等腰三角形三线合一归纳.doc

1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."
（1）求证：△BCE≌△DCF
（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.
2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,
求证：（1）BD平分∠ABC；
（2）△BCD为等腰三角形.
3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F．
⑴试说明：BE=CF；
⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．
4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG.
5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，
BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
（1）试说明AH＝BH
（2）求证：BD＝CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系
6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.
①求∠DHF的度数；
②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.
参考答案
1、（1）证明见解析（2）1
2、（1）证明见解析（2）证明见解析
3、(1)证明详见解析；(2)10．
4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析
6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略
【解析】
1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE；
(2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.
试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F
∴CE=CF,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∵ CE=CF
BC=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF （HL）．
（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
可知AF=AE 即：AD+DF=AB-BE
∵AB=17，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=17-x 解得，x=4
∴AE=AB-BE=17-4=1
点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得证；
（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证.
试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线，
∴AD=BD，
则∠A=∠ABD=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=36°，
因此，BD平分∠ABC；
（2）由①和∠2="36°" ∠C="72°" ，
∵∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴∠C=∠ABD+∠DBC=∠BDC，
∴△BCD为等腰三角形.
3、试题分析：（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论；
（2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．
试题解析：连接DB、DC，
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DF，BD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=AE=3，
由（1）得：BE=CF，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
4、试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，
CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出△BEF是直角三角形，求出
∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∠CAF=∠ECB，根据全等三角形的判定定理得出
△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质得证；
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出△ACM≌△CBG得出∠ADC=∠M，CD=BM，根据SAS推出△DCM≌△DBG，求出∠M=∠BDG，即可得出答案.
试题解析：（1）连接DE，
∵点E、C关于AD对称，∴AD为CE的垂直平分线，
∴CD=DE，∵D为CB中点，∴CD=DE=DB，
∴∠DCE=∠CED，∠DEB=∠DBE，
∵∠DCE+∠CED+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠CEB=90°，
∵∠ECB+∠ACF=90°，∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠ECB=∠CAF，
在△ACF和△CBE中，
∵
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CF=BE，右∵CF=EF，∴EF=EB，
∴△EFB为等腰直角三角形.
（2）作∠ACB的平分线交AD于M，
在△ACM和△CBG中，
∵
∴△ACM≌△CBG（ASA），
∴CM=BG，
在△DCM和△DBG中，
∵
∴△DCM≌△DBG（SAS），
∴∠ADC=∠GDB.
5、试题分析：
（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．
试题解析：
（1）∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH
（2）∵ABC为等腰直角三角形，且CH⊥AB
∴∠ACG＝45°
∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°
∴∠CAG＝∠BCF
在△ACG和△CBD中
∴△ACG≌△CBD（ASA）
∴BD＝CG
（3）AE=EF＋BF
理由如下：
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．
6、（1）∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB=∠ACE.
在△ABC和△EDC中
∵BC＝CD，∠ACB=∠ACE，AC＝CE
∴△ABC≌△EDC（SAS）
（2）①在△BCF和△DCG中
∵BC=DC,∠BCD=∠DCE,CF=CG,
∴△BCF≌△DCG（SAS）,
∴∠CBF=∠CDG.
∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF
∴∠BCF=∠DHF=60°.
②∵EB平分∠DEC，
∴∠DEH=∠BEC.
∵∠DHF=60°,
∴∠HDE=60°-∠DEH.
∵∠BCE=60°+60°=120°,
∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.
∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.
∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG（已证）∴∠∠BFC=∠DGC，
∵∠ABF=∠BFC-∠A,∠HDE=∠DGC-∠DEG, ∴∠ABF=∠HDE,
∴∠ABF=∠CBE,
∴BE平分∠ABC.。