用图象法解二元一次方程
二元一次方程组的图像解法
1 的解的情况有三种：
a2x+b2y=c2
1.当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，方程组有唯一解； 2.2.当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，有无穷多解； 3.3.当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，无解。
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1、解二元一次方程组
x+2y=2 2x-y=-6
2、 x+2y=2对应的一次函数为 y=-1/2x+1 3、2x-y=-6对应的一次函数是 y=2x+6
4、在同一坐标系中画出y= -1/2x+1和y=2x+6的图像。 y （1）它们有交点吗？若有， 交点坐标是 （-2，2） （2）交点坐标与方程组 x+2y=2
y
y=5/2x-2 y=10/4x-2
o
x
x+y=-2 3、利用图像解方程组 2x+2y=5
(1)转化 y= -x-2 y= -x+2.5
y
y= -x+2.5
(2)画图 （3）两条直线有什么 位置关系？方程组解的 情况怎样？
0
x
两直线平行，无交点， 故方程组无解。
y= -x-2
通过以上各例及练习，你能说说二元一次 方程组的解的情况吗？有什么样的规律吗？ a1x+b1y=c
到纪沄国尪身上の淡淡幽香.“俺来の地方,国尪你恐怕没听过,不说也罢.”鞠言没受哪个影响.而后鞠言又补充说道：“其实不是俺不想告诉国尪,而是……俺自身也不大清楚自身是怎么来到龙岩国の,同样俺暂事也不知道该如何回到自身の家乡.”纪沄国尪美眸微微眯起了一些,她轻轻点 头.“鞠言将军,你是否知道混鲲兽对修道者の作用呢?用一头混鲲兽,甚至能够与混元无上存在交易.”纪沄国尪又说道.“俺
初中数学知识点二元一次方程的解法
初中数学知识点二元一次方程的解法二元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，解二元一次方程的方法有多种。
本文将介绍三种常用的解法，分别是图像法、代入法和消元法。
1. 图像法图像法是一种直观的解方程方法，适用于解二元一次方程组。
我们可以将二元一次方程组的解看作是两个直线的交点坐标。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - y = 5我们可以将这两个方程转化为两个直线的方程，绘制出它们的图像。
通过观察两个直线的交点，我们可以得到方程组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。
该方法适用于含有一个未知数的方程，可以将一个方程的解代入到另一个方程中，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后解得该未知数的值，进而求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + y = 53x - 2y = 8可以解得其中一个未知数，例如令 y = 5 - 2x，将其代入到第二个方程中，则得到3x - 2(5 - 2x) = 8，整理后得到7x = 18，解得 x = 18/7。
然后将 x 的值代入到第一个方程中，得到2(18/7) + y = 5，整理后得到y = 11/7，解得 y = 11/7。
3. 消元法消元法是一种通过加减运算来求解二元一次方程组的方法。
通过合理地调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的方程，进而解得这个未知数的值，再带入另一个方程求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8可以通过调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反。
这里我们可以将第一个方程的系数调整为6，将第二个方程的系数调整为-6，即得到：6(2x + 3y) = 6(7)-6(3x - 2y) = -6(8)整理后得到：12x + 18y = 42-18x + 12y = -48将两个方程相加，得到：-6x + 30y = -6解方程-6x + 30y = -6，可以得到 x 的值为 1。
解二元一次方程的方法
解二元一次方程的方法一元方程是一种只包含一个未知数的方程，而二元一次方程则是包含两个未知数的方程。
解决二元一次方程的方法有多种，以下将介绍其中几种常用的方法。
一、图解法图解法是一种直观的解二元一次方程的方法。
它利用平面坐标系上的图像，通过观察方程的图形交点来求解方程。
要使用图解法解二元一次方程，首先将方程转化为“y=mx+b”的形式，其中m和b分别表示斜率和截距。
然后在坐标系上画出两条直线，分别表示方程的图像。
