平行线的判定和性质练习题

合集下载

平行线的判定与性质专项强化练习 2022-2023学年人教版七年级数学下册

人教版七年级数学下册《平行线的判定与性质》专项强化练习一、选择题1.如图，AB∥CD，EF∥GH，且∠1=50°，下列结论错误的是( )A.∠2=130°B.∠3=50°C.∠4=130°D.∠5=50°2.如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( )A.∠1＝∠2B.∠2＝∠3C.∠3＝∠5D.∠3＋∠4＝180°3.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是( )A.∠1＝∠2B.∠1＝∠4C.∠3＋∠4＝180°D.∠2＝30°，∠4＝35°4.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为( )A．135° B．125° C．115° D．105°5.一条公路两次转弯后又回到到原来的方向(即AB∥CD，如图)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是( )A.40°B.140°C.100°D.180°6.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有( )A.4个B.3个C.2个D.1个7.如图,从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F；三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.38.如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A.50°B.45°C.40°D.30°9.如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC=30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30° C．40° D．50°10.如图，直线AE∥CD，∠EBF=135°，∠BFD=60°，则∠D等于( )A.75°B.45°C.30°D.15°11.如图，l1∥l2，则下列式子成立的是( )A.∠α＋∠β＋∠γ=180°B.∠α＋∠β－∠γ=180°C.∠β＋∠γ－∠α=180°D.∠α－∠β＋∠γ=180°12.如图,AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=a°. 则下列结论:①∠BOE＝12(180-a)°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF.其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13.如图，请你添加一个条件，使得AD∥BC，你添加的条件是__________.14.如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°30′,则∠4=________.15.如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝40°，则∠2＝.16.如图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有_____(填写所有正确的序号)．17.已知一副三角板如图1摆放，其中两条斜边互相平行，则图2中∠1＝________.18.如图，已知AB∥EF，∠C=90°，则α、β与γ的关系是.三、解答题19.如图，已知∠A=∠ADE，∠C=∠E.（1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数；（2）求证：BE∥CD.20.如图,已知∠1＋∠2=180°,∠DEF=∠A,试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并证明.21.如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．（1）试证明∠2=∠DCB；（2）试证明DG∥BC；（3）求∠BCA的度数．22.如图,已知AE⊥BC,FG⊥BC,∠1＝∠2,∠D＝∠3＋60°,∠CBD＝70°.(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．23.如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．24.如图,已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D,直线l3上有一点P.(1)如图1,若P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化,并说明理由；(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与点C,D不重合,如图2和3)，试直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系，不必写理由．25.（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D ∠E（用“＞”、“=”或“＜”填空）；（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．（3）灵活应用如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN=∠ANM.求证：∠CAM=∠BAN．答案1.C2.C.3.B.4.D.5.B6.A.7.D8.C9.C10.D11.B12.C13.答案为：本题答案不唯一，如∠1＝∠B.14.答案为：63°30′15.答案为：70°.16.答案为：①③④17.答案为：15°.18.答案为:α+β﹣γ=90°.19.证明：（1）∵∠A=∠ADE，∴AC∥DE.∴∠EDC＋∠C=180°.又∵∠EDC=3∠C，∴4∠C=180°.即∠C=45°.（2）证明：∵AC∥DE，∴∠E=∠ABE.又∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABE.∴BE∥CD.20.解：∠ACB与∠DEB相等，理由如下：证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠DFE=180°（邻补角定义），∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等两直线平行），∴∠BDE=∠DEF（两直线平行，内错角相等），∵∠DEF=∠A（已知），∴∠BDE=∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等两直线平行），∴∠ACB=∠DEB（两直线平行，同位角相等）．21.（1）证明：∵CD⊥AB于D，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCB（2）证明：∵∠2=∠DCB，∠1=∠2，∴DG∥BC（3）解：∵DG∥BC，∠3=80°，∴∠BCA=∠3=80°22.解：(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF.∴∠2＝∠A.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∴AB∥CD.(2)∵AB∥CD，∴∠D＋∠CBD＋∠3＝180°.∵∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°.∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°.23.证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，∴AB∥DE，∴∠ABC=∠BCD，∵∠P=∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC=∠BCQ，∵∠1=∠ABC﹣∠PBC，∠2=∠BCD﹣∠BCQ，∴∠1=∠2．24.解：(1)当P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD. 理由：过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1.∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE.∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD.(2)当点P在C，D两点的外侧运动时，在l2下方时，则∠PAC＝∠PBD＋∠APB；在l1上方时，则∠PBD＝∠PAC＋∠APB.25.（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D=∠BED；故答案为：=；（2）解：逆命题为：若∠B+∠D=∠BED，则AB∥CD；该逆命题为真命题；理由如下：过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B=∠BEF，∵∠B+∠D=∠BED，∠BEF+∠DEF=∠BED，∴∠D=∠BED﹣∠B，∠DEF=∠BED﹣∠BEF，∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD；（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN=∠ANG，∠GNC=∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN=∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN=∠ANM，∠ANM=∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM=∠NCD，∴∠CAM=∠BAN．。

