期末复习勾股定理4
完整版勾股定理知识点及典型例题
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。
5.勾股定理的作用:（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3） 用于证明线段平方关系的问题。
（4） 利用勾股定理，作出长为j n 的线段6、2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法八下第18章《勾股定理》勾股定理知识点导航一、勾股定理:1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a 2+ b 2= C 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2+ b 2= c 2,那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股数：满足 a 2+ b 2= C 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:（1）确定最大边（不妨设为 C ）； （2）若c 2= 3 +孑，则^ ABC 是以/ C 为直角的三角形;若a 2+ b 2< C 2,则此三角形为钝角三角形（其中若a 2+ b 2> C 2,则此三角形为锐角三角形（其中4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半a ，b ，斜边长为C ，那么3.判断直角三角形: 其他方法：（1） 有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理常用知识点总结
勾股定理常用知识点总结勾股定理的历史可以追溯到公元前570年至前495年的希腊数学家毕达哥拉斯，因此又称为毕达哥拉斯定理。
关于勾股定理最初的证明和应用并没有详细的记载，但在后来被各个数学家继续研究和推广，成为数学中的经典定理之一。
在勾股定理中，直角三角形是一个特殊的三角形。
直角三角形的一个角是90度，另外两个角是锐角和钝角。
在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，其他两个边称为直角边。
根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
这个定理对于解决各种实际问题非常有用。
下面是勾股定理常用的知识点总结。
一、直角三角形的定义直角三角形是指三角形中一个角为90度的三角形。
通常用“△ABC”表示这样的一个三角形，其中∠C为直角，而∠A和∠B分别为锐角和钝角。
二、直角三角形中的三边关系在直角三角形中，根据勾股定理，直角所对的两条边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b²= c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
三、勾股定理的应用勾股定理在解决实际问题时非常有用。
通过勾股定理，我们可以计算直角三角形的边长，测量角度，解决导航和定位问题等。
勾股定理还可以用来验证三条边是否构成直角三角形，以及判定一个三角形是否为直角三角形。
四、特殊角度的勾股定理在直角三角形中，三边之间的关系是严格的，但是也可以将勾股定理推广到一些特殊的角度上。
例如，当直角三角形中的两个锐角为30度和60度时，我们可以利用勾股定理计算三角形中各边的长度。
根据勾股定理的推广，当两个锐角为30度和60度时，可以得到sin30°=1/2，cos30°=√3/2，sin60°=√3/2，cos60°=1/2等相关知识，从而计算出直角三角形中各边的长度。
五、勾股定理的证明勾股定理的证明一直是数学家们研究的重要课题。
目前已经有多种不同的证明方法，其中较为著名的有几何法、代数法和物理法等。
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中最基本的定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边的关系。
而勾三股四定理，则是一种推广的勾股定理，它描述了三个直角三角形的边长之间的比例关系。
以下是勾三股四定理的三个公式及其推导过程。
一、第一个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB^2=BC×AC这个公式可以通过勾股定理的推导得出。
根据勾股定理，有AC^2=AB^2+BC^2带入角C=90°，则有AB^2=AC^2-BC^2即AB^2=BC×AC。
二、第二个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠A=90°，则有AC^2=AB×BC这个公式可以通过将公式一中的AB和BC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和BC互换，得到AC^2=AB×BC。
三、第三个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠B=90°，则有BC^2=AB×AC这个公式可以通过将公式一中的AB和AC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和AC互换，得到BC^2=AB×AC。
ABCB，C在直角三角形ABC中，根据勾三股四定理公式一的推导过程，可以得到AB^2=BC×A C。
同理，根据勾三股四定理公式二和公式三的推导过程，可以得到AC^2=AB×BC以及BC^2=AB×AC。
勾三股四定理公式在解决问题时非常实用，它可以帮助我们在已知两条边后，快速求解剩余边的长度。
举个例子，假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm，我们需要求解AB的长度。
根据勾三股四定理公式一，我们有AB^2=BC×AC代入已知值，即可得到AB^2 = 12cm × 5cm计算得到AB^2 = 60 cm^2再开平方根，即可得到AB的长度，约为7.746cm。
第四讲 勾股定理(总复习)(教案)
京师蜀都学堂创新教材系列勾股定理（总复习）专题第讲时间：2014年月日老师：电话：一、兴趣导入（Topic-in）：专题简析：1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（C为斜边最长，c＞a，c＞b ）注释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。
（3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2，a2=c2－b2， b2=c2－a23、图形解释：4、勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数成为勾股数.例如：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25）注释：勾股数的每一项的整数倍的组合也是勾股数，例如（3，4，5）的二倍（6，8，10）同样也为勾股数。
二、知识讲解及例题分析(Teaching)：例1 已知两边求第三边:1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________ ,a：b：c＝ .2. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．3. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。
5. 如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3，则AB的长是多少?总结：在应用勾股定理进行计算时，一定要分清哪条是直角边哪条是斜边。
勾股定理知识总结及练习
勾股定理知识总结一、知识要点回顾1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①、已知的条件：某三角形的三条边的长度.②、满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③、得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④、如果不满足条件（2），就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股定理的应用利用勾股定理已知两边求第三边利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形 利用勾股定理列方程求线段长构造直角三角形利用勾股定理解决问题1、利用勾股定理已知两边求第三边(1)在△ABC 中，∠C=90°若7a ，c=4，则b= ；(2)在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
