(浙江版)2018年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2
2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法教案 新人教A版选修2-2
(2)“分析综合法”证明的步骤： 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件 的结构特点去转化结论，得到中间结论 P；根据结论的结构特点去转 化条件，得到中间结论 Q.若由 Q 可以推出 P 成立，就可证明结论成立， 其证明模式可用框图表示如下：
2．以下命题中，正确的是( ) A．综合法是执果索因的逆推法 B．综合法是由因导果的顺推法 C．综合法是因果互推的两头凑法 D．综合法就是举反例
解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行 证明结论(果)的方法．
答案：B
3．要证 3－ 2> 7－ 6成立只需证( ) A．( 3－ 2)2>( 7－ 6)2 B．( 3－ 7)2>( 2－ 6)2 C．( 3＋ 6)2>( 7＋ 2)2 D．( 3－ 2－ 7)2>(－ 6)2
方法归纳 (1)“分析综合法”解决数学问题： “分析综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结 论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法．在解题过程中， 分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使 用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分 析．分析综合法的方法结构如图所示：
∵a，b，c 的倒数成等差数列，
∴1a＋1c＝2b，即 2ac＝b(a＋c)． 要证 2ac－b2>0， 只需证 b(a＋c)－b2>0，即 b(a＋c－b)>0， 上述不等式显然成立，∴B 为锐角.
方法归纳 分析法证明数学问题的方法
跟踪训练 2 求证： 3＋ 7<2 5.
证明：因为 3＋ 7和 2 5都是正数， 所以要证 3＋ 7<2 5，只需证( 3＋ 7)2<(2 5)2， 展开得 10＋2 21<20，只需证 21<5，只需证 21<25， 因为 21<25 成立，所以 3＋ 7<2 5成立.
2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章 推理与
1 各有特长的综合法与分析法做任何事情都要讲究方法，方法适当，事半功倍；方法不当，事倍功半．解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案．证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法．综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件．综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们的应用十分广泛．要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果”，即“由原因去推导结果”．要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”． 例1 已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋4c －a≥0. 分析 首先使用分析法寻找证明思路． 证明 方法一 (分析法) 要证原不等式成立， 只需证1a －b ＋1b －c ≥4a －c .通分得(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )≥4a －c，即证a －c (a －b )(b －c )≥4a －c.∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. 只需证(a －c )2≥4(a －b )(b －c )成立． 由上面思路可得如下证题过程． 方法二 (综合法)∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∴4(a －b )(b －c )≤[(a －b )＋(b －c )]2＝(a －c )2. ∴a －c (a －b )(b －c )≥4a －c ，即(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )－4a －c ≥0.∴1a －b ＋1b －c ＋4c －a≥0. 从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，求证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明 方法一 (分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证明c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 只需证b 2＝c 2＋a 2－2ac ·cos 60°， 只需证B ＝60°.因为A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.方法二 (综合法)因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理知b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°，得c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边同时加上ab ＋bc ，得 c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )， 得c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 所以(c a ＋b ＋1)＋(ab ＋c ＋1)＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.2 反证法的独妙处反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型： 1．证明否定性问题例1 平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．分析 假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．证明 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A ，B ，C ，D . 考虑△ABC ，则点D 有两种情况：在△ABC 内部和外部．(1)如果点D在△ABC内部(如图①)，根据假设知围绕点D的三个角∠ADB，∠ADC，∠BDC 都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC外部(如图②)，根据假设知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四边形ABCD的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾．综上所述，可知假设错误，题中结论成立．点评结论本身是否定形式、唯一性或存在性命题时，常用反证法．2．证明“至多”“至少”“唯一”“仅仅”等问题例2A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；②存在常数L(0<L<1)，使得对任意的x1，x2∈[1,2]，都有|φ(2x1)－φ(2x2)|<L|x1－x2|.设φ(x)∈A，试证：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么这样的x0是唯一的．证明假设存在两个x0，x0′∈(1,2)，x0≠x0′，使得x0＝φ(2x0)，x0′＝φ(2x0′)，则由|φ(2x0)－φ(2x0′)|<L|x0－x0′|，得|x0－x0′|<L|x0－x0′|.所以L>1.这与题设中0<L<1矛盾，所以原假设不成立．故得证．点评若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证．3．证明较复杂的问题例3如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则() A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1＝sin A2，则cos A1＝cos(90°－A2)．所以A1＝90°－A2.同理设cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，则有B1＝90°－B2，C1＝90°－C2.又A1＋B1＋C1＝180°，所以(90°－A2)＋(90°－B2)＋(90°－C2)＝180°，即A2＋B2＋C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立，故选D.答案 D例4已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.分析若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明．证明 假设a <0，由abc >0，知bc <0.由a ＋b ＋c >0，知b ＋c >－a >0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0.这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc >0矛盾．故a >0.同理可证b >0，c >0.小结 至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法．一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法． 运用反证法证题时，还应注意以下三点： (1)必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；(2)推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；(3)在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊．另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式．3 数学归纳法中如何用假设数学归纳法是高中数学重要的证明方法之一，它对证明与正整数有关的命题十分有效，解决这类问题的基础是归纳奠基，关键是归纳递推．不管何类题目，只要利用数学归纳法证明，其假设条件必须用上，下面我们结合实例说明数学归纳法的假设条件如何运用． 1．直接运用例1 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n 是正整数)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12＝32，中间＝1＋12＝32，右边＝12＋1＝32，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k .那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)． 这就是说，当n ＝k ＋1时不等式成立．根据(1)和(2)，知对任意正整数n ，不等式均成立． 2．配凑后运用例2 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：n ＋f (1)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ≥2，且n 是正整数)．证明 (1)当n ＝2时， 左边＝2＋f (1)＝2＋1＝3，右边＝2f (2)＝2×⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即k ＋f (1)＋…＋f (k －1)＝kf (k )． 那么，当n ＝k ＋1时， (k ＋1)＋f (1)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝1＋f (k )＋kf (k )＝(k ＋1)f (k )＋1＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k )＋1k ＋1＝(k ＋1)f (k ＋1)．这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，知等式对从2开始的所有正整数n 都成立． 点评 解决此题的关键是盯住结论(k ＋1)f (k ＋1)，凑出系数k ＋1. 3．增减项后运用例3 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(2n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n 是正整数)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(2k ) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)·…·(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)，设法凑出假设：乘以(k＋1)，再除以(k＋1)，即左边＝(k＋1)·(k＋2)(k＋3)·…·(2k)(2k＋1)(2k＋2)·1k＋1＝2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)·2(k＋1)·1k＋1＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)，这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，知等式对任意正整数n都成立．点评对n＝k＋1时，等式的左边乘一项，除一项(或加一项，减一项)，设法凑出假设条件的形式，从而证明n＝k＋1时等式成立，这说明解题时要有目标意识．4走出数学归纳法解题的常见误区数学归纳法一般用于证明与正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可．本文举例剖析用数学归纳法解题的几类常见误区．误区一、未注意初始值例1判断1＋12＋13＋…＋1n>n，对任意自然数都成立吗？若成立，请给出证明．错证假设n＝k(k∈N*)时，结论成立．