3.3.3 简单的线性规划问题(2)

三、练习题
1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A 、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需 工时分别为1h、2h，加工一件乙所需工时分别为2h
、1h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h/
台和500h/台。如何安排生产可使收入最大？ 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月 收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是 x＋2 y 4 0 0 2 x＋y 5 0 0 x 0 y 0
类型 第一种钢板 A规格 1 B规格 2 C规格 1
第二种钢板
1
1
3
每张钢板的面积：第一种为1m2，第二种为2m2, 现须要A、B、C三种规格的成品各为12,15,27块, 问各截这两种钢板多少张,可得所需的三种规格 成品,并且使所用钢板的面积最小?
四、要点归纳与方法小结
（一）线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件， 确定线性目标函数．
的直线系，Z与这条直线的截距有关. 由图可以看出，当直线Z＝
7.2x＋10.8y经过可行域上的点 M时，截距最大，即Z最大. 20 易求得M（20，10），则 Zmax＝ 7.2x＋10.8y ＝252 o 故开设20个初中班和10个高中班， 收取的学费最多，为252万元.
30
y
M
20
30
40
x
例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小 钢板的块数如下表：
2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可
行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在
直线或直线的交点上，要注意斜率的比较．） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题 的解，即结合实际情况求得最优解．
（二）线性规划问题的求解步骤： 1审：审题（将题目中数据列表）,将实际问题转化为数学问题； 2设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数； 3画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线； 4移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找 出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 5求：通过解方程组求出最优解； 6答：回答实际问题． （三）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多 边形区域， 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此， 确定 其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得 最优解． （四）本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．
目标函数 s=3x+2y
作出可行域
3 S 把目标函数S＝3x＋2y 变形为 y x 2 2 3 它表示斜率为 随S变化的一组平行直线系

S 2
是直线在y轴上的截距，
2
y
当截距最大时，S的值最大．
2x+y=9
A O x
如图可见，当直线S＝3x＋ 2y 经过可行域上的点A时， 截距最大，即S最大．
x 4 x 2 y 8 0
得M点的坐标为：
x 4 y 2
所以zmax＝2x＋3y＝14 由此可知，每天生产甲产品4件、乙产品2 件时，工厂可得最大最大利润14万元．
例2 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资
金200万元，需场地200m2，可获利润300万元； 投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300 万元，需场地100m2，可获利润200万元.现某单 位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应作
2x+3y=14
A点是两条直线的交点，解方程组
2 x 3 y 14 2 x y 9
得A点的坐标为：
13 x 4 y 5 2
所以Smin＝3x＋2y＝14.75 由此可知,生产A产品325t,生产B产品250m时， 获利最大,且最大利润为1475万元．
高中数学 必修5
江苏省建湖县高级中学 高一数学组
一、问题情景 某校办工厂有方木料90m3,五合板600m2，正准备为 外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需 要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料 0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售 一张书橱可获利润120元.
例3
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提
供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的
脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白
质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳
水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费 最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？ 分析：将已知数据列成表格
3 z 3 z=3x+2y变形为 y 2 x 2 它表示斜率为 2 的直线系,z与这条直线的截距有关,
当直线经过点M时，截距最大，Z最大．
x 2 y 400 解方程组 2 x y 500
可得M（200，100） Zmax ＝3x＋2y＝800
200
500
Y
x＋2 y 4 0 0 2 x＋y 5 0 0 x 0 y 0
故生产甲产品200
M
件，乙产品100件，收
入最大，为80万元．
O
250
400
X
2.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学.对教 育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以 班级为单位）
学段 初中 高中 班级学生数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设 （万元） 26／班 54／班 教师年的函数关系式.
0.1x 0.2y 90 2x y 600 约束条件为 ： xN yN
目标函数为：
z 80x 120y
方案三、生产书桌100张，书橱400张，有最大 利润为56000元．
二、线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得 到应用， 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完 成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划， 能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务. 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
3 z 3 是直线在y轴上的截距， 当截距最大时，z的值最大.
2 z y x 把目标函数z＝2x＋3y 变形为 3 3 2 它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系
y
y=3 M
如图可见，当直线z＝2x＋3y
O
x x+2y-8=0 x=4
经过可行域上的点M时，截
距最大，即z最大．
M点是两条直线的交点，解方程组
怎样的组合投资，可获利最大？ 分析 将已知数据列成表格
资金（百万元） 场地（百平方米） 利润（百万元）
A产品（百吨）
B产品（百米） 限制
2
3 14
2
1 9
3
2
解:设生产A产品x百吨,生产B产品y百米, 利润为s百万元,则约束条件为
2 x 3 y 14 2x y 9 x0 y0
分析：将已知数据列成表格
产品
甲 乙
A
4
B
耗时
1h
4
2h
16
12
8h
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件， 工厂利润z万元
x 2y 8 4x 16 约束条件为： 4y 12 x 0, y 0
目标函数是：
z 2x 3y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行 域．
28x＋21y 经过可行域
上的点M时，截距最小， 即z最小．
o
3/7 5/7 6/7 x
y
4 x 3
M点是两条直线的交点，解方程组 7 x 7 y 5 14x 7 y 6
得M点的坐标为：
1 x 7 y 4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元．
食物／kg A B 成人日常需要 碳水化合物kg 0.105 0.105 0.075 蛋白质kg 0.07 0.14 0.06 脂肪kg 0.14 0.07 0.06 花费（元） 28 21
解 设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本 为z，则线性约束条件为：
0.105x＋0.10 y 0.075 7 x 7 y 5 0.07x＋0.14 y 0.06 7 x 14 y 6 0.14x 0.07 y 0.06 14x 7 y 6 x 0 x 0 y 0 y 0
（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设 计出工厂的生产方案。
方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书 桌300张，可获得利润80×300=24000元，但方木 料没有用完. 方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产450 张书橱，可获得利润120×450=54000元，但五合 板没有用完.
在上面两种情况下，原料都没有充分利用， 造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大 限度的利用，且可获得最大利润？ （2）设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，写出x、
例题 例1 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种 产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该 厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B 配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日 生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2 万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何 安排日生产，可使工厂所获利润最大？
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