第五章线性系统状态反馈1
第5章_线性定常系统的综合
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
现代控制理论---状态反馈和状态观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
连续控制部分第五章状态反馈与观测
有关系数 的选择
从收敛性的观点出发，特征值实部绝对值希望取得大一点。 但是，实部变大的时候，输入也要变大等问题也就出现了。 并且，当系统发生变化的时候，稳定性的保持问题也会出现。(鲁棒、稳定性)
收敛性
输入的大小
最优控制 鲁棒控制
鲁棒稳定性 其他需要考虑的特性
更加一般的鲁棒 Advanced control 。。。。。。。
输出反馈: u = Ky + Gv
闭环系统： x ( A BKC)x BGv y Cx
x Ax Bv y Cx Du ( A A BKC, B BG)
因为静态输出反馈很难实现极点的自由配置，提出了动态输出反馈的概念 → 「状态反馈」 + 「状态观测」
观测器（概念）
状态观测器(状态估计)：状态x不能被直接地观测或者测量的时候，通过系统 输出y 和系统输入 u 对系统状态x 进行估计或者推测所构建的模型。
设计坐标变换矩阵T：
p
T
pA
pAn1
坐标变换后的能控性 矩阵
0 0 1
可以得到、 rank{T b
Ab
An1b } rank0
1 *
* *
n
1
* *
因此T是一个正则矩阵。
得到闭环系统：
x ( A BF)x BGv
0 0 0
1 12
0
0 0
1
0 1000
6 1
~x 是x 的估计値 该拷贝模型不能保证初期推测误差收敛到0。所以引入系统输出差：
~y y C~x y
可以修正控制对象的直接拷贝模型的运动。
全维状态观测器：
~x A~x Bu K(C~x y) ~y C~x
现代控制理论第五章线性系统的设计与综合
第五章 线性系统的设计与综合
熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置 熟练掌握状态观测器设计方法 掌握分离原理
教学要求：
状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理 单输入、多输出系统的极点配置 全维观测器的设计 状态反馈与观测器的工程应用
重点内容：
5.1 状态反馈与输出反馈
CONTENTS
则：
令： 式中 标量 这说明 的列 是 列的线性组合。
01
列的线性组合。
同理： 的列 是
列的线性组合。
的列 是
输出反馈实现极点配置
01
输出反馈 状态微分 设多输入／单输出系统：
02
B
A
I/s
C
h
u
y
-
+
x
定理：由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是被控系统能观。
证明：运用对偶原理：
若(A,B,C)能观，则
能控，可由状态反馈实现极点配置：
可求出h 。
03
04
05
设
令
闭环系统状态空间表达式:
1/s
01
1/s
02
1/s
03
2
04
3
05
3
06
+
07
+
08
y
09
v
10
11
状态反馈
12
闭环系统的传递函数：
A
设单输入-单输出系统：
B
已知(A,b,c,d)能控，则经过 将(A,b,c,d)化为能控型
5.4 状态反馈对系统零极点的影响
引入状态反馈：
设：
01
02
Ｂ
Ｖ
第五章线性系统状态反馈
§5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题一、渐近稳定渐近稳定：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。
所谓镇定问题是指受控系统∑),,(0C B A 通过状态反馈使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。
显然，镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。
其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。
二、状态可镇定定义定义5.1（状态可镇定定义）： 对于线性定常系统∑),,(0C B A ，如果存在状态反馈增益矩阵k ，使得闭环系统∑-),,(C B Bk A k是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。
如果∑),,(0C B A 完全可控，则它必然是可镇定的。
但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。
定理5.5： 线性定常系统∑),,(0C B A 是状态可镇定的充要条件是：其不可控子系统是渐近稳定的。
0x - 初始状态e x - 平衡状态二维空间渐近稳定的几何解释示意图【例5.3.1】已知系统状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100201020101 试判别其是否为可镇定的。
若是可镇定的，试求一状态反馈增益矩阵k 使闭环系统为渐近稳定的。
解：（1）判别系统可控性 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==5210003102b A Ab bQ c ，n rankQ c <=2，故系统不完全可控。
（2）将系统按可控性进行规范分解。
[]321R R R R c =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2012R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0103R ，故而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021100010c R 变换后系统的动态方程为：u B x A x+= 式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x可控子系统动态方程：u x x c c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013110 u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒0131102121 不可控子系统动态方程：c c x x2-= 332x x -=⇒ c c AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-021100010201020101021*******⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==--00110002110001011b R b c可见，由332x x-= 可得到)0(23x e x t -=，故不可控子系统是稳定的，所以该系统是可镇定的。
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第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。
而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。
采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。
然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。
设SISO 系统的状态空间表达式为：bu Ax x+= cx y =状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：)(kx v b Ax x-+= bv x bk A +-=)( cx y = 式中：k 为n ⨯1矩阵，即[]11-=n ok k k k，称为状态反馈增益矩阵。
)(bk A -称为闭环系统矩阵。
可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。
状态反馈系统结构图【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。
u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10020110010 ， []x y 004=解：[]x k k k v kx v u 210-=-=其中[]21k k k k =称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==1333222142xy u x x x x xx x说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个mr ⨯维矩阵。
即 mr rm r r mm k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2122221112112、状态反馈增益矩阵k 的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。
因此，对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。
所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵k 的设计，使闭环系统的极点恰好处于s 平面上所期望的位置，以便获得期望的动态特性。
本节只讨论SISO 系统的极点配置问题，因为SISO 系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的。