平行线的性质与判定大题专练

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题1.8平行线的性质与判定大题专练（拔高篇，重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．(1)证明：AB∥CD；(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝38°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析(2)26°【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=128°，由平行线的性质得出∠ABD=52°，根据角平分线的定义即可得解．（1）证明：∵BC平分∠ABD∴∠1=∠2又∠1=∠3∴∠2=∠3∴AB∥CD；（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠CDA=38°，2．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2=180°．(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH=40°，求∠1的度数．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析(2)80°【分析】（1）已知∠1+∠2=180°，且∠CFE与∠2构成平角，通过等量代换即可得出互为内错角的∠1与∠CFE 相等，因此可求出AB∥CD；（2）已知GH⊥EG，通过已知条件求出∠EGF的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠AEF的度数，最后用180°减去∠AEF的度数即可求得∠1的度数．（1）解：AB∥CD，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵∠2+∠CFE=180°∴∠1=∠CFE∴AB∥CD．（2）∵GH⊥EG,∠DGH=40°，∴∠EGF=50°∵AB∥CD∴∠AEG=∠EGF=50°∵EG平分∠AEF∴∠AEF=100°∴∠1=180°−100°=80°故∠1的度数为80°．【点睛】本题考查了平行线的判定和平行线的性质，将已知角的度数通过平行线的性质转换为所求问题的相关角是本题的关键．3．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=126°，BC∥EF，∠ACF=∠FEC=18°．(1)求证：AD∥EF；(2)若∠AEC=72°，求∠DAE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)54°【分析】（1）先根据平行线的性质可得∠BCE=∠FEC=18°，再根据角平分线的定义可得∠BCF=36°，从而可得∠ACB=54°，然后根据平行线的判定可得AD∥BC，最后根据平行公理推论即可得证；（2）先根据角的和差可得∠AEF=54°，再根据平行线的性质即可得．（1）证明：∵BC∥EF,∠FEC=18°，∴∠BCE=∠FEC=18°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCF=2∠BCE=36°，∵∠ACF=18°，∴∠ACB=∠BCF+∠ACF=54°，又∵∠DAC=126°，∴∠DAC+∠ACB=180°，∴AD∥BC，又∵BC∥EF，∴AD∥EF．（2）解：∵∠AEC=72°,∠FEC=18°，∴∠AEF=∠AEC−∠FEC=54°，由（1）已证：AD∥EF，∴∠DAE=∠AEF=54°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．4．（2022春·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠B＝∠3＝2∠2，求∠D的度数．【答案】(1)见解析(2)72°【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可解决问题．（2）根据三角形内角和求解即可．（1）∵AD∥BE，∴∠3=∠CAD，∵∠3=∠4，∴∠4=∠CAD，∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，∴∠4=∠BAE，∴AB∥CD；（2）∵∠B=∠3=2∠2，∠1=∠2，∠B+∠3+∠1=180°，∴5∠1=180°，∴∠1=36°，∴∠2=36°，∴∠3=72°，∵∠3=∠4，∠4=∠AFD，∴∠AFD=72°，∴∠D=180°-∠2-∠AFD=72°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1=∠3．(1)说明AB∥CD的理由；(2)若AD⊥BD交于点D，∠CDA=34°，求∠2的度数．【答案】(1)详见解析(2)28°【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．（1）∵BC平分∠ABD，∴∠2=∠1，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB∥CD．（2）∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠CDA=34°，∴∠CDB=∠ADB+∠CDA=124°，∵AB∥CD．∴∠ABD=180°−∠CDB=56°，∵BC平分∠ABD，∴∠2=28°.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．6．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）如图，点P在∠ABC内，点E，F分别在∠ABC的边BA，BC上，ED平分∠AEP，连结PE，PF．若∠B=∠PFC，∠PED=36°，求∠P的度数．【答案】72°【分析】根据角平分线的定义求出∠AEP=72°，由∠B=∠PFC，得出AB∥PF，然后根据平行线的性质求∠P 的度数即可．【详解】解：∵ED平分∠AEP，∴∠AEP=2∠PED，∵∠PED=36°，∴∠AEP=72°，∵∠B=∠PFC，∴AB∥PF．∴∠P=∠AEP=72°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握“同位角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．7．（2022春·浙江·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连结OF．(1)ED是否平行于AB，请说明理由；(2)若OD平分∠BOF，∠OFD＝80°，求∠1的度数．【答案】(1)ED//AB，利用见详解；(2)40°【分析】（1）利用已知证得∠D+∠AOD=180°，进而得出答案；（2）由平行线的性质得到∠BOF=110°，根据角平分线的定义得到∠BOD=55°，最后根据平角的定义得出答案．8．（2021春·浙江·七年级期末）如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．(1)求证：AB∥CD；(2)试猜想∠2与∠3的数量关系，并说明理由．9．（2021春·浙江·七年级期中）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．(1)判断AC与EF的位置关系，并说明理由；(2)若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．【答案】(1)AC∥EF，理由见解析；(2)∠BAD＝55°【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的定义得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．（1）解：AC∥EF．