实数基本概念
1.实数的基本概念
1.实数的基本概念一、考点梳理1.实数内容中几个重要概念是有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根等.2.π⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整数（正整数，零，负整数）有理数分数（正分数，负分数）实数无理数（无限不循环小数，如 3.数轴上的点与实数一一对应，无理数的表示形式；（1）按某种规律构造的无限不循环小数；（20sin 45等；（3）用字母表示的特殊数，如.π4.实数a 的相反数是a -，满足()0a a +-=.5.()()00a a a a a ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，一个数的绝对值是它在数轴上对应的点的距离.a 是非负数.若0a b +=，一定有0a =且0b =；若()0x a a =≥，则x a =±.6.非零实数a 的倒数是1a ，满足11a a∙=. 7.非负数a的平方根是负数没有平方根a 的立方根.8.科学记数法：()10110,n a a n ⨯≤<为整数，注意n 值的求法.9.本考点关键是准确把握诸多基本概念，适当关注数系扩充中的数学文化，体会数形结合的思想方法.二、考点精析【例1】（2017湖北荆州）中国企业2016年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示应为（ ）A.41810⨯B. 51.810⨯C. 61.810⨯D. 51810⨯【答案】B【解析】用科学记数法表示一个数，就是把这个数写成()10110,n a a n ⨯≤<为整数的形式，其中1a ≥且只有一位整数位；当原数大于等于1时，n 等于原数位减去1；当原数小于1时，n 是负数，其绝对值等于原数中小数点向右移动到第一个非零数学后的位数.【例2】（2017湖北荆州）实数,a b 在数轴上的位置如图1—1所示，化简a b +）A.2a -B.2bC.2aD.2b -【答案】A 【解析】由图得0,0a b <>且a b >，∴0,0a b b a +<->，∴()a b a b b a b a +=-+=-=-，∴2a b a b b a a +=--+-=-.本题考查基本的数形结合思想，利用数轴和绝对值的几何意义得到0,0a b b a +<->是关键.三、考点精练（一）选择题1.若长江水位升高0.9米时水位变化记作+0.9m ，那么水位下降0.7米时水位变化记作（ ）A. 0mB. 0.7mC. －0.9mD.－0.7m2.下列判断中，错误的是（ ）A.相反数是它本身的数只有0B.倒数是它本身的数只有1C. 0的平方根是0D.绝对值是它本身的数为非负数3.在实数0.1414,2π中，无理数的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个4.稀土是我国重要的战略资源，我国稀土资源总储量世界最丰富，约为1050000000t ，将1050000000用科学记数法表示为（ ）A.101.0510⨯B. 91.0510⨯C. 810.510⨯D. 100.10510⨯5.实数a 的倒数的相反数是165，则a 为（ ） A. 516 B. 165- C. 516- D.1656.已知数轴上的A 点到原点的距离是2，那么在数轴上到A 点的距离是3的点表示的数有（ ）A.1个B. 2个C. 3个D.4个（二）填空题 7.若,a b 互为相反数，则1a b -+= .8.用四舍五入法对0.03059取近似值，精确到百分位的结果是 .9.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5m μ（10.000001m m μ=）的颗粒物，也称可入肺颗粒物.它们含有大量有毒有害物质，对人体健康和大气环境有很大危害.2.5m μ用科学记数法可表示为 .10.的算术平方根是 .11.如图1—2.矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 .图1—2（三）解答题12.已知实数,a b 满足0a b <<，且a b <，判断()2018a b ab ++的符号.13.若210a ++=，求20182019ab ∙的值.14.实数a 在数轴上的位置如图1—3所示，化简：1a -+图1—3参考答案。
实数的知识点
实数的知识点实数是数学中一个基础概念，是指包括有理数和无理数的所有数的集合。
在数学中，实数的研究是非常重要的，它涉及数学的各个领域，如数论、代数、几何、微积分等。
本文将介绍实数的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、实数的基本概念实数是指包含有理数和无理数的所有数的集合，用R来表示。
其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示成这种形式，如常见的$\pi$和$\sqrt{2}$。
实数集合R包括正实数、负实数、0等数。
其中正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0是同时是正数和负数的唯一实数。
二、实数的性质实数集合R具有如下性质：1. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
2. 实数有可加性，即对于任意的实数a、b，有a+b=b+a。
3. 实数有可乘性，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。
4. 实数有结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=ab+ac。
