用图象法求一元二次方程的根
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标
0=x2-x-2
y
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为
（-1，0）和（2，0）
预备知
识
a>0
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
当⊿＞0时，方程有两
y>0 x<-1或x>2,
-1 o
2
x
y<0 -1<x<2
例.解不等式x2-x-6 >0.
y
解：x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。 函数y=x2-x-6
的图像如图，
x2-x-6>0
x<-2或x>3是 (, 2) (3, ).
不等的实根x1，x2.
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
x1 o
x2 x
当⊿＝0 时，方程有两相
等的实根 X1=X2=X0
当⊿＜0 时，方程无实根
y
o x0
x
y
o
x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性
质
y
y=0, y>0, y<0
y=0 x=-1或x=2,
解不等式x2-x-6 <0.
解: x2-x-6=0的两个根
y
是x1=-2，x2=3。函数
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0 -2<x<3
-2 o
初中数学 如何求解一元二次方程的小数解
初中数学如何求解一元二次方程的小数解要求解一元二次方程的小数解，我们可以使用配方法、求根公式或图像法。
下面将详细介绍这三种方法的步骤和应用。
方法一：配方法配方法是一种通过变换方程的形式来求解一元二次方程的方法。
它的基本思想是将方程转化为完全平方形式，然后求解。
步骤：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
2. 如果方程的系数a不为1，则将方程两边都除以a，使得方程的首项系数为1。
3. 将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
假设这两个数为m和n。
4. 重新排列方程，将一次项bx拆分为mx + nx。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + m)(x + n) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + m = 0和x + n = 0。
7. 解这两个方程，得到x的值。
这些值即为方程的小数解。
举例来说，考虑方程2x² + 5x - 3 = 0。
1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 5x - 3 = 0。
2. 系数a为2，不为1，所以我们将方程两边都除以2，得到x² + (5/2)x - 3/2 = 0。
3. 将常数项-3/2分解为两个数的乘积，这两个数的和等于5/2。
我们可以将-3/2分解为1/2和-2，因为1/2 + (-2) = 5/2。
4. 重新排列方程，得到x² + (1/2)x - 2x - 3/2 = 0。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + 1/2)(x - 2) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + 1/2 = 0和x - 2 = 0。
7. 解这两个方程，得到x = -1/2和x = 2。
这两个值即为方程的小数解。
方法二：求根公式求根公式是一种通过直接计算方程的根的公式来求解一元二次方程的方法。
九下数学课件 利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值(课件)
”
次函数图像的顶点落在点P处，写出平移后二次函数图像对应的函数表达式，并判断点P是否
在函数y ＝ x＋ 的图像上，请说明理由．
能力提升
(1) 图略
(2)图略
方程x2＋x＝1的近似根为x1≈－1.6，x2≈0.6
由图像，可知当x＜－1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值
(3)由y＝x2＋x＝
2x＋2
点P在函数y＝ x＋ 的图像上
×(－1)＋ ＝1.∴
理由：在y＝ x＋ 中，令x＝－1，得y＝
点P(－1，1)在函数y＝ x＋ 的图像上．
完成备作业。
课堂小结
1.利用图像法求一元二次方程的根的方法.
2.怎样利用二次函数的图像求一元二次不
等式的解集？
“ THANKS
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.4.2利用函数图像求一元二次
方程的根或根的近似值
1.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
2.会利用表格求一元二次方程的近似解。
3. 二次函数的图像与不等式问题。
函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出
方程x2－2x－3＝0的解吗？
函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
【归纳总结】
根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值
范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
而不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c ≤ 0的不等关系，其中a、b、c为实数且a≠ 0。
本文将探讨一元二次方程与不等式的解法，并分析其应用场景。
一、一元二次方程的求解方法一元二次方程的解法主要有图像法、配方法、公式法和因式分解法等，在不同的情况下可以选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法主要通过绘制函数y = ax^2 + bx + c的图像，通过观察函数与x轴的交点来确定方程的解。
当图像与x轴相交于两个点时，方程有两个实根；当图像与x轴相交于一个点时，方程有一个实根；当图像与x轴不相交时，方程无实根。
2. 配方法配方法是通过将一元二次方程的形式转化为一个完全平方的形式，并借助平方根的性质来求解。
具体步骤如下：- 首先，将方程的三项按照平方根的部分进行配方，即将bx项除以2并平方。
- 其次，将方程两边的式子按照平方差公式进行整理，并将两项的平方根合并。
- 最后，通过开平方根运算，得到方程的解。
3. 公式法公式法是通过一元二次方程的根与系数之间的关系，直接利用求根公式来求解方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个相反的根。
4. 因式分解法因式分解法主要适用于一元二次方程可以进行因式分解的情况，即方程的三项均可以被因式分解为两个一次项的乘积。
通过将方程进行因式分解，得到每个因式等于零的条件，并解得方程的根。
二、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和数线法等，根据不同的不等式形式选择相应的方法进行求解。
1. 图像法图像法同样通过绘制不等式对应的函数曲线，观察函数曲线与坐标轴的关系来确定不等式的解。
浅谈用图像法解一元二次方程