最后，观察两条直线的交点，这个交点即为方程的解。
二、代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程的方法。
它通过将其中一个未知数用另一个未知数的表达式来代入方程，从而将方程转化为只含一个未知数的一元方程。
要使用代入法解二元一次方程，首先选择其中一个未知数，将其表示为另一个未知数的表达式。
然后将这个表达式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程。
最后，求解这个一元方程，得到该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数的值。
三、消元法消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。
它通过逐步消去其中一个未知数，从而将方程转化为只含一个未知数的一元方程。
要使用消元法解二元一次方程，首先选择其中一个未知数，通过乘以一个适当的常数，使得两个方程的系数相等。
然后将两个方程相减，从而消去这个未知数。
接着，将得到的方程代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
最后，求解这个一元方程，得到该未知数的值，再代入到原方程中求解另一个未知数的值。
四、用矩阵方法解方程组矩阵方法是一种更高级的解二元一次方程的方法。
它利用线性代数的知识，将方程组表示为矩阵的形式，然后利用矩阵的运算来求解方程。
要使用矩阵方法解二元一次方程，首先将方程组写成矩阵方程的形式，矩阵方程的形式为AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
然后通过逆矩阵的运算，求解X的值。
以上介绍的是解二元一次方程的几种常用方法，但并不限于这些方法，实际上还可以使用其他方法来解方程。
二元一次方程组的图象解法
3=k - b
4.无论m为何值，直线y=x+2m与 y= - x+4的交点不可能在第____象 限？
y
O
x
３.直线l1和l2如图所示： ⑴它们的交点坐标P可以看作是什么方程组 的解？ ⑵不用图象法，求出交点P的坐标．
y
l2
O
x
P
l1
解：⑴∵直线l1经过点（４，０）和点 （０，－４），设l1关系式为：y=kx+b, 4k+b=0 则 ∴l 关系式为y=x – 4.
X=2 Y=1
y Y=2x - 3
Y=- 1/2x+2
1 ……..
O x
…
2
用图象法解二元一次 方程组应该注意什么？
课堂练习：
X-Y=5
X-1-y=0
x+Y-3=0
X+1-y=0
３. 两直线l1:y=2x+b与l2:y=kx – b的交点坐标为（１，３）， 则k=____,b=____.
3=2×1+b
作业：
课本１６２页习题５.５ １、２、３
⑴每月行驶的路程在什么 范围内时，租国营的车合 算？ ⑵每月行驶的路程等于多 少时，租两家车的费用相 同？ ⑶如果这个单位估计每月 行驶的路程为2300km,那 么这个单位租哪家的车合 算？
y/元
国营
个体
3000 2000 1000
0
500
1500
..…..
2500
X／km
思考题：
如图：直线y= - 4/3x+4与y轴交于 点A，与直线 y=4/5x+4/5交于点B， 且直线y=4/5x+4/5 与x轴交于点c，则 ∆ABC的面积是多 少？
二元一次方程组图像解法
P(2,2)
3 4 x
由此可得
由（2）得 y=2x-2 x=0 x=1 y=-2 y=0
进而作出y=2X-2的图象
1 y x 1 2
所以方程组的解为:
x=2
y=2
思考
二元一次方程2x-y-3=0的解与一次函数 y=2x-3图象上的点有什么关系？ 一般的，一次函数y=kx+b图象上任意一 点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解； 以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点 都在一次函数y=kx+b的图象上。
A
小结
拓展
知识的升华
1) 二元一次方程与一次函数的区别与联系 二元一次方程的解是一次函数上点的坐标; 一次函 数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解. 2) 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种? 加减法;代入法;图象法.
3) 方法归纳 用图象法解二元一次方程组 优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想. 不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代 数方法,进行细致计算.
讨论
2个一次函数图象上的点与二元一 次方程组的解有什么关系？ 一般的，如果2个一次函数的图象有 一个交点，那么交点的坐标就是相应的 二元一次方程组的解.