理由如下：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE，∴∠2＝∠4，∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°，∴EF∥AC；（2）解：∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2，∵∠1＝70°，∠1＝∠2+∠ACD，∴∠2＝35°，∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝55°．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．10．（2021春·浙江金华·七年级浦江县实验中学校联考期末）如图，点E，F分别在直线AB，CD上，点P，Q在直线AB，CD之间，AB//CD．(1)如图，∠P＝∠Q，①∠AEP与∠QFD的关系，并说明理由；②∠BEP和∠DFQ的角平分相交于点M，求∠EMF的度数．(2)若∠P－∠Q＝30°，∠Q＝α则∠BEP和∠DFQ的角平分相交于点M，则∠EMF的度数为．（用含α或具体数字表示）【答案】(1)①∠AEP＝∠QFD，理由见解析；②90°(2)75°【分析】（1）①根据两直线平行内错角相等，计算角的和差即可解答；②利用等角的补交相等，角平分线的定义，进行角的计算即可解答；（2）由∠P－∠Q＝30°利用（1）①得出∠AEP-∠QFD=30°，再由（1）②求∠EMF即可；（1）解：如图，过P作PG∥AB，过Q作QH∥AB，过M作MN∥AB，①∵AB∥PG，∴∠AEP=∠EPG，∵AB∥CD，QH∥AB，∴QH∥CD，∴∠QFD=∠HQF，∵PG∥AB，QH∥AB，∴PG∥QH，∴∠GPQ=∠HQP，∵∠EPQ=∠FQP，∴∠EPG+∠GPQ=∠HQF+∠HQP，∴∠EPG=∠HQF，∴∠AEP=∠QFD；②∵∠AEP=∠QFD，∠AEP+∠BEP=180°，∴∠BEP+∠QFD=180°；11．（2018秋·七年级单元测试）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1=36°，求∠2的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠2=36°【分析】（1）求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠3，根据垂直推出BD//EF，根据平行线的性质即可求出∠2．【详解】（1）证明：∵∠ABC=180°−∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD//BC；（2）解：∵AD//BC，∠1=36°，∴∠3=∠1=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴∠BDC=∠EFC=90°，∴BD//EF，∴∠2=∠3=36°【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是掌握①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．12．（2020·浙江金华·七年级期中）如图，已知BC//GE，AF//DE，∠1=45°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=20°，求∠ACB的度数．【答案】（1）45°；（2）85°．【分析】（1）先根据BC∥EG得出∠E=∠1=45°，再由AF∥DE可知∠AFG=∠E=45°；（2）作AM∥BC，由平行线的传递性可知AM∥EG，故∠FAM=∠AFG，再根据AM∥BC可知∠QAM=∠Q，故∠FAQ=∠FAM+∠QAM，再根据AQ平分∠FAC可知∠MAC=∠QAC+∠QAM=80°，根据AM∥BC即可得出结论．【详解】解：（1）∵BC∥EG，∴∠E=∠1=45°．∵AF∥DE，∴∠AFG=∠E=45°；（2）作AM∥BC，∵BC∥EG，∴AM∥EG，∴∠FAM=∠AFG=45°．∵AM∥BC，∴∠QAM=∠Q=20°，∴∠FAQ=∠FAM+∠QAM=65°．∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FAQ=65°，∴∠MAC=∠QAC+∠QAM=85°．∵AM∥BC，【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．熟记平行线的各种性质是解题的关键．13．（2020春·浙江温州·七年级统考开学考试）如图，∠ABD和∠BDC的角平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．（1）试说明：AB//CD．（2）若∠2=28°，求∠3的度数．【答案】（1）见解析；（2）62°【分析】（1）根据角平分线的定义，结合∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，进而即可得到结论；（2）由∠2=28°，得∠1=62°，进而得∠ABF=62°，结合AB//CD，即可得到答案．【详解】（1）∵∠ABD和∠BDC的角平分线交于点E，∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC＝2(∠1+∠2)=180°，∴AB//CD；（2）∵∠2=28°，∠1+∠2=90°，∴∠1=62°，又∵BF平分∠ABD，∴∠ABF=∠1=62°，又∵AB//CD，【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．14．（2020春·浙江·七年级期中）如图所示，在ΔABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//FD，CE是ΔABC的角平分线.求证：∠EDF=∠BDF.【答案】详见解析【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行，再根据平行线的性质进行做题．【详解】证明：∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F∴DF∥CE∴∠BDF=∠BCE∠FDE=∠DEC又∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE∵CE是∠ACB的角平分线∴∠ACE=∠ECB∴∠EDF=∠BDF．【点睛】本题主要运用了平行线的性质和角平分线的定义，证明角的关系．15．（2021春·浙江·七年级期末）如图，AC∥EF，∠1+∠3=180°．(1)猜想AF与CD的位置关系，并说明理由．(2)若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠4=78°，求∠BCD的度数．16．（2022春·浙江湖州·七年级校考阶段练习）已知：如图，∠1=∠C，∠E=∠B．(1)判断AB与DE的位置关系，并说明理由；(2)若AB⊥AC于点A，∠1=36°，求∠E的度数．【答案】(1)AB∥DE，见解析(2)∠E=54°【分析】（1）根据平行线的判定得出AB∥DE，根据平行线的性质得出∠E=∠EDC，求出∠B=∠EDC，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BAE度数，根据平行线的性质即可求出∠E．（1）解：AB∥DE，理由如下：∵∠1=∠C，∴AE∥BC，∴∠E=∠EDC，又∵∠E=∠B，∴∠B=∠EDC，∴AB∥DE；（2）∵AB⊥AC，∠1=36°，∴∠BAE=126°，∵AB∥DE，∴∠E+∠BAE=180°，∴∠E=54°，【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．17．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．18．（吉林省延边朝鲜族自治州敦化市红石乡中心校2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．19．（广东省东莞市石龙第二中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)∠B=50°【分析】（1）已知∠1=∠2，所以∠3=∠2，又因为∠3=∠C，可以得出∠1=∠C即可判定AB∥CD；（2）已知∠2=∠3，∠2+∠4=180°，可以得出BF//EC，即可得出∠BFC+∠C=180°；（3）由（1）（2）可知AB∥CD，BF//EC，可以得出∠1=∠C，∠BFC+∠C=180°；可以得出∠BFC−30°=2∠1=2∠C，可以得出∠C，又因为∠C=∠1=∠B，即可求出∠B的度数．