复数平面直角坐标系
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
数学北师大版选修1-2 第4章 1.2 复数的有关概念(2)
1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限． 解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二 复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？ 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想． 跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)， 则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 A解析 由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求参数 答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5， 所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4， 又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求复数 答案 D解析 设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________． 考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模答案 2解析 由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)， 因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0， 解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点 复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。
高斯平面直角坐标系同数学中平面直角坐标系的区别
高斯平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，它与平面直角坐标系有着一定的区别。
下面我们通过以下几个方面来详细分析高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系的区别。
1. 坐标系定义：高斯平面直角坐标系是由德国数学家高斯在复数分析中引入的一种坐标系，它是复平面上的直角坐标系，以复数的实部和虚部作为坐标轴的坐标值。
而数学中的平面直角坐标系是由两条垂直的坐标轴构成的，其中横轴为x轴，纵轴为y轴，以点的横纵坐标来确定点的位置。
2. 坐标轴单位：在高斯平面直角坐标系中，横轴和纵轴的单位都是复数单位i，而在数学中的平面直角坐标系中，横轴和纵轴的单位分别是实数单位和虚数单位。
3. 笛卡尔坐标系变换：在高斯平面直角坐标系中，可以将复平面上的点(x, y)表示为复数z=x+iy的形式，而在数学中的平面直角坐标系中，点(x, y)的坐标可以表示为(x, y)。
4. 应用领域：高斯平面直角坐标系主要应用于复数分析、电磁学、控制论等领域，在这些领域中，复数的运算和分析是非常重要的。
而数学中的平面直角坐标系则主要应用于几何、代数、微积分等数学学科中，其中二维平面上的点的位置关系是重要的研究对象。
5. 图形表示：在高斯平面直角坐标系中，图形通常表示为复平面上的曲线和点，通过复数的实部和虚部来确定图形的位置和形状。
而在数学中的平面直角坐标系中，图形表示为二维平面上的曲线、点和图形，通过点的横纵坐标来确定图形的位置和形状。
总结起来，高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系有着明显的区别，主要体现在坐标系定义、坐标轴单位、笛卡尔坐标系变换、应用领域和图形表示等方面。
了解这些区别有助于我们更深入地理解复数分析和坐标系的概念，同时也有助于我们更好地应用和理解这些概念在不同领域中的具体问题。
高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系之间的区别并不仅仅体现在其定义、坐标轴单位、坐标系转换、应用领域和图形表示方面。
事实上，它们之间的差异还体现在许多其他重要方面，这些区别对于我们理解和应用这两种坐标系都具有重要意义。
复数的几何意义与三角形式
复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。
复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。
例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。
使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。
复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。
这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。
在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。
这种形式方便了复数的乘法和幂运算。
例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。
复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。
首先，复数可以用来表示平面上的向量。
向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。
复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。
其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。
复数的坐标表示
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)，
（1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？
（2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？
（3）能否在原点？
复数的模
定义：复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点的距离。
即 | z || a bi | a 2 b 2
例：若复数 z1 , z2满足Re z1 Re z2 0, Im z1 Im z2 0, 则z1 , z2在复平面上的对应点有 怎样的对称关系？
关 于x轴 对 称
例：如果复数 z (m 2) (m 2 16)i (m R)在复平面上 的对应点在第四象限， 则m的范围？
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形:
以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
模的几何意义
满足 3<|z|<5 (z∈C)的 5 y
复数z对应的点在复平面
上将构成怎样的图形？ 设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
a bi(a, b R)。建立了直角坐标系用来
b
表示复数 z a bi(a, b R) 的平面叫做复平面. 这里 x轴 实轴； y轴 虚轴。
o
a
x
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
这样复数集中的元素和复平面上的点集中的元素是一一对应的。
并数一数(1) 复数
解: (1) 10×10=100 个
(2) 10个
复数与平面几何的综合练习题
复数与平面几何的综合练习题本文将为读者提供一系列综合练习题，涉及复数与平面几何的相关知识。
通过解答这些题目，读者将巩固对复数及其在平面几何中的应用的理解，并通过实践提高解决问题的能力。
1. 设复数 z = 4 + 3i，其中 i 是虚数单位。
求 z 的共轭复数，并将其表示在平面直角坐标系中。
解析：复数的共轭是将复数的虚部取负。
因此，z 的共轭复数为 4 -3i。
在平面直角坐标系中表示，可以将实部 4 作为横坐标，虚部 -3 作为纵坐标，将这两个点连线，即可表示 z 及其共轭复数。
2. 已知复数 z = 2 + i 和 w = -1 + 3i，求 zw 和 z/w 的结果，并将其表示在平面直角坐标系中。
解析：复数的乘法即两个复数的实部和虚部的乘积，复数的除法可以通过乘以其倒数来实现。
根据计算，zw = (2 + i)(-1 + 3i) = -5 + 5i，而z/w = (2 + i) / (-1 + 3i) = (1 - i) / 2。
将这两个结果表示在平面直角坐标系中，可以得到两个点 (-5, 5) 和 (0.5, -0.5)，分别连接原点和这两个点，即可表示 zw 和 z/w。
3. 设 A、B、C 为复平面上的三个不共线点，且坐标分别为 z1, z2,z3。
证明：向量 AB、AC 的夹角等于向量 z2 - z1 和 z3 - z1 的辐角的差。
解析：向量 AB 可以表示为 z2 - z1，向量 AC 可以表示为 z3 - z1。
根据向量的夹角性质以及复数的辐角表示，可知这两个向量的夹角等于其辐角的差。
4. 已知复数 z = 3 + 4i，求 z 的模长、辐角、共轭复数和倒数，并将它们表示在极坐标系中。
解析：复数的模长可以通过求复数与原点的距离得到，即 |z| =√(3^2 + 4^2) = 5。
复数的辐角可以通过求复数与实轴正方向的夹角得到，即tanθ = 4/3，所以θ = arctan(4/3)。
复数的几何表示与解析表示
复数的几何表示与解析表示复数是数学中一个重要的概念，由实数部分和虚数部分组成。
在几何上，复数可以用向量表示，同时也可以用解析式表示。
本文将介绍复数的几何表示和解析表示，并探讨它们的联系和应用。
一、复数的几何表示复数的几何表示主要依赖于向量的概念。
我们知道，向量由大小和方向组成，可以用有向线段来表示。
同样地，复数也可以看作是一个向量，在数学上常用平面直角坐标系表示。
在平面直角坐标系中，复数可以表示为 z = a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。
a和b可以看作是复平面的横轴和纵轴坐标，复数z 位于复平面上的一个点。
我们可以使用复数的模长和辐角来准确表示复数在复平面上的位置。
复数的模长表示复数的大小或长度，记作 |z| = sqrt(a^2 + b^2) 。
辐角表示复数的方向，可以用弧度或角度来表示，记作 arg(z)。
二、复数的解析表示复数的解析表示是一种基于数学形式化的表示方法。
我们可以用复数的实部和虚部的形式来表示复数。
例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。
在复数的解析表示中，实部 a 和虚部 b 可以是任意实数。
实部表示复数的实数部分，而虚部表示复数的虚数部分。
通过解析表示，我们可以进行复数的加减乘除等运算，更方便地进行复数的计算。
三、几何表示与解析表示的联系几何表示和解析表示是两种不同的方式，但它们之间存在着密切的联系。
首先，通过几何表示可以很方便地得出复数的模长和辐角。
复数 z 的模长可以由几何表示的长度得出，而辐角可以由几何表示的方向得出。
其次，通过解析表示可以方便地进行复数的运算。
复数的加减乘除等运算可以通过解析表示直接进行，无需对几何表示进行操作。
最后，几何表示和解析表示可以相互转化。
通过知道复数的实部和虚部，我们可以得到复数在复平面上的位置；而通过复数在复平面上的位置，我们也可以得到复数的实部和虚部。
四、几何表示与解析表示的应用几何表示和解析表示在数学中有广泛的应用。
高考数学中复数在平面几何中的应用有哪些
高考数学中复数在平面几何中的应用有哪些在高考数学的广阔领域中，复数这一重要概念不仅在代数运算中发挥着关键作用，还在平面几何问题的解决中展现出独特的魅力和强大的应用价值。
首先，我们来了解一下复数的基本概念。
复数通常可以表示为 a ＋bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
在平面直角坐标系中，复数可以与平面上的点一一对应，实部 a 对应 x 轴上的坐标，虚部 b 对应 y 轴上的坐标。
那么，复数在平面几何中到底有哪些具体的应用呢？一个常见的应用是用复数来表示平面上的向量。
假设平面上有一个向量，起点为坐标原点，终点坐标为（a, b)，那么这个向量就可以用复数 a ＋ bi 来表示。
利用复数的加法和数乘运算，我们可以方便地进行向量的加法、减法以及与实数的乘法运算。
比如，有两个向量分别对应复数 z₁＝ 2 ＋ 3i 和 z₂＝ 4 2i，那么它们的和向量对应的复数就是 z₁＋ z₂＝（2 ＋ 4) ＋（3 2)i ＝ 6 ＋i。
复数在平面几何中的另一个重要应用是求两点之间的距离。
对于平面上的两个点 A、B，分别对应复数 z₁＝ a₁＋ b₁i 和 z₂＝ a₂＋b₂i，那么 A、B 两点之间的距离可以表示为｜z₁ z₂|。
例如，点 A 对应复数 1 ＋ 2i，点 B 对应复数 4 3i，那么它们之间的距离就是｜（1 ＋ 2i) （4 3i)｜＝｜－3 ＋ 5i| ＝√（（－3)²＋ 5²) ＝√34。
在求解三角形的问题中，复数也能大显身手。
以三角形的三个顶点对应的复数为 z₁、z₂、z₃，我们可以通过计算复数的差来得到三角形的边所对应的向量，进而利用向量的模长和夹角公式来求解三角形的边长、角度等相关问题。
比如，已知三角形三个顶点分别对应复数 1 ＋ i、2 2i、－1 ＋ 3i，那么边 AB 对应的向量为 z₂ z₁＝（2 2i) （1 ＋ i) ＝ 1 3i，边 BC 对应的向量为 z₃ z₂＝（－1 ＋ 3i) （2 2i) ＝－3 ＋ 5i。
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复数平面直角坐标系
复数平面直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，它在解决各种问题时起到了重要的作用。
本文将介绍复数平面直角坐标系的相关概念和应用。
复数平面直角坐标系，也称为阿尔及利亚坐标系，是用来描述复数的一种坐标系。
复数是由实数和虚数组成，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部。
复数平面直角坐标系将复数表示为平面上的点，实部为x坐标，虚部为y坐标。
这种表示方法可以将复数的加减乘除、幂运算等运算转化为平面上的几何运算，简化了复数运算的过程。
在复数平面直角坐标系中，实轴为x轴，虚轴为y轴，原点为坐标系的起点。
正方向为向右和向上，负方向为向左和向下。
每个点都可以表示为一个复数，复数的大小表示点到原点的距离，复数的辐角表示点与实轴之间的夹角。
复数平面直角坐标系在物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛的应用。
在电路分析中，复数平面直角坐标系可以用来表示交流电路中的电压和电流，方便计算和分析电路的特性。
在控制系统中，复数平面直角坐标系可以用来表示系统的频率响应，帮助设计和调试控制系统。
在图像处理和信号处理中，复数平面直角坐标系可以用来表示图像和信号的频谱，方便进行滤波和变换等操作。
复数平面直角坐标系还有许多有趣的性质和特点。
例如，两个复数的加法相当于平面上的向量相加，两个复数的乘法相当于平面上的向量旋转和缩放。
复数平面直角坐标系还具有对称性，即关于实轴和虚轴的对称性。
这些性质和特点使得复数平面直角坐标系成为解决各种问题的有力工具。
复数平面直角坐标系是一种重要的数学工具，它可以用来表示复数，并在各个领域中应用广泛。
通过复数平面直角坐标系，我们可以更加直观地理解和分析复数的性质和运算，提高问题求解的效率。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用复数平面直角坐标系。