利用一次函数的图象解二元一次方程组
解：将方程组化为一次函数得：
交点为P（1，2），
在同一坐标系中画出它们 1 y x 2, 的图象， 2
(1) 3x＋y=7 (2) 3x＋4y=13
例1:用图象法解二元一次方程组
解 由（1）得
由此可得
y 1 x 1 2
x-2y=-2（1）
2x-y=2 （2）
y 5 4 3 2
x=0 y=1
17.5.1用图像法解二元一次方程组
● A（0，-2） -2 -3 5x-2y=4
-4
6x+4y=4 利用图像法解方程组 3x+2y=-2 ① 6x+4y=4 ② 两条直线有什么位置 关系？方程组解的 情况怎样？
y 4 3
3x+2y=-2
2
● （0，1） 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1 ●（0，-1） -2 -3 -4
y=-x+3
函数y = - x + 3 与y = 2x-3 的图像有什么位置关系？
2,1
x 2 y 1
2 x y 3 求 的解。 x y 3
归纳：
y 2x 3 y x 3
一般地，如果两个一次函数的图象 有一个交点，自变量 x与对应函数 值y同时满足两个函数关系，把这两 个式看成关于x、y的两个方程，那 么交点的坐标就是相应的二元一次 方程组的一个解。
x
y
-1 0 3 1
交点（0，1）
方程②是的图像是通过C（－1，3） 和D（0，1）两点的直线 l
x 0 所以，原方程组的解是 y 1
由图可知， 1与
l
l2
2
交于（0，1）
l2： 2x y 1
通过以上探讨我们知道，用图像法解二元 一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像，这两条直线 若相交，其交点的坐标，就是方程组的解。
二元一次方程
一次函数
把下列二元一次方程转化成一次函数的形式.
(1) x y 0
(2) x y 0
y x
y x
y 3x 6
4 y x2 5
(3)3x y 6
二元一次方程组图像解法
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
学生活动：学生自主探究出答案．
解：(1)∵ ≠ ，∴原方程组有唯一一组解．(2)∵ ＝ ＝ ，∴原方程组有无数组解．(3)∵ ＝ ≠ ，∴原方程组无解．(4)∵ ≠ ，∴原方程组有唯一一组解．
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
12.3一次函数与二元一次方程
第2课时 二元一次方程组的解法
1.一次函数的图象与相应二元一次方程组的解之间的关系：
两直线相交时，相应的方程组只有一组解；两线重合时，相应的方程组有无数组解；两直线平行时，相应的方程组无解.
2.对于二元一次方程组 其解的情况如下：
在探究学习的过程中培养学生的合作精神、探究意识.
(续表)
教学重点
利用图象法来判别二元一次方程组的解的情况．
教学难点
利用图象法解决生活中的问题．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
二元一次方程不等式的解法
二元一次方程不等式的解法
一、图像法
图像法是通过画图来确定方程不等式的解集。
我们可以将方程中的不
等号看做等号，画出等号对应的直线，并通过对直线的位置和区域的判断，确定方程不等式的解集。
具体步骤如下：
1.将方程化为标准式，使得等号左边等于零。
2.画出等号对应的直线。
3.根据不等号的方向，确定区域。
4.区域内的点即为方程不等式的解集。
二、代入法
代入法是将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并代入
到方程中，得到只含有一个未知数的方程，然后解这个方程得到一个未知
数的解，再代回原方程求出另一个未知数的值。
具体步骤如下：
1.将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2.将这个函数代入到方程中，得到只含有一个未知数的方程。
3.解这个方程得到一个未知数的解。
4.将这个解代回原方程，求出另一个未知数的值。
三、消元法
消元法是将方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入到方
程中，得到只含有一个未知数的方程，进而解这个方程得到一个未知数的解，再代回原方程求出另一个未知数的值。
具体步骤如下：
1.将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2.将这个函数代入到方程中，得到只含有一个未知数的方程。
3.解这个方程得到一个未知数的解。
4.将这个解代回原方程，求出另一个未知数的值。
以上就是解二元一次方程不等式的几种常用方法。
根据实际问题的不同，可以选择合适的方法进行求解。
需要注意的是，在代入法和消元法中，得到的解需要验证是否满足原方程，以免得到错误结果。
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活动1
你能把方程2x-y-3=0改写为y=kx+b的 形式吗？
解：y=2x-3
二元一次方程
转化 转化
一次函数
从形式上看,二元一次方程可以化为一次函数 的形式；一次函数也可以化成二元一次方程的形 式。即每一个二元一次方程对应一个一次函数， 每一个二次函数也就是一个二元一次方程。
巩固练习： 1.P54练习2
2.因为方程组
x y 2x
4 的解是 y 1
x _1____ y _3____
所以一次函数y=－x＋4与y=2x＋1的图象交点坐标
为 （1，3） ．
3. 不画函数的图象，求一次函数y＝x＋3 与y＝－3x－1的图象的交点坐标。
就是方程组
x
y
1 1
y y 2 x 5 33
y 3x 2
p1,1
o
x
A、B两地相距828Km,如图是一列慢车和一列快车沿相同的路线从A 地到B地所行驶的路程y(Km)和行驶是时间x(h)的变化图象。
根据图象回答下列问题：
（1）慢车比快车早出发
（2）快车比慢车早 4
2 小时。
2.3（3）二元一次方程组的 图象解法
复习
1.一次函数y=x-1的图象是 一条直线，作这条直线时通 常过（ ,01）、(0, )两-点画直线即可.