(3) 在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
(4) 在△ABC 中，若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。
（5）直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形（1）下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )A ．1.5，2，3 B. 8，15，17 C ．6，8，10 D. 3，4，5 （2）.若△ABC 的三边满足2()()0b c b c a +--=则下列结论正确的是( ) A.△ABC 是直角三角形,且∠C 为直角 B. △ABC 是直角三角形,且∠A 为直角 C. △ABC 是直角三角形,且∠B 为直角 D. △ABC 不是直角三角形. （3）如图，AD ⊥BC ，垂足为D ，如果CD=1，AD=2，BD=4，试判断ΔABC 的形状，并说明理由。
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第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt △ABC 中，设∠C =90°，∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ，则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC 中，∠B =90°，则a²+b²=c²。
2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。
验证如下：现有四块直角边长为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。
证法1：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴c ²＝4×12ab ＋(b −a)²∴c ²＝a ²＋b ²证法2：∵S 梯形＝2S 小三角形＋S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；(2)证明三角形中的某些线段的平方关系； ａ ａ ｂ ｂｃ ｃ(3)作长为无理数的线段.注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。
勾股定理知识点整理
勾股定理知识点整理1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即：a²+b²＝c²要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一。
其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理四大核心知识讲义(解析版)
专题02 勾股定理四大核心知识讲义【勾股定理证明】赵爽弦图ab c()22142c ab b a =⨯+-，化简得：222a b c +=.欧几里得证明方法证明：S 1+S 2=S 3；△ABF ≌△ADE →S △ABF =S △ADE →2 S △ADE =S 长方形AENM =S 正方形ABCD =2 S △ABF 同理，S MNPF =S 1 故S 1+S 2=S 3 方法3ABD C BD D BDDAC D S S S S '''''=++△△△梯形，即：()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 方法422211112222c ab ab a b ab ab ++=+++，化简得：222a b c +=.总统证明法A BD C A'D'C'a bca bcca bac bac bac bb ac()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 达芬奇证明法a 2+b 2+2×12ab =c 2+ ab ，a 2+b 2=c 2【勾股定理应用】【勾股数】1. 毕达哥拉斯学派提出2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++（n 为正整数）是一组勾股数.2. 我国《九章算术》中提到：()2212a m n =-，()221,(2b mn c m n m n ==+、为正整数，m n >）时，,,a b c 构成一组勾股数； 3. a 2－b 2，2ab ，a 2+b 2（a 、b 为正整数，且a >b ）4. 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41……5. 直角三角形三边长为a 、b 、c ，斜边c 上的高为h ，则：以111,,a b h为边的三角形是直角三角形.6. 若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）是一组勾股数.【在做某些题时较为简便】 【几个经典图形】结论：S 阴影=S △结论：23c a b a ===、、结论： c a ==、 ∠A =∠B =30°结论：2c a S ==△、、结论：2h S =△、 【勾股定理逆定理证明】命题：由题设和结论组成.将原命题的题设与结论互换即为其逆命题.如：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角是对顶角”.勾股定理逆定理证法：（构造全等三角形）【典例解析】【题型一】勾股定理及其应用 赵爽弦图【例1】（2020·河南南阳市月考）下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④【答案】B .【解析】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形， ∴x 2+y 2=49，故①正确； 由图可知x -y =CE =2，故②正确；四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即：2xy +4=49，故③正确； 2xy =45， ∵x 2+y 2=49，∴（x +y ）2=45+49=94，故④错误； 故答案为：B ．【例2】（2021·沙坪坝区期末）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．12D．12【答案】D.【解析】解：如图，CB=BD，∵AC=2，CD=2BC=6由勾股定理得：AD==AD+BD=3，+=．∴风车的外围周长是：4×()312故答案为：D．【变式1】（2021·四川资阳市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】解：（1）大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【变式2】（2021·浙江湖州市期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点,,,E F G H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图中所示的格点弦图中，正方形ABCD，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．【答案】36或50.【解析】解：设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，即S EFGH=（a+b）2．①当a=5，b=1或a=1，b=5时，此时S EFGH=36．②当a =b ， 此时S EFGH =52．③当a =b =S EFGH =50 故答案为：36或50．【变式3】（2020·山东威海市期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为a ，()b a b >，且3ab =，大正方形的面积为8，则a b -=____．【解析】解：小正方形的边长为a -b ，ab =3， （a -b ）2=8－2ab =2，∴a -b ；【变式4】（2020·河南南阳市期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．【答案】见解析.【解析】证明：如图2，连接BD 、CD ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则DF =CE =b -a ． ∵△ABC ≌△DAE ∴∠ABC =∠DAE ，∵△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°， ∴∠ABC +∠BAC =90°， ∴∠DAB =∠DAE +∠BAC =90°．∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =212c +1()2a b a -． S 四边形ADCB =S △ADC +S △ACB =21122b ab +，∴212c +1()2a b a -=21122b ab +， ∴a 2+b 2=c 2． 勾股定理与面积【例1】（2021·陕西西安市期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E 的面积是___．【答案】66.【解析】解： A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2， S 1=42+52，S 2=32+42，则S 3=S 1+S 2，S 3=16+25+9+16=66． 故答案为：66．【例2】（2020·浙江杭州市）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（ ）A ．1234S S S S +=+B ．1324S S S S +=+C ．1234S S S S ++=D ．1234S S S S ++<【答案】C .【解析】解：设图1最大正方形的面积为S 5,较小正方形面积为S 6，最小正方形面积为S 7， 则S 5= S 6+ S 7，图2中空白部分面积为：S 6+ S 7-S 4, 而S 1+S 2+S 3+S 空白=S 5= S 6+ S 7， 即S 1+S 2+S 3+ S 6+ S 7-S 4 = S 6+ S 7 S 1+S 2+S 3= S 4 故答案为：C .【例3】（2020·扬州市期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积用n S 表示，则n S =______．【答案】2n＋2.【解析】解：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积S n=2n+2，故答案为：2n+2．【变式1】（2019·北京昌平区期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C.【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，生长1次后，所有的正方形的面积和是2，同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．故答案为：C．【变式2】（2020·浙江期末）在ABC中，已知::5:12:13AC BC AB=，AD是ABC 的角平分线，DE AB⊥于点E．若ABC的面积为S，则ACD△的面积为（）A．14S B．518S C．625S D．725S【答案】B.【解析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴S△ACD=S△AED，AE=AC=5k，∴BE=13k-5k=8k，S△BED：S△AED=8:5∴S△ACD=518S．故答案为：B.勾股定理及勾股数应用【例1】（2020·长汀县月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？【答案】沿北偏西40°方向航行．【解析】解：PQ =16×1.5=24（海里）， PR =12×1.5=18（海里），∵QR =30，242+182=302，即PQ 2+PR 2=QR 2，∴∠QPR =90°．由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS =50°．则∠RPS =∠QPR －∠QPS =90°－50°=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行．【例2】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n =1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【解析】解：当n =1，a =12（m 2﹣1），b =m ，c =12（m 2+1）， ∵直角三角形有一边长为5，∴当a =5时，12（m 2﹣1）=5，解得：m， 当b =5时，即m =5，得，a =12，c =13，当c =5时，12（m 2+1）=5，解得：m =±3， ∵m ＞0，∴m =3，得，a =4，b =3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．【例3】（2021·河南洛阳市期末）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 【答案】B . 【解析】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =13∵三个内角的平分线交于点P∴P 到三角形ABC 三边的距离相等，均为PH 的长S △ABC =S △APC +S △APB +S △BCP =12（AC +BC +AB ）·PH S △ABC =12·BC ·AC ∴12×5×12=12×（5+12+13）·PH ∴PH =2故答案为：B ．【变式1】（2020·浙江嘉兴市期末）如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定【答案】C .【解析】解：由题意知∠ADB =∠ADC =90°∴由勾股定理得：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，∴AC 2－AB 2=CD 2-BD 2，即172-132= CD 2-BD 2同理，CM 2－MB 2=CD 2－BD 2=172-132=120故答案为：C .【变式2】阅读：所谓勾股数就是满足方程222x y z +=的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：2212x m n （）=-，y mn =，2212z m n =+（），其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．应用：当3n =时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．【答案】15，17．【解析】解：当x =8 时，()221382m -=， 解得m =5或m =-5（舍），∴y =mn =15，z =17.当y =8时，3m =8，m =83（舍）当z =8时，()221382m +=，解得m =（舍） 综上所述，当n =3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．特殊三角形中的应用【例1】（2020·山东威海市期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C 2D ．225cm【答案】B .【解析】解：如图，BC =20，CD =BD =EM ，∴EG =GM ，∴EF =FG =5，∴S =12EF 2=252， 故答案为：B .【例2】（2021·北京房山区期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【答案】A . 【解析】解：由题意可得：OA =AB =AB 1=1，OB 1=2，∵△OA 1B 1为等腰直角三角形，∴OA 1=A 1B 1，∴OB 2=2OA 1=OA 2=A 2B 2=2，……∴OA n=n， ∵S △OAB =12，S △OA 1B 1=1，S △OA 2B 2=2，…… ∴S △OAnBn =12n -，∴S △OA 2021B 2021=20202，故答案为：A ．【例3】（2021·福建厦门期末）如图，△ABC 与△BED 全等，点A ，C 分别与点B ，D 对应，点C 在BD 上，AC 与BE 交于点F ．若∠ABC ＝90°，∠D ＝60°，则AF ：BD 的值为_____．【答案】3：4．【解析】解：根据题意知，△ABC ≌△BED ，则∠ACB ＝∠D ＝60°，∠ABC ＝∠BED ＝90°，AC ＝BD ，∴AC //ED ．∴∠AFB ＝∠E ＝90°∴∠DBE =∠A =30°设AF =x ，BF =a ，在Rt △ABF 中，AB =2BF =2a ，由勾股定理得：（2a ）2=a 2+x 2，即a=3x ，BF=3x ，AB=3x 同理，在Rt △ABC 中，CF =13x ，AC =AF +CF =43x ， ∴3443AF x AC x == 故答案为：3：4．【变式1】（2021·安徽安庆市期末）如图，在平面直角坐标系中，12OA =，130AOx ∠=︒，以1OA 为直角边作12Rt OA A △，并使1260AOA ∠=︒，再以12A A 为直角边作123Rt A A A △，并使21360A A A ∠=︒，再以23A A 为直角边作234Rt A A A △，并使32460A A A ∠=︒，…，按此规律进行下去，则2020A 的坐标是_______．【答案】(0，1－31010).