基本公式、直线的斜率、直线的方程
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
数学高一专题 倾斜角与直线方程
数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。
直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法
承接上次课：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2,0 (πααααππαααπα===<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )A. k 1< k 2 <k 3B. k 3< k 1 <k 2C. k 3< k 2 <k 1D. k 1< k 3 <k 2 例题2：若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4例题3：若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ B ）A 、1B 、－1C 、0D 、7例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45°例题5：若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. 解：(-2,1)学习小结：1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：题型一：已知两点坐标求直线斜率例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3) 题型二：求直线的倾斜角例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D )A.︒+45αB.︒-135αC.α-︒135D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354345430αππααπα，为），；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β= 题型三：斜率与倾斜角关系例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围： 题型四：利用斜率判定三点共线例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。
直线方程斜率公式
直线方程斜率公式
一、直线方程斜率公式
1、以直线y=ax+b的形式表示：斜率a=极坐标ρ中y分量改变量Δy/x 分量改变量Δ x，即a=Δy/Δx；
2、以直线由两点(x1,y1)、(x2,y2)确定时，求斜率公式为a=(y2-y1)/(x2-x1)；
3、斜率指数形式公式：以指数形式表示的直线y=a*x^b由b可计算得一方程，其斜率a=b*x^{b-1},即a=bx^{b-1}；
4、斜率对数形式公式：以对数形式表示的直线y=a*lnx+b，其斜率
a=1/x；
5、斜率幂形式公式：以幂形式表示的直线y=a*x^b，其斜率a=b*x^{b-1}。
二、应用
1、直线斜率的计算解决了传统数学中求得直线斜率的麻烦和复杂性；
2、在物理中，直线斜率表示物体移动的前进方向，也可用来描述一条曲线所表示的实物的变化过程；
3、在理论数学中，斜率可以直观地表示两个函数的变化趋势，可以用来说明两个变量之间的关系；
4、斜率也应用于生活中，可以结合拟合法来判断所探究的事物是否形成极大或极小；
5、几何中，斜率可以对一些几何形状的倾斜程度进行判断。
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
数学知识点直线与方程
一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x yy k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
直线方程公式怎么求
直线方程公式怎么求直线是几何中最基本的图形之一，在数学中是一个重要的概念。
学习直线方程公式的求解方法对于解决各种直线相关问题至关重要。
本文将介绍如何求解直线方程公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 直线方程的基本形式直线方程通常表达为y = mx + c的形式，其中m是斜率，c是截距。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点位置。
2. 求解直线方程的步骤为了求解直线方程，我们需要知道直线上的两个点。
假设这些点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，我们可以通过以下步骤来求解直线方程：•第一步，计算斜率m的值。
斜率可以通过以下公式求得：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)•第二步，计算截距c的值。
通过将(x1, y1)中的坐标代入直线方程y = mx + c，可以得到截距的计算公式：c = y1 - mx1•第三步，将斜率m和截距c带入基本形式的直线方程y = mx + c，得到完整的直线方程。
3. 直线方程的实际应用直线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：3.1 几何学在几何学中，直线方程可以用于描述点与点之间的连线。
通过求解直线方程，可以确定直线的特征，比如斜率和截距，从而更好地理解直线在平面上的性质。
3.2 物理学在物理学中，直线方程被广泛应用于描述运动和变化。
例如，匀速直线运动的位移可以由直线方程确定。
直线方程还可以用于描述力学中的力和加速度之间的关系。
3.3 统计学在统计学中，直线方程可以用于拟合数据点，并通过斜率和截距来量化数据之间的关系。
这种拟合通常称为线性回归分析，可以帮助我们理解和预测数据变量之间的关系。
3.4 工程学在工程学中，直线方程可以应用于设计和建模。
通过求解直线方程，可以确定工程问题中的线性关系，并应用这些关系来解决实际问题，比如电路设计、结构力学等。
4. 小结直线方程是数学中的基本概念之一，具有广泛的应用。
直线方程式的斜率公式
直线方程式的斜率公式直线是几何学中最基本的图形之一，它可以用方程式表示。
直线方程式的斜率公式是一种能够计算直线斜率的方法。
在解决几何学和代数学问题时，直线方程式的斜率公式具有重要的应用价值。
斜率的定义在开始理解直线方程式的斜率公式之前，我们先来了解一下斜率的定义。
在坐标平面上，斜率（slope）是指直线的倾斜程度或者说是直线上两点之间垂直距离和水平距离的比值。
斜率通常用字母m表示，可以通过如下公式计算：斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点的坐标。
直线方程式的斜率公式直线方程式可以有多种形式，其中最常见的两种是一般式和斜截式。
一般式一般式直线方程可以写为Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 是常数。
为了计算斜率，我们需要将一般式方程转换为斜截式方程。
斜截式斜截式方程可以写为y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
斜截式方程提供了更直观的直线表示方法，斜率可以直接从方程中读取。
斜截式方程是我们计算直线斜率的起点。
但是，在某些情况下，我们可能只有一般式方程。
为了计算斜率，我们首先需要将一般式方程转换为斜截式方程。
从一般式方程计算斜率要将一般式方程转换为斜截式方程，我们需要遵循以下步骤：1.将一般式方程移项，将其变为Ax + By = -C的形式。
确保 x 和 y 的系数为整数。
2.将方程两边同时除以 B，得到y = -A/B * x - C/B的形式。
3.根据斜率公式，我们可以得到直线的斜率为-A/B。
因此，我们将一般式方程转换为斜截式方程后，斜率就可以直接读取。
举例说明让我们通过一个实际的例子来说明如何计算直线方程的斜率。
假设我们有一条直线，其一般式方程为2x + 3y = 6。
现在我们将其转换为斜截式方程，并计算斜率。
首先，我们将方程进行移项，得到2x + 3y = 6。
将方程两边同时除以 3，得到(2/3)x + y = 2。
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2
直线的倾斜角与斜率
【例2】(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(
A 1 3 B 1 3 C 3 2 D
)
2 3
(2)直线 x c o s 3 y 2 0ห้องสมุดไป่ตู้的倾斜角的范围是(
2 2
再由两点式直线方程得
x B′A的方程为3x-y-4=0，令y=0得 4 . 3
故 x 时，f(x)取得最小值
4 3
10.