即1＋12＋13＋…＋1k>k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>k＋1k＋1＝k(k＋1)＋1k＋1>k·k＋1k＋1＝k＋1k＋1＝k＋1，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．因此，对任意自然数不等式均成立．剖析错证中忽略了当n＝1时，左边＝1，右边＝1,1>1不成立．这种省略第一步的做法是错误的，数学归纳法的两个步骤缺一不可．正证当n＝1时，左边＝1，右边＝1，不等式不成立，当n＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，1＋12>2成立，下证同错证．误区二、未用归纳假设例2用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．错证(1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设当n＝k(k>2，k∈N*)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n 项和公式，得 2＋22＋…＋2k －1＋2k＝2(1－2k )1－2＝2(2k －1)．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意的n >2，n ∈N *都成立．剖析 错证中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，所以使用的方法并非数学归纳法．正证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立； (2)假设当n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立， 即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，那么当n ＝k ＋1时，2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(2k －1－1)＋2k ＝2·2k －2＝2(2k －1)．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意的n >2，n ∈N *都成立． 误区三、未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项例3 求证：1＋2＋3＋…＋2n －1＝12(4n －1＋2n －1)(n ∈N *)．错证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12(41－1＋21－1)＝1，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即1＋2＋3＋…＋2k －1＝12(4k －1＋2k －1)，那么1＋2＋3＋…＋2k －1＋2k ＝12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12(4k ＋2k )．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)，知等式对任意的n ∈N *都成立．剖析 错证中有两个问题：第一未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项，实际上，并非仅增加了2k 一项，而是增加了2k－1项；第二“12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12(4k ＋2k )”是错误的，这是通过结论直接写出，实际上，这是使用数学归纳法的大忌．正证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12(41－1＋21－1)＝1，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即1＋2＋3＋…＋2k －1＝12(4k －1＋2k －1)，那么当n ＝k ＋1时，1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋...＋2k ＝1＋2＋3＋ (2)－1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋…＋(2k －1＋2k －1)＝(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋2k－1·2k －1＝12(4k －1＋2k －1)＋(1＋2k －1)2k －12＋2k －1·2k －1＝(4k －1＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝2×4k －1＋2k －1＝12(4k＋2k)．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)，知等式对任意的n∈N*都成立．。
2018高中数学第2章推理与证明第3节数学归纳法学案理苏教版选修22
第3节 数学归纳法一、学习目标：了解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。
二、重点、难点能运用数学归纳法证明和自然数有关的命题。
三、考点分析：数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视。
数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视。
只要与自然数有关，都可考虑使用数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些。
一、数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法： （1）先证明当n ＝n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n ＝k （k ∈N*， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n ＝k ＋1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法。
二、数学归纳法的应用：（1）证恒等式； （2）整除性的证明； （3）探求平面几何中的问题； （4）探求数列的通项； （5）不等式的证明。
特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。
例1 已知n n n n n f 21312111)(+++++++=，则)1(+n f 的值为（ ） A. )(n f ＋)1(21+n B. )(n f ＋121+n ＋)1(21+nC. )(n f -)1(21+nD. )(n f ＋121+n -)1(21+n思路分析：)(n f 是从n ＋1开始的n 个连续自然数的倒数和，故)1(+n f 是从n ＋2开始的n ＋1个连续自然数的倒数和，即)1(+n f ＝111111113121+++++++-+++++++n n n n n n n n ＝)1(21121213121+++++++++n n n n n ＝)(n f ＋121+n ＋)1(21+n -11+n ＝)(n f ＋121+n -)1(21+n 故选D 。
2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章 推理与
学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一 直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法： ①综合法是从已知条件推出结论的证明方法； ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法． 知识点二 数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．类型一 综合法与分析法例1 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练1 已知x >0，y >0，求证：11223332()()x y x y +>+. 证明 要证明11223332()()x y x y +>+， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立， 故11223332()()x y x y +>+. 类型二 反证法例2 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y>2矛盾．故1＋xy<2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练2已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．证明假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．类型三数学归纳法例3观察下列四个等式：第一个式子1＝1第二个式子2＋3＋4＝9第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．解(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2.右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练3 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1 ＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 分析法的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件． 2．设f (n )＝5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)，若f (n )能被m (m ∈N *)整除，则m 的最大值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析 f (1)＝8，f (2)＝32，f (3)＝144＝8×18， 猜想m 的最大值是8.3．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.4．要证cos 2x ＋2sin 2x ≥sin 2x 只需证______________________． 答案 cos 2x －2sin x cos x ＋sin 2x ≥0 解析 要证cos 2x ＋2sin 2x ≥sin 2x ， 只要证cos 2x －sin 2x ＋2sin 2x －sin 2x ≥0， 即证cos 2x －2sin x cos x ＋sin 2x ≥0. 5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n －1)(2n )2－2n (2n ＋1)2]＝－n (n ＋1)(4n ＋3)． 证明 当n ＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k －1)·(2k )2－2k (2k ＋1)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)． 那么当n ＝k ＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k －1)(2k )2－2k (2k ＋1)2]＋[(2k ＋1)(2k ＋2)2－(2k ＋2)(2k ＋3)2]＝－k (k ＋1)(4k ＋3)－2(k ＋1)[4k 2＋12k ＋9－4k 2－6k －2] ＝－(k ＋1)[4k 2＋3k ＋2(6k ＋7)] ＝－(k ＋1)[4k 2＋15k ＋14] ＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]． 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n ∈N *都成立．1．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．2．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式b a ＋ab≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0答案 C解析 要使b a ＋a b ≤－2，只需b a <0，a b <0即可，即a ，b 异号．故C 是使b a ＋ab ≤－2成立的一个充分不必要条件，故选C.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”，四位歌手的话只有两位是对的，则获奖的歌手是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 C解析 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁的话都错误；同理可推知乙、丙、丁获奖情况，最后获奖者应是丙．3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数 答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”． 4．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1 (x ∈R ) 答案 C5．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值．故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x x )A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x x )A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x x )A 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x x )A 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x x )A 2＝A 2A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题 8．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，2422a a q -+-= (a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______． 