝7，∴(x1＋x2)2 －x1x2＝7，∴(－m)2－(m－1)＝7，即 m2－m－6＝0，解得 m1＝－2，m2＝3， ∵c＝m－1＜0，∴m＝3 不合题意，∴m＝－2.抛物线的解析式是 y＝x2－2x －3；
(2)能．如图，设 P 是抛物线上的一点，连接 PO、PC，过点 P 作 y 轴的垂
8．二次函数 y＝2x2＋mx＋8 的图象如图所示，则 m 的值是( B )
A．－8
B．8
C．±8
D．6
9．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝1，与 x 轴的一个
交点坐标为(－1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1＝－1，x2＝3； ③3a＋c＞0；
A．有两个不相等的同号的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 4．若关于 x 的函数 y＝kx2＋2x－1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值 为 0x＋m2＋3(m 是常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与 x 轴只有一个公共点？ 解：(1)∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，∴方程 x2－2mx＋m2＋3＝0 没有实数解，即不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴 没有公共点； (2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，把函数 y＝(x－m)2＋3 的图象沿 y 轴 向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y＝(x－m)2 的图象，它的顶点坐标是 (m,0)，因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点，所以，把函数 y＝x2 －2mx＋m2＋3 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到的函数的图象 与 x 轴只有一个公共点．
九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416
x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根
北师大版九年级下册数学 《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2020/11/08
9
（3）当 h = 20.5 时，20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
2020/11/08
2020/11/08
6
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
2020/11/08
21
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，
2020/11/08
7
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 m
1s
3s
2020/11/08
8
20 m 2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0
2020/11/08
9
（3）当 h = 20.5 时，20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 － 4 t ＋4.1 = 0 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
2020/11/08
2020/11/08
6
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
2020/11/08
21
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，
2020/11/08
7
解：（1）当 h = 15 时， 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 － 4 t ＋3 = 0 t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
15 m
1s
3s
2020/11/08
8
20 m 2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0
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1
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
(2). 作直线y=3；
(2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐 标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之 间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再 十等分,借助计算器确定其近似值). z/xxk
(3).确定方程3x2-x-1=0的解;
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
独立 作业
知识的升华
P72 习题2.9
1题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
•不知道并不可怕和有害, 任何人都不可能什么都知 道,可怕的和有害的是不 知道而伪装知道.
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与 -4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3(可将单位 长再十等分,借助计算器确定其近似值,详见课本).
(3).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
做一做P64
(3).确定方程-2x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
做一做P70
1
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；
(2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的 横坐标；
九年级数学(下)第二章 二次函数
8. 二次函数与一元二次方程(2) 一元二次方程的图象解法
做一做P64
1
一元二次方程的图象解法
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x10=0的根吗？
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的 横坐标；
做一做P70
1
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的 近似根.
(1).用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；
(2).观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的 横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与 0之间,另一个在2与3之间,分别约为-次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象；
(2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x轴的交点的横 坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与 0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8(可将单位 长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(3).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
做一做P64
1
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3, 另一个在2与3之间,分别约为3和2.5(可将单位长再十等分 ,借助计算器确定其近似值).
(3).确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
做一做P70
1
一元二次方程的图象解法
(2).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之 间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再 十等分,借助计算器确定其近似值
(3).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.