5. 实数有数乘的结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c和(a+b)c=ac+bc。
6. 实数有数乘的交换律，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。
7. 实数有倒数和相反数，即对于任意的非零实数a，有a x1/a=1和-a是相反数。
8. 实数有加法逆元，即对于任意的实数a，有a+(-a)=0。
9. 实数有乘法逆元，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1。
三、实数的应用实数在数学中的应用十分广泛，下面我们分别从代数、几何和微积分等方面来介绍它的应用。
1. 代数在代数中，实数用于求解多项式方程。
对于一元多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_i(i=0,1,...,n)$是实数，其解为实数或虚数。
在求解实数根时，可以用有理根定理求得多项式的整数根和分数根，然后利用余式定理计算余下的一元多项式，再用求根公式求解即可。
实数知识点总结概括初中
实数知识点总结概括初中一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数的集合，记作R。
有理数包括整数和分数，而无理数是那些无法写成有理数形式的数，如π和√2等。
实数的概念是对数的一个总称，它是数学研究和运用的基础。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限的循环小数。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而无理数通常用无限不循环小数表示。
3. 实数的分布实数可以用数轴表示，数轴上的点对应着实数。
实数在数轴上是连续的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种连续的性质是实数的重要特点之一。
二、实数的性质1. 实数的比较实数之间可以比较大小，可以用不等式表达实数的大小关系。
对于任意两个实数a和b，有a＜b、a＝b或a＞b三种可能的关系。
2. 实数的绝对值实数的绝对值是这个实数到原点的距离，记作|a|，其中a是实数。
绝对值有以下性质：（1）若a＞0，则|a|=a；（2）若a＜0，则|a|=-a；（3）|a|=0的充分必要条件是a=0。
3. 实数的有序性实数集合是有序的，即实数集合中的每个实数都可以和实数集合中的其他实数相比较大小。
这种有序性是实数与数学中其他集合的一个重要区别。
4. 实数的密度实数在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种性质体现了实数的密度，也是实数在数学中的重要性质之一。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法和减法是最基本的运算，可以利用数轴对实数的加法和减法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法是对实数进行组合和分解的运算，可以用数轴对实数的乘法和除法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
3. 实数的乘方和开方实数的乘方和开方是对实数进行多次相乘或多次开方的运算，可以用数轴对实数的乘方和开方进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是实数运算的综合应用，包括加减乘除、乘方开方等多种运算的组合和应用。
实数的基本概念与运算
实数的基本概念与运算实数是数学中的一个基本概念，它包括了整数、有理数和无理数。
实数的运算是数学中的重要内容，包括加法、减法、乘法和除法等。
本文将介绍实数的基本概念以及实数的运算法则。
一、实数的基本概念实数是用于表示现实世界中各种物质和现象的数，它包括了整数、有理数和无理数。
整数由正整数、负整数和零组成，例如-3、-2、-1、0、1、2、3等。
有理数是可以表示为两个整数之商的数，例如2/3、-4/5、1等。
无理数是不能表示为两个整数之商的数，例如π和√2等。
二、实数的加法与减法运算实数的加法是指将两个实数相加得到一个新的实数。
加法运算满足交换律、结合律和零元律。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 零元律：a + 0 = a实数的减法是指将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。
减法运算可以看作是加法运算的逆运算。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：a -b = a + (-b)三、实数的乘法与除法运算实数的乘法是指将两个实数相乘得到一个新的实数。
乘法运算满足交换律、结合律和单位元律。
例如，对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：1. 交换律：a × b = b × a2. 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)3. 单位元律：a × 1 = a实数的除法是指将一个实数除以另一个非零实数得到一个新的实数。
除法运算可以看作是乘法运算的逆运算。
例如，对于任意实数a、b和c（其中b≠0），有以下等式成立：a ÷b = a × (1/b)四、实数的运算性质实数的运算满足分配律、零因子律和单位元律等性质。