答案 p ＞q 解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .9．用反证法证明“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，假设内容是______________． 答案 |f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12解析 “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32.方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0， 即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0， ∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32.三、解答题11．已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ca ≤13.证明 因为a ＋b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 又因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ca ，所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 所以1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝3(ab ＋bc ＋ca )． 所以ab ＋bc ＋ca ≤13.12．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝a 2＋b 2＋c 2＋2S . 欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca . 先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2， 只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立； 再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0， 即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0， 只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ， 由于a ，b ，c 为三角形的三边长， 上述三式显然成立， 故有3S ≤I 2<4S .13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________． 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x －ln x －1，则g ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立．(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。
精品-新人教版2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版选修2_2
2.3 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： 时命题成立；）*N ∈0n （0n 取第一个值n ）（归纳奠基）证明当1（时命题也成1＋k ＝n 证明当，时命题成立）*N ∈k ，0n ≥k （k ＝n ）（归纳递推）假设2（立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立..Ｗ数学归纳法上述证明方法叫做1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n 项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.第一个值n 0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n 0都是1.3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当n ＝k （k ≥n 0，k ∈N *）时命题成立”起着已知的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时命题也成立.而不能直接将n ＝k ＋1代入归纳假设，此时n ＝k ＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（ ）（2）数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.（ ）（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（ ）答案：（1）× （2）× （3）√用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于（n －2）π”时，归纳奠基中n 0的取值应为（ ）A.1B.2C.3D.4解析：选C.根据凸n 边形至少有3条边，知n ≥3，故n 0的取值应为3.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n ＋3）＝（n ＋3）（n ＋4）2（n ∈N *）时，第一步验证n ＝1时，左边应取的项是（ ）A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4答案：D用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n （n ∈N *且n >1）第一步要证明的不等式是，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左端增加了项.解析：当n ＝2时，1＋12＋13<2.当n ＝k 时到第2k－1项，而当n ＝k ＋1时到第2k ＋1－1项，所以2k ＋1－1－（2k－1）＝2k ＋1－2k＝2·2k－2k＝2k.答案：1＋12＋13<2 2k探究点1 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n （3n ＋1）＝n （n ＋1）2，其中n ∈N *.【证明】 （1）当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.（2）假设当n ＝k （k ∈N *）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k （3k ＋1）＝k （k ＋1）2，那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k （3k ＋1）＋（k ＋1）[3（k ＋1）＋1]＝k （k ＋1）2＋（k ＋1）[3（k ＋1）＋1]＝（k ＋1）（k 2＋4k ＋4）＝（k ＋1）[（k ＋1）＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立.根据（1）和（2）可知等式对任何n ∈N *都成立.用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n2（2n －1）（2n ＋1）＝n （n ＋1）2（2n ＋1）.证明：（1）当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立.（2）假设当n ＝k 时等式成立即有121×3＋223×5＋…＋k2（2k －1）（2k ＋1）＝k （k ＋1）2（2k ＋1），那么当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3），即当n ＝k ＋1时等式也成立.由（1）（2）可得对于任意的n ∈N *等式都成立.探究点2 用数学归纳法证明不等式求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56（n ≥2，n ∈N *）.【证明】 （1）当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边＞右边，不等式成立.（2）假设当n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56，则当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.（*）法一：（分析法）下面证（*）式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0，只需证（3k ＋2）（3k ＋3）＋（3k ＋1）（3k ＋3）＋（3k ＋1）（3k ＋2）－3（3k ＋1）（3k＋2）≥0，只需证（9k 2＋15k ＋6）＋（9k 2＋12k ＋3）＋（9k 2＋9k ＋2）－（27k 2＋27k ＋6）≥0，只需证9k ＋5≥0，显然成立.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.法二：（放缩法）（*）式＞⎝⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立.用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n2＜1－1n（n ≥2，n ∈N *）.证明：（1）当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12. 因为14＜12，所以不等式成立.（2）假设n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2＜1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k2＋1（k ＋1）2＜1－1k ＋1（k ＋1）2＝1－（k ＋1）2－kk （k ＋1）2＝1－k2＋k ＋1k （k ＋1）2＜1－k （k ＋1）k （k ＋1）2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立.探究点3 归纳——猜想——证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n （n ∈N *）.（1）写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式. 【证明】 （1）因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以S 1＝a 1＝1，当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，可得a 2＝13，S 2＝1＋13＝43；当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝9a 3，可得a 3＝16，S 3＝1＋13＋16＝32；当n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝16a 4，可得a 4＝110，S 4＝85.猜想S n ＝2n n ＋1.（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.①当n ＝1时，结论显然成立.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论成立，即S k ＝2k k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝（k ＋1）2a k ＋1＝（k ＋1）2（S k ＋1－S k ），所以（k 2＋2k ）S k ＋1＝（k ＋1）2S k ＝（k ＋1）2·2kk ＋1，所以S k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2.故当n ＝k ＋1时结论也成立.由①②可知，对于任意的n ∈N *，都有S n ＝2n n ＋1.因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＝Sn n2＝2n n ＋1n2＝2n （n ＋1）.“归纳—猜想—证明”的一般步骤已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.（1）写出a 1，a 2，a 3，推测a n 的表达式；（2）用数学归纳法证明所得结论.解：（1）由S n ＋a n ＝2n ＋1，得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，推测a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n（n ∈N *）.（2）证明：a n ＝2－12n（n ∈N *）.①当n ＝1时，a 1＝2－121＝32，结论成立.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论成立，即a k ＝2－12k，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2（k ＋1）＋1，因为a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，所以2a k ＋1＝a k ＋2，所以2a k ＋1＝4－12k ，所以a k ＋1＝2－12k ＋1，所以当n ＝k ＋1时结论成立.由①②知对于任意正整数n ，结论都成立.——————————————————————————————————————（本题满分12分）给出四个等式： 1＝1，1－4＝－（1＋2）， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4）， …（1）写出第5，6个等式，并猜测第n （n ∈N *）个等式； （2）用数学归纳法证明你猜测的等式.【解】 （1）第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， （1分） 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－（1＋2＋3＋4＋5＋6）， （2分）第n 个等式为：12－22＋32－42＋…＋（－1）n －1n 2＝（－1）n －1（1＋2＋3＋…＋n ）. （4分）正确猜测此结论,是本题的基础.