【解析】解：∵∠A 1Ox =30°，∠A 1OA 2=60°，∴∠A 2Ox =90°，A 2在y 轴上，在Rt △A 1A 2O 中，OA 1=2，∴OA 2=2OA 1=4，A 1A 2∴A 2的纵坐标为：4，∴A 2（0，4），同理，A 3(-1)，A 4（0，-8），A 1在第一象限，A 2在y 轴正半轴上，A 3在第二象限，A 2在y 轴负半轴上，由此发现：点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，每四次一循环，2020÷4=505，∴点A 2020在y 轴的负半轴上，纵坐标是：20201010131⎡⎤--=-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：(0，1－31010).影响时间【例1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是分钟．【答案】0.48．【解析】解：过点A作AD⊥ON于D，∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD＝12OA＝80m，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12 BC，在Rt△ABD中，BD60m==，∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．【例2】（2021·四川资阳期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【答案】（1）会受噪声影响，见解析；（2）2分钟.【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝150200250⨯＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【例3】（2021·重庆万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC ⊥AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】超速，每小时超速3.2千米．【解析】解：根据题意，得AC =18，AB =30，∠C =90°，在Rt △ACB 中，由勾股定理可得：BC =24即小汽车2秒行驶24米，即小汽车行驶速度为：43.2千米/时，43.2>40，所以小汽车超速行驶，超速3.2（千米/时）．【变式1】（2021·重庆期末）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，在A 处有一所中学，120AP =米，此时有一辆消防车在公路MN 上沿PN 方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？【答案】（1）学校受到噪音影响，见解析；（2）32秒.【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：过A 作AB ⊥MN 于B ，∵PA =120，∠QPN =30°∴AB =12PA =60 而60<100，故消防车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A 为圆心，100m 为半径作圆交MN 于C 、D ，在Rt △ABC 中，AC =100，AB =60，由勾股定理得：BC =80同理，BD =80∴CD =160，拖拉机在线段CD 上行驶所需要的时间为：160÷5=32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．【变式2】（2020·吉林长春市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】超速.【解析】解：根据题意，得AC =30m ，AB =50m ，∠C =90°，在Rt △ACB 中，BC =40m∴小汽车的速度为40÷2=20 m /s =72 km /h >70 km /h ；A C BAB∴这辆小汽车超速．最值问题【例1】（2021·江苏泰州市期末）已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．【答案】4.【解析】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB =AC =5，∴BP =12BC =3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP =4由垂线段最短知，AP 的最小值为4故答案为：4．【例2】（2021·重庆渝北区期末）如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．【答案】12013. 【解析】解：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的高，∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，在Rt △ABD 中，AD ＝12，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AB ×CN ， ∴CN ＝BC ×AD ÷AB ＝12013， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM ≥CN ，即CF ＋EF ≥12013， 即CF ＋EF 的最小值是12013， 故答案为：12013． 【例3】（2021·江苏连云港市期末）如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【答案】C .【解析】解：取AB的中点D，连接CD∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=6，CD⊥AB，∴CD=8，连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=6∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故答案为：C．新定义问题【例1】（2020·渠县月考）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC中，两边长分别是a=10c=，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【答案】（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC 是奇异三角形．【解析】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，b=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，b ，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【例2】（2021·北京昌平区）定义：点P是ABC内部的一点，若经过点P和ABC中的一个顶点的直线把ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是ABC关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是ABC关于顶点B的均分点的是________；（填序号）（2）如图，在ABC 中，9,010BAC BC ︒∠==，点P 是ABC 关于顶点A 的均分点，直线AP 与BC 交于点D ，当BP AD ⊥时，4BP =，求CP 的长．【答案】（1）④；（2）【解析】解：（1）①D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点． ②D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点．③不能推出AE =EC ，即不能说明△ABE 和△BCE 面积相等，故不能证明D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点．④由AE =EC ，可知△ABE 和△BCE 面积相等，所以D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点． 故答案为：④．（2）过点C 点作CE ⊥AP 于E ，∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10，∴BD=CD=5，在Rt△BPD中，由勾股定理得：PD=3，易证：△BPD≌△CDE，∴PD=DE=3，PB=CE=4，∴PE=2PD=6在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC【例3】（2020·浙江嘉兴市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若AD=，试求线段CD的长度．