定理5.1:用状态反馈任意配置极点的充要条件是：受控系统可控。
证 明：（1）充分性：设受控系统可控，则一定可通过线性变换（即x P x =），将A 、b 化为可控标准型。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==--12101100001000010n a a a aAP P A， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-10001 b P b[]11-==n CP C βββ在变换后引入状态反馈增益矩阵k []11-=n k k k kx k v u -=故变换后的状态反馈系统的动态方程为v b x k b A x+-=)( x c y = 其中：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=---11221100100001000010n n k a k a k a ka kb A闭环特征多项式为)()(k b A I f --=λλ)()()(0011111k a k a k a n n n n +++++++=---λλλ设闭环系统的期望极点为n λλλ,,,21 ，则系统的期望特征多项式为)())(()(21*n f λλλλλλλ---=*0*11*1a a a n n n ++++=--λλλ欲使闭环系统的极点取期望值，只需令)()(*λλf f = 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+---*000*111*111a k a a k a a k a nn n只要适当选择110-n k k k，就可以任意配置闭环极点。
（2）必要性若受控系统不可控，必有状态变量与u 无关，则[]11-=n k k k k，x k v u -=中一定有元素不存在，所以不可控子系统的特征值不可能重新配置。
按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵k 的一般步骤如下：（1）对给定可控系统∑),,(c b A ，进行P 变换，即x P x =，化成可控标准型u b x A x+= x c y =其中：AP P A 1-=，b P b 1-=，cP c =（2）导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式)(λf )()()(0011111k a k a k a n n n n +++++++=---λλλ（3）根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式)(*λf *0*11*1a a a n n n ++++=--λλλ（4）确定对于可控标准型下的状态变量x 的反馈增益矩阵k )()(*λλf f =[])()()(1*11*10*0-----=n n a a a a a a k（5）把k 化成对于给定状态变量x 对应的k 1-=P k k【例5.1.2】已知SISO 系统的传递函数为试设计状态反馈增益矩阵k 使闭环极点配置在-2，j ±-1。
解：由于SISO 系统的)(s G 无零极点对消，故系统可控。
可直接写出可控标准型。
u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10032100010 ，[]x y 0010=设状态反馈增益矩阵k 为： []210k k k k =状态反馈系统的特征方程为)()(bk A I f --=λλ0)2()3(01223=+++++=k k k λλλ 期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：)1)(1)(2()(*j j f ++-++=λλλλ046423=+++=λλλ 令)()(*λλf f =，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=43624210k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒144210k k k 故[]144=k分析说明：在例5.1.2中，由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型，从而可以比较简单地计算出反馈增益矩阵k ，对闭环系统进行极点配置。
但是从工程实际上看，可控标准型实现的状态变量的信息在物理上是很难采集的，如果要使设计出来的k 能在实际系统中方便地建立起来，应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为系统的实现。
比如例5.1.2中，选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较为合理。
即 )2)(1(10)(++=s s s s G 2111110+⋅+⋅⋅=s s s原受控系统的动态方程为： u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10020110010 ， []x y 0010=设状态反馈增益矩阵k 为： []210k k k k =状态反馈系统的特征方程为)()(bk A I f --=λλ0)2()3(021223=++++++=k k k k λλλ期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：)1)(1)(2()(*j j f ++-++=λλλλ046423=+++=λλλ 令)()(*λλf f =，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=436242210k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒134210k k k 故[]134=k受控系统结构图【例5.1.3】已知SISO 系统的传递函数为试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2，j ±-1的可能性。
解：该SISO 系统的传递函数)(s G 存在零极点对消。
（1）若选择可控标准型实现（便不可观测），仍可以配置极点，方法步骤同【例5.1.2】。
（2）若选择可观测标准型实现（便不可控） u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0101031201000 ， []x y 100=设状态反馈增益矩阵k 为： []210k k k k =状态反馈系统的闭环状态矩阵为 []210101031201000k k k bk A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=3101021010110101021210k k k k k k状态反馈系统结构图状态反馈系统的特征方程为 )()(bk A I f --=λλ)103020()2104030()31010(2102102103k k k k k k k k ++++++++++=λλλ 期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：)1)(1)(2()(*j j f ++-++=λλλλ046423=+++=λλλ 令)()(*λλf f =，可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=++41030206210403043101021021010k k k k k k k k方程组无解，即这种情况下用状态反馈不能配置极点。
二、闭环系统期望极点的选取总的来说，系统的性能主要取决于闭环主导极点，而远极点只有微小的影响。
也就是说，把系统看作是一个其极点就是主导极点对的二阶系统。
可根据动态指标%σ和s t 来确定期望主导极点的位置：%100%21⨯=--ξπξσe )10(<<ξns w t ξ5.4=%)2(±22,11ξξλ-±-=n n jw w （2,1λ为期望的主导极点）【例5.1.4】试设计如图所示系统的状态反馈增益矩阵k ，使闭环系统满足下列动态指标：（1）输出超调量%32.4%≤σ （2）调节时间5.0≤s t 秒解：确定闭环系统的期望主导极点21,λλ，由%32.4%100%21≤⨯=--ξπξσe)(5.05.4s w t ns ≤=ξ解出707.0≥ξ，0.9≥n w ξ，则 99122,1j jw w n n ±-=-±-=ξξλ令第三个极点90]Re[1013-==λλ 故)99)(99)(90()(*j j f ++-++=λλλλ14580178210823+++=λλλ)()(bk A I f --=λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210000006011200100000k k k λλλ 021223)1272()18(k k k k ++++++=λλλ由)()(*λλf f =，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=1081817821272145802210k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒9043014580210k k k 故[][]9043014580210==k k k k§5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响定理5.2:若线性定常系统∑),,(c b A 是可控的，则状态反馈所构成的闭环系统),,(c b bk A k-∑也一定是可控的。