（2）证明：①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝（－1）0×1＝1，左边＝右边，等式成立.（6分）②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋（－1）k －1k 2＝（－1）k －1（1＋2＋3＋…＋k ） ＝（－1）k －1·k （k ＋1）2. （7分）则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋（－1）k －1k 2＋（－1）k （k ＋1）2＝（－1）k －1·k （k ＋1）2＋（－1）k （k ＋1）2＝（－1）k（k ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋1）－k 2 ＝（－1）k（k ＋1）[（k ＋1）＋1]2＝（－1）k （1＋2＋3＋…＋k ＋1）. （10分）由n ＝k 到n ＝k ＋ 1是本题难点.)所以n ＝k ＋1时，等式也成立，（11分）根据①②可知，对∀n ∈N *等式均成立.（12分）（1）应用数学归纳法时，可按口诀“递推基础不可少，归纳假设要用到，突出形式明依据，总结定论莫忘掉”来检查要点.（2）在数学归纳法应用中，要明确当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加的项为（－1）k（k ＋1）2.这样才可正确求解.1.一个关于自然数n 的命题，如果证得当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k （k ≥1且k ∈N *）时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于（ ）A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对解析：选B.本题证明了当n ＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.A ，C ，D 不正确.2.用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1134”时，由k 到k ＋1，不等式左边的变化是（ ）A.增加12（k ＋1）一项B.增加12k ＋1和12k ＋2两项C.增加12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项 D.以上结论都不正确解析：选C.当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）＋（k －1）＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）， 故不等式左边的变化是增加12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少1k ＋1一项.3.求证：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2（n ∈N *）.证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝12，所以不等式成立.②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1＞k 2.则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k ＞k 2＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k ＞k 2＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k 2＋2k －1·12k ＝k ＋12.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②可知1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2（n ∈N *）成立.[A 基础达标]1.用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－an ＋21－a（a ≠1，n ∈N *）”，在验证n ＝1成立时，左边的项是（ ）A.1B.1＋aC.1＋a ＋a 2D.1＋a ＋a 2＋a3解析：选C.因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.2.用数学归纳法证明n ＋（n ＋1）＋（n ＋2）＋…＋（3n －2）＝（2n －1）2（n ∈N *）时，若记f （n ）＝n ＋（n ＋1）＋（n ＋2）＋…＋（3n －2），则f （k ＋1）－f （k ）等于（ ）A.3k －1B.3k ＋1C.8kD.9k解析：选C.因为f （k ）＝k ＋（k ＋1）＋（k ＋2）＋…＋（3k －2），f （k ＋1）＝（k ＋1）＋（k ＋2）＋…＋（3k －2）＋（3k －1）＋3k ＋（3k ＋1），则f （k ＋1）－f （k ）＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .3.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是（ ）A.假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确（k ∈N *） B.假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确（k ∈N *）C.假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确（k ∈N *）D.假设n ≤k （k ≥1）时正确，再推n ＝k ＋2时正确（k ∈N *）解析：选B.n ∈N *且为奇数，由假设n ＝2k －1（k ∈N *）时成立推证出n ＝2k ＋1（k ∈N *）时成立，就完成了归纳递推.4.用数学归纳法证明不等式12＋13＋ (12)≤n 时，从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式左边增添的项数是（ ）A.kB.2k－1 C.2kD.2k ＋1解析：选C.当n ＝k 时，不等式左边为12＋13＋14＋ (12)，共有2k－1项；当n ＝k ＋1时，不等式左边为12＋13＋14＋…＋12k ＋1，共有2k ＋1－1项，所以增添的项数为2k ＋1－2k ＝2k. 5.对于不等式 n2＋n ＜n ＋1（n ∈N *），某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n ＝1时， 12＋1＜1＋1，不等式成立.（2）假设当n ＝k （k ∈N *）时，不等式成立，即 k2＋k ＜k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k2＋3k ＋2＜（k2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知对于任何n ∈N *，不等式均成立.则上述证法（ ）A.过程全部正确B.n ＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程不正确解析：选D.此同学从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中没有应用归纳假设.6.用数学归纳法证明“设f （n ）＝1＋12＋13＋ (1)，则n ＋f （1）＋f （2）＋…＋f （n－1）＝nf （n ）（n ∈N *，n ≥2）”时，第一步要证的式子是Ｗ.解析：因为n ≥2，所以n 0＝2.观察等式左边最后一项，将n 0＝2代入等式，可得2＋f （1）＝2f （2）.答案：2＋f （1）＝2f （2）7.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是Ｗ.解析：观察不等式左边的分母可知，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边多出了1（k ＋2）2这一项.答案：122＋132＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋38.对任意n ∈N *，34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝Ｗ.解析：当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5；当a ＝3且n ＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：59.证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)（n ∈N *）.证明：①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立.②假设当n ＝k （k ∈N *且k ≥1）时等式成立.即1－12＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12).则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1），所以当n ＝k ＋1时等式也成立，由①②知，对一切n ∈N *等式都成立.10.已知数列{a n }中，a 1＝5，S n －1＝a n （n ≥2且n ∈N *）.（1）求a 2，a 3，a 4并由此猜想a n 的表达式；（2）用数学归纳法证明{a n }的通项公式.解：（1）a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝20.猜想：a n ＝5×2n －2（n ≥2，n ∈N *）（2）证明：①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5成立.②假设当n ＝k （k ≥2且k ∈N *）时猜想成立，即a k ＝5×2k －2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5（1－2k －1）1－2＝5×2k －1.故当n ＝k ＋1时，猜想也成立.由①②可知，对n ≥2且n ∈N *，都有a n ＝5×2n －2.于是数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n－2，n≥2且n∈N*.[B 能力提升]11.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n（na －b ）＋14对一切n ∈N *都成立，那么a ，b 的值为（ ）A.a ＝12，b ＝14B.a ＝b ＝14C.a ＝0，b ＝14D.a ＝14，b ＝12解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a ，b 的值代入原式，令n ＝1，2验证，易知选A.法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n（na －b ）＋14对一切n ∈N *都成立，所以当n ＝1，2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋14，1＋2×3＝32（2a －b ）＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.12.用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是Ｗ.解析：当n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k＋25k ＋1＋…＋25（k ＋1）－1.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋413.平面内有n （n ≥2，n ∈N *）条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f （n ）＝n （n －1）2.证明：（1）当n ＝2时，两条直线有一个交点，f （2）＝1，命题成立.（2）假设当n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，命题成立，即f （k ）＝k （k －1）2.那么当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线与前k 条直线均有一个交点，即新增k 个交点，所以f （k ＋1）＝f （k ）＋k ＝k （k －1）2＋k ＝k2＋k 2＝（k ＋1）[（k ＋1）－1]2，即当n ＝k ＋1时命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n ≥2，n ∈N *成立.14.（选做题）若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立. （1）猜想正整数a 的最大值；（2）用数学归纳法证明你的猜想.解：（1）当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋11＋3＝1312＝2624，即2624＞a 24，所以a ＜26，而a 是正整数，所以猜想a的最大值为25.（2）下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2524.①当n＝1时，已证.②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋13k＋1＞2524.那么当n＝k＋1时，1（k＋1）＋1＋1（k＋1）＋2＋1（k＋1）＋3＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13（k＋1）＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1＞2524＋⎝⎛⎭⎪⎫13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1＝2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤6（k＋1）9k2＋18k＋8－23（k＋1）＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤6（k＋1）9k2＋18k＋9－23（k＋1）＝2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤23（k＋1）－23（k＋1）＝2524，即当n＝k＋1时不等式也成立.根据①②，可知对任何n∈N*，都有1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2524.所以正整数a的最大值为25.。
