8年级数学试卷0822
三角形单元测试题（时间：60分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．2cm 、2cm 、4cmB ．2cm 、6cm 、3cmC ．8cm 、6cm 、3cmD ．11cm 、4cm 、6cm2.如图,△ABD 的一个外角是（）A ．∠CB ．∠CADC ．∠ADBD ．∠ADC3.锐角三角形中任意两个锐角的和必大于（）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°4.下面关于三角形高的说法正确的是（）A ．三角形的高就是顶点和对边的垂线B ．钝角三角形的三条高交于三角形外部C ．锐角三角形的高都在三角形内部D ．直角三角形有且仅有一条高5.若AD 是△ABC 的中线,则下列结论错误的是（）A ．AD 平分∠BACB ．BD =DCC ．点D 为BC 中点D ．BC =2DC6．已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（）A ．90°－12n °B ．90°＋12n °C ．180°－n °D ．180°－12n °7．下列两个三角形中，一定全等的是（）A ．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B ．两个等边三角形C ．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D ．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形8．一个等腰三角形底边的长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰A B高效课堂探究八年级上册长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm9．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．54°10．适合条件2∠A=2∠B=∠C的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定二、填空题（每小题4分，共20分）11．在△ABC中，∠A-∠C＝25°，∠B-∠A＝10°，则∠B＝____________．12．如果三角形有两边的长分别为5a，3a，则第三边x必须满足的条件是__________．13．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是__________．14．在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝_____，∠DAC＝__________，BD＝__________cm．15．在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5cm，作AB的垂直平分线交另一腰AC于D，连结BD，如果△BCD的周长是17cm，则△ABC的腰长为________.三、解答题（共50分）16．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示；（1）∠BAC的平分线；（2）AC边上的中线；（3）AC边上的高．17．如图，在△ABC中，∠B=44°，∠C=72°，AD是△ABC的角平分线，（1）求∠BAC的度数；（2）求∠ADC的度数.18．已知：ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠BOC的度数.19．如图，说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°的理由.AC D B20.（10分）已知D是Rt△ABC斜边AC的中点，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数.21.（10分）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝_____度，∠XBC＋∠XCB＝度；（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．图1图2《全等三角形》单元测试题第页（共4页）全等三角形单元测试题(时间:60分钟满分:100分)一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图1，已知∠A =∠D ，∠1=∠2，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（）A ．∠E =∠B B ．ED =BC C ．AB =EFD ．AF =CD2．如图2，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．如图3所示，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 为△ABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A ．△ABD ≌△ACDB ．AB =ACC ．AD 是△ACD 的高D ．△ABC 是等边三角形A AABB C CCDDD E E F 12图1图2图34．如图4，已知△ABC 的边、角如下，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙5．如图5，AO =BO ，CO =DO ，AD 与BC 交于E ，则图中全等三角形的对数为（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图6，已知∠1=∠2，欲证△ABD ≌△ACD ，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（）A ．∠ADB =∠ADCB ．∠B =∠C C ．BD =CD D ．AB =AC 图4A A OB B CC DD E 12图5图6高效课堂探究八年级上册1《全等三角形》单元测试题第页（共4页）7．下列说法正确的有（）①角平分线上任意一点到角两边的距离相等②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为13，DE =3，EF =4，则AC 的长（）A ．13B ．3C ．4D ．69．已知如图7，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（）A ．BD +ED =BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC >AD10．如图8，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①②③去二、填空题（每题4分，共20分）11．如图9已知△OA ′B ′是△AOB 绕点O 旋转60°得到的，如果∠AOB =40°，∠B =50°，则∠A ′OB ′=______∠AOB ′=______．12．△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL ”判定，还需要加条件_________，若加条件∠B =∠C ，则可用_______判定．13．如图10，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，BC =12cm ，BD =8cm 则点D 到AB 的距离为________．14．如图11，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE 还要添加一个条件是________________．15．如图12，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线MN ，如果要在MN 上找出与AB 、CD 距离相等的点，则这样的点至少有_______个，最多有_______个．图10图11图12图7图8B ′A ′O A B图9２《全等三角形》单元测试题第页（共4页）高效课堂探究八年级上册三、解答题（共50分）16．（6分）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB =AC ，支撑杆OE =OF ，AE =13AB ，AF =13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．17．（6分）画图，如图是三条交叉公路，请你设计一个方案，要建一个购物中心，使它到三条公路的距离相等，这样的地址有几处？请你画出来．18．（8分）如图，直线a //b ，点A 、B 分别在a 、b 上，连结AB ，O 是AB 中点，过点O 任意画一条直线与a 、b 分别相交于点P 、Q ，观察线段PQ 与点O 的关系，你能发现什么规律吗？证明你的结论．l 1l 2l 3A OPb a O B3《全等三角形》单元测试题第页（共4页）19．（10分）如图所示，四边形ABCD 中，AB =AD ，AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，图中有无和△ABE 全等的三角形？请说明理由．20．（10分）已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF =CD ，AB //DE ，且AB =DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）∠CBF =∠FEC .21．（10分）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，若MN 是经过点A 的直线，BD ⊥MN 于D ，CE ⊥MN 于E ，（1）求证：BD =AE .（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点O ，其他条件都不变，BD 与AE 边相等吗？为什么？（3）BD 、CE 与DE有何关系？４轴对称单元测试题(时间：60分钟满分：100分)一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图案中是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在下列说法中，正确的是（）A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称的图形;B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形;C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形;D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形3．如图2，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A B CD4．点M (-5,3)关于x 轴的对称点的坐标是（）A ．(-5,-3)B ．(5,-3)C ．(5,3)D ．(-5,3)5．已知：如图3，△ABC 的顶点坐标分别为A (-4，-3)，高效课堂探究八年级上册B (0，-3)，C (-2，1)，如将B 点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达∵AF =BE 点，若设△ABC 的面积为S 1，∵的面积为S 2，则S 1，S 2的大小关系为（）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．不能确定6．已知M （a ,3）和N （4，b ）关于y 轴对称，则(a +b )2008的值为（）A ．1B ．－1C ．72007D ．-720077．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线l 对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB =A ′B ′；②点P 在直线l 上；③若A 、A ′是对应点，则直线l 垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB =PB ′，其中正确的是（）A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④8．已知A ．B 两点的坐标分别是（－2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关于原点对称；④若A 、B 之间的距离为4，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30°）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D ．在A 、B 两内角平分线的交点处二、填空题（每小题4分，共20分）11．如图所示，镜子里号码如图，则实际纸上的号码是__________.12．一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是____________．13．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．①12×231=132×21;②12×462=___________;③24×231=___________.14．如右图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB 的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是__________．AB C80115．已知A(－1，－2)和B(1，3)，将点A向___________平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．三、解答题（共50分）16．（6分）如图是未完成的上海大众汽车汽车标志图案，该图案是以直线l为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴的左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分.17．（6分）用棋子摆成如图的“T”字图案．（1）摆成第一个“T”字需要_________个棋子，第二个图案需______________个棋子；（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要____个棋子，第n个需____个棋子．18．（8分）已知A(2m＋n，2)、B(1，n－m)，当m，n分别为何值时，（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称；19．（10分）等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．20．（10分）如图：△ABC 中，AB =AC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ，①若△BCD 的周长为8，求BC 的长；②若BC =4，求△BCD 的周长．21．（10分）如图，四边形EFGH 是一个长方形的球桌面，有黑白两球分别位于A 、B 两点，试说明怎样撞击B ，才使白球先撞击台球边EF ，反弹后又能击中黑球A ？AQCB PAEB DC整式的乘除与因式分解单元测试题(时间：40分钟满分：100分)一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列计算正确的是（）A ．2a 2·2a 2=4a 2B ．2x 2·2x 3=2x 5C ．x ·y =(xy )4D ．(-3x )2=9x 22．若a m =3,a n =5，则a m +n 等于（）A ．8B ．15C ．45D ．753．(-x 2y 3)3·(-x 2y 2)的结果是（）A ．-x 7y 13B ．x 3y 3C ．-x 8y 13D ．-x 7y 54．(x +4y )(x -5y )的结果是（）A ．x 2-9xy -20y 2B ．x 2+xy-20y 2C ．x 2-xy -20y 2D ．x 2-20y 25．如果(ax -b )(x +2)=x 2-4，那么（）A ．a =1,b =-2B ．a =-1,b =-2C ．a =1,b =2D ．a =-1,b =26．化简代数式(x -3)(x -4)-(x -1)(x -3)的结果是（）A ．-11x +15B ．-11x -15C ．-3x -9D ．-3x +97．运用乘法公式计算正确的是（）A ．(2x -1)2=4x 2-2x +1B ．(y -2x )2=4x 2-4xy +y 2C ．(a +3b )2=a 2+3ab +9b 2D ．(x +2y )2=x 2+4xy +2y 28．如果x +y =a ,x -y =b ,那么x 2-y 2等于（）A ．a +bB ．abC ．a -bD ．a b9．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A ．(y -x )(x +y )B ．(2x -y )(-y +2x )C ．(x -3y )(x +3y )D ．(4x -5y )(5y +4x )10．如果a 2-8a +m 是一个完全平方式，则m 的值为（）A ．-4B ．16C ．4D ．-1611．若a +1a =3，则a 2+1a 2的值是（）高效课堂探究八年级上册A．9B．11C．7D．5 12．下列等式中，是因式分解的是（）A．(ax+by)(ax-by)=a2x2-b2y2B．m(x2-y2)=mx2-my2C．m(a2+b2)=m(a+b)(a-b)D．mx+nx-my-ny=(m+n)(x-y)二、填空题（每题4分，共20分）13．3649x4y6z8=()2．14．分解因式：81x4-49y2=_____________________________________．15．多项式25m5n-15m3n3x2-35m4n2x的公因式是__________．16．若a+b=4，a2-b2=8，则a-b=______________．17．(4x-3y)2-20(4x-3y)+100=[]2．三、解答题（共44分）18．(6分)分解因式：（1）4x2-9；（2）-x2+4x-4．19．(6分)用简便方法计算：（1）20022-19982；（2）999×1001．20．(8分)若x2-4x+y2+2y+5=0，试求x，y的值.(提示：将5拆为1+4，即x2-4x+4+y2+2y+1=0)21．(8分)已知a+b=74，ab=34，求12a3b+12ab3的值.22．(8分)你会利用平方差公式计算(3+2)(32+22)(34+24)(38+28)吗?23．(8分)仔细观察下列四个等式：32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6，（1）请你写出第5个等式；(2分)（2）并应用这5个等式的规律，归纳总结出一个表示公式；(2分)（3）将这个规律公式认真整理后你会发现什么?