人教版 七年级数学下册 5.3 平行线的性质(二) 精品课时作业习题(含解析)

作业8 §5.3 平行线的性质(二)
典型例题
【例1】如图5-103，已知直线l3、l4分别交直线l1、l2于点A、B和C、D,且l1∥l2 l3⊥l1，则下列说法中正确的是( )
A.线段AB是直线l1、l2间的距离
B.线段CD是直线l1，l2间的距离
C.线段AB的长度是直线l1、l2间的距离
D.线段CD的长度是直线l1，l2间的距离
图5-103
【解析】只有同时满足下列两个条件才是平行线间的距离:①夹在两平行线之间的线段同时垂直于这两条平行线；②夹在两条平行线之间的线段的长度.本题中，因为l1⊥l3，所以∠BAC=90°.又因为l1∥l2，所以∠BAC+∠ABD=180°，所以∠ABD=90°.即l3⊥l2.故同时垂直于两条平行线l1，l2并且夹在这两条平行线间的线段AB的长度，叫做这两条平行线l1、l2的距离.
【答案】 A
【例2】如图5-104，AB∥CD，EPF为折线.
(1)试探究∠P与∠α、∠β的关系，并给了证明；
(2)若交换(1)中的条件与结论，是否还成立，请说明理由.
图5-104
【解析】(1)由测量可得∠P=∠α+∠β.证明∠P=∠α+∠β的方法很多，可利用平行线的性质，或利用三角形相关知识求证；(2)交换(1)中的条件与结论，仍成立，可综合运用平行线的性质与平行线的条件进行证明.
【答案】(1)探究∠P=∠α+∠β.证明如下:
证法一过点P作直线PQ∥AB，如图5-105.
图5-105
因为AB∥CD，所以PQ∥CD.即AB∥PQ∥CD.
根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=∠α，∠2=∠β
所以∠1+∠2=∠α+∠β
即∠P=∠α+∠β
证法二 延长FP 交AB 于Q ，如图15-106.
图5-106
因为AB ∥CD ，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠β 因为三角形的内角和为180°，所以∠α+∠1+∠EPQ=180°.
所以∠α+∠β+∠EPQ=180° 又∠EPF 与∠EPQ 互为邻补角，所以∠EPF+∠EPQ=180°. 所以∠EPF=∠α+∠β.
证法三 过P 作MN ⊥AB 于M 、N ，N 如图15-107.
图15-107
因为AB//CD ，所以MN ⊥CD
由平角的定义，有∠EPF=180°-(∠1+∠2)=(90°-∠1)+(90°-∠2)=∠α+∠β
【例3】 已知，如图5-108，DB ∥FG ∥EC ，∠ABD=70°，∠ACF=34°，AP 平分∠BAC ，求∠PAG 的度数.
图5-108
【解析】 题目中已知角与待求角较分散，可利用平行线的性质将已知角与待求角联系在一起.然后结合角平分线的性质求解.
【答案】 因为DB ∥EC ，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BAC=∠DBA+∠ACE. 因为∠DBA=70°，∠ACE=34°，所以∠BAC=70°+34°=104°. 因为PA 平分∠BAC ，所以∠CAP=
2
1
2∠BAC=52°. 又因为GF ∥CE ，根据两直线平行，内错角相等. 可得∠GAC=∠ACE=34°.
因此∠PAG=∠CAP-∠GAC=52°-34°=18°
总分100分 时间40分钟 成绩评定____________ 一、填空题(每题5分，共50分) 课前热身
1.如图5-109，直线c 与a 、b 相交，且a ∥b ，若∠1=40°，则∠2=____________. 答案：40°
2.如图5-110，直线AB 、CD 被直线EF 所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠CFE=__________度.
图5-109 图5-110
答案：180
3.如图5-111，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C、交OE于D，∠ACD=50°，则∠COE的度数是____________.
答案：25°
4.已知，如图5-112，AB∥CD，EF⊥AB，EH＞EF，则AB与CD间的距离是____________.
图5-111 图5-112
答案：线段EF的长度
5.如图5-113，D、E、F和点A、B、C，各自在一条直线上，若∠1=∠2，∠C=∠D，则∠A=____________，∠C=____________.
答案：∠F；∠D(或∠CEF)
6.如图5-114，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP=____________.
图5-113 图5-114
答案：5°
课下作业
7.如图5-115，l1∥l2，∠1是∠2的2倍，则∠3=____________.
图5-115 图5-116
答案：60°
8.如图5-116，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，则∠2的度数是___________.
答案：100°
9.一个人从A点出发沿北偏东60°方向走了2 m到了B点，再沿南偏西15°方向走了3m到C点，则∠ABC___________.
答案：45°
10.如图5-117，AB ∥CD ，△ADC 的面积为9，AB=
3
2
CD ，则△ABC 的面积为_____________.
图5-117
答案：6
二、选择题(每题5分，共10分) 模拟在线
11.(2010，四川)如图5-118所示，l 1∥l 2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=( ) A.20° B.40° C.50° D.60
图5-118 图5-119
答案：B
12.(2010江苏)已知:如图5-119，∠AOB 的两边OA 、OB 均为平面反光镜，∠AOB=40°.在OB 上有一点P ，从P 点射出一束光线经OA 上的Q 点反射后，反射光线QR 恰好与OB 平行，则∠QPB 的度数是( ) A.60° B.80° C.100° D.120° 答案：B
三、解答题(每题20分，共40分)
13.如图5-120，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、D 为直线m 上两点 (1)请写出图中面积相等的三角形；
(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么，无论D 点移动到任何位置，总有___________与△ABC 的面积相等，理由是：________________________.
图5-120
答案：(1)S △ABC =S △ABD ，S △ACD =S △CDB ，S △ACO =S △BDO (2)△ABD ；平行线间的距离处处相等
14.如图5-121，已知AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E=∠3，AD 平分∠BAC 吗?若平分，请写出推理过程；若不平分，试说明理由.
图5-121答案：AD平分∠BAC.证明如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC(已知)，
∴AD∥EG.∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∴∠l=∠E(两直线平行，同位角相等).又∵∠E=∠3
(已知)，∴∠1=∠2(等量代换).即AD平分∠BAC.。