2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第二章 推理与
2．1.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论) 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2 C 2＋c cos 2A 2≥32b .证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．(2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3.命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)． 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .类型二 分析法例3 (1)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2；(2)已知△ABC 三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角． 证明 (1)要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(2)要证B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2， 要证a 2＋c 2－b 2>0， 只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )． 要证2ac －b 2>0，只需证b(a＋c)－b2>0，即b(a＋c－b)>0，上述不等式显然成立，∴B为锐角．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.证明(1)方法一要证a－a－1<a－2－a－3，只需证a＋a－3<a－2＋a－1，只需证(a＋a－3)2<(a－2＋a－1)2，只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2，只需证a2－3a<a2－3a＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，∴a－a－1<a－2－a－3(a≥3)．方法二∵a＋a－1>a－2＋a－3，∴1a＋a－1<1a－2＋a－3，∴a－a－1<a－2－a－3.(2)要证tan A tan B>1，只需证sin A sin Bcos A cos B>1，∵A、B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0.即证sin A sin B>cos A cos B，即cos A cos B－sin A sin B<0，只需证cos(A＋B)<0.∵△ABC为锐角三角形，∴90°<A＋B<180°，∴cos(A＋B)<0，因此tan A tan B>1.1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x (x<0)，则a与b的大小关系为()A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．无法确定答案 A解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同答案 A解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3， 即证(2＋7)2<(3＋6)2.4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x )(1＋11－x )≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( ) A ．x >0，y >0 B ．x <0，y <0 C ．x >0，y <0 D ．x <0，y >0答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，xy >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.2．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2 B ．b 2＋c 2>a 2 C ．b 2＋c 2≤a 2 D ．b 2＋c 2<a 2答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定 答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P2<Q2，即P<Q.4．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2，只需证b2－ac－3a2<0.∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，∴只需证(a＋c)2－ac－3a2<0，即(a－c)(2a＋c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.6．下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a＋a＋5<a＋2＋a＋3(a≥0)D.2＋10>2 6答案 D解析对A选项，要证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，只需证2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≥0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，显然成立，故A正确．对B选项，要证a＋b>a＋b(a>0，b>0)，只需证(a＋b)2>a＋b，只需证2ab>0，显然成立，故B正确．对C选项，要证a＋a＋5<a＋2＋a＋3，只需证(a ＋a ＋5)2<(a ＋2＋a ＋3)2， 只需证2a ＋5＋2a (a ＋5)<2a ＋5＋2a 2＋5a ＋6， 只需证a (a ＋5)<a 2＋5a ＋6， 显然a 2＋5a <a 2＋5a ＋6， 故C 正确． 二、填空题7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a >b >0解析 由a a >b b ，得a 3>b 3， 则a ，b 需满足a >b >0.8．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数，∴A >B >C .9．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )_______12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．10．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝________.答案 1解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.11．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直(答案不唯一) 解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 三、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1， 即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③， 可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．四、探究与拓展14.对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为a 1，a 2，…，a m ，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为b 1，b 2，…，b n ，并设其中最大的数为b ，两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： ①a 和b 必相等； ②a 和b 可能相等；③a 可能大于b; ④b 可能大于a .以上四个结论中，正确结论的序号是________．(请写出所有正确结论的序号)答案 ②③解析 由题知，a ＝min{a 1，a 2，…，a m }＝a i (1≤i ≤m )，b ＝max{b 1，b 2，…，b n }＝b j (1≤j ≤n )，显然a i ≥b j ，当且仅当a i ，b j 在同一行同一列时，有a i ＝b j ，所以②③正确．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74. (1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2， 解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， ①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)， ② ①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n n＝n ，即a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2 ＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
浙江人教A版数学高二选修2-2学案第二章推理与证明习题课综合法和分析法
学习目标加深对综合法、分析法的理解，灵活运用两种方法证明数学问题．知识点一综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论顺推证法或由因导果法知识点二分析法定义推证过程特点从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件逆推证法或执果索因法知识点三分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：P⇒P1→P1⇒P2→…→←…←Q2⇒Q1←Q1⇒Q其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．类型一利用综合法与分析法解决函数问题例1设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋12)为偶函数．证明方法一要证f(x＋12)为偶函数，只需证明其对称轴为x＝0，即证－b2a－12＝0，只需证a＝－b.∵函数f(x＋1)的对称轴x＝－b2a－1与函数f(x)的对称轴x＝－b2a关于y轴对称，∴－b2a－1＝－－b2a，∴a＝－b.∴f(x＋12)为偶函数．方法二记F(x)＝f(x＋12)，欲证F(x)为偶函数，只需证F(－x)＝F(x)，即证f(－x＋12)＝f(x＋12)．∵函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(－x)的图象也是关于y轴对称的，∴f(－x)＝f(x＋1)，∴f(－x＋12)＝f[－(x－12)]＝f(x＋12)．∴f(x＋12)为偶函数．反思与感悟有关函数的证明问题，往往与函数的性质结合起来，注意有时要构造函数，通过求导，确定单调性，进而得证．P n⇒P′⇓Q′⇒Q m跟踪训练1 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：当x >1时，f (x )<32(x －1)．证明 记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0， 即f (x )<32(x －1)．类型二 利用综合法与分析法解决数列问题例2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ， ① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋cy ＝2，只需证ay ＋cx ＝2xy ， 只需证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得，2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .原式得证．跟踪训练2 不相等的三个数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( ) A ．成等比数列，而非等差数列 B ．成等差数列，而非等比数列 C ．既成等差数列又成等比数列 D ．既非等差数列又非等比数列 答案 B解析 由a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .① ∵x 是a ，b 的等比中项，∴x 2＝ab .② 又y 是b ，c 的等比中项，∴y 2＝bc .③ 由①②③得，2b 2＝ab ＋bc ， 即2b 2＝x 2＋y 2，∴x 2，b 2，y 2成等差数列，又∵a ≠b ≠c ，∴x 2，b 2，y 2不成等比数列．类型三 综合法与分析法在三角形中的应用例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).证明 要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)成立，只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2(1＋sin 2βcos 2β)，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.因为sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α， 所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确．跟踪训练3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π， ∴B ＝π3，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .1．若a >b >0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a 2>ab B ．ab >b 2 C.1a >1b D ．