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，∴∠1=∠C，∴AB//CD；（2）证明：∵∠2+∠4=180°，∠2=∠3，∴∠3+∠4=180°，∴BF//EC，∴∠BFC+∠C=180°；（3）∵∠BFC+∠C=180°，∵∠BFC−30°=2∠1=2∠C，∴∠BFC=2∠C+30°，∴2∠C+30°+∠C=180°，∴∠C=50°，∴∠BFC=130°，∵AB//CD，∴∠B+∠BFC=180°，∴∠B=50°．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．20．（辽宁省鞍山市第二中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；(2)试说明：∠C＝2∠P．【答案】(1)DE∥BF，理由见解析(2)说明见解析【分析】（1）根据平行线的判定得出BD∥CE，根据平行线的性质得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠2＝∠BGD即可；（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根据三角形的外角性质得出即可．（1）解：（1）DE∥BF，理由是：∵∠3＝∠4，∴BD∥CE，∴∠5＝∠FAB，∵∠5＝∠C，∴∠C＝∠FAB，∴AB∥CD，∴∠2＝∠BGD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BGD，∴DE∥BF；（2）∵AB∥CD，∴∠P＝∠PDH，∵DP平分∠BDH，∴∠BDP＝∠PDH，∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，∵∠5＝∠P＋∠BDP，∴∠5＝2∠P，∵∠C＝∠5，∴∠C＝2∠P．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．21．（河南省信阳市浉河区信阳文华寄宿学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CD∥OE，理由见解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CD∥OE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．22．（江苏省扬州市江都区华君外国语学校2021-2022学年七年级下学期第二次教学专项调研数学试题）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．(1)求证：CF∥BD；(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)42°【分析】（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CF∥BD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠C=∠FAB，23．（江苏省徐州市丰县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】DG⊥BC；理由见解析【分析】根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠DCE=180°，根据∠1+∠2=180°，得出∠1=∠DCE，即可得出DG∥AC，根据∠ACB=90°，即可得出结果．【详解】解：DG⊥BC；理由如下：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2+∠DCE=180°，∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠DCE，∴DG∥AC，∵∠ACB=90°，∴∠DGB=∠ACB=90°，∴DG⊥BC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．24．（河北省保定市阜平县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．25．（陕西省渭南市韩城市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1)求证：OC∥AB；(2)求∠EOB的度数．26．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．【答案】(1)证明见解析(2)150°【分析】（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．（1）证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，∴∠A=180°−∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C=180°−∠CEF，∴∠A−∠C=180°−∠AEF−(180°−∠CEF)=∠AEC．（2）解：如图，过点F作FG∥CE于点G，∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，∵∠EFC=105°，∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，解得∠CEF+∠ECF=75°，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，∴∠AEC+∠ECD=2(∠CEF+∠ECF)=150°，由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．27．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．28．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，∴∠2=∠CFG，∴CM∥DE，∴∠D=∠ACM，∵∠D=∠CMG，∴∠CMG=∠ACM，∴AD∥NG；（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，∴∠ANB=∠NBP，∵AD∥NG，∴∠D=∠DHG，∵∠A+∠DHG=180°，∴∠A+∠D=180°，∴AN∥DH，又∵CM∥DH，∴BP∥CM，∴∠PBG+∠1=180°，∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，∵∠NBG=130°，∴∠ANB=∠NBP=50°，∵∠ANB：∠BNG=2：1，∴∠BNP=25°，∴∠ANG=75°，∴∠A=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．29．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．30．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．(1)若α=30°，说明AB∥CE；(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．【答案】(1)见解析(2)15°或165°【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．【详解】（1）解：如图①中，∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，∴∠ACE=∠A，∴AB∥CE；（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．综上所述，α的值为15°或165°．【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．。

