统计学原理重要公式()

一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算

加权算术平均数： ∑∑=f xf x 或 ∑∑=f f

x x

加权调和平均数： 频数也称次数。在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。

一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。

频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率

则每个小组的频数与数据总数的比值。

在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。频数（频率）数值越大

表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标

志值对于总体水平所起的作用越小。

掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中‘正面朝上’的频

数是4

例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上

的频数为____.

解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60（次）反面朝上，所以硬币反面朝上

的频数为60.

一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算

加权算术平均数： ∑∑=f xf

x 或 ∑∑=f f

x x

x 代表算术平均数；∑是总和符合；f 为标志值出现的次数。

加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。比重也称为权重，数据的

权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在

总体中的比重有关。依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权

和。加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。

加权平均数 = 各组（变量值 × 次数）之和 / 各组次数之和 = ∑xf / ∑f

加权调和平均数： 加权算术平均数以各组单位数f 为权数，加权调和平均数以各组标志总量m 为权数但计

算内容和结果都是相同的。

二．标准差和标准差系数的计算方法标准差：

σ=

()∑

∑-

f

f

x

x2

或

公式

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图。

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

如是总体，标准差公式根号内除以n

如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)

因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)

公式意义

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

标准差的意义

标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确

反之,标准差越低,代表实验的数据越精确

离散度

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。说起

标准差首先得搞清楚它出现的目 的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所

以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。

但是真实值 是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工

作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。

虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是

多少。可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如何不紧

密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确

的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的 最重要也是最基本的指标。

标准差系数： 标准差系数又均方差系数。反映标志变动程度的相对指标。

式中：Vσ为标准差系数；σ为标准差；x 为平均数。当以样本标准差系数（称变异系数/

离散系数）估计总体标准差系数时，VS= 式中：VS 为变异系数；S 为样本标准差。对于不同

水平的总体不宜直接用标准差指标进行对比，标准差系数能更好的反映不同水平总体的标志变

动度。

标准差变动系数为标志变异系数的一种。标志变异系数指用标志变异指标与其相应的平均

指标对比，来反应总体各单位标志值之间离散程度的相对指标，一般用v 表示。标志变异指标有全距、平均差和标准差，相对应的，便有全距系数、平均差系数和标准差系数3种。计算方

法为：

标志变异系数=标志变异值/相对应的平均值

三．总体平均数和总体成数的区间估计。

抽样平均误差的计算公式：

1．总体平均数：

重复抽样：n x σ

μ=

重复抽样又称放回式抽样。

每次从总体中抽取的样本单位，经检验之后又重新放回总体，参加下次抽样，这种抽样的

特点是总体中每个样本单位被抽中的概率是相等的。

不重复抽样： )1(2

N

n n x -=σμ 不重复抽样亦称不放回式抽样。

每次从总体中抽取的样本单位，经检验之后不再放回总体，在下次抽样时不会再次抽到前

面已抽中过的样品单位。

总体每经一次抽样，其样品单位数就减少一个，因此每个样品单位在各次抽样中被抽中的