a 2>b 2答案 C解析 若a >b >0，则1a <1b.2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D3．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________. 答案 34解析 方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0， 可得x 2－mx ＋2＝0或x 2－nx ＋2＝0. 设x 2－mx ＋2＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2. 不妨令x 1＝12，则x 2＝4，m ＝94.设x 2－nx ＋2＝0的两根分别为x 3，x 4. 则x 3＋x 4＝n ，x 3x 4＝2.由题意知12，x 3，x 4,4成等比数列，∴x 3＝1，x 4＝2.∴n ＝3. 则|m －n |＝|94－3|＝34.4．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明 要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)>lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立． 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立，所以lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立．1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦琐；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．课时作业一、选择题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 C解析 ∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，又A ＋B ＝180°－C ，∴cos(180°－C )>0， ∴－cos C >0，即cos C <0， ∴C 为钝角．3．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形 答案 D解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 4．已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．b B ．－b C.1b D ．－1b答案 B解析 ∵f (a )＋f (－a )＝lg 1－a 1＋a ＋lg 1＋a1－a＝lg 1＝0， f (a )＝b ，∴f (－a )＝－b . 5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，2422a a q -+-=(a >2)，则( ) A ．p >q B ．p <q C ．p ≥q D ．p ≤q答案 A解析 ∵a >2，∴a －2>0，∴p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取“＝”．又－a 2＋4a －2＝－(a －2)2＋2<2， ∴2422a a q -+-=<22＝4，∴p >q .6．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( ) A ．2 2 B.2 C ．2 D ．1答案 B解析 由x ＋y ≤a x ＋y ，得a ≥x ＋y x ＋y，即a 2≥x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xyx ＋y.∵1＋2x y＋y x≤2，即a 2≥2，∴a ≥2，∴a 的最小值为 2.7．若a >b >c ，则使1a －b ＋1b －c ≥ka －c 恒成立的最大正整数k 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， 且a －c ＝a －b ＋b －c . ∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4.又∵k ≤a －c a －b ＋a －cb －c ，∴k ≤4，故k 的最大正整数为4，故选C. 二、填空题8．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________． 答案 a >b >c 解析 ∵a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6，∴a >b >c . 9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是__________． 答案 a ≠b解析 ∵a a ＋b b >a b ＋b a ，∴a (a －b )＋b (b －a )>0，∴(a －b )(a －b )>0. ∴(a ＋b )(a －b )2>0， ∴a －b ≠0，即a ≠b .10．已知在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＋a 9>0，S 9<0，则S 1，S 2，S 3，…中最小的是________． 答案 S 5解析 由等差数列的性质，得2a 6＝a 3＋a 9>0， ∴a 6>0，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52<0，∴a 5<0，∴前5项和最小．11．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO.∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．三、解答题12．设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b.证明方法一(分析法)要证a∥b，∵a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，即要证(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，∵tan αtan β＝16为已知，∴结论正确．方法二(综合法)∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，∴sin α·sin β＝16cos α·cos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，∴4cos αsin β＝sin α4cos β，∴a∥b.13．如图所示，在四面体P ABC中，∠ABC＝90°，P A＝PB＝PC，D是AC的中点，求证：PD⊥平面ABC.证明连接BD.∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DA＝DB＝DC.又P A＝PB＝PC，且PD为△P AD，△PBD，△PCD的公共边，∴△P AD≌△PBD≌△PCD.又∠PDA＝∠PDC＝90°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥AC，PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.四、探究与拓展14．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为____________)，只需证____________，只需证AE⊥BC(因为____________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为________________________________________________________________________)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．答案EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC解析要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．15．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；高中数学-打印版③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．试判断g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．解g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数，证明如下：因为x∈[0,1]，所以2x≥1,2x－1≥0，即对任意的x∈[0,1]，总有g(x)≥0，满足条件①.g(1)＝2－1＝1，满足条件②.g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)．因为x1≥0，x2≥0，且2x1－1≥0,2x2－1≥0，所以g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0，所以当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，都有g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)成立，故g(x)＝2x－1，x∈[0,1]是理想函数．最新版高中数学。
浙江专版高中数学第二章推理与证明部分222反证法课件新人教A版选修2
二、归纳总结·核心必记
1．反证法的定义及证题的关键
[规律总结] 对反证法概念的理解 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否 定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果 否定”． (2)反证法属“间接解题方法”．
2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系 (1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过 反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法． (2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推 出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然 后通过推理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ出矛盾．
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即
存在性和唯一性．
[针对训练] 求证：过直线外一点只有一条直线与它平行． 证明：已知：直线 b∥a，A∉a，A∈b，求证：直线 b 唯一． 假设过点 A 还有一条直线 b′∥a. 根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′， 与 b∩b′＝A 矛盾，∴假设不成立，原命题成立．
－2＜a＜0. 故三个方程至少有一个方程有实根，实数 a 的取值范围是 －∞，－32∪[－1，＋∞)．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
2．将本例条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根，求实数
a 的取值范围．
容应是________． 答案：3 a≤3 b
考点一 用反证法证明否定性命题 [典例] 直线 y＝kx＋m(m≠0)与椭圆 W：x42＋y2＝1 相交于 A，
C 两点，O 是坐标原点．当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，求证： 四边形 OABC 不可能为菱形．
2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 第2课时 分析法及其应用学案 新人教A
2.2.1 第2课时分析法及其应用1．了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2．理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P38～P39“例4”以上内容，完成下列问题．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q ⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越．( )(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )【解析】(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]已知a >b >0，求证：8a<2－ab <8b.【精彩点拨】 本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．【自主解答】 要证a －b28a <a ＋b2－ab <a －b28b，只需证a －b28a<a －b22<a －b 28b.∵a >b >0， ∴同时除以a －b22，得a ＋b 24a<1<a ＋b 24b，同时开方，得a ＋b 2a <1<a ＋b2b， 只需证a ＋b <2a ，且a ＋b >2b ， 即证b <a ，即证b <a . ∵a >b >0，∴原不等式成立，即a －b28a<a ＋b2－ab <a －b28b.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．[再练一题]1．已知a ＞0，b ＞0，求证a b ＋ba≥a ＋b .【证明】 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )， 只需证(a )3＋(b )3≥ab (a ＋b )，只需证(a ＋b )(a －ab ＋b )≥ab (a ＋b )， 只需证a －ab ＋b ≥ab ， 只需证(a －b )2≥0，(a －b )2≥0显然成立，故原不等式成立．求证：以过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切．