平行线的判定与性质的综合应用专题练习

平行线的判定与性质的综合应用专题练习平行线的判定与性质的综合运用专题一、推理填空题1.已知：如图，DE∥BC，∠ADE＝∠XXX，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整。

解：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠XXX。

又因为DE∥BC，所以DB∥EF。

由平行线性质可知，∠1=∠ADE=∠XXX∠2.2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3.求证：XXX。

证明：因为∠1＝∠2，所以XXX。

又因为∠A＝∠3，所以AC∥BD。

由平行线性质可知，AC∥DE。

3.已知：如图，∠XXX∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC。

证明：因为∠XXX∠ADC，所以∠XXX∠ADC。

又因为BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠1=∠ABC，∠3=∠ADC。

由∠1＝∠3可得，∠2=∠ADC。

由平行线性质可知，AB∥DC。

二、证明题4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数。

证明：因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180º。

又因为DE⊥AE，所以∠ADE=90º。

由∠A=37º可得，∠ADE=53º。

由三角形内角和定理可得，∠D=80º。

5.如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。

证明：因为AB∥CD，所以∠1+∠α+∠2=180º。

由∠1=100º，∠2=120º可得，∠α= -40º。

由于∠α是角度，所以∠α=320º。

6.如图，XXX，AE平分∠BAD，求证：XXX与AE相交于F，∠XXX∠EAF。

证明：因为XXX，所以∠BAD=∠ACD。

又因为AE平分∠BAD，所以∠XXX∠DAF。

由相邻角的性质可得，∠EAF+∠DAF=∠BAD=∠ACD。

又因为CD与AE相交于F，所以∠CFE+∠EAF+∠ACD=180º。

初二平行线的判定经典练习题

初二平行线的判定经典练习题平行线是初中数学中的重要概念之一，它在几何学中有着广泛的应用。

平行线的判定方法有很多种，下面将介绍一些经典的练习题，帮助大家掌握平行线的判定方法。

1. 判断下列直线是否平行：（1）直线l1:y = 2x + 1，直线l2:3x - 4y = 7（2）直线l1:2x - y + 3 = 0，直线l2:4x - 2y + 6 = 0（3）直线l1:x - 2y - 3 = 0，直线l2:2x - 4y - 6 = 0解答：（1）两直线斜率相等，l1的斜率为2，l2的斜率为3/4，不相等，因此两直线不平行。

（2）两直线斜率相等，l1的斜率为2/1，l2的斜率为4/2，相等，因此两直线平行。

（3）两直线斜率相等，l1的斜率为1/2，l2的斜率为2/4，相等，因此两直线平行。

2. 已知线段AB且CD平行于AB，点E是线段CD上的点，若DE = 2cm，DC = 5cm，BC = 10cm，求AE的长度。

解答：由线段比例定理可知：AE/EC = AB/BC代入已知条件，得到：AE/5 = 10/10解方程得到：AE = 5cm3. 如图，AB // DE，CB是三角形ACD的角平分线，若∠ACD = 60°，求∠CAB和∠ECB。

解答：由平行线性质可知，∠CAB = ∠ACD = 60°由角平分线性质可知，∠ECB = 1/2 * ∠ACD = 1/2 * 60° = 30°4. 在平面直角坐标系中，有四点A(1, 2)，B(3, -1)，C(4, 5)，D(6, 2)，判断线段AB和线段CD是否平行。

解答：利用斜率公式计算：线段AB的斜率为：(2 - (-1))/(1 - 3) = 3/(-2) = -3/2线段CD的斜率为：(2 - 5)/(6 - 4) = -3/2两斜率相等，因此线段AB与线段CD平行。

5. 如图，已知AB // EF，且∠BCD = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，DE = 4cm，求EF的长度。

专题02 平行线的判定与性质(原卷版)

专题02 平行线的判定与性质1．（2022秋•项城市期末）如图，已知∠B＝∠ADE，∠EDC＝∠GFB，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．证明：∵∠B＝∠ADE（已知）∴ ∥ （）∴∠EDC＝∠DCB（）又∠EDC＝∠GFB（已知）∴∠DCB＝（等量代换）∴ ∥ （）2．（2023秋•道里区校级期中）将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（ ①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝ ②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（ ③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝ ④（等量代换），所以EF∥AB（ ⑤）．3．（2022秋•尤溪县期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．4．（2023秋•怀宁县期中）如图，已知EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小明添加的条件：∠B＝∠ADG．请你帮小明将下面的证明过程补充完整．证明：∵EF∥CD（）∴∠BEF＝（）∵∠B＝∠ADG（添加条件）∴BC∥ （）∴∠CDG＝（）∴∠BEF＝∠CDG（）．5．（2022秋•长春期末）请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3， ∴∠2＝，（等量代换）∴AE∥FD ∴∠A＝∠BFD ∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝（等量代换）∴ ∥CD ∴∠B＝∠C ．6．（2022秋•闽清县期末）如图，AB∥CD，E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）∠B＝∠D；（2）AD∥BE．7．（2023春•石城县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．8．（2022秋•淇县期末）如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．9．（2022秋•禅城区期末）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．30．（2023春•驿城区校级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．11．（2023秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程，并在括号里填写推理依据：如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵AB∥EF（已知），∴∠APE＝，∵EP⊥EQ（已知），∴∠PEQ＝90°），即∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF+∠APE＝90°，∵∠EQC+∠APE＝90°（已知），∴∠EQC＝（），∴EF∥ （），又∵AB∥EF，∴AB∥CD（）．12．（2022秋•邓州市期末）如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（），∠AMC+∠AMD＝180°（），所以∠BAM＝∠AMC（）．因为AE平分∠BAM，所以（）．因为MF平分∠AMC，所以，得（），所以（）．13．（2022秋•桐柏县期末）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（）∴∠1＝（）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（）∴∠2＝（）∴∠1＝∠2（）14．（2023秋•天山区校级期中）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．15．（2023春•覃塘区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．16．（2023春•新化县期末）如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13，求点F到直线AB的距离．17．（2023春•温州月考）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数．18．（2023春•仙居县期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．求证：（1）GH∥EF；（2）∠CMH＝∠BNE．19．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．20．（2023春•金牛区校级期中）如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．（1）求证：直线l1∥l2；（2）如图2，点Q在直线l1上（B点左侧），AM平分∠BAQ交l1于点M，过点M作MN⊥AD交AD于点N，请猜想∠BQA与∠AMN的关系；并证明你的结论；（3）若点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．21．（2023春•义乌市校级期中）今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．（1）如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝；（2）如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝∠CAE，∠EFD+∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．（3）如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．22．（2022秋•萍乡期末）已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB．（1）如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；（2）如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．23．（2022秋•鲤城区校级期末）如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．（1）已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；（2）求证：FH平分∠GFD．（3）在（1）的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请求出当α为多少度时，QH与△EBF某一边平行？（4）在（3）的条件下，直接写出∠DFQ与∠GFH之间的关系．24．（2023秋•香坊区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数．25．（2023秋•吉林期中）如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB＝∠E＝90°，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转的过程中：（1）当∠α＝ °时，DE∥BC，当∠α＝ °时，DE⊥BC；（2）如图③，当顶点C在△DEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①求出此时∠α的度数范围；②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由．。