(2分)《分式》单元测试题第页（共4页）分式单元测试题(时间：60分钟满分:100分)一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各式中，不是分式的为（）A ．b 2a +1B ．2x +y πC ．-1m -2D ．(x -y )2(x +y )22．已知x ≠y ，下列各式与x -yx +y 相等的是（）A ．(x -y )+5(x +y )+5B ．2x -y 2x +yC ．(x -y )2x 2-y 2D ．x 2-y 2x 2+y 23．化简12m 2-9+2m +3的结果是（）A ．m +6m 2-9B ．2m -3C ．2m +3D ．2m +9m 2-94．计算a -1a ÷(a -1a )的正确结果是（）A ．1a +1B ．1C ．1a -1D ．-15．分式方程1x -1=2x -2（）A ．无解B ．有解x =1C ．有解x =2D ．有解x =06．若分式2x +1的值为正整数，则整数x 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或-17．一水池有甲乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空池，现两管同时打开，那么注满空池的时间是（）A ．1a +1bB ．1abC ．1a +bD ．ab a +b8．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶v 2km ，那么可以提前到达的小时数为（）A ．v 2t v 1+v 2B ．v 1tv 1+v 2C ．v 1v 2v 1+v 2D ．v1t v 2-v 2tv 19．下列说法：①若a ≠0，m ，n 是任意整数，则a m ⋅a n =a m +n ；②若a 是有理数，m ，n 是整数，且mn >0，则(a m )n =a mn ；③若a ≠b 且ab ≠0，则(a +b )0=1；④若a 是自然数，则a -3⋅a 2=a -1．其中，正确的是（）1高效课堂探究八年级上册A．①B．①②C．②③④D．①②③④10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A．15x+1-15x=12B．15x-15x+1=12C．15x-1-15x=12D．15x-15x-1=12二、填空题（每小题4分，共20分）11．计算2aa2-4-1a-2=_________．12．方程3x=470-x的解是_________．13．计算a2b3(ab2)-2=_______．14．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，⋯中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按这种规律写出第七个数据是________．15．如果记y=x21+x2=f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=121+12=12；f(12)表示当x=12时y的值，即f(12)=(12)21+(12)2=15；…那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(n)+f(1n)=___________（结果用含n的代数式表示）．三、解答题（共50分）16．（6分）解方程：1x-2+2x2-x=217．（6分）先化简，再求值：mm+3-6m-9÷2m-3，其中m=-2.18．（8分）有一道题“先化简，再求值：(x-2x+2+xx2-4)÷1x2-4其中，x=-3”小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？19．（10分）学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？20．（10分）A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，以甲的速度的1.5倍追赶，当乙到达B地时，甲已先到20分钟，求甲、乙的速度．21．（10分）在数学活动中，小明为了求12+122+123+124+⋯+12的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求12+122+123+124+⋯+12n的值为______；（2）请你利用图2，再设计一个能求12+122+123+124+⋯+12的值的几何图形．12122单元测试卷参考答案三角形测试题一、1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．C10．C二、11．75°12．2a ＜x ＜8a 13．18或2114．40°20°7.515．12cm.三、16．（1）∠BAC 的平分线为AD ；（2）AC 边上的中线为BD ；（3）AC 边上的高BE 。
2022人教版初中八年级数学第十二章综合素质测评卷(二)含答案
八年级数学第十二章综合素质测评卷（二）含答案一、选择题(每题3分，共30分)1．在下列每组图形中，是全等形的是()2．【教材P32练习T2变式】如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应顶点，则下列结论中错误．．的是()A．∠A＝∠B B．AO＝BO C．AB＝CD D．AC＝BD(第2题)(第3题)(第4题)(第5题)3．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为() A．2 B．2.5 C．3 D．54．如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是()A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 5．【教材P42例5变式】如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝() A．40°B．50°C．60°D．75°6．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．点M B．点N C．点P D．点Q (第6题)(第7题)(第9题)(第10题)7．【教材P45习题T12改编】如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC 于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为()A．1 B．3 C．5 D．78．在△ABC和△A′B′C′中，有下列条件：①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′；⑥∠C＝∠C′，则以下各组条件中不能．．保证△ABC≌△A′B′C′的一组是() A．①②③B．①②⑤C．①③⑤D．②⑤⑥9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF.下列说法正确的个数是()①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和25，则△EDF的面积为()A．25 B．35 C．15 D．12.5二、填空题(每题3分，共24分)11．【教材P33习题T3变式】如图，两个三角形全等，根据图中所给的条件可知∠α＝________．(第11题)(第12题)(第13题)12．【教材P38例2改编】如图，要测量池塘的宽度AB，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝P A，PD＝PB，连接CD，测得CD长为25 m，则池塘宽AB为________m.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝1.6，则△ABD 的面积是________．14．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的条件：______________，使△ABC≌△DBE(只需添加一个即可)．(第14题)(第15题)(第16题)(第17题) 15．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝12，AC＝8，则CD的长为________．16．【教材P56复习题T9拓展】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________．17．如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则△ACE的形状为__________________________________．18．在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(4，3)，如果要使△ABD与△ABC全等(C与D不重合)，那么点D的坐标是________．三、解答题(19～22题每题10分，其余每题13分，共66分)19．【教材P44习题T11变式】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB ＝DE，AC＝DF，BF＝EC.求证：△ABC≌△DEF.20．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF.求证：AC∥DF.21．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD.求证：AB＝BE.22．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.猜想BE与AC的位置关系，并说明理由．23．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC 于点O，且AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE.(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数．24．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.(1)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(不需证明)；(2)如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，那么在(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．答案一、1.C 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A7．D 8.C 9.D 10.D二、11.51° 12.25 13.414．∠C ＝∠E (答案不唯一)15．4 16.2 cm 17.等腰直角三角形18．(4，－1)或(0，3)或(0，－1)三、19.证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．20．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF .∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS)．∴∠ACB ＝∠F .∴AC ∥DF .21．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EBD ＝∠EBD ＋∠2，即∠ABD ＝∠EBC .在△ABD 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠EBC ，∠3＝∠4，AD ＝EC ，∴△ABD ≌△EBC (AAS)．∴AB ＝BE .22．解：BE ⊥AC .理由如下：∵AD 为△ABC 的高，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°.在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，⎩⎨⎧BF ＝AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △BDF ≌Rt △ADC (HL)．∴∠BFD ＝∠C .∵∠BFD ＝∠AFE ，∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠AFE ＋∠DAC ＝90°.∴∠AEF ＝90°，即BE ⊥AC .23．(1)证明：在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS)．(2)解：由(1)知△ABC ≌△ADE ，∴∠E ＝∠C .∵∠BAC ＝∠DAE ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∠BAD ＝20°，∴∠CAE ＝∠BAD ＝20°.∵∠E ＝∠C ，∠AOE ＝∠DOC ，∴∠CAE ＝∠CDE .∴∠CDE ＝20°.24. 点方法：解答探索结论问题的方法：在同一道题中，当前面的问题获得解答后，图形运动变化后要探索新的结论，常常根据已经解决问题的思路使相关探索问题得到解决．解：(1)FE ＝FD .(2)成立．证明：如图，在AC 上截取AG ＝AE ，连接FG .∵∠B ＝60°，AD ，CE 分别平分∠BAC ，∠BCA ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝120°.∴∠2＋∠3＝60°.在△AEF 和△AGF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠1＝∠2，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF (SAS)．∴∠AFE ＝∠AFG ，FE ＝FG .∵∠AFE ＝∠CFD ＝∠2＋∠3＝60°，∴∠AFG ＝∠AFE ＝60°.∴∠CFG ＝60°.在△CFG 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠CFG ＝∠CFD ＝60°，CF ＝CF ，∠3＝∠4，∴△CFG ≌△CFD (ASA)．∴FG ＝FD .∴FE ＝FD .。
2022学年初二数学第二学期考试卷(含答案)
2022学年初二数学第二学期考试卷（含答案）考生须知：1．全卷共三大题，24小题，满分为120分.2．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式，不允许使用计算器. 3．全卷答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效.4．请用钢笔或黑色墨迹签字笔将学校、姓名、准考证号、座位号分别填在答题卷的相应位置上.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．估计5的值在………………………………………………………………………（ ▲ ） A. 0～1之间B. 1～2之间C. 2～3之间D. 3～4之间2．下列方程中，关于x 的一元二次方程是……………………………………………（ ▲ ） A.y x =-23B.x x =-2C.11+=x xD. 322=+x x3．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数x 与方差s 2如下表：甲 乙 丙 丁 平均数x （环）11.1 11.1 10.9 10.9 方差s 21.11.21.31.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择……………………（ ▲ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史. 2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是………………………………………（ ▲ ）A. B. C. D.5．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E ．若∠1=35°，则∠2的度数为………………（ ▲ ） A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°6．关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有两个实数根，则k 的取值范 围是………………………………………………………（ ▲ ）A. k ≤－4B. k ＜－4C. k ≤4D. k ＜47．已知菱形的周长为56，则菱形的面积为………………（ ▲ ）A. 25C. 3D. 48．如图是边长为10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪 线长度所标的数据（单位：cm ）不正确的是………………………………………（ ▲ ）A. B. C. D.9．如图，A 、B 两点在双曲线y =上，分别经过A 、B 两点向轴作 垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2的值等于…………（ ▲ ） A. 3 B. 4 C. 5D. 610．如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC相交于点F ，连接BF ，下列结论：①S △ABF =S △ADF ； ②S △CDF =4S △CEF ； ③S △ADF =2S △CEF ； ④S △ADF =2S △CDF ， 其中正确的是 ………………………………………（ ▲ ） A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．式子2 x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 12．正方形对称轴的条数为 ▲ .13．已知一个正n 边形的内角和为1080°，则n = ▲ .DCA EBC ′21108 1510 1013 9116A BS 1S 2y xOFBEC14．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab= ▲ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，BC ∥x轴. AD 与y 轴交于点E ，反比例函数 y ＝xk（x ＞0）的图象 经过顶点 C 、D . 已知点 C 的横坐标为5，BE ＝2DE ，则k 的值为 ▲ ．16．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是AB 的中点，直 线l 平行于直线EC ，且直线l 与直线EC 之间的距离为2， 点F 在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠， 使点A 恰好落在直线l 上，则DF 的长为 ▲ ．三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（本题6分）解方程：x 2－3x =018．