BD=1（2）深入探究>，CD是AB边上试如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA CB探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；【答案】（1）①是；②2；（2）见解析．【解析】解：（1）是；②由题意知，CD⊥AB，BD AD=1，由勾股定理可得：BC2=DC2+BD2=DC2+5，AC2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，∴CD2=BC2－AC2，∴CD2=4，解得：CD=2（-2舍去）；（2）AD=CB，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，∴CD2=AC2-BC2，∵CD⊥AB∴AC2-CD2=AD2∴BC2=AD2∴BC=AD【变式1】我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P 是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC 的直角边上，试求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）AP的长为32或2或78.【解析】解：（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠P AB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠P AB＝∠DPC，∴△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC=4，当P点在AB上，P A＝PB，则AP12=AB32=；当P点在AC上，P A＝PC，则AP12=AC＝2，当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图，设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，在Rt △ABP 中，32+t 2＝(4﹣t )2，解得t 78=， 即此时AP 78=， 综上所述，AP 的长为32或2或78． 【变式2】（2021·浙江宁波市）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度；（2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”；②求BD 的长．（3）在（2）的基础上，边AC 上是否存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”？若存在，直接写出．．．．CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）20，（2）①见解析；②53；（3）52或74． 【解析】解：（1）∠B 不可能是α或β，当∠A =α时，∠C =β=50°，此时，α+2β=90°，不成立当∠A =β，∠C =α=50°时，β=20°（2）①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠BCD又∠BAC=90°∴∠ACB+∠B=90°即2∠BCD+∠B=90°∴△BCD是“近直角三角形”．②过点D作DH⊥BC于H在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=5 可得：△ACD≌△HCD∴DH=AD，AC=CH=4，∴BH=1设BD=x，则DH=3-x，在Rt△BDH中，x2=（3-x）2+1，解得：x=53，即BD=5 3 .（3）①过点E作EF⊥BC于F，设CE=x，则AE=4-x，EF=4-x由AB=BF=3得：CF=2，在Rt△CEF中，x2=22+（4-x）2，解得：x=5 2②当∠ABE =∠C 时，延长EA 至G ，使得AE =AG ，根据条件可得：△ABG ≌△ABE ，∴∠GBA =∠C =∠EBA由∠GBA +∠G =90°，知∠C +∠G =90°，故∠GBC =90°设CE =x ，则AE =AG =4-x ，∴（4-x ）2+32=（8-x ）2-52，解得：x =74综上所述，满足题的CE 值为52或74． 【变式3】（2021·浙江宁波期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（12，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）是；（2）1：1；（3252. 【解析】解：（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：∵22223+=⨯，满足是平方倍三角形的定义，2的三角形是平方倍三角形；（2）在Rt ∆ABC 中，则a 2+b 2=c 2，∵Rt ∆ABC 是平方倍三角形，∴c 2+b 2=3a 2，∴a 2+b 2=3a 2－b 2∴a =b ，c a故该直角三角形的三边之比为1：1；（3）∵Rt △ABC 中，CD 为△ABC 的中线，∴CD =12AB =AD =BD ， 设CD =12AB =AD =BD =x ，则AB =2x ， ∵AB ＞BC ，∴2x ＞5，即：x ＞52， ∵△BCD 是平方倍三角形，①当BD 2+CD 2=3BC 2，即x 2+x 2=3×52，解得：x （舍负），∴AB =2x =AC =∴△ABC 的面积=152⨯= ②当BC 2+BD 2=3DC 2，则52+x 2=3x 2，解得：x =2（舍负），∴AB =2x =AC =5，∴△ABC的面积=2555122⨯⨯=，综上所述，△ABC 25 2．【题型二】勾股定理逆定理及其应用判断三角形形状【例1】（2021·江苏苏州市期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5【答案】C.【例2】（2021·山西长治市期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为（）A．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A.【解析】解：如图，连接AC，由题意可得：22221310,125=AB AC BC=+==+=∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故答案为：A．【变式1】（2021·浙江绍兴市期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC．设AB=x，若ABC为直角三角形，则x=__．【答案】43或53.【解析】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x ∴1+x＞3-x，1+3-x>x解得：1<x<2.①∵1＜x，∴AC不能为斜边，②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1＜x＜2，故答案为：43或53．【变式2】（2021·江西吉安市期末）如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．（1）求∠C的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）135°；（2）10．【解析】解：连接AC，如图，∵∠D＝90°，∴AD2+CD2=AC2∵CD＝AD＝∴AC=4∵AB＝5．BC＝3∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵CD＝AD∴∠ACD=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°. （2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1122AC BC AD CD ⨯+⨯=114322⨯⨯+⨯=10.【变式3】（2021·广东佛山市期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】（1）150；（2）66.【解析】解：（1）∵AC＝15，AD＝9，CD＝12 ∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，∠BDC=90°在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=16∴AB=AD+BD=25∴S△ABC=112512150 22AB CD⋅=⨯⨯=.（2）过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°设AD=x，则BD=x+11由勾股定理得：CD2=132-x2=202-（x+11）2，解得：x=5∴CD2=144，即CD=12，∴S△ABC=11111222AB CD⋅=⨯⨯=66.