专题01 平行线的判定和性质(解析版)

2022-2023学年浙教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题01 平行线的判定和性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沙坪坝区期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝113°，则∠2的度数为（）A．23°B．67°C．77°D．113°解：∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠1＝113°，∠2＝180°﹣∠CFE＝180°﹣113°＝67°，故选：B．2．（2分）（2023春•九龙坡区校级月考）将一块三角板和一块直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°解：如图，∵∠3＝∠1，∴∠2＝∠A+∠3＝140°．故选：D．3．（2分）（2022秋•青云谱区校级期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（）A．57°B．58°C．59°D．60°解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．4．（2分）（2022春•殷都区校级月考）如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（）A．α+β+γ＝180°B．α﹣β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝180°D．α+β+γ＝360°解：如图，延长AE交直线CD于F，∵AB∥CD，∴∠α+∠AFD＝180°，∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，故选：C．5．（2分）（2022•绿园区校级模拟）如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M．N；③连MN，OM．则下列结论错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝30°C．MN∥CD D．MN＜3CD解：连接ON，MD，由作法得CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，所以A选项正确；∵OM＝ON，∴当OM＝MN时，△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵∠AOB＝∠MOA＝∠NOB＝×60°＝20°，所以B选项错误；∵，∴∠MDC＝∠DMN，∴MN∥CD，所以C选项正确；∵CM+CD+DN＞MN，∴3CD＞MN，所以D选项正确．故选：B．6．（2分）（2019秋•淮阴区期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，∴∠EFC+∠EFC'＝200°，∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A．7．（2分）（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH ＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．8．（2分）（2022•博望区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（）A．104°B．128°C．138°D．156°解：如图：∵AB∥CD，∠1＝24°，∴∠A＝∠1＝24°，∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣76°＝104°，∴∠3＝∠4+∠A＝104°+24°＝128°．故选：B．9．（2分）（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．10．（2分）（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④解：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知AC∥BD，∠CAE＝30°，∠DBE＝35°，则∠AEB等于　65°　．解：过点E作EF∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥EF∥BD，∴∠AEF＝∠CAE＝30°，∠BEF＝∠DBE＝35°，∴∠AEB＝∠AEF+∠BEF＝65°．故答案为：65°．12．（2分）（2022秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝　54　度．解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，即10x＝180°，解得x＝18°，∵AD∥BC，∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，故答案为：54．13．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为　45°　．解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，∴∠AGM＝180°﹣2α，∵GH平分∠AGM，∴∠MGH＝∠AGM＝90°﹣α，∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，∵∠M＝∠N+∠HGN，∴2α+β＝×2α+∠HGN，∴∠HGN＝β﹣α，∵HE∥CN，∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠GHD＝180°，∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，∴α+β＝45°，∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，故答案为：45°．14．（2分）（2022•苏州模拟）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝50°，则∠FGE＝　80　°．解：由折叠得∠GEF＝∠DEF，∵AD∥BC∴∠DEF＝∠1∴∠GEF＝∠1∵∠FGE+2∠1＝180°，∴∠FGE＝180°﹣2×50°＝80°，故答案为：80．15．（2分）（2022春•大荔县校级月考）如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB、BC上，连接DE，且DE∥AC，∠1＝∠2，若∠B＝50°，则∠BAF的度数为　130°　．解：∵DE∥AC，∴∠2＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠C，∴AF∥BC，∴∠B+∠BAF＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BAF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．16．（2分）（2022秋•新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　155　度．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．17．（2分）（2022春•思明区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝　15　°．解：由折叠可知：∠BFE＝∠B'FE，∠AEF＝∠A'EF，∠A'EG＝∠HEG，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∠1＝50°，∴∠BFE＝65°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝115°，∴∠A'EF＝115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'＝∠GB'M，∵AD∥BC，∴∠MB'F＝∠1，∴∠1+∠DGB'＝∠GB'F＝90°，∴∠DGB'＝90°﹣50°＝40°，∴∠A'GE＝∠DGB'＝40°，∵∠A'＝90°，∴∠HEG＝∠A'EG＝90°﹣40°＝50°，∴∠A'EH＝2×50°＝100°，∴∠FEH＝∠A'EF﹣∠A'EH＝115°﹣100°＝15°．故答案为：15．18．（2分）（2021秋•南岗区校级期中）如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝3：2，则∠EHG＝　30°　．解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠EFD，∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，∵∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°，∵GH⊥EG，∴∠EGH＝∠EPF＝90°，∴FP∥HG，∴∠FPH＝∠PHK，∠QFP＝∠EHG，设∠PHK＝x°，则∠FPH＝∠HPK＝∠PHK＝x°，∠FPK＝∠FPH+∠HPK＝2x°，∴∠EPK＝∠EPF+∠FPK＝90°+2x°，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK＝∠EPK＝（90°+2x°）＝45°+x°，∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°，∵∠HPQ：∠QFP＝3：2，∴∠QFP＝30°，∴∠EHG＝∠QFP＝30°；故答案为：30°．19．（2分）（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝　88°　．解：∵AB∥CD，∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，∵∠BAE：∠CAE＝2：3，∴∠CAE＝120×＝72°，∵∠AEC＝78°，∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE＝180°﹣78°﹣72°＝30°，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，∴60°﹣3x＝30°，∴x＝10°，∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE＝180°﹣20°﹣72°＝88°，故答案是：88°．20．（2分）（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有　3　个．解：∵AC′∥BD′，∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；∵∠C′EF＝∠FEC，∴∠C′EC＝2×32°＝64°，∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°，所以②错误；∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．故答案为3．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•长安区校级期末）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴，，∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠2+∠AOC＝90°，∵∠COE＝∠3，∴，∴，∵∠2：∠3＝2：5，∴，∴，∴∠2＝40°，∴∠3＝100°，∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，∴∠1＝∠AOC，∴AB∥CD．22．（6分）（2022秋•市北区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．解：（1）AB∥CE，∵∠1+∠2＝180°（已知），∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠E（已知），∴∠ADF＝∠E（等量代换），∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AB∥CE，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝130°，∵CA平分∠BCE，∴∠ACE＝＝65°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝65°．23．（6分）（2022秋•荆门期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，G是BA延长线上一点，AH平分∠GAC．且AH∥BC，E是AC上一点，连接BE并延长交AH于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）猜想并证明，当E在AC何处时，AF＝2BD．（1）证明：∵AH平分∠GAC，∴∠GAF＝∠FAC，∵AH∥BC，∴∠GAF＝∠ABC，∠FAC＝∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：当AE＝EC时，AF＝2BD．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠C，∵∠AEF＝∠CEB，AE＝EC，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF＝BC＝2BD．24．（10分）（2022秋•南关区校级期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，∠ABC＝88°．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：　∠A+∠C＝88°　．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为　46°　．解：（1））过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵∠ABC＝88°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝88°．故答案为：∠A+∠C＝88°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝92°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵∠ABC＝88°．∴∠ABE+∠CBE＝88°．∴∠A+180°﹣∠C＝88°．∴∠C﹣∠A＝92°．（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝88°，∴∠BFC＝88°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝88°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝92°，∴∠AGH＝×92°＝46°．故答案为：46°．25．（10分）（2022春•铜梁区校级月考）课题学习：平行线的“等角转化”功能．（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；故答案为：∠EAB；∠DAC；（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D+∠FCD＝180°，∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∴∠B+∠FCB+∠FCD+∠D＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）①过E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥CD，∴∠GED＝∠EDC，∵DE平分∠ADC，∴，∴∠GED＝25°，∵BE平分∠ABC，∴，∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝18°，∴∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；②过E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠PED＝∠EDC＝25°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴，∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB＝180°，∴，∴．26．（10分）（2022春•铁东区校级月考）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，若AF∥DE，∠B＝∠C+9°，∠D＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数．（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是　115°　．（3）连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由，解：（1）∵AF∥DE，∴∠F+∠E＝180°，∴∠F＝180°﹣105°＝75°；（2）延长DC交AF于K，可得：∠B﹣∠CGF＝∠C+10°﹣∠CGF＝∠GKC+10°＝∠D+9°＝114°，故答案为：114°；（3）当∠ADE+∠CGF＝180°时，BC∥AD，∵AF∥DE，∴∠GAD+∠ADE＝180°，∠ADE+∠CGF＝180°，∴∠GAD＝∠CGF，∴BC∥AD．27．（12分）（2022春•江汉区校级月考）如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数．（3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q 为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角）（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠DFE＝180°，∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；（2）解：如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD，∵GH∥AB，即∠EGH＝90°，∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°，∵∠2＝120°，∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°，∵FH平分∠EFD，∴∠HFD＝30°，∵PH∥CD，∴∠PHF＝∠HFD＝30°，∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°；（3）解：如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN＝∠MPH+∠PMN＝∠EMP+∠PMN＝∠EMN＝120°；如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ＝∠MPH+∠PMN＝∠EMP+∠PMN＝∠EMN＝120°；如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°，∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN＝∠MPH+∠PMN+180°＝∠EMP+∠PMN+180°＝∠EMN+180°＝300°；如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ，∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ＝∠MPH﹣∠PMN＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN＝180°﹣∠EMN＝60°；综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝60°。