【精彩点拨】【自主解答】 如右图所示，过点A ，B 分别作AA ′，BB ′垂直准线于点A ′，B ′，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义有|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|， 因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，所以以过抛物线y 2＝2px 焦点的弦为直径的圆必与直线x ＝－p2相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．[再练一题]2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．[探究共研型]探究1 【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．【自主解答】 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by .消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b，且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥b ＋c ＋，因b ＋c ＋≤b ＋＋c ＋2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a ≥b ＋c .由于2a ＝b 2c ＋c 2b ，故只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2＋c 2－bc )≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.[再练一题]3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 【导学号：81092022】【证明】 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2ac cos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法D ．归纳法【解析】 由分析法和综合法定义可知选B. 【答案】 B2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3【解析】 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2. 【答案】 C3.3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( ) A ．ab (b －a )>0 B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <b D ．ab (b －a )<0【解析】 3a －3b <3a －b ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ⇔3ab 2<3a 2b⇔ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0.【答案】 D4．设n ∈N ，a ＝n ＋4－n ＋3，b ＝n ＋2－n ＋1，则a ，b 的大小关系是________． 【解析】 要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小，即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号， ∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2＝2[n ＋n ＋－n ＋n ＋]＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)＜0， ∴n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1. 【答案】 a ＜b5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd≤a2＋b2c2＋d2.【证明】(分析法)①当ac＋bd≤0时，显然成立．②当ac＋bd＞0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.即证2abcd≤b2c2＋a2d2.即证0≤(bc－ad)2.因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题1．若a，b∈R，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A．ab>0 B．b>aC．a<b<0 D．ab(a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a<b<0.∴a<b<0是1a3>1b3的一个充分不必要条件．【答案】 C2．求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，∵35>11，∴原不等式成立．以上证明应用了( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D．间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C 二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________．【解析】 ∵A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝a －b 22ab a ＋b≥0，∴A ≥B .【答案】 A ≥B7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________. 【导学号：81092024】 【解析】 要使a a >b b 成立，只需(a a )2>(b b )2，只需a 3>b 3>0，即a ，b 应满足a >b >0. 【答案】 a >b >08．如图224，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．图224【解析】 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .【答案】 AC ⊥BD (或底面为菱形) 三、解答题9．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 【证明】 法一：分析法 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立， 由此命题得证． 法二：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b >0，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ， 即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)， 因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋cb ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cdC.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd. ∴B ，C 不正确． 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd.故A 正确，D 不正确． 【答案】 A2．下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ； 对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －<2a －3＋2a －a －，即a a －<a －a －，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p成立的正整数p的最大值是________.【导学号：81092025】【解析】由3＋22>1＋p，得p<3＋22－1，即p<(3＋22－1)2，所以p<12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124．证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.【证明】∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.要证b2－aca＜3，只需证b2－ac＜3a，即证b2－ac＜3a2.因为b＝－a－c，故只需证(a＋c)2－ac＜3a2，即证2a2－ac－c2＞0，即证(2a＋c)(a－c)＞0.∵2a＋c＞a＋b＋c＝0，a－c＞0，∴(2a＋c)(a－c)＞0成立．∴原不等式成立．11。
2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案 新人教A版选修2-2
第二章推理与证明章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×)4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ×)类型一 合情推理与演绎推理 例1 (1)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 43n (n ＋1)解析 第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝________.考点 类此推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案PA′PA·PB′PB·PC′PC解析题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V三棱锥P－A′B′C′V三棱锥P－ABC＝PA′PA·PB′PB·PC′PC.(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案1和3解析由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案13 3n＋1解析设第n个图形中火柴棒的根数为a n，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式a n－a n－1＝3(n≥2，n∈N*)，所以a n＝3n＋1.(2)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质“若S m＝S n(m，n∈N*且m≠n)，则S m＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________.考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时， 加减运算类比推理为乘除运算． 累加类比为累乘，由此，等差数列{a n }的性质类比到等比数列{b n }中为： 数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积， 若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )， 则T m ＋n ＝1.类型二 综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 方法一 分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α，∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 只需证4cos α≤11－cos α，∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1， 可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立． 方法二 综合法 ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0， ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件． 跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立． 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0， 所以(a －b )2>0显然成立． 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型四 数学归纳法例4 已知在数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n的表达式，并用数学归纳法加以证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 数学归纳法证明数列通项问题 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即当n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想均成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．跟踪训练4 观察下列四个等式：第一个式子1＝1第二个式子 2＋3＋4＝9第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．考点利用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳、猜想、证明解(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2.右边＝[2(k＋1)－1]2，即当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，猜想对任意n∈N*都成立.1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )A．47 B．65C．63 D．128考点归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A. 3．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a≤2b －a 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，所以b 2a≥2b －a .4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.5．