（本题6分）已知：x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－2x －2y 的值．y AE DCBOxDCA E B为了解市民对“垃圾分类知识”的了解程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“A ．非常了解”、“B ．了解”、“C ．基本了解”、“D ．不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题．（1）这次调查的市民人数为 ▲ 人，图2中，m ＝ ▲ . （2）补全图1中的条形统计图；（3）据统计，该市有市民140万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的了解程度为“B ．了解”的市民约有多少万人？20．（本题8分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ． （1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形DBEF 是菱形？为什么？AD EB F CAm% B n% C 20%D17% 图2市民对“垃圾分类知识”了解程度的条形统计图和扇形统计图图1已知关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（k ﹣1）x +41=0有两个相等的实数根，求k 的值．22．（本题10分）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，以OD ，CD 为邻边作平行四边形 DOEC ，OE 交BC 于点F ，连结BE ． （1）求证：F 为BC 中点；（2）若OB ⊥AC ，OF ＝2，求平行四边形ABCD 的周长．23．（本题10分）平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y =x 4（x ＞0）与y =－x4（x ＜0）的图象上，A 、B 的横坐标分别为a 、b ．（1）若AB ∥x 轴，求△OAB 的面积；（2）若△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形，且a +b ≠0，求ab 的值；（3）作边长为3的正方形ACDE ，使AC ∥x 轴，点D 在点A 的左上方，那么，对大于或 等于4的任意实数a ，CD 边与函数y =x4（x ＞0）的图象都有交点，请说明理由．ADOBFCOyx（备用图）Oyx如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PDQ的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求自变量的取值范围；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.参考答案及评分意见一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D A B A C D A DC评分标准 选对一题给3分，不选，多选，错选均不给分二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．x ≥2； 12．4 13．8 ；14．4 ； 15．5 ； 16．22 或22-4三、解答题（本题有8小题，共52分） 17．（本题6分）解：原方程可化为x （x ﹣3）=0，所以原方程的根为01=x ，32=x …………………………………6分18．（本题6分）解：原式=（x －1）2 +（y －1）2 －2 …………………………………4分∵x ＝1－2，y ＝1＋2， ∴原式=2)2-（+2)2+（－2=2＋2－2=2 …………………………………2分 19．（本题6分）（1）1000, 28% …………………………………2分 （2）图略； …………………………………2分 （3）140×35%＝49（万人） …………………………………2分 20．（本题8分）（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形； ……………4分（2）AB =BC 或∠A ＝∠ C ………………………………2分∵D 是AB 的中点，∴BD =AB ，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =BC ，∵AB =BC ，∴BD =DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形．…………2分21．（本题8分）解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，…………………………………4分解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．………………2分∴k=2．…………………………………2分22．（本题10分）（1）证明略；…………………………………5分（2）平行四边形ABCD的周长为16．…………………………………5分23．（本题8分）解：（1）如图1，AB交y轴于P，∵AB∥x轴，∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；…………………………………4分（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，∴A、B的纵坐标分别为、﹣，∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA=OB，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，∴a2﹣b2+=0，∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，∵a+b≠0，a＞0，b＜0，∴1﹣=0，∴ab=﹣4；…………………4分（3）∵a≥4，而AC=3，∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，∴C点坐标为（a﹣3，），∴F 点的坐标为（a ﹣3，），∴FC =﹣，∵3﹣FC =3﹣（﹣）=，而a ≥4，∴3﹣FC ≥0，即FC ≤3，∵CD =3，∴点F 在线段DC 上，即对大于或等于4的任意实数a ，CD 边与函数y 1=（x ＞0）的图象都有交点．……2分24．（本题12分）解：（1）5 …………………………………4分 （2）x x y 439432+-=，（0＜x ≤5） …………………………………4分 （3）存在，BM =21…………………………………4分。
八年级数学全册全套试卷测试卷(解析版)
八年级数学全册全套试卷测试卷（解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．【答案】1722m<<【解析】【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴1722m<<．故答案为：1722m<<．【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．【答案】30°【解析】【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线在△BDE与△BDF中，ABD CBD BD BDAED DFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°∴∠CAD＝∠EAD，∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，在Rt△ADE与Rt△ADG中，AD AD DE DG=⎧⎨=⎩，∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，∴DG＝DF．在Rt △CDG 与Rt △CDF 中，CD CD DG DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDG ≌Rt △CDF （HL ），∴CD 为∠ACF 的平分线，∠ACB ＝74°，∴∠DCA ＝53°，∴∠BDC ＝180°﹣∠CBD ﹣∠DCA ﹣∠ACB ＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．故答案为：30°【点睛】本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6， 所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n ﹣2）•180 （n≥3）且n 为整数）；多边形的外角和等于360度．5．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n －2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.6．如图，在ABC ∆中，B 与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．【答案】80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB ，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC 中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB ）=2×50°=100°，在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．已知：如图，D 、E 、 F 分别是△ABC 的三边的延长线上一点，且AB =BF ，BC =CD ，AC =AE ，ABC S ∆=5cm 2，则DEF S ∆的值是（ ）A ．15 cm 2B ．20 cm 2C ．30 cm 2D ．35 cm 2【答案】D【解析】【分析】连接AD，BE，CF．根据等底同高的两个三角形面积相等，得到所有小三角形面积都等于△ABC的面积，故△DEF的面积等于7倍的△ABC面积，即可得出结果．【详解】连接AD，BE，CF．∵BC=CD，∴S△ACD=S△ABC=5，S△FCD=S△BCF．同理S△AEB=S△ABC=5，S△AED=S△ACD=5；S△AEB=S△BEF=5，S△BFC=S△ABC=5；∴S△FCD=S△BCF=5，∴S△EFD=7S△ABC=35（cm2）．故选D．【点睛】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．8．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333 =S△ABC=1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+∴11113?3?3?3?2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯ ∴PD+PE+PF=AH=33 即点P 到三角形三边距离之和为33. 故选B.9．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．10．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．11．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．12．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）A ．212A ∠=∠-∠B ．32(12)A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【详解】如图所示：∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，∴∠A′=∠A ，又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2．故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A ，D ，B ，C 分别在直线MN 和PQ 上，点E 在AB 上，AD ＋BC ＝7，AD ＝EB ，DE ＝EC ，则AB ＝_____．【答案】7【解析】由MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE ≌△BCE ，从而得出AE=BC ，则AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为：7.点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．14．如图，已知点(,0)A a 在x 轴正半轴上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，ABC ∆为等腰直角三角形，D 为斜边BC 上的中点.若2OD =，则a b +=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP 与BC 的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP ⊥x 轴于点P ，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC ，在Rt△OBA 和Rt △PAC 中，OBA PAC AOB CPA BA AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt △OBA ≌Rt △PAC （AAS ），∴AP=OB=b ，PC=OA=a ．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b ，即C 点坐标是（a+b ，a ），由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （2a b +，2a b +）， ∴OD=2a b +（） ∴22a b +（）=2， ∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.15．如图,C 为线段AE 上一动点(不与A ． E 重合),在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE,AD 与BE 交于点O,AD 与BC 交于点P ,BE 与CD 交于点Q,连接PQ,以下五个结论：①AD=BE;②PQ ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°，一定成立的有________（填序号）【答案】①②③⑤【解析】【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD ≌△BCE ，即可得出AD=BE ．③先证明△ACP ≌△BCQ ，即可判断出CP=CQ ，③正确；②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正确．④没有条件证出BO=OE，得出④错误；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．【详解】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠ACP=∠BCQ=60°，在△ACP和△BCQ中，ACP BCQCAP CBQ AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴CP=CQ，结论③正确；又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，结论②正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠AEO，∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，∴结论⑤正确．没有条件证出BO=OE，④错误；综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．故答案是：①②③⑤．【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有__．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③④⑤【解析】【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解.【详解】①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；④∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，∵D，O，C，E四点共圆，∴∠OCD=∠OED，∴∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故④正确；⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键．17．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_________；【答案】217【解析】【分析】首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC的长.【详解】作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,又∠DAB+∠ABD=90°,∴∠BAD=∠CBE,又AB=BC,∠ADB=∠BEC.∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC=34,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=22342217AB CB+=⨯=故答案为217【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.18．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．【答案】16或12．【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．【详解】∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG+EG=BC=12．故答案为：16或12．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在△ABC中，AB=BC，90ABC∠=︒，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5【答案】A【解析】【分析】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G∠=∠，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC⊥，即90BCG∠=︒,90AB BC ABC=∠=︒45BAC ACB∠∴∠==︒904545GCF BCG ACB∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BF AD⊥1190BAD CBG∴∠+∠=∠+∠=︒BAD CBG∴∠=∠在BAD∆和CBG∆中，90BAD CBGAB BCABD BCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()BAD CBG ASA∴∆≅∆,1BD CG G∴=∠=∠点D是BC的中点CD BD CG∴==在CDF∆和CGF∆中，45CD CGDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDF CGF SAS∴∆≅∆3G∴∠=∠13∠∠∴=故选：A．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．20．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】A【解析】【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.21．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ， ∵在?ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，故此选项正确；延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF和△DFM中，∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.22．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】先根据条件，利用AAS可知△ADB≌△AEC，然后再利用HL、ASA即可判断△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOC≌△AOB.【详解】∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A为公共角，∴△ADB≌△AEC，（AAS）∴AE=AD，∠B=∠C∴BE=CD，∵AE=AD，OA=OA，∠ADB=∠AEC=90°，∴△AOE≌△AOD（HL），∴∠OAC=∠OAB，∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，∴△AOC≌△AOB.（ASA）∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE≌△COD（ASA）．综上：共有4对全等三角形，故选C.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．23．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，故①正确；∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，∴FD=FH＜FA，故③错误；∵AM⊥EF，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中{FBD DANBD ADBDF ADN∠∠∠∠＝＝＝∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，故④正确；故选C．24．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．【详解】试题分析：解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正确；∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴③正确；没有条件可证明△BRP≌△QSP，∴④错误；连接RS，∵PR=PS，∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴点P在∠BAC的角平分线上，∴PA平分∠BAC，∴①正确．故答案为①②③．故选A.点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．【答案】10310-【解析】解：连接BD ，在菱形ABCD 中，∵∠ABC =120°，AB =BC =AD =CD =10，∴∠A =∠C =60°，∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点D 重合时，PA 最小，最小值PA =10； ②若以边PB 为底，∠PCB 为顶角时，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD （除点B 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在AC 上时，AP 最小，最小值为10310-；③若以边PC 为底，∠PBC 为顶角，以点B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧AC 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PA 的最小值为10310-（cm ）．故答案为：10310-．点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．26．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，∴AN ⊥BE ，FN=EN ，在△ABN 与△GBN 中， ∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN ≌△GBN （ASA ），∴AN=GN ，又∵FN=EN ，∠ANE=∠GNF ，∴△ANE ≌△GNF （SAS ），∴∠NAE=∠NGF ，∴GF ∥AE ，即GF ∥AC ，故④正确；∵AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．27．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．28．在锐角三角形ABC中．32∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD ，BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长．【详解】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，∵BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．29．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键30．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC 成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．32．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）A ．7.5°B ．10°C ．15°D ．18°【答案】C【解析】 根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据AE=AD ，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，即得到∠DEC=α=15°，故选C.点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．33．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称分析即可得到答案.【详解】根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，故选：C.【点睛】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.34．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．35．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由点A、B的坐标可得到2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．【详解】∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．∴2，如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；。
2022-2023学年八年级数学第二学期期末考试试卷
八年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（▲）2．某校有教师80名，为体现“人文关怀，尊师重教”，学校决定按月为教师过集体生日．办公室先随机抽查统计了其中13名教师的出生月份，则下列说法正确的是（▲）A ．这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师B ．这个问题中的总体是80名教师C ．“这13名教师中有人出生月份相同”是随机事件D ．这是一个抽样调查，样本是被抽查的13名教师的出生月份 3．已知关于x 的方程x2－kx ＋6＝0有两个实数根，则k 的值不可以是（▲）A ．5B ．－8C ．26D ．4ABCD4．如果把分式3xyx －y 中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（▲）A ．不变B ．缩小为原来的12C ．扩大2倍 D ．扩大4倍 5．函数y ＝kx ＋k 与y ＝kx (k ≠0)在同一坐标系内的图象可能是（▲）A ． B. C. D.6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E.若BE ＝EO ，则AD 的长是（▲）A ．6 2BABCD EO二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）10．代数式1x ＋1 有意义的x 的取值范围是 ▲ ，x ＋1 有意义的x 的取值范围是 ▲ ．11．在一个不透明的袋子里，装有除颜色外其余匀相同的3个白色球和若干个黄色球，摇匀后，从这个袋子里随机摸出一个球，放回摇匀．23C ．3 2D ．25（第6题）再摸出一个球，经过大量重复实验，摸到黄球的频率在0.4左右，则袋子内有黄色球 ▲ 个．12．关于x 的方程x2＋mx ＋2m ＝0的两个实根分别为x1，x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝ ▲ ．13．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据题意列方程得 ▲ ． 14．某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是 ▲ ． 15．△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 在△ABC 内，且BD ＝CD ，∠BDC ＝90°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、BD 、CD 的中点，则四边形EFHG 的面积为 ▲ ．16．已知：一次函数y ＝15x －1与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，△ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中，直角顶点C 在反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像上，则k ＝ ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共计68分） 17．（7分）计算：（1） 2a3·8a （a ≥0）； （2）（212－13）×6．HGFEDCBAxyCBA O （第16题）（第15题）18．（5分）化简：2aa2－9 － 1a －3．19．（5分）解方程：x2－3x ＝2(3－x)．20．（6分）先化简：a2＋a a2－2a ＋1÷（2a －1－1a ），再从－2，－1，0，1这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．21．（6分）手机是现代人生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m＝▲，扇形统计图中E组所占的百分比为▲；（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是▲．22．（本题7分）已知关于x 的一元二次方程(x －m)2－2(x －m)＝0（m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m 的值．23．（8分）如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转得到矩形FECG ，点E在AD 上，延长ED 交FG 于点H ．（1）求证：△EDC ≌△HFE ；（2）连接BE 、CH ．①四边形BEHC 是怎样的特殊四边形？证明你的结论；②若BC 长为2，则AB 的长为▲时，ABCD E FH GxyO四边形BEHC 为菱形．24．（6分）我们已经学习过反比例函数y ＝1x 的图像和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识，对函数y ＝1x2的图像和性质进行探索，并解决下列问题：（1）该函数的图像大致是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．（2）写出该函数两条不同类型的性质：(第23题)yxOyxOy xO①▲；②▲．（3）写出不等式1x2－4＞0的解集：▲．25．（8分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为▲元；（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．26．（10分）如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE．（1）求证：AF＝AD＋CF；（2）已知正方形ABCD的边长为4．①求AF之长；②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为▲．FE D CBA(第26题)八年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．3 8．100°9．2 10．x≠－1；x≥－1 11．2 12．－213．＝＋30 14．20% 15．16．4 三、解答题17．（本题7分)计算： （1）2a3·8a （a ≥0）； 解：原式=2a3·8a=16a4…………………………………………………………1分=4a2……………………………………………………………3分（2）（212－13）×6．解：原式=212·6－· 6=212×6－×6……………………………………………2分=272－2…………………………………………3分 =122－2=112…………………………………………………………4分18．（5分）化简： 2aa2－9 － 1a －3．解：原式= 2a(a+3)(a －3)－ 1a －3=2a －(a+3)(a+3)(a －3)…………………………………3分=a －3(a+3)(a －3)…………………………………4分=1(a+3)…………………………………5分 19．（5分）解方程：x2－3x ＝2(3－x)．解：左边提取－x 得：－x(3－x)＝2(3－x) …………………………1分 移项，得－x(3－x)－2(3－x)＝0 ………………………………2分 (－x －2)(3－x)＝0………………………………3分x1=3，x2=－2 ………………………………………………5分 20．（本题6分）解：原式=a(a ＋1)(a －1)2÷2a －a+1a(a －1)………………………………………2分=a(a ＋1)(a －1)2× a(a －1)a+1………………………………………………3分 =a2a －1………………………………………………4分选a ＝－2代入求得结果为－43．………………………………6分(注：a 只能取－2) 21．（本题6分）解：（1）40；15%………………………………2分（2）30×30%=9（万）答：其中使用华为手机的用户数量为9万人. …………………………4分（3）…………………………6分 22．（本题7分)（1）证明：x2－2mx+m2－2x+2m ＝0x2－(2m+2)x+m2+2m ＝0………………………1分 △=(2m+2)2－4(m2+2m) ………………………2分 =4m2+4m+4－4m2－2m=4 …………………3分∵4>0，∴不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；……………4分（2）解：(3－m)2－2(3－m)＝0…………………5分(3－m －2)(3－m)＝0 (1－m)(3－m)＝0解得m1=1，m2=3 …………………7分 （其它证法与解法参照给分）23.（本题8分)（1）证明：∵四边形FECG 是矩形，∴FG ∥EC ， ∴∠CED=∠EHF ， ……………………. 1分∵四边形FECG 是矩形，∴∠EDC=∠F=90°，DC=FE ， ………….2分 在△EDC 和△HFE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠CED=∠EHF ，∠EDC=∠F ，DC=FE ．∴△EDC ≌△HFE （AAS ）；…………….3分（2）解：①四边形BEHC 是平行四边形…………………..4分∵△EDC ≌△HFE ，∴EH =EC ，………………….................................…..5分 ∵矩形FECG 由矩形ABCD 旋转得到， ∴EH =EC =BC ,EH ∥BC ，∴四边形BEHC 为平行四边形. ………………….....6分 ②………………….................................….. 8分 24.（本题6分）解：（1）D ………………….................................…..2分(第23题)AB CDGFEH（2）①函数y＝1x2的图像关于y轴对称；…………………...................….3分②当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小．…………..4分（3）不等式1x2－4＞0的解集为：－< x<0或0<x<. …………………...............6分25.（本题8分）解：（1）9860；………………….................................…..2分（2）设每个房间每天的定价增加了x 元………………….....................3分根据题意，得：(60－)(200+x－50)=11000 ……….......................…..5分化简得：x2－450x+20000＝0解得：x1=50，x2=400 …………..…………..…………..7分∴60－×50=55（个）或60－×400=20（个）答：每天房间入住量达到55个或20（个）时，利润为11000元．..…………..8分26.（本题10分）解：（1）过E 点作EG ⊥AF ，垂足为G ，连接EF ．（也可延长AE 、BC 交于P ，用全等和等腰三角形知识解决） ∵EG ⊥AF∴∠EGF ＝∠AGE ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠C ＝∠D ＝90°， 在△AGE 和△ADE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE ＝∠DAE ，∠D ＝∠AGE ，AE ＝AE ．∴△AGE ≌△ADE(AAS)∴AD=AG ，GE=DE ……….................................2分 ∵E 是CD 边的中点， ∴CE=DE ，∴GE=CE ， ……….................................…..3分 在Rt △EGF 和Rt △ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧GE=CE ，EF ＝EF ．∴Rt △EGF ≌Rt △ECF(HL)∴GF ＝CF ……….................................…..4分 ∵AF ＝AG ＋GF ，∴AF ＝AD ＋CF ．……….................................…..5分 （2）①设： CF=x ，则BF ＝4－x ，AF ＝4＋x在Rt △ABF 中，AB ＝AD ＝4∴42＋(4－x)2＝(4+x)2……….................................….7分 解得x=1∴AF ＝AD ＋CF=4+1=5………..................................8分 ②2或或……….................................…..10分。
2022-2023学年八年级第二学期数学期末考试卷(含答案)
2022-2023学年八年级第二学期数学期末考试卷（含答案）一、选一选.，比比谁细心(本大题共15小题，每小题2分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把这个正确的选项的序号涂在答题卡的相应位置上)。
1下面是二次根式的是() A.13B.-3 2 4-2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点B 在线段BC 的延长的，若∠DCE=130°，则∠A=()A.40°B.50°C.130°D.都不对3.如图，已知矩形ADCD 中，添加下列条件能使矩形ABCD 成为正方形的是()A.AC=BDB.AB ⊥BCC.AD=BCD.AC ⊥BD 4.正比例函数2y x =的大致图象是A. B.C. D.5.在方差的计算公式222212101(20)(20)...(20)10S x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦中，数字10和20表示的意义分别是() A.数据得个数和平均数 B.数据的方差和平均数 C.数个数和方差 D.以上都不对 6.同一平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与2y k x =的图象如图所示，则关于x 的方程12k x b k x +=的解为()A.0x =B.1x =-C.2x =-D.以上都不对7.如图，以正方形ABCD 的中心(对角线的交点)为原点建立平面直角坐标系，点A 的坐标为(2，2)，则点D 的坐标为()A.(2，2)B.(2，-2)C.(-2，-2)D.(-2，2)8.某1日-10日，甲、乙两人的手机“微信运动”步数统计图如图所示，则下列错误的结论是()A.1日-10日，甲的步数逐天增加，B.1日-5日，乙的步数逐天减少C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等D.第11日，甲的步数一定比己的步数多 612345678910百29.下面的计算和推导过程中， 2793=⨯；(第一步) 2733=；(第二步). ∵233(3)327-=-⨯=(第三步)∴3333-=(第四步) 其中首先错误的一步是()A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步10.如图，矩形ABCD 中，∠BOC=120°，BD=12，点P 是AD 边上一动点，则OP 的最小值为()A.3B.4C.5D.611.小明在00米中长跑训练时，已跑路程(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是()A.小明的成绩是220秒B.小明最后冲剌阶段的速度是5米/秒C.小明第一阶段与最后冲刺阶段速度相等D.小明的平均速度是4米/秒12.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若ΔAOB的面积为2.则矩形ABCD的面积为()A.4B.6C.8D.1013.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你添加的条件是()A.AC=BDB.OA=OBC.OA=ADD.OB=0D14.家乐福超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩(分数)708092()分。
暑假数学作业82022-2023 学年人教版数学八年级下册期末综合检测卷
2022-2023学年人教版数学八年级下册期末综合检测卷（全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟）姓名班级学号成绩一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．函数y=中自变量x 的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣12．下列各式中，是最简二次根式的是（）3．如图，直角ACB 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，5AB =，点P 是线段AB 上一动点（可与点A、点B 重合），连接CP ，则线段CP 长度的取值范围是（）A．34CP <<B．34CP ≤≤C．2.44CP <<D．2.44CP ≤≤4．在平面直角坐标系中，下列各点位于x 轴上的是（）A．（1，﹣2）B．（3，0）C．（﹣1，3）D．（0，﹣4）5．如图，是2016年的体育考试中某校6名学生的体育成绩折线统计图，这组数据的中位数、众数分别是（）A．40，50B．40，35C．35，50D．40，406．下列运算正确的是（）2=±=C．()2239x x -=-D．235ab ba ab+=7．如图，一圆柱高5cm ，底面半径是4cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬最短的路程（π取3）是（）cm ．8．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AC=4，则BD 的长为（）A．B．8C．D．9．如图，函数y=3x 和y=kx+3的图象相交于点A（m，2），则不等式3x＜kx+3的解集为（）A．x 23<B．x 23>C．x 32<D．x 32>10．如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，下列结论正确的是（）A．αβγ+>B．αβγ+=C．αβγ+<D．αβ+与γ大小关系无法确定A11．甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（）甲乙丙丁x （米） 1.721.75 1.75 1.722S （米2）11.311.3A．甲B．乙C．丙D．丁12．如图，菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，M 为边AB 的M 中点，若MO＝4cm，则菱形ABCD 的周长为（）二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）13．已知y=++3，则xy的值为．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=.15．如图，直线y＝kx＋b 经过点A（－1，－2）和点B（－2，0），直线y＝2x 过点A，则不等式2x＜kx＋b＜0的解集为.16．如图所示，E，F 分别是平行四边形ABCD 的边AB，CD 上的点，AF 与DE 相交于点P，BF与CE 相交于点Q，若S △APD＝12cm 2，S △BQC＝22cm 2，则阴影部分的面积为cm 2.三、解答题（本答题共8小题，共56分）17．计算：（1）．（2）1)．18．△ABC 的三边长分别为5，x-2，x+1，若该三角形是以x+1为斜边的直角三角形，求x 的值．19．甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，设两车行驶的时间为x（h），与A 地的距离为y （km），y（km）与x（h）关系如图所示：（1）直接写出y 甲和y 乙的关系式；（2）甲、乙两车几小时相遇？（3）当两车距离为100千米时，甲车行驶了多长时间？（4）当乙车到达A 地后立刻按原速度返回，乙能否在甲到达B 地前追上甲．20．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D 四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）问这次被抽检的电动汽车共有几辆？并补全条形统计图；（2）估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？21．如图，已知90ADC ∠=︒，8AD =，6CD =，26AB =，24BC =，求图中阴影部分的面积．22．如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F .求证：DEF F ∠=∠.23．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD，相交于点O，EF 过点O 且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：AE=CF．24．如图，在□ABCD 中，AB：BC=5：4，对角线AC、BD 相交于点O ，且BD⊥AD，BD=6，试求AB、BC、AC 的值.。
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版普通考试(含解析)
2022-2023学年全国八年级上数学普通考试考试总分：130 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1. 在代数式，，，中，分式的个数是（ ）A.B.C.D.2. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，添加以下条件，不能判定的是( )A.B.C.D.3. 计算的结果为 （ ）A.B.1m 142x +y a +2a32345△ABC △DEF B F C D ∠A =∠D AB=DE △ABC ≅△DEF EF =BCAC =DF∠ACD =∠BFE∠B =∠E⋅3b 2a (−)a6b −b2b2bC.D.4. 新型冠状病毒粒子成球形，直径约为纳米，纳米米，由于它的块头很小，能附着在空气的粉尘上传播，纳米用科学记数法表示为（ ）A.米B.米C.米D.米5. 在，，，，中无理数的个数为（ ）A.B.C.D.6. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )A.B.C.D.7. 如图，中，、的垂直平分线分别交于、，且，则 ( )b4a−b4a 80−1201=0.000000001808×10−88×10−98×10−100.8×10−103.14 3.414−2–√π32−2–√1234x −1≥5△ABC AB AC BC D E ∠DAE =20∘∠BAC =A.B.C.D.8. 小明从家乘车去体育场，有两条路线可供选择．路线一的全程是，路线二的全程是．走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的倍，因此到达体育场比走路线一少用若设走路线一的平均车速为，根据题意，可列方程为（ ）A.B.C.D.9. 已知关于的不等式组仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10. 如图，在中，，，为此三角形的一条角平分线，若，则三角形的面积为( )A.100∘120∘150∘160∘25km 30km 1.610min xkm/h −=25x 301.6x 1060−=1025x 301.6x −=301.6x 25x 1060−=10301.6x 25xx {x >2a −3,2x ≥3(x −2)+5a ≤a <112≤a ≤112<a ≤112a <1△ABC ∠B =90∘AC =10AD BD =3ADC 3B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）11. 在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则________．12. 观察下列各式：①，②，③，，请利用你所发现的规律计算：________.13. 若方程无解，则此时＝________．14. 下列命题：①若，则；②点关于轴的对称点为；③两组对边分别相等的四边形是平形四边形，其中真命题有________（填写序号）．15. 当________时，分式的值为零．16. 在同一数轴上表示的点与表示数的点之间的距离是________.17. 下列是三种化合物的结构式及分子式（下面的，就是分子式），请按其规律，写出第个化合物的分子式为________．101215Rt △ABC ∠ACB =90∘BC =2cm CD ⊥AB AC E EC =BC E EF ⊥AC CD F EF =5cm AE =cm =1+1++112122−−−−−−−−−−√11×2=1+1++122132−−−−−−−−−−√12×3=1+1++132142−−−−−−−−−−√13×4⋯+++…+1++112122−−−−−−−−−−√1++122132−−−−−−−−−−√1++132142−−−−−−−−−−√=1++1n 21(n +1)2−−−−−−−−−−−−−−−√a =a 2b 2a =b (−2,1)y (2,1)x =x +1x −2−3–√2CH 4⋯C 2H 6n18. 如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，点，在对角线上，若四边形是菱形，则的长是________．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）19.计算： ；解方程：.20. 解不等式组②请结合题意填空，完成本题的解答．解不等式①，得________；解不等式②，得________．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：原不等式组的解集为________.21. 先化简，再求值：，其中．22. 如图，在中，，点从点A 出发，以每秒的速度向点运动，连接，设运动时间为秒求的长．ABCD AB =8BC =4E AB F CD G H AC EGFH AE (1)−|−4|++(−1)2019(3.14−π)0()13−1(2)−=1x x −12−1x 2{x +4≥36x ≤5x +3(1)(2)(3)(4)(1−)÷a +a a 2−1a 2+2a +1a 2a =sin 30∘Rt △ABC ∠ACB =,AB =20cm,AC =16cm 90∘P 1cm C PB t (t >0)(1)BC (2)PA =PB当时，求的值． 23. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前半小时到达目的地．求汽车前一小时的行驶速度．24. 观察下列二次根式的化简：；；.试求的值；试求的值. 25. 为了提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了，两种净水器共台，型家用净水器的进价是每台元，型净水器的进价是每台元，购进两种净水器共用去了元．求，两种净水器各购进了多少台？为使每台型净水器的毛利润是型净水器的倍，且保证售完这台净水器的毛利润不低于元，求每台型净水器的售价至少是多少元？ 26. 如图，，，三点在一条直线上， 和均为等边三角形，与交于点，与交于点 ．求证：；若把绕点任意旋转一个角度，中的结论还成立吗？请说明理由.(2)PA =PB t 300km 1.2==1+−S 11++112122−−−−−−−−−−√1112=+=(1+−)+(1+−)S 21++112122−−−−−−−−−−√1++122132−−−−−−−−−−√11121213=+S 31++112122−−−−−−−−−−√1++122132−−−−−−−−−−√+1++132142−−−−−−−−−−√=(1+−)+(1+−)+(1+−)111212131314(1)S 10(2)S 20172017A B 160A 150B 35036000(1)A B (2)B A 216011000A B C E △ABC △DCE BD AC M AE CD N (1)AE =BD (2)△DEF C (1)参考答案与试题解析2022-2023学年全国八年级上数学普通考试一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）1.【答案】A【考点】分式的定义【解析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．【解答】在代数式，，，中，分式有和，共有个．2.【答案】A【考点】全等三角形的判定【解析】据全等三角形的全等定理逐个判断即可．【解答】解：，三个条件是，不能推出，故本选项符合题意；，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；，，，，，，即符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意.故选.3.【答案】1m 142x +y a +2a 31m 2x +y2A SSA △ABC ≅△DEF B SAS △ABC ≅△DEF C ∵∠ACD =∠BFE ∠ACD =∠A +∠ABC ∠BFE =∠E +∠D ∠A =∠D ∴∠B =∠E ASA △ABC ≅△DEF D ASA △ABC ≅△DEF AA【考点】同底数幂的除法完全平方公式单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方【解析】根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式．故选．4.【答案】B【考点】科学记数法--表示较小的数【解析】此题暂无解析【解答】略5.【答案】C【考点】无理数的识别【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选=−3ab 26ab =−b 2A择项．【解答】，，是无理数，6.【答案】D【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式【解析】解不等式得：，即可解答．【解答】解：，解得，在数轴上表示为：故选．7.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，得到和，根据三角形内角和定理计算得到答案．【解答】解：∵是线段的垂直平分线，∴，∴，同理，∵，∴，−2–√π32−2–√x −1≥5x ≥6x −1≥5x ≥6D DA =DB EA =EC ∠B =∠DAB ∠C =∠EAC DM AB DA =DB ∠B =∠DAB ∠C =∠EAC ∠B +∠DAB +∠C +∠EAC +∠DAE =180∘∠DAB +∠EAC =80∘∠BAC =100∘∴.故选.8.【答案】A【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】解题的关键是根据题意找出等量关系【解答】解：由题意可得： 路线 一的时间为，路线二的时间为，所以可得 .故选.9.【答案】A【考点】解一元一次不等式组【解析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．【解答】解：解不等式，得：，∵不等式组有且仅有三个整数解，∴此不等式组的整数解为，，.又，∴，解得：.故选.10.【答案】∠BAC =100∘A 25x 301.6x −=25x 301.6x 1060A 2x ≥3(x −2)+5x ≤110−1x >2a −3−2≤2a −3<−1≤a <112AD【考点】等腰三角形的判定与性质角平分线的性质【解析】由是角平分线，于，，根据角平分线的性质，可得是等腰三角形；继而证得是等腰三角形，又由，易求得，即可证得和是等腰三角形．【解答】解：作交于点，如图：∵是角平分线，，∴，∵，∴.故选．二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）11.【答案】【考点】全等三角形的性质与判定【解析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵，AD DE ⊥AC E ∠ABC =90∘△BDE △ABE ∠C =30∘∠CBE =∠C =∠CAD =30∘△BEC △DAC DE ⊥AC AC E AD ∠ABC =90∘DB =DE =3AC =10=×10×3=15S △BDE 12D 3∠ECF =∠B △ABC △FCE AC =EF AE =AC −CE ∠ACB =90∘∠ECF +∠BCD =90∘∴，∵，∴，∴（等角的余角相等），在和中，，∴，∴，∵，，，∴．故答案为：．12.【答案】【考点】规律型：数字的变化类算术平方根【解析】由题意可得规律为：，再求和即可.【解答】解：由题意可得规律为：，故.故答案为：.∠ECF +∠BCD =90∘CD ⊥AB ∠BCD +∠B =90∘∠ECF =∠B △FCE △ABC∠ECF =∠B EC =BC ∠ACB =∠FEC =90∘△ABC ≅△FCE(ASA)AC =EF AE =AC −CE BC =2cm EF =5cm AE =5−2=3cm 3+2nn 2n +1=1+1++1n 21(n +1)2−−−−−−−−−−−−−−−√1n (n +1)=1+(−)1n 1n +1=1+1++1n 21(n +1)2−−−−−−−−−−−−−−−√1n (n +1)=1+(−)1n 1n +1+1++112122−−−−−−−−−−√1++122132−−−−−−−−−−√++⋯+1++132142−−−−−−−−−−√1++1n 21(n +1)2−−−−−−−−−−−−−−−√=(1+1−)+(1+−)+(1+−)1212131314+⋯+(1+−)1n 1n +1=n +(1−+−+−+⋯+−)12121313141n 1n +1=n +(1−)1n +1=n +n n +1=+2n n 2n +1+2n n 2n +113.【答案】【考点】分式方程的解【解析】方程两边同乘以化为整式方程，根据方程无解可将方程的增根代入整式方程，计算可求解值．【解答】方程两边同乘以得＝，∵方程无解，∴＝，解得＝，∴＝，解得＝．14.【答案】②③【考点】命题与定理【解析】此题暂无解析【解答】解：①是假命题．比如，时，满足，但是；②是真命题；③是真命题．故答案为：②③.15.【答案】【考点】分式值为零的条件4x −4m x −4x 2(x −2)+a x −40x 242(3−4)+a a 4a =1b =−1=a 2b 2a ≠b −1根据分式值为零的条件得且，再解方程即可．【解答】解：由分式的值为零的条件得，且，解得：．故答案为：．16.【答案】【考点】两点间的距离数轴【解析】利用数轴上两点距离公式即可求解.【解答】解：由题意，得到的距离为：.故答案为：.17.【答案】【考点】规律型：图形的变化类【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】【考点】矩形的性质x +1=0x −2≠0x +1=0x −2≠0x =−1−12+3–√−3–√22−(−)=2+3–√3–√2+3–√5全等三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定【解析】首先连接交于，由矩形中，四边形是菱形，易证得，即可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得的长，又由，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：连接交于，∵四边形是菱形，∴，，∵四边形是矩形，，，∴，在与中，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）19.【答案】解：原式.方程两边都乘以，得：，EF AC O ABCD EGFH △CFO =△AOE (AAS)OA =OC AC OA △AOE ∼△ABC EF AC O EGFH EF ⊥AC OE =OF ABCD ∵B =∠D =90∘AB//CD ∠ACD =∠CAB △CFO △AOE ∠FCO =∠OAB,∠FOC =∠AOE,OF =OE,△CFO ≅△AOE (AAS)AO =COAC ==4A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√5–√AO =AC =2125–√∠CAB =∠CAB ∠AOE =∠B =90∘△AOE ∼△ABC =AO AB AE AC=25–√8AE45–√AE =55(1)=−1−4+1+3=−1(2)−1x 2x (x +1)−2=−1x 2解得：.检验：当时， ，所以原方程无解.【考点】零指数幂、负整数指数幂绝对值解分式方程【解析】暂无暂无【解答】解：原式.方程两边都乘以，得：，解得：.检验：当时， ，所以原方程无解.20.【答案】（1）（2）在数轴上表示为：（4）【考点】解一元一次不等式组在数轴上表示不等式的解集【解析】此题暂无解析【解答】解不等式 ，得： ,故答案为： ；解不等式 ，得： ，故答案为： ；x =1x =1−1=0x 2(1)=−1−4+1+3=−1(2)−1x 2x (x +1)−2=−1x 2x =1x =1−1=0x 2x ≥−1x ≤3(3)−1≤x ≤3(1)x +4≥3x ≥−1x ≥−1(2)6x ≤5x +3x ≤3x ≤3(3)在数轴上表示为：原不等式的解集为，故答案为：．21.【答案】解：原式当时，，把代入，原式．【考点】分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式当时，，把代入，原式．22.【答案】解：（）∵在中， ，∴；故答案为：．（2）设，则．在中，∵，由勾股定理，得： ，即，解得： ，∴当点运动到时，的值为【考点】勾股定理(3)(4)−1≤x ≤3−1≤x ≤3=⋅a 2+a a 2(a +1)2(a +1)(a −1)=⋅a 2a (a +1)=(a +1)2(a +1)(a −1)aa −1a =sin 30∘a =12a =12=−1=⋅a 2+a a 2(a +1)2(a +1)(a −1)=⋅a 2a (a +1)=(a +1)2(a +1)(a −1)aa −1a =sin 30∘a =12a =12=−11Rt △ABC ∠ACB =90∘,AB =20cm,AC =16cmBC ===12(cm)A −A B 2C 2−−−−−−−−−−√−202162−−−−−−−−√12AP =t PC =16−t Rt △PCB ∠PCB =90∘P +B =P C 2C 2B 2+=(16−t)2122t 2t =12.5P PA =PB t 12.5.相似三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定二次函数综合题用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：（）∵在中， ，∴；故答案为：．（2）设，则．在中，∵，由勾股定理，得： ，即，解得： ，∴当点运动到时，的值为23.【答案】汽车前一小时的速度是【考点】分式方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答24.【答案】解：.由可得：，1Rt △ABC ∠ACB =90∘,AB =20cm,AC =16cm BC ===12(cm)A −A B 2C 2−−−−−−−−−−√−202162−−−−−−−−√12AP =t PC =16−t Rt △PCB ∠PCB =90∘P +B =P C 2C 2B 2+=(16−t)2122t 2t =12.5P PA =PB t 12.5.75km/h(1)=++⋯+S 101++112122−−−−−−−−−−√1++122132−−−−−−−−−−√1++11021112−−−−−−−−−−−−√=(1+−)+(1+−)+⋯+(1+−)+(1+−)1112121319110110111=11−=101111011(2)(1)=2017S 201720172018+2017所以.【考点】规律型：数字的变化类【解析】此题暂无解析【解答】解：.由可得：，所以.25.【答案】解：设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，由题意得解得答：种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台．设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，由题意得，解得，（元）．答：每台型号家用净水器的售价至少是元．【考点】二元一次方程组的应用——销售问题一元一次不等式组的应用【解析】（1）设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，根据“购进了、两种型号家用净水器共台，购进两种型号的家用净水器共用去元．”列出方程组解答即可；（2）设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，根据保证售完这台家用净水器的毛利润不低于元，列出不等式解答即可．==1+×=S 201720172017+201720182017201720181201720192018(1)=++⋯+S 101++112122−−−−−−−−−−√1++122132−−−−−−−−−−√1++11021112−−−−−−−−−−−−√=(1+−)+(1+−)+⋯+(1+−)+(1+−)1112121319110110111=11−=101111011(2)(1)=2017S 201720172018==1+×=S 201720172017+201720182017201720181201720192018(1)A x B y {x +y =160,150x +350y =36000.{x =100,y =60.A 100B 60(2)A a B 2a 100a +60×2a ≥11000a ≥50150+50=200A 200A x B y A B 16036000A a B 2a 16011000【解答】解：设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，由题意得解得答：种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台．设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，由题意得，解得，（元）．答：每台型号家用净水器的售价至少是元．26.【答案】解：∵，均为等边三角形，∴，，，∴，即，∵在和中，∴，∴.成立；如图：∵，均为等边三角形，∴，，，∴，即，∵在和中，∴，∴．【考点】全等三角形的性质与判定等边三角形的性质【解析】(1)A x B y {x +y =160,150x +350y =36000.{x =100,y =60.A 100B 60(2)A a B 2a 100a +60×2a ≥11000a ≥50150+50=200A 200(1)△ABC △DCE BC =AC CD =CE ∠BCA =∠DCE =60∘∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD ∠BCD =∠ACE △ACE △BCDAC =BC,∠BCD =∠ACE,CD =CE,△ACE ≅△BCD(SAS)AE =BD (2)△ABC △DCE BC =AC CD =CE ∠BCA =∠DCE =60∘∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD ∠BCD =∠ACE △ACE △BCDAC =BC,∠BCD =∠ACE,CD =CE,△ACE ≅△BCD(SAS)AE =BD 60∘△BCD ≅△ACE（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得．（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．【解答】解：∵，均为等边三角形，∴，，，∴，即，∵在和中，∴，∴.成立；如图：∵，均为等边三角形，∴，，，∴，即，∵在和中，∴，∴．60∘△BCD ≅△ACE AE =BD (1)△ABC △DCE BC =AC CD =CE ∠BCA =∠DCE =60∘∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD ∠BCD =∠ACE △ACE △BCDAC =BC,∠BCD =∠ACE,CD =CE,△ACE ≅△BCD(SAS)AE =BD (2)△ABC △DCE BC =AC CD =CE ∠BCA =∠DCE =60∘∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD ∠BCD =∠ACE △ACE △BCDAC =BC,∠BCD =∠ACE,CD =CE,△ACE ≅△BCD(SAS)AE =BD。
八年级数学全册全套试卷测试卷(解析版)
八年级数学全册全套试卷测试卷（解析版）一、八年级数学三角形填空题（难）1．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．【答案】30°【解析】【分析】设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.【详解】设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，由题意得，x＋2x＝90°，解得x＝30°，即此三角形中最小的角是30°.故答案为：30°.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.2．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.3．已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________【答案】11或13【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=__．【答案】10【解析】∵n边形的内角和是1440°，∴(n−2)×180°=1440°，解得：n=10.故答案为：10.5．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝_____度．【答案】35【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝12∠ABC，∠OCE＝1 2∠ACE，然后整理可得∠BOC＝12∠BAC．【详解】解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCE＝12∠ACE，∴12（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+12∠ABC，∴∠BOC＝12∠BAC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．【答案】10°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣50°＝40°，∵折叠后点A 落在边CB 上A ′处，∴∠CA ′D ＝∠A ＝50°，由三角形的外角性质得，∠A ′DB ＝∠CA ′D ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°．故答案为：10°．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，三角形ABC 内的线段,BD CE 相交于点O ,已知OB OD =,2OC OE =.若BOC ∆的面积=2，则四边形AEOD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】【分析】 连接AO ，利用等高不等底的三角形面积比等于底长的比，可求出△COD 与△BOE 的面积．列出关于△AOE 与△AOD 的面积的方程即可求出四边形AEOD 的面积．【详解】连接OA ，∵OB=OD ，∴S △BOC =S △COD =2，∵OC=2OE ，∴S △BOE =12S △BOC =1， ∵OB=OD ，∴S △AOB =S △AOD ，∴S △BOE +S △AOE =S △AOD ，即：1+S △AOE =S △AOD ①，∵OC=2OE ，∴S △AOC =2S △AOE ，∴S △AOD +S △COD =2S △AOE ，即：S △AOD +2=2S △AOE ②， 联立①和②：解得：S △AOE =3，S △AOD =4，S 四边形AEOD =S △AOE +S △AOD =7，故选D ．【点睛】本题考查三角形面积问题，涉及方程组的解法，注意灵活运用等高不等底的三角形面积比等于底长的比这一结论．8．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF 是△AEF 的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB ∥CD ，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．9．已知直线m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D .若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】C 【解析】【分析】 先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．【详解】设直线n 与AB 的交点为E 。