平行线的判定及性质例题及练习

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

平行线的判定与性质(习题课)讲解学习

D
探究2、如图甲：已知AB∥DE,那么∠1+∠2+∠3等于多少度？试加以说明。当已知条件不变，而图形变为如图乙时，结论改变了吗？图丙中的 ∠1+∠2+∠3+∠4是多少度呢？如果如丁图所示，∠1+∠2+∠3+…+∠n的和又为多• 少度？你找到了什么规律吗？
1
2 3
1 2
3
1
2
3 4
1 2
3 4
n
求证： CD∥EF.
• 课堂练习6、已知：如图∠1=∠2， ∠3=∠4，∠5=∠6，求证：EC∥FB
• 问题5、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠E=37°，求： ∠F。
A
B 问题探究已知：AB∥CD，
1
E
2
C A
1
求证：∠A+ ∠ C+ ∠ AEC=
360°
F
证明：过E点作EF ∥ AB，则∠A+ ∠ 1= 180°
Z 形模式
next
应用模式
如图,若AB∥DF,∠2＝∠A,试确定DE与AC的位置关系,并说明理由.
A
E
F
2
B
D
C
引入
建模
应用
小结
next
应用模式
如图,图中包含哪些基本模式?
A E D
B F O C
引入
建模
应用
小结
next
应用模式
已知,如图AB∥EF∥CD,AC∥BD,BC平分∠ABC,则图中与∠EOD相等的角有( )个.
图形
同a 位角b
1 2 c
内错
a3
角b
2
c

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

.实用文档.
平行线的判定定理和性质定理
[一]、平行线的判定
一、填空
1．如图１，假设∠A=∠3，那么 ∥ ；假设∠2=∠E ，那么 ∥ ；假设∠ +∠ = 180°，那么 ∥ ．
2．假设a⊥c，b⊥c，那么a b ．
3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件：． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，那么 ∥ 〔〕． 5．如图３，假设∠1 +∠2 = 180°，那么 ∥ 。

6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有． 7．如图５，填空并在括号中填理由：
〔1〕由∠ABD =∠CDB 得 ∥ 〔〕；〔2〕由∠CAD =∠ACB 得 ∥ 〔〕；
〔3〕由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ 〔〕
8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件：．
9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来：． 10．如图８，推理填空：〔1〕∵∠A =∠ 〔〕， ∴AC∥ED〔〕；
〔2〕∵∠2 =∠ 〔〕， ∴AC∥ED〔〕；〔3〕∵∠A +∠ = 180°〔〕， ∴AB∥FD〔〕；
〔4〕∵∠2 +∠ = 180°〔〕，
∴AC∥ED〔〕；二、解答以下各题
11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥C F ．
A C
B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B
C E
D 1 2 3 图１图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3
A F C D
B E
图８
E
B A
F D C 图９
A D C
B O 图５图６ 5 1 2
4 3 l 1 l 2 图７
5 4 3 2 1 A D C B
12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说
明理由．
13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。

求证：AB∥CD，MP∥NQ．
[二]、平行线的性质
一、填空
1．如图1，∠1 = 100°，AB∥CD，那么∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ． 2．如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，假设∠1 =∠2，那么∠AEF +∠CFE = ．
3．如图3所示
〔1〕假设EF∥AC，那么∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°〔〕．〔2〕假设∠2 =∠ ，那么AE∥BF．
〔3〕假设∠A +∠ = 180°，那么AE∥BF． 4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，那么∠2 = ．
5．如图5，AB∥CD，EG⊥AB 于G ，∠1 = 50°，那么∠E = ．
6．如图6，直线l 1∥l 2，AB⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，那么∠2 = ． 7．如图7，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB 互余的角有．
8．如图8，AB∥EF∥CD，EG∥BD，那么图中与∠1相等的角〔不包括∠1〕共有个．
1 3
2 A E C
D B F
图10 F
2
A B C
D
Q E 1 P M
N 图11
图1 2 4 3 1 A B C D E 1 2 A
B D
C E F 图2 1 2 3 4 5 A B C D
F E 图3 1 2 A B C D E F
图4 图5
1 A B C D E F G H 图7 1
2 D A C B l 1
l 2 图8 1 A B F C D E G 图6 C D F E B A
二、解答以下各题
9．如图9，∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．
10．如图10，DE∥BC，∠D∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．
11．如图11，AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．〔要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明〕
12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：〔1〕AB∥CD；〔2〕∠2 +∠3 = 90°．
图9 1 2
A C
B F G E
D 图10 2
1 B C
E
D 图11 1
2 A B E F
D
C C
图12
1
2 3
A
B D
F。