三角形存在性问题【例1】（2021·福建泉州市期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．图1 图2（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；②求CE的长．（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．【答案】（1）①见解析；②78；（2）2.5.【解析】解：（1）①作∠BAE=∠B②由勾股定理，得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，x2+32=（4-x）2，∴x=7 8 .（2）AC为底时，AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD =BD =2.5．【例2】（2021·广东佛山市期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，20AB cm =，16AC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度向点C 运动，连接PB ，设运动时间为t 秒（0t >）（1）求BC 的长．（2）当PA PB =时，求t 的值．【答案】（1）12；（2）252. 【解析】解：（1）由勾股定理可得：BC 2+AC 2=AB 2，BC ；（2）由题意知P A =PB =t ，PC =16-t ，在Rt △PCB 中，（16-t ）2=t 2-122，解得：t =252， ∴当点P 运动到P A =PB 时，t 的值为252． 【变式1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】（1）4，21；（2）92或252；（3）254或152或9．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC•BD=12AB•BC，∴BD=12，CD=，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=25 2，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t=15，解得：t=152（秒）；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，同理可得：CF=9，则CD=2CF=18，∴2t=18，t=9（秒）；综上所述，当t=254或152或9秒时，△CBD是等腰三角形．41。
勾股定理(4)
蚂蚁 A C 蜂蜜
3 13
针对训练 2、如图是一个棱长为3cm正方体盒子，在盒子下 底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食 物，需爬行的最短路程是多少？
D
B
A A
C C
针对训练 3、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm， 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那 么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
边 l
针对训练 1、如图，从点 A 0， 发出的一束光，经 x轴反 2 射，过点 B 4， ，则这束光从点 A到点B 所经过 3 路径的长为 ．
y A O D C E B
.
x
例题选讲 例2、课本P81第8题
. .
B
10
A
6
针对训练 1、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相 对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__cm．
D’ Dˊ Aˊ B’ Bˊ
Cˊ B’
D A C
B
B
作业讲评
13m
5m
2m
C D
B
E
A
《全品》P31课时十八
1、B; 2、D; 3、A ; B; 6、B
7、 2 ； 8、7；
4、D;
5、
31 9、 ； 10、2 2
作业：
1、《全品》课时作业19；
2、练习卷；
3、预习课本P73-76，完成练习（暗线A）。
勾股定理（4） 距离最短问题
例题选讲 例1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张 村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距 离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？ （2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元， 为使铺设水管费用 B 最节省，请求出最 A 节省的铺设水管的 费用为多少元？ 河
勾股定理复习考点全经典
勾股定理复习考点（全)－经典————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理复习考点(全)-经典一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么ａ2 + ｂ２= c2。
公式的变形：a2 = ｃ2- b2， b2= c２-a２。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c，且满足a2 + b２＝ｃ2,那么三角形AＢC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方＋中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
３、勾股数满足a2 ＋b２＝ c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:（3,4，５)（５，12，1３) ( 6，8，10 ) （７，24，25 )( 8,１５，1７) (9，12,１5 ）4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：(1)阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（３）阴影部分是半圆.S 3S 2S 1２． 如图,以Ｒt △ＡBC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、Ｓ３,则它们之间的关系是( )A. S １- S 2＝ S 3 Ｂ. S １+ S 2= S 3 C. S 2+S ３< S 1 D. S 2- Ｓ3=S １4、四边形ABCD 中，∠B ＝90°,AB=3,BC=4，ＣD ＝１２,AD=13,求四边形ABCD 的面积。
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E
C
边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标 系的X轴和Y轴上，若 沿对角线AC折叠后，点B落 在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三 角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1 所在的直线解析式。
C
1 2
B
O
D
E B1
3
A
1 、如图，在四边形 ABCD 中， ∠ BAD=90° ， AD=4 ， AB=3 ， BC=12 ， 求 正 方 形 DCEF 的 面 积．
8、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森 林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两 个村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过 该森林公园?请通过计算说明.
400
A
60°
30°
B
D
1000
C
9 ．一艘轮船以 20 千米 / 时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15 千米 / 时的速度向东南方向航行，它们离开港 口2小时后相距多少千米？
00 cm
11 cm
.08 cm
求：S四边形ABCD
D A
03 cm
.52 cm
B
C
解（1） ∵AC⊥AB(已知) AB = 3.00 cm ∴ AC2+AB2=BC2(勾股定理 ) CA = 4.11 cm ∵ AB=3cm,BC=5cm BC = 5.08 cm
2 2 2 2 AC BC AB 5 3ห้องสมุดไป่ตู้ 4cm ∴
A
P1、P2、 、P100 ,设mi =APi2 +PiB PiC(i=1、2、 、100).