天津市河北区2022届八年级第二学期期末学业水平测试数学试题含解析
天津市河北区2022届八年级第二学期期末学业水平测试数学试题 一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．3的相反数是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．332．如图，△AOB 是等边三角形，B （2，0），将△AOB 绕O 点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A ′坐标是（ ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣3，1）C ．（3，﹣1）D ．（1，﹣3）3．下列各式中正确的是（ ）A ．164=±B ．2(2)2-=C ．273=D ．133=4．正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE=22.50，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长（）A ．1B ．422-C ．222-D ．424-5．下列命题错误．．的是( )A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B ．平行四边形的对角线互相平分C ．矩形的对角线相等D ．对角线相等的四边形是矩形6．若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．x≤3C ．x ＞3D ．x≥37．一次函数y ＝x ＋4的图象不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知b5a 13=，则a ba b -+的值是（ ）A ．23B ．32C ．94 D ．499．已知函数()13a y a x +=+是反比例函数，则此反比例函数的图象在（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第二、三象限10．若一个五边形有三个内角都是直角，另两个内角的度数都等于α，则α等于( )A ．30B ．120C ．135D ．108二、填空题11．如图，在▱ABCD 中，∠B=50°，CE 平分∠BCD ，交AD 于E ，则∠DCE 的度数是______．12．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形．13．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实根，且满足()()122213x x ++=，则a 的值等于__________．14．已知一次函数(1)2y m x m =-+-图像不经过第一象限，求m 的取值范围是__________.15．2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A ．“解密世园会”、B ．“爱我家，爱园艺”、C ．“园艺小清新之旅”和D ．“快速车览之旅”李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．李欣和张帆恰好选择同线路游览的概率为_______．16．八个边长为1的正方形如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则这条直线的解析式是_____．17．将2019个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点1A ，2A ⋯，2019A 分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为__2cm ．三、解答题18．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x 千克.(1)当x ＞1时，请分別直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；(2)在(1)的条件下，小明选择哪家快递公司更省钱？19．（6分）如图，△ABC 在直角坐标系中．（1）若把△ABC 向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1，C 1的坐标；（2）求△ABC 的面积．20．（6分）已知：12y y y =-，1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时1y =． （1）求y 关于x 的函数关系式．（2）求12x =-时，y 的值． 21．（6分）如图分别是64⨯的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在小正方形的顶点上，请在以下图中各画一个图形，所画图形各顶点必须在小正方形的顶点上，并且分别满足以下要求： （1）在下图中画一个以线段AB 为一边的直角ABC △，且ABC △的面积为2；（2）在下图中画一个以线段AB 为一边的四边形ABDE ，使四边形ABDE 是中心对称图形且四边形ABDE 的面积为1．连接AD ，请直接写出线段AD 的长.线段AD 的长是________22．（8分）先化简，再求值：31254y x xy x y xy x y y+--，其中15x =，4y = 23．（8分）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，连接CD ，若AD ＝2，BD ＝4，∠ACD ＝∠B ，求AC 的长．24．（10分）如图，延长□ABCD 的边AB 到点E ，使BE=AB ，连结CE 、BD 、DE ．当AD 与DE 有怎样的关系时，四边形BECD 是矩形？（要求说明理由）25．（10分）如图，在四边形ABCD 中，30DAB ︒∠=，点E 为AB 的中点，DE AB ⊥，交AB 于点E ，3,1,13DE BC CD ===，求CE 的长.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据相反数的意义，可得答案．【详解】解：3的相反数是-3，故选B．【点睛】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．B【解析】【分析】过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ︒，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可．【详解】如图，过点A′作A′C⊥x轴于C，∵B（2，0），∴等边△AOB的边长为2，又∵∠A′OC＝90 ︒−60 ︒＝30 ︒，∴OC＝2×cos30 ︒=2×32＝3，A′C＝2×12＝1，∵点A′在第二象限，∴点A′（﹣3，1）．故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30︒，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键．3．B【解析】 【分析】 根据算术平方根的定义对A 进行判断；根据二次根式的性质对B 进行判断；根据立方根的定义对C 进行判断；根据平方根的定义对D 进行判断【详解】 A.16 =4，此项错误 B.()22- =2 正确 C. 27 =33，此项错误D. 3 = 33，此项错误 故选B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握题目的定义是解题的关键4．B【解析】【分析】根据题意连接AC ，与BD 的交点为O.再根据45BAC ︒∠=， 22.5BAE ︒∠= ，可得AE 是BAC ∠的角平分线，所以可得OE=EF ，BE=2EF ，所以OB=(12)EF +，因此可计算出EF 的长.【详解】解：根据题意连接AC ，与BD 的交点为O.四边形ABCD 为正方形,22AC BD OA OB OC OD ∴⊥====452, 2.5BA E C BA ︒︒∠=∠=∴ AE 是BAC ∠的角平分线OE EF ∴=2BE =OB OE BE EF ∴=+==4EF ∴=-故选B.【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意列出方程，这是考试的常考点，应当熟练掌握.5．D【解析】试题分析：根据菱形、矩形的判定，平行四边形、矩形的性质进行判断：A ．对角线垂直平分的四边形是菱形，所以A 正确；B ．平行四边形的对角线相互平分，所以B 正确；C ．矩形的对角线相等，所以C 正确；D ．对角线相等的平行四边形是矩形，所以D 错误；考点：菱形、矩形的判定，平行四边形、矩形的性质．6．B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【详解】由题意得，3﹣x≥0，解得，x≤3，故选：B ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．7．D【解析】【分析】根据k ，b 的符号判断一次函数4y x =+的图象所经过的象限．【详解】由题意，得：k>0，b>0，故直线经过第一、二、三象限.即不经过第四象限.故选:D.【点睛】考查一次函数的图象与系数的关系.熟练掌握系数与一次函数图象之间的关系是解题的关键.8．D【解析】 ∵b 5a 13=，∴设出b=5k ，得出a=13k ，把a ，b 的值代入a b a b-+，得， a b 13k 5k 8k 4===a b 13k 5k 18k 9--++．故选D ． 9．A【解析】【分析】首先根据反比例函数的定义，即可得出2a =-，进而得出反比例函数解析式，然后根据其性质，即可判定其所在的象限.【详解】根据已知条件,得11a +=-即2a =- ∴函数解析式为1y x= ∴此反比例函数的图象在第一、三象限故答案为A .【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.10．C【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，因为所给五边形有三个角是直角，另两个角都等于α，列方程可求解．【详解】依题意有3×90+2α=（5-2）•180，解得α=1．故选C ．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．二、填空题11．65°【解析】【分析】利用已知条件易证△DEC是等腰三角形，再由∠B的度数可求出∠D的度数，进而可根据等腰三角形的性质求出∠DCE的度数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠C=50°，∴∠DEC=∠ECB∵CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴18050652DCE︒-︒∠==︒，故答案为：65︒．【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质，解题关键是利用等腰三角形性质进行解答.12．BO=DO．【解析】【分析】【详解】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为BO=DO．13．-1【解析】【分析】根据根的存在情况限定△≥0；再将根与系数的关系代入化简的式子x1•x2＋2（x2＋x1）＋4＝13，即可求解；【详解】解：∵x1，x2是关于x一元二次方程x2＋（3a−1）x＋2a2−1＝0的两个实根，∴△＝a2−6a＋5≥0∴a≥5或a≤1；∴x1＋x2＝−（3a−1）＝1−3a，x1•x2＝2a2−1，∵（x1＋2）（x2＋2）＝13，∴整理得：x1•x2＋2（x2＋x1）＋4＝13，∴2a2−1＋2（1−3a）＋4＝13，∴a＝4或a＝−1，∴a ＝−1；故答案为−1. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握根与系数的关系，一元二次方程的解法是解题的关键． 14．1<m≤2【解析】【分析】一次函数()y 1m x m 2=-+-图像不经过第一象限，则一次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴或原点.【详解】∵图象不经过第一象限，即：一次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴或原点，∴1-m<0，m-2≤0∴m 的取值范围为：1<m≤2故答案为：1<m≤2【点睛】本题考核知识点：一次函数的图象. 解题关键点：理解一次函数的性质.15．14【解析】【分析】画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41164=． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．y =910x【解析】 【分析】 设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，易知OB =1，利用三角形的面积公式和已知条件求出A 的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l 的解析式．【详解】设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵正方形的边长为1，∴OB =1．∵经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两部分面积分别是4，∴三角形ABO 面积是5，∴12OB •AB =5，∴AB =103，∴OC =103，∴点A 的坐标为（103，1）． 设直线l 的解析式为y =kx ，∵点A （103，1）在直线l 上，∴1=103k ， 解得：k =910，∴直线l 解析式为y =910x ． 故答案为：y =910x ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质以及三角形的面积，利用三角形的面积公式和已知条件求出A 的坐标是解题的关键．17．10092【解析】【分析】过正方形ABCD 的中心O 作OM ⊥CD 于M ，作ON ⊥BC 于N ，则易证△OEM ≌△OFN ，根据已知可求得一个阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和，即可得出结果．【详解】解：如图，过正方形ABCD 的中心O 作OM CD ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，则EOM FON ∠=∠，OM ON =，且90EMO FNO ∠=∠=︒，()OEM OFN ASA ∴∆≅∆，则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积，则OMCN 的面积是14， ∴得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14， ∴则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和11009201842=⨯= 故答案为：10092【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．三、解答题18． (1)y 甲＝15x ＋7，y 乙＝16x ＋3(2)当1＜x ＜4时，选乙快递公司省钱；当x ＝4时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当x ＞4时，选甲快递公司省钱【解析】【分析】(1) 根据甲、 乙公司的收费方式结合数量关系,可得y 甲、 y 乙 (元) 与x ( 千克) 之间的函数关系式;(2)当x>1时,分别求出y 甲＜y 乙、y 甲=y 乙、y 甲<y 乙时x 的取值范围, 综上即可得出结论.【详解】(1)y 甲＝22＋15(x －1)＝15x ＋7，y 乙＝16x ＋3.(2)令y 甲＜y 乙，即15x ＋7＜16x ＋3，解得x ＞4，令y 甲＝y 乙，即15x ＋7＝16x ＋3，解得x ＝4，令y 甲＞y 乙，即15x ＋7＞16x ＋3，解得x ＜4，综上可知：当1＜x ＜4时，选乙快递公司省钱；当x ＝4时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当x ＞4时，选甲快递公司省钱.【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，注意准确列好方程及分类讨论思想在解题中的应用.19． (1)A 1(－3,0)，B 1(2,3)，C 1(－1,4)，图略 (2)S △ABC ＝1【分析】 （1）根据平移的性质，结合已知点A ，B ，C 的坐标，即可写出A 1、B 1、C 1的坐标，（2）根据点的坐标的表示法即可写出各个顶点的坐标，根据S △ABC ＝S 长方形ADEF ﹣S △ABD ﹣S △EBC ﹣S △ACF ，即可求得三角形的面积．【详解】（1）如图所示．根据题意得：A 1、B 1、C 1的坐标分别是：A 1（﹣3，0），B 1（2，3），C 1（﹣1，4）；（2）S △ABC ＝S 长方形ADEF ﹣S △ABD ﹣S △EBC ﹣S △ACF＝4×512-⨯3×512-⨯3×112-⨯2×4 ＝2015322---4 ＝1．【点睛】本题考查了点的坐标的表示，以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和或差．20．（1）212y x x =+，（2）32y =-． 【解析】(1)先由y 1 与2x 成正比例函数关系,y 2与x 成反比例函数关系可设211y k x =，22k y x=,进而得到221k y k x x ∴=-;再将x=1,y=3和x=-1,y=1分別代入得到221k y k x x =-再求解即可 (2)将12x =-代入函数表达式计算,即可求出y 的值 【详解】（1）设211y k x =，22k y x=， 12y y y =-， 221k y k x x∴=-， 把1x =，3y =代入221k y k x x =-得：123k k -=①， 把11x y =-=代入221k y k x x=-得：121k k +=②， ①，②联立，解得：12k =，21k =-，即y 关于x 的函数关系式为212y x x=+， （2）把12x =-代入212y x x=+， 解得32y =-． 【点睛】 此题考查待定系数法求正比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于设211y k x =，22k y x=21．（1）见解析；（2）见解析，AD=32.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和AB 的长度作图即可；（2）利用数形结合的思想即可解决问题，由勾股定理可求出AD 的长度.【详解】（1）如图，（2）如图，，2233+=32【点睛】本题考查作图-应用与设计、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.2225【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，合并后再把已知条件代入求值.【详解】原式=54xy xy xy xy xy当15x=，y= 4时原式25【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，注意先化简代数式，再进一步代入求得数值. 23．AC＝3【解析】【分析】可证明△ACD∽△ABC，则AC ADAB AC=，即得出AC2=AD•AB，从而得出AC的长．【详解】∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC AD AB AC=，∴AC2＝AD·AB，∴AC2＝12，∴AC＝3(负值舍去)【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．24．当AD=DE 时，四边形BECD 是矩形，理由见解析．【解析】【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证四边形BECD 为平行四边形，要使四边形BECD 是矩形，根据矩形的定义，只要满足DB ⊥BE 即可，进而可得AD 与DE 的关系．【详解】解：当AD=DE 时，四边形BECD 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=DC ，∵BE=AB ，∴BE ∥DC ，BE =DC ，∴四边形BECD 为平行四边形，∵AD=DE ，∴DB ⊥BE ，∴□BECD 为矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和矩形的判定，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．2513【解析】【分析】连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD ，AE=BE ，得出∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出3，3，证出△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=12BC=12，3BF=32，求出EF=BE+BF=72，在Rt △CEF 中，由勾股定理即可得出结果．【详解】 解：连接BD ，作CF AB ⊥于F ，如图所示：则90BFC ∠=，点E 为AB 的中点，DE AB ⊥，,BD AD AE BE ∴==，30DAB ︒∠=，30DBE DAB ︒∴∠=∠=， 223BD AD DE ===，33AE BE DE ===， 222221(23)13BC BD CD +=+==，BCD ∴∆是直角三角形，90CBD ∠= 180309060CBF ︒︒︒︒∴∠=--=，30BCF ︒∴∠=，90BFC ︒∠= 30BCF ︒∴∠=，1122BF BC ∴==，33CF BF ==， 72EF BE BF ∴=+=， 在Rt CEF ∆中，由勾股定理得：22731322CE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于求得EF=BE+BF.。
人教版八年级数学上册 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)
人教版八年级数学上册 全册全套试卷测试卷 （word 版，含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=，453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的．()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.2．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，在△ABE和△AFE中，AB AFBAE FAEAE AE⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△AFE（SAS），（2）∵△ABE≌△AFE，∴∠AEB=∠AEF，BE=EF，∵E为BC的中点，∴BE=CE，∴FE=CE，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．4．已知点P 是线段MN 上一动点，分别以PM ，PN 为一边，在MN 的同侧作△APM ，△BPN ，并连接BM ，AN ．（Ⅰ）如图1，当PM ＝AP ，PN ＝BP 且∠APM ＝∠BPN ＝90°时，试猜想BM ，AN 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM ，△BPN 都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM ，AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB 得到图3，当PN ＝2PM 时，求∠PAB 度数．【答案】（1）BM ＝AN ，BM ⊥AN ．（2）结论成立.（3）90°．【解析】【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交∠=︒,因此有BM⊥AN；AN于点C，得出MCN90(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠PAN＝∠PMB，∵∠PAN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝PA，PB＝PN，∴△MPB ≌△APN （SAS ）∴MB ＝AN ．（Ⅲ）如图3中，取PB 的中点C ，连接AC ，AB ．∵△APM ，△PBN 都是等边三角形∴∠APM ＝∠BPN ＝60°，PB ＝PN∵点C 是PB 的中点，且PN ＝2PM ，∴2PC ＝2PA ＝2PM ＝PB ＝PN ，∵∠APC ＝60°，∴△APC 为等边三角形，∴∠PAC ＝∠PCA ＝60°，又∵CA ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°，∴∠PAB ＝∠PAC +∠CAB ＝90°．【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.5．已知：4590ABC A ACB ∆∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且22AD =+，，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB ∠=∠；（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =， 求线段AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】 【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，22CD x =，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒∴ ABQ AMB ∠=∠（3）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ， 如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM ∠=∠=︒，在QEB 和BCM中，QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ QEB BCM ≅(AAS)∴EB CM =，QE BC =，在Rt QEA 和Rt BCN 中∵QE BC =，Q A BN = ∴Rt QEA Rt BCN ≅ (HL)∴AE CN CM MD DN ==++∵点N 是点M 关于点D 的对称点，∴MD DN =∴22AE CM MD EB MD =+=+∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=设AC BC x ==，则2AB x =，2CD x =， 又∵22AD =+，2 AD AC CD x x =+=+ ∴2222x x +=+ 解得：2x =∴ 22AB =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．7．（1）已知△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，∴∠ABC ＝3∠C.若AB ＝BD ，则180°－x －y ＝2x ，此时有3x ＋y ＝180°，∴∠ABC ＝180°－3∠C.若AD ＝BD ，则180°－x －y ＝y －x ，此时有y ＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝12∠BDC ＝12∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．8．已知：等边ABC ∆中．（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN BN的值．（2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32． 【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ∆与NBM ∆全等，最后转化边即得；（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ∆与FCP ∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形，点M 是BC 的中点∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=︒∴30BAM ∠=︒，90AMB ∠=︒∵60AMN ∠=︒∴90AMN BAM ∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM ∠=︒∴18090BNM ANM =︒-=︒∠∠∴在Rt BNM ∆中，2BM BN =在Rt ABM ∆中，2AB BM =∴24AB AN BN BM BN =+==∴3AN BN =即3AN BN=． （2）如下图：过点M 作ME ∥BC 交AC 于E∴∠CME=∠MCB ，∠AEM=∠ACB∵ABC ∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB∠=∠=︒，120MBN=︒∠∴120CEM MBN∠==︒∠，60AEM A∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB，MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=（3）如下图：过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=，180120EMP AMP=︒-=︒∠∠，180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形，120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCPAAS∆∆≌∴ME FC=∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=∴3322BCBF BEBC BC-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．9．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.问题：如图1，ABC是等腰三角形，90BAC∠=︒，D是BC的中点，以AD为腰作等腰ADE，且满足90DAE∠=︒，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系.图1发现：（1）BC与CF之间的数量关系为 .探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论.图2拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.备用图【答案】（1）BC CF=；（2）BC CF=，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．【详解】解：（1）BC CF =.∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（2）BC CF =.证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠. ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（3）BCF 是等腰直角三角形.提示：如图，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B BFC ∴∠+∠=︒，45BFC ∴∠=︒，B BFC ∴∠=∠，BCF ∴是等腰三角形，90BCF ∠=︒，BCF ∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．10．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．【详解】（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，CED ABD ∠=∠，AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，CE AC =，AB AC ∴=；（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，AD CD =，ADK CDH ∠=∠，∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，,FK DK EK HK ∴==，3DH EF ∴==，6DF ∴=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x ，y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；（3）大 小【解析】【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；【详解】（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++（2）22()()4x y x y xy +=-+（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．12．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，∴x ﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy 的值是9．（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，∴6≤c ＜11，∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c 的值是8．13．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：（1）写出4()a b +的展开式；（2）利用整式的乘法验证你的结论．【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析【解析】【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.【详解】（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+=()()322333a b a a b ab b ++++4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++432234464a a b a b ab b =++++方法二：()()()422a b a b a b +=+•+=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.14．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么形如a+bi （a ，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3﹣4i ）=5﹣3i ．（1）填空：i 3= ，2i 4= ；（2）计算：①（2+i ）（2﹣i ）；②（2+i ）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y ）+3i=（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照i 2=﹣1这一知识点，将m 2+25（m 为实数）因式分解成两个复数的积．【答案】（1）i ；2（2）①5②3+4i （3）x=5，y=﹣3（4）m 2+25=（m+5i ）（m ﹣5i ）【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及2i 的概念直接运算；（2）利用平方差、完全平方公式把原式展开，根据21i =-计算即可；（3）根据虚数定义得出方程组，解方程组即可；（4）根据21i =- 将25转化为2（-5）i ，再利用平方差公式进行因式分解即可。