1
2.在下列各组一次函数中，图象是相互平行的直线的是( B )
（A） y=4x-4 和 y=-4x+4 , （B） y=2x-3 和 y=2x+7 （C） y=3x-1 和 y=-2x-4 （D）y=4x-1 和 y=x+5
以二元一次kx－y＋b=0的解为坐标的点 都在一次函数y=kx＋b的图象上.
巩固练习
1.方程 x – y = 1 有一个解是
x 2
y
1
，则一次函数
y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为（2，1）.
2.一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标 为 (3,2) ，则方程 2x – y = 4 必有一个解是
以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的 图象上.
一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次 方程的一个解;
二元一次方程kx-y+b=0的解与一次函数y=kx+b图
象上的点有什么关系呢？你认为应如何表述?
一般地,一次函数y=kx＋b图象上任意一点 的坐标都是二元一次方程kx－y＋b=0 的一 个解；
x 3
y
2.
活动3 请画出与方程 x + y = 3 对应的
一次函数y = - x + 3 的图象。
y=-x+3
函数y = - x + 3 与y = 2x-3 的图像有什么位置关系？
2,1
求2xxyy33的解。
x 2 y 1
归纳：
一般地，如果两个一次函数的图象 有一个交点，那么交点的坐标就是 相应的二元一次方程组的一个解；。
y
y
x3 3x 1
的解。
（1）一次函数与二元一次方程组可以相 互转化，从形式到内容都是完美的统一。
（2）将二元一次方程组转化为两个一次函 数，如果两个一次函数的图象有一个交点，
那么这个交点的坐标就是这个二元一次 方程组的解。
作业：
巩固练习：
1.用图象法解方程组
2x 3x
试一试：相信你能行！
把下列二元一次方程写成y=kx＋b的形式： （1）3x＋y=7 (2) 3x＋4y=13
解:(1) y=－3x+7
(2) 移项 得:4y=－3x+13
y 34 x143
活动2
二元一次方程2x-y-3=0的解 与 一次函数y=2x-3 图象上点的坐标 有什么关系？
1.二元一次方程 2x – y – 3 = 0 有多少个解呢？
小时达到B地。
（3）你能很快求出表示快车、慢车在行驶过程中的路程y与时间x之间 的函数关系式。
（4）快车出发多长时间才追上慢车？ y （3）y快=69x-138
y慢=46x
828
(4)解方程组
y 69x 138
y
46x
快车? 慢车?
o
2
14 18 x
3y 5 y2
所以原方程组的
解是
x
y
1 1
y y 2 x 5 33
y 3x 2
p1,1
o
x
二元一次方程组的图象解法
数
数
随
形
形
结
动
合
形 由 数 定
精 彩 纷 呈
Байду номын сангаас 巩固练习：
1.用图象法解方程组
2x 3x
3y 5 y2
所以原方程组的
解是
3 x+4y=7.6 利用一次函数的图象 解二元一次方程组
2x+y=4.4
归纳：
用一次函数的图象解二元一次方程组的方法 称为二元一次方程组的图象解法.
一般步骤：⑴把二元一次方程组中的方程化成
一次函数的形式; ⑵在直角坐标系中画出两个一次函数
的图象; ⑶找出直线交点的坐标; ⑷写出方程组的解.
简称为：变函数 画图象 找交点 写结论
你能举几个例子吗？
2.在直角坐标系中画出一次函数 y = 2x – 3 的 图象。标出以上述这些解为坐标的点，有什 么发现？
y
二元一次方程2x-y-3=0的解
y = 2x-3
与一次函数y=2x-3图象上的 点有什么关系？
3, 3
2,1
1, 01
3 ,0
2
x
0, 3
1, 5