1. 分配律：对于任意实数a、b和c，有以下等式成立：a × (b + c) = (a × b) + (a × c)a × (b - c) = (a × b) - (a × c)2. 零因子律：如果两个实数的乘积等于零，则其中至少一个实数为零。
实数知识点总结归纳
实数知识点总结归纳实数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在这篇文章中，我们将对实数的基本概念、性质和应用进行总结和归纳。
希望通过这篇文章，能够帮助读者更全面地理解和掌握实数的知识。
一、实数的基本概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，可以是正数、负数或零。
而无理数则无法表示为有理数的形式，无限不循环小数形式的数称为无理数。
实数的集合用符号R表示，R={x | x是有理数或无理数}。
实数满足以下性质：1. 实数进行加、减、乘、除运算时仍然是实数；2. 实数满足交换律、结合律和分配律；3. 实数可以通过数轴上的点来表示，数轴是一个按照大小顺序排列的直线。
二、实数的性质1. 实数的比较性质实数具有自反性、对称性和传递性。
对于任意的实数a、b，下面三个性质成立：自反性：a = a；对称性：如果a = b，则b = a；传递性：如果a = b，b = c，则a = c。
2. 实数的密度性质实数集是一个稠密集合，即在实数中，两个不相等的实数之间必然存在一个有理数或无理数。
这一性质保证了实数的连续性和无间断性。
3. 实数的无穷性质实数集是一个无穷集合，它既没有最大值也没有最小值。
无理数在实数集中的分布非常稠密，可以被无数个有理数所逼近。
三、实数的应用实数在数学和其他学科中有着广泛的应用，下面我们介绍几个常见的应用领域：1. 几何学实数在几何学中起到了重要的作用，可以通过实数来表示直线的长度、角的大小等几何量。
2. 物理学实数在物理学中有着广泛的应用，可以表示物体的质量、速度、时间等物理量。
实数的加减运算、乘除运算也被用于描述物理学中的运动和力学等概念。
3. 金融学实数在金融学中有着广泛应用，可以用来表示股票价格、利率、收益率等经济指标。
实数的运算和比较也是金融学中常用的计算手段。
4. 统计学实数在统计学中扮演着重要的角色，可以用来表示样本的测量结果、变量的取值等。
关于实数的知识点总结
关于实数的知识点总结一、基本概念1.1 实数的定义实数是一切有理数和无理数的总称。
有理数指整数和分数的集合，无理数指不能表示为分数形式的数。
实数包括了整数、有理数和无理数三种类型的数。
1.2 实数的表示实数可以用十进制、分数、无限不循环小数等形式表示。
其中，十进制形式是常见的实数表示形式，可以直观地表示出实数的大小。
1.3 实数的性质实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
此外，实数还满足最大值和最小值的性质，即任何有上界的非空有限实数集合必有上确界，并且同样地有下确界。
二、实数的子集2.1 有理数集有理数包括整数和分数，其中整数是不含小数部分的数，分数是两个整数的比，可以用分数形式表示。
2.2 无理数集无理数是不能表示为有理数的数，其十进制表示形式为无限不循环小数。
无理数包括了无限多的十进制无限不循环小数，如$\sqrt{2}$、$\pi$等。
2.3 实数集实数集是有理数和无理数的总称，它包括了一切可以表示为十进制数的数。
三、实数的运算3.1 加法和减法实数的加法和减法满足交换律和结合律，对任意两个实数a和b，有a+b=b+a，a-b≠b-a。
3.2 乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律和结合律，对任意两个实数a和b，有a×b=b×a，a/b≠b/a。
3.3 幂运算实数的幂运算是指a的n次方，其中a是实数，n是自然数。
幂运算的性质包括a的m 次方与a的n次方的乘积等。
3.4 开方实数的开方是指对任意非负实数a，存在唯一的非负实数b，使得b的平方等于a。
开方的性质包括平方根存在性和唯一性等。
四、实数的序关系4.1 实数的大小比较实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有a<b、a>b或a=b中的一种关系。
4.2 实数的绝对值实数a的绝对值是指a到原点的距离，用|a|表示。
如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
实数实际应用知识点总结
实数实际应用知识点总结一、实数的基本概念实数是包括有理数和无理数在内的一类数，可以用来表示现实世界中的各种量。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如1/2、3/4等；而无理数是指不能表示为有理数比值的数，例如根号2、π等。
实数包括了所有的有理数和无理数，是全体实数的总称。
在数轴上，实数可以用点的位置来表示，有理数和无理数分布在数轴上的不同位置。
在实际生活中，我们经常会遇到各种需要用实数来表示的量，例如时间、长度、质量、价格等。
比如，我们可以用实数表示一栋房子的面积、一场比赛的时间、一件商品的价格等。
因此，实数在日常生活中有着广泛的应用。
二、实数的实际应用1. 购物支付在日常购物中，实数的应用十分普遍。
当我们购买商品时，商品的价格往往是用实数表示的。
如果我们购买多件商品，还需要对它们的价格进行加法运算。
此外，如果使用信用卡或支付宝等电子支付方式，也会涉及到实数的操作。
因此，实数的应用在日常购物中是非常常见的。
2. 经济管理在企业或个人的财务管理中，实数也经常被用来进行计算和决策。
比如，企业会使用实数来表示销售额、成本、利润等经济指标，以便进行业务分析和决策。
个人也会使用实数来表示收入、支出、存款、投资等金融数据，以便进行理财规划。
因此，实数在经济管理中有着重要的应用价值。
3. 科学研究在科学研究中，实数也是不可或缺的工具。
物理学、化学、生物学等自然科学都会使用实数来表示测量数据、实验结果和理论模型等。
比如，在物理学中，实数用来表示长度、质量、速度、能量等物理量；在化学中，实数用来表示物质的质量、浓度、局部等等；在生物学中，实数用来表示生物体的体积、重量、温度等。
因此，在科学研究中，实数也是不可或缺的工具。
4. 工程设计在工程设计和建筑施工中，实数也有着重要的应用。
工程师和设计师会使用实数来表示建筑的尺寸、重量、压力等物理量，以便进行结构计算和设备选型。
建筑施工中，使用实数来表示施工进度、工程量、工程造价等，以便进行工程管理和监控。
实数的基本概念
基本概念实数可以分为有理数和无理数两类，有理数（有限小数或无限循环小数）可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数（无限不循环小数）可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。
而R^n 表示 n 维实数空间。
实数是不可数的。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|①a为正数时，|a|=a（不变）②a为0时， |a|=0③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值）(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。
)3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）4）数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
实数分类按性质分类是：正数、负数、0；按定义分类是：有理数、无理数四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
实数集有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b.实数的传递性实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.实数的阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.实数的稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.实数唯一性如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
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实数基本概念
实数基本概念及应用
一、实数的定义与性质
1.1 实数的定义
实数是由有理数和无理数组成的数。
其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。
1.2 实数的性质
实数具有连续性、完备性、有序性等性质。
连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。
二、实数的表示方法
2.1 有限小数表示法
有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。
例如，123.45表示为有限小数123.45。
2.2 无限小数表示法
无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。
无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。
三、实数的运算
3.1 加法运算
实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.2 减法运算
实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。
3.3 乘法运算
实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
3.4 除法运算
实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。
3.5 指数运算
实数的指数运算可以使用幂运算进行。
即a^b=c，则log(a)c=b。
3.6 对数运算
实数的对数运算可以使用指数运算进行。
即log(a)b=x，则a^x=b。
四、实数在生活中的应用
4.1 测量中的应用
实数在测量中有着广泛的应用。
例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。
4.2 工程中的应用
在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。
例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。
4.3 经济中的应用
在经济学中，实数被广泛应用于衡量各种经济指标。
例如，GDP、CPI、PPI等都可以用实数来表示。
五、实数的扩展概念
5.1 复数
复数是指具有虚部和实部的数。
虚部表示的是纯虚数，即不具有实际意义的数。
复数的实部和虚部分别表示为z=a+bi中的a和b。
复数的加法、减法、乘法和除法运算都遵循一定的规则。
复数的应用广泛存在于物理学、工程学、计算机科学等领域。