【规律方法】1.数轴的公式
(1)数轴上的两点A(x1),B(x2),则向量 A的坐标 AB=x2-x1, B
A、B两点间的距离为d(A,B)=｜AB｜=｜ AB ｜=｜x2-x1｜.
1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于 ( )
(A)-1
(B)1
4 3
(C)-3
1 3
(D)3
4
7 5 x 5 x 5 【解析】选C.因为 k 又 A 、 B 、 C 三点共线， 2 , k , A B A C
A
)
C 【解析】选C.由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距 0,
在y轴上的截距 C 故直线经过第一、二、四象限，不经过 0,
B
第三象限.
5.过点(2，1)且在x轴上的截距是在y轴截距2倍的直线方程
为____________.
【解析】若直线过原点，满足条件，方程为 y 若直线不过原点，设直线方程为
【自主解答】(1)AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b;
BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b;
d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
(2)
2 2 f x x 4 x 8x 2 x 2
x 2 0 2 x 1 0 1 ，
2 2 (2)已知函数 f x x4 x 8 x2 x 2 ,
求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值.
【审题指导】(1)明确AB为数轴上 A B的数量(或坐标)，明确
d(A,B)为A、B两点间的距离. (2)将两被开方式配方，可发现f(x)表示平面直角坐标系中动点 P(x,0)到两定点的距离之和，最后利用数形结合的思想求解.
2 2 2 2
上式表示点P(x,0)与点A(2，2)的距离加上点P(x,0)与 点B(1，1)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(2，2)、 B(1，1)的距离之和的最小值.
由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点B′(1,-1)和A(2，
2)间的距离.
f x 1 2 1 2 1 0 . m i n
2 1 又过(2,1)点， 1. 2b b
x y 1, 2b b
1 x, 2
解得b=2. 答案：y 1或 x x+2y-4=0
2
1
两点间距离公式与中点坐标公式
【例1】(1)已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1=a+b, x2=a-b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).
AB的长度.
2.两点间的距离公式 平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离表示为
2 d P , P ( x x ) y y. 1 2 2 1 2 1 2
(1)当P1P2平行于x轴时，d(P1,P2)=|x2-x1|;
(2)当P1P2平行于y轴时，d(P1,P2)=|y2-y1|;
a 7 2 3 1 1 解得 ，a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为 . 75 3 b 1 2 3 (2)选B.由 x 得直线斜率 k cos. c o s 3 y 2 0 3 ∵-1≤cosα ≤1， 3 k 3 . 3 3 设直线的倾斜角为θ ，则 3 tan 3. 3 3 5 结合正切函数在［0， ) 上的图象可知， ( , ) 0 或 . 2 2 6 6
所以α =60°.
3.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标 为( ) (B)-1或11 (D)1 或-11
(A)-11 (C)-1
【解析】选A.设A的坐标为x,
则BA=x-(-5)=x+5,
又∵BA=-6,
∴x+5=-6,x=-11.
4.如果A·C<0,且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限
(2)数轴上的三点A、B、C,都有A 和 AC=AB+BC 成立. C A B B C
提醒：要注意 A B 、AB与｜AB｜的不同. A表示起点为 A,终 B 点为B的向量,它既有大小又有方向;AB表示向量 A B 的坐标 (或数量),它是一个实数,其前面的正号或负号表示向量
AB
的方向与轴同向或反向;｜AB｜表示向量 A B 的大小,即线段
A ［ , ) 6 2 B ［ 0 , ］ ［ 6 5 C ［ 0 ， ］ 6 5 D ［ ， ］ 6 6 5 ( , ］ 2 6 5 ， ) 6
)
【审题指导】(1)关键抓住PQ的中点，求出P、Q的坐标 (2)关键抓住直线方程，求出斜率取值范围,从而结合正切函 数图象得到倾斜角的取值范围. 【自主解答】(1)选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
所以kAB=kAC，
即
x 5 2， x=-3. 解得： 4
2.直线 3 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( (A)30° (B)60° (C)150°
) (D)120°
【解析】选B.由直线方程得y= 3 x+a，所以斜率k= 3 ,设倾 斜角为α ,
所以tanα = 3,又0°≤α <180°，