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式解 (1)当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2] ＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1].所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法． 4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．一、选择题1．证明命题：“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，所以e x >1,0<1e x <1.所以e x－1e x >0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．以上都不是考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 A解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a>a ＋1bD.b a <b ＋1a ＋1考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 答案 C解析 取a ＝－2，b ＝－1，验证可知C 正确．3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n 个正方形点数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．(n ＋1)2D ．n 2考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用答案 D解析由题意可知第n个正方形点数为n2.4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( )A．25 B．7C．6 D．8考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由所给的数列规律知，第25项为7.5．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案 D解析由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确．6．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( ) A．2 B．3C．5 D．6考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，即第一个能使2n>n2＋1成立的n值为5，故选C.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案 D解析因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又因为a2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号． 若a >63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a ≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意； 若a ＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若a ≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛． 二、填空题9．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah 1＝3×12ar ⇒r ＝13h 1(其中a 是正三角形的边长，h 1是高，r 是内切圆半径)．类比，用等体积法，V ＝13Sh 2＝4×13R ·S ⇒R ＝14h 2(其中S 为底面正三角形的面积，h 2是高，R 是内切球的半径)．10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 41解析 由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1＝35，a ＝6. ∴a ＋b ＝6＋35＝41.11．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________．② 而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p 为偶数． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 奇数 0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 三、解答题12．用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg(ab )＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)2>(23＋2)2，∴原不等式成立．13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2＞0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立． 四、探究与拓展14．设S ，V 分别表示表面积和体积，如△ABC 的面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示，对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 15．给出下列等式：1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，……(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n (n ∈N *)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳、猜想、证明(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·(1＋2＋3＋…＋n )．(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，故当n ＝k ＋1时，猜想也成立由①②可知，对于任意n ∈N *，猜想均成立．。
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(浙江版)2018年高中数学第二章推理与证明 2.2 数学归纳法学案新人教A版选修2-2预习课本P92～95，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？[新知初探]1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立．答案：23．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，由此推测，当n ＞2时，有______________．答案：f (2n)＞n ＋22[典例] 用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2n －n ＋＝n n ＋n ＋(n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝1时，121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k (n ∈N *)时等式成立，即有 121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＝k k ＋1k ＋，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＋ k ＋2k ＋k ＋＝k k ＋k ＋＋k ＋2k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．[活学活用]求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立.用数学归纳法证明不[典例] 求证：1＋12＋13＋…＋1n＞n ＋1.[证明] (1)当n ＝3时，左边＝1＋12＋13，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ＋1. 当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1＋1k ＋1＝k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1. 因为k ＋2k ＋1 ＞k ＋2k ＋2＝k ＋2＝k ＋＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞k ＋＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知对一切n ∈N *，n ＞2，不等式恒成立． [一题多变]1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为： 1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立． 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋1k ＋＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋3×13k ＋3－1k ＋1＝56.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立． 2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.左边＞右边，所以原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋－1＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1 ＝2k ＋3·2k ＋122k ＋1＝k ＋＋12.所以，当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，对一切n ≥2，n ∈N *不等式都成立．用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n ＞k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前n 个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．归纳—猜想—证明[典例] 考察下列各式2＝2×1 3×4＝4×1×3 4×5×6＝8×1×3×5 5×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？[解] 由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…猜想：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…2n ＝2n·1·3·5·…·(2n －1)， 下面利用数学归纳法进行证明： 证明：(1)当n ＝1时，显然成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…2k ＝2k·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)·…·2(k ＋1) ＝(k ＋1)(k ＋2)·…·2k ·(2k ＋1)·2 ＝2k·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·[2(k ＋1)－1]所以当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．[活学活用]数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝n －a n n －a n(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝n －a nn －a n (n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k －a kk －a k＝k －13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1k ＋k －＝13k ＋1 ＝1k ＋－2∴n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确．层级一 学业水平达标1．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋.②由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋1k ＋－1k ＋1 ＝12k ＋1－1k ＋.故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1k ＋.2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．3．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n ＞2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对解析：选B 由n ＝k 时命题成立可推出n ＝k ＋2时命题也成立，又n ＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．对于不等式 n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时， 12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即 k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋＋k ＋2＝k ＋2＝(k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )。