2009年同济大学808真题及详解

M 图（单位 kN·m）
危险截面可能发生在最大正应力或最大剪应力或腹板与翼缘板交界处。 最大正应力和最大剪应力校核： σ max = FN My max + = 117.86MPa < [σ ] A Iz
* FQ S z
τ max =
I zb
= 74.52MPa < [τ ]
腹板与翼缘交界处 a 点校核： σa =
H 截面 h 点正应力和剪应力： σh =
τh =
σ 45o = ε 45o =
1 1 −ν 1 +ν ( σ 45o − νσ 135o ) = σh − τh E 2E E σh E ε y = −ν σh E γ xy = τh = G τh 2(1 + ν ) = τh E E 2(1 + ν )
(
48i l2
k12 = k 21 = −
(
)
)
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
(48 − η )A1 − 12 A2 = 0 ml 3 2 ，式中η = ω EI − 12 A1 + (15 − η )A2 = 0 由阵型方程取得非零解的条件得频率方程为： D= 48 − η − 12 − 12 15 − η = 0 ，即η 2 − 63η + 576 = 0
解得 σ C =
σ S = 3 × 83.2 = 249.6MPa p= 2σ C t C 166.4t C 2σ S t S 499.2t S = 或p= = D D D D
三、T 形截面梁承受均布荷载作用，截面几何尺寸如图所示，z 轴是截面的形心 轴，已知材料容许压应力[σc]=12MPa，容许拉应力[σt]=0.5MPa，梁总长 6m，支 座 B、C 位置关于跨中截面对称可调，试求最大容许荷载及支座位置。 43.33 76.67 解：作出弯矩图如下
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
由此得 MB=1.769ME 即
ql 2 qlx 2 + 7.706 x − 1.769l 2 = 0 解得，x = 1.333m Iz = 20 × 100 3 80 × 20 3 + 20 × 100 × 26.67 2 + + 20 × 80 × 33.33 2 = 4.92 × 10 6 mm 4 12 12
* FQ S z FN My a + = 107.95MPa τ a = = 55.41MPa A Iz I zb
σ r 3 = σ 2 + 4τ 2 = 154.1MPa < [σ ] 故该梁满足强度要求。 五、截面半径为 R 的圆直杆 AB 和 BC 在水平面内，A 端固定，AB 与 BC 刚接 且相互垂直，弹性模量为 E，泊松比为 ν。通过 C 截面形心，垂直于 BC 杆张拉 一根拉索 CD，CD 与 y 正方向成 θ 角。测得 H 截面 g 点处沿 x 正方向的线应变 为 ε0。试求： （1）拉索的张力 NCD； （2）H 截面 h 点处，在杆件表面上与 x 轴正 方向和 y 轴成 45°角的线应变 ε45°。
右 邻截面剪力 Q F 的影响线。
解： M D = −60 × 2 = −120kN ⋅ m M E = M D = −120kN ⋅ m
∑M
F
= 0 ，FyG × 2 + 120 − 20 × 6 × 1 = 0 FyG = 0
N 1 = −60 2kN
M F = −20 × 4 × 2 = −160kN ⋅ m M G = −20 × 2 × 1 = −40kN ⋅ m 由此可画出受弯杆件弯矩图：
T ，将物理方程代入几何方程，得 2 πd 14 32
I d a 1 = P1 = = ，其中α = 2 4 4 l − a I P 2 πd1 d1 1−α 1−α 4 32
(
)
故
a 1 = = l 2 −α 4
d 14 1 = 4 d2 2d14 − d 24 2− 4 d1
二、如图所示，将薄铜环 C 加热至 150℃，恰好套在温度为 20℃的薄钢环 S 上， 内外环接触面光滑。铜环壁厚 tc 为钢环壁厚 ts 的 3 倍。因环壁很薄，内外环的直 径 均 一 以 公共 直 径 D 计算 ， 设 钢 和铜 的 弹性 模量 各 为 Es=2 × 105MPa 和 Ec=105MPa，线膨胀系数各为 α S = 13 × 10 −6 / o C和α C = 16 × 10 −6 / o C 。试求当内外 环温度均为 20℃时，铜环和钢环内的周向应力及环壁间的压强。
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
解：平衡方程：NS=NC 即 σ S t S = σ C t C 得 σ S = 3σ C 几何方程： ∆DS + ∆DC = ∆ 物理方程： σ S = pD pD （压） ， σ C = （拉） 2t S 2t C σS σ D ，铜环直径增加 ∆DC = C D ES EC
临界荷载 Pcr =
π 2 EI ，相应失稳形态如上图所示。 a2
故
π 2 EI π 2 EI ≤ P ≤ cr 4a 2 a2
七、对图示结构， （1）试求给定荷载作用下 1 杆的轴力，并绘出受弯杆件的弯矩 图； （2）当向下作用的单位集中力 P=1 在 CH 区间移动时，试求 EH 上 F 右侧相
钢环直径减少 ∆DS =
∆ = α C ∆tD ， ∆t = 150 o C − 20 o C = 130 o C 由此可得 σS σ D + C D = α C ∆tD ES EC α C ∆t 16 × 10 −6 × 130 = = 83.2MPa 3 1 3 1 + + E S EC 2 × 10 5 10 5
单位：mm
解：计算截面几何特性： A=2×118×13+10×224=5308mm2 Iz = 118 × 250 3 108 × 224 3 − = 52491017 mm 4 12 12
作出轴力图、剪力图、弯矩图如下：
FN 图（单位：kN）
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
160
160
FQ 图（单位：kN）
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
P
P
x a
l 解：当 x=0 或 x=a 时，对应体系为： Pcr Pcr Pcr Pcr
临界荷载 Pcr = 当x =
π 2 EI
(2a )2
=
π 2 EI ，相应失稳形态如上图所示； 4a 2
a 时，对应体系为： 2 Pcr Pcr
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
− 60 2
− 60 2
M 图（单位：kN∙m）
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
右 （2）由机动法作出 Q F 影响线：
八、图示刚架各杆 EI 相同，右图为用力法求解时的基本结构，试建立力法方程， 并求出其中的全部系数和自由项。
基本结构
X δ X + δ 12 X 2 + ∆ 1P = − 1 解：力法方程为： 11 1 k δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0 l l l l M 1图
ql 2 4
X2=1 X1=1 2 2 M 2图
ql 2 4
MP图 1 1 l 2 1 2 5l 3 l × l × l + × × l × l × 2 + × l × l × l = EI 2 2 3 2 3 3EI
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δ 11 =
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
δ 12 = δ 21 = δ 22 =
∆ 1P =
∆ 2P =
九、试求图示刚架的自振频率，并绘制相应的阵型图。设横梁为无限刚性且质量 均为 m，忽略柱子的质量。
解： i AD =
2 EI EI 2 EI EI = i i EF = = i i BF = = 2i iCG = =i 2l l l l
作出刚架的 M 1 、 M 2 图： D E
qx2 2 qx2 2
20 z 100
30 20 30 单位:mm
ql 2 qlx − 8 2
当 B 点和 BC 中点 E 处均达到容许拉应力时，达到最大容许荷载。 即 σ B max = M B ⋅ 43.33 M ⋅ 76.67 = [σ t ] σ E max = E = [σ t ] Iz Iz
或ε x =
ε 45o =
εx +εy 2
+
εx −εy 2
cos 2 × 45 o −
(
)
γ xy 2
sin 2 × 45 o =
(
)
1 −ν 1 +ν σh − τh 2E E
六、图示对称体系为无限刚性，竖杆的弯曲刚度均为 EI，竖杆上铰的位置可变， 为 a ≥ x ≥ 0 。试确定体系在竖向压力作用下临界荷载 Pcr 的上下限，并绘出相应 的失稳形态。
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
解：H 截面性质： A = πR 2 Iy = Iz = πD 4 π (2 R ) πR 4 = = 64 64 4
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W y = Wz =
πR 3 4
WP =
πR 3 2
将力简化到 H 截面： NH =NCD sinθ QH =–NCD cosθ Mz = QH·a =–NCD cosθ·a My= NH ·b= NCD sinθ·b Mn= QH·b=–NCD cosθ·b H 截面 g 点正应力： σg = N H M z N CD sin θ − N CD cos θ ⋅ a = Eε 0 + = + A Wz πR 2 πR 3 4 3 πEε 0 R ⇒ N CD = R sin θ − 4a cos θ N H M y N CD sin θ N CD sin θ ⋅ b N CD sin θ − = − = (R − 4b ) A Wy πR 2 πR 3 πR 3 4 M n 4 QH − N CD cos θ ⋅ b 4 − N CD cos θ N cos θ − ⋅ = − ⋅ (4 R − 6b ) = WP 3 A 3 πR 3 πR 2 3πR 3 2 σh −τ h 2 σ 135o = σh +τ h 2