浅谈用图像法解一元二次方程高一12班 薛雨晴现在有这样一个题目，设关于x 的方程2kx 2+2x-3k-2=0的两根一个大于1，一个小于1，求k 的取值范围。
通常看到这类题目，我们会有韦达定理来求出答案，过程是这样的 方程可变成x 2+ x+ =0设二次函数为y=x 2+ x+ △>0设方程两根为x1,x2. (x1-1)(x2-1)<0→…… k >0可见解题过程繁琐。
但是，换一个角度，用图像法更加方便直观。
一、何为图像法:顾名思义就是用画图的方法直观地解题。
二、在一元二次方程中图像法的使用方法在研究一元二次方程根的分布情况时，我们可以使用图像法。
在运用图像法时，我们要从四个方面考虑：1.开口方向 2.根的多少 3.对称轴分布 4.分界点。
考虑了这几方面，这类题目的解题时就会明朗很多。
我们再回头看开篇的那道题目。
2 2k -3k-2 2k2 2k -3k-2 2k（图像法）从图像中可以看出，开口向上，对称轴没有范围，有两个根。
另外当x=1时，y <0 答案是k >0相比之下，图像法明显简单了许多。
三、图像法思考能训练我们的思维相比繁琐的代数解题方法，图像法更加直观易懂。
图像法更加可以培养空间想象力，开阔思维性，敏捷性。
学数学靠的是对题目的理解和做题时的一种直觉。
图像法能够提高综合运用数学知识的能力。
在一些抽象的数学题目面前，图像法能够使题目具体化。
多掌握一种数学解题方法，对数学的认识也会更深一步。
正如萧伯纳所说的：你有一个苹果，我有一个苹果，彼此交换一下，我们彼此仍然是各有一个苹果；但你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们就都有了两种思想，甚至更多。
二次函数图像解题——根的分布
其交点横坐标便是方程的解，由图知： k 4时， 无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
3
4
y
x
结论： 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在区间上的
实根分布问题.
（） 1 一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0. b 2 4ac 0 a f ( m) 0 a f ( n) 0 m b n 2a
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
a f ( m) 0 充要条件是： a f ( n) 0 （4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的 充要条件是： 分两类： b 2 4ac 0 （） 在（m, n）右侧 a f (n) 0 b n 注：前提 m,n 2a 不是方程（1） b 2 4ac 0 （） 在（m, n）左侧 a f (m) 0 b m 2a
不等式组
2 x 变式题：m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
21.3.2图像法求一元二次方程的根
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)
一个解x的范围是（ C ）
A. 3＜x＜3.23
B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25
D. 3.25＜x＜3.26
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一 元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10 和直线y=3的交点的横坐标；
两个交点的横坐标一个在-5 与-4之间,另一个在2与3之间.
(4)确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根 为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
3、根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
方程组
x 2y 2x y
2 6
的解吗？
①在同一个直角坐标系中，画出直线
L1：y
1
x
1
与直线L2：y=2x+6的图像.
2
②两条直线有交点吗？
（－2，2）
写出交点的坐标P（－2，2 ）
l2：y 2x 6
③检验点P的坐标是不是方程
组
x 2y 2x y
2 的解？ 6
l1：y
-
1 2
x
1
一元二次方程的图象解法
两个不相等的实数根
(2)一元二次方程ax2+bx+c=4的根的情况是？
无实数根
(3)一元二次方程ax2+bx+c=2的根的情况是？
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用图象法求一元二次方程的根
学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。
下面介绍几种具体的方法：
方法一：直接画出函数y=ax 2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象；
（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.
方法二：先将方程变形为ax 2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax 2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根. 方法三：可将方程化为a c x a b x ++
2=0，移项后为a
c x a b x --=2.设y=x 2和y=a c x a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x 2和直线y=a c x a b --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.
例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．
（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20
ax bx c ++=
的两个根11x =，23x = .
（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.
（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x > .
（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.
点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系.
练习、小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：
复习日记卡片
内容：一元二次方程解法归纳 时间：×年×月×日 举例：求一元二次方程210x x --=的两个解
方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：210x x --=.
解：
方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解
如图所示，把方程210x x --=的解看成是二次
函数y = 的图象与x 轴交点的
横坐标，即12,x x 就是方程的解.
x
y 1x 2x O
答案：（1）解：原方程的解是1x ,2x （2）21x x --.
（3）2x 与1x +或21x -与x 等.。