B
P
C
； / 石器时代私服
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且,即便混元通道打开,想要进入其中也并不容易,需要满足诸多の条件.”“不过,混元通道打开の那段事间,却是一次无比珍贵の修行机会.即便是俺们呐些大王,也同样如此.”“当混元通道开启,便有大量至高道则律动.当然,其他各级道则也是应有尽有.甚至,还有一些俺们混元空间没有 の道则存在,呐部分道则与俺们混元空间道则似乎在属性上截然相反,但当你去参悟掌握の事候,发现又似乎能与混元空间道则相融,委实令人费解.”苍耳大王凝眉说道.听到苍耳大王呐句话,鞠言却是瞪了瞪双目.他知道,苍耳大王说の那种道则,应该就是白色道则.“倒是与永恒之河中の 白色河水类似,不过那组成白色河水の道则俺们无法参悟,而通过混元通道渗透过来の,有一部分俺们能够参悟掌握.”苍耳大王继续说道.“哦……”鞠言轻‘哦’了一声,没有与苍耳大王多说白色道则の事情.看过混元通道节点之后,苍耳大王带鞠言来到中殿.两人,在呐里等着其他天庭大 王过来.伏束大王、浦桑大王等人来得很快,段韵大王和吔箐大王呐两人,则姗姗来迟,不过终究还是来了.“苍耳大王,叫俺们过来,有何事?”段韵大王看了鞠言一眼后,又看向苍耳大王问道.“段韵大王不要着急,先请入座.”苍耳大王笑着说道.段韵大王黑着脸,与吔箐大王两人走到自身の 座位旁入座.“呵呵,召集诸位过来,是有一件小事,与诸位大王商量一下.”苍耳大王面带微笑.“鞠言大王刚刚加入天庭,他尚未使用过天庭の修炼秘境.鞠言大王,对修炼秘境の修行效果,比较有兴趣.三千年后,修炼秘境将再次开启,所以鞠言大王想在三千年后,进入秘境修行一万年.”苍 耳大王继续说道.呐确实是小事情.大王们,早都用过不知多少次修炼秘境了.鞠言大王刚加入天庭,想早一些使用修炼秘境,那算哪个?别说只是呐样,就算鞠言大王多用几万年事间,也不是大事.“苍耳兄,区区小事,你传讯知会俺们一声就是,哪用将俺们都叫过来啊！”伏束大王笑着说 道.“就是啊！鞠言大王刚加入俺们天庭,便是多让鞠言大王使用修炼秘境几个轮次,也是能够の.”又一名大王微笑道.“……”“哼！”段韵大王,却是冷哼一声,面色不悦の用目光扫过其他人.“规矩就是规矩,早就排好の轮次,说变就变?”段韵大王低沉の声音说道.多名大王,都皱了皱 眉.虽说轮次早就排好了,可呐牵扯到规矩上面,就有些小题大做了.鞠言也皱眉,他看着段韵大王.鞠言是取代了红叶大王の位置,若按照先前の轮次,那他对应の就是红叶大王使用修炼秘境の机会.然而,红叶大王在三万多年前才用过修炼秘境.就是说,下一次轮到红叶大王の呐个轮次,那得 再等上个二拾万年左右.一个轮次,是两万年,使用一万年,关闭一万年.对混元无上级善王来说,几拾万年事间,也不算多长.可鞠言,却无法慢慢の等待二拾万年の事间,他心中一直牵挂着明混元の黑白河问题.在鞠言从明混元来暗混元の事候,黑白河の动荡已越来越频繁,很可能千万年事间 就会导致整个明混元崩溃,甚至是只有几百万年の事间.鞠言,不能慢悠悠の等待,他需要尽早の掌握解决黑白河问题の能历.若是能成为真正の大王,就是掌握了元祖道则,那应该就能解决黑白河存在の问题.“段韵大王の意思是?”鞠言皮笑肉不笑の看着段韵大王.被鞠言如此看着,段韵大 王明显有些不自在.他从进入中殿,脸色就不好看.不过,他还真の不敢对鞠言大王太放思.实历摆在那里.拳头大の,才能够放思！实历不足の情况下放飞自俺,那怕是会很凄惨.“鞠言大王又不是小孩,道理还有俺说吗?规矩就是规矩,难道鞠言大王你,就能够随便破坏规矩吗?”“你现在是天 庭大王,当然能够使用天庭の修炼秘境.但是,天庭有拾二位大王,你不能强迫其他大王都给你让路吧?”“你取代の是原红叶大王の位置,按照轮次顺序,你应该等到对应の轮次使用修炼秘境.”段韵大王连续说道.他虽是不想理会鞠言,但说实话,他还真の有点不敢.所以虽然是反对の态度, 但他还是较为充分の说出了自身の理由,至少看上去他能占住道理.“段韵大王,你呐是不是有些太小题大做了吧?”苍耳大王蹙眉说道.“哪个叫做小题大做?俺说の,难道有错?”段韵大王对苍耳大王说话,音量顿事提高了许多.苍耳大王皱眉更紧,他看了看鞠言.“呵呵……”鞠言笑了一 声.“嗯,俺既然已是天庭一员,自要维护天庭の规矩.”鞠言点头,开口说道.“不过……方才段韵大王说の话,存在一个问题.”“取代红叶大王の位置?呐是哪个意思?俺怎么就取代红叶大王の位置了?”鞠言眼睛眯起,眼申凌厉看着段韵大王.第三一三三章脸皮之厚段韵大王の目光,与鞠言 对视了片刻,竟是主动の转过了目光.他居然不敢看鞠言の眼睛.“段韵大王,你说俺是取代了红叶老狗の位置.按照你の意思,红叶老狗若是不死,俺就没资格进入天庭?”鞠言继续盯着段韵大王.紧接着,鞠言看向苍耳大王道：“苍耳兄,还有诸位天庭道友.你们是不是与段韵大王一样の想 法?”“怎么会?”苍耳大王立刻道：“以鞠言大王の实历,若不能进入天庭,那么还有谁,能有资格进入天庭称大王?”“就是就是,苍耳老哥所言极是.”“嗯,以鞠言大王の实历,进入天庭毫无疑问.”“鞠言大王,并不是取代红叶の位置才进入天庭の.不管红叶生还是死,鞠言大王进入天庭 都是必然.”几位大王,都连忙说道.段韵大王脸色铁青,他很想当场发飙,不过眼申悄悄看了看鞠言,他还是将发飙の念头给压了下去.在鞠言大王面前发飙,得慎叠,弄不好只会令自身更加难堪.“俺不是那个意思.”“俺想说の是,红叶大王身死,鞠言大王进入天庭,正好维持天庭拾二位大王. 说取代,是俺の口误.”段韵大王不得不如此说.“原来是呐样！”鞠言眯着眼睛道：“很好,既然是呐样の话,俺呐个进入天庭の新人,就趁此机会,提一个建议.俺认为,使用修炼秘境の轮次顺序,应该叠新编排.俺鞠言,怎么能用红叶老狗の轮次?”既然你段韵说俺破坏天庭规矩,那俺叠立呐 个规矩就是.“段韵大王,你觉得俺の提议如何?”鞠言专问段韵大王.“叠新编排使用修炼秘境の轮次顺序?”段韵大王皱眉.“对.”鞠言点头.“之前の轮次顺序不是很好吗?为哪个要叠新编排?”段韵大王很想直接反对,但实在是没有足够の勇气.“俺觉得不好.”鞠言没有给出哪个理由, 只说了他觉得不好.段韵大王呼吸一滞,有一种无法喘息の感觉.欺负人啊！呐鞠言,也太欺负人了.你觉得不好,就要叠排轮次顺序?欺人太甚！段韵大王很想问一句,你凭哪个,你以为你是谁?可话到嘴边,终究还是没有说出来.没办法,一来鞠言の个人实历太强,二来其他大王与他段韵也不是 一条心,他呐边也就只有吔箐大王一个.段韵大王看了看吔箐大王,眼申示意吔箐大王说一点哪个.从进入中殿后,吔箐大王并未开口说过话.吔箐大王,看到了段韵大王示意.之前,吔箐大王、红叶大王和段韵大王,是天庭中の一个派系,三人联合起来,在天庭话语权极叠.现在红叶大王身死,段 韵大王身边就只有吔箐大王一个人了.吔箐大王,对段韵大王轻轻点了点头,示意自身明白了.“鞠言大王！”吔箐大王直接站起身,对鞠言拱了拱手.“俺认为,鞠言大王你の提议有问题.”吔箐大王大声说道.“嗯?有哪个问题?”鞠言皮笑肉不笑の看着吔箐大王,眼申凌厉.而吔箐大王却好 似没有看到鞠言大王の目光,自顾自の说道：“俺认为,鞠言大王你刚刚加入天庭,你从未使用过天庭の修炼秘境.所以,应该单分出一段事间,让你使用天庭の修炼秘境.”“诸位大王,俺觉得不如呐样,等三千年后,修炼秘境再次开启の事候,直接让鞠言大王进入修炼秘境,用个一百万年事间. 呐样虽然仍然不能弥补鞠言大王の损失,但也总算稍微弥补了一些.”吔箐大王大声の说道.段韵大王罔大嘴巴,看着吔箐大王.段韵大王心中,简直有一万头草泥马奔腾而过.哪个情况?呐是吔箐大王说の话?吔
B
∠ADC=900(勾股定理的逆定理
C
=6+2 3 (cm2)
13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，
且CE=
1 4
BC，则AF⊥EF，试说明理由
解：连接AE ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1
A
A D
F
∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
AD = 2.03 cm DC = 3.52 cm
D A
又∵CD=2 3cm AD=2cm(已知) ∴ AC2=16 , CD2+AD2=12+4=16 ∴ AC2=CD2+AD2 ∴ ∴ S四边形ABCD=S △ ABC+ S△ ACD = =