现代控制理论-第6章-多变量输出反馈控制和解耦控制
现代控制理论-第六章补充解耦控制
第六章线性定常系统的综合6.5 6.5 解耦控制解耦控制在(0)0x =的条件下的条件下，，输出与输入之间的关系输出与输入之间的关系，，可用传递函数()G s 描述描述：：1()()()()()y s G s u s C sI A Bu s −==−MIMO MIMO系统系统系统（（p 入q 出）：11111221221122221122()()()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()p p p p q q q qp p y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s =+++=+++=+++⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋯⋯即第六章线性定常系统的综合6.5.1 6.5.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMO MIMO MIMO系统系统x Ax Bu y Cx∑=+=ɺ：引入状态反馈u Lv Kx=−解耦问题解耦问题：：就是寻求适当的反馈阵K 和输入变换矩阵L ，使得状态反馈传递函数矩阵为对角阵为对角阵。
)(s KF G 1122G ()diag ()()()KF pp s g s g s g s =⋯p q =其中，即系统的输出个数等于输入个数即系统的输出个数等于输入个数。
第六章线性定常系统的综合11()g s 22()g s ()pp g s 1u 2u pu 1y 2y py 能找出一些控制律能找出一些控制律，，每个输出受且只受一个输入的控制一个输入的控制，，称为解耦控制称为解耦控制。
第六章线性定常系统的综合引入状态反馈u Lv Kx=−状态反馈系统的传递函数矩阵为1()[()]KF G s C sI A BK BL−=−−()()xAx B Lv Kx A BK x BLv =+−=−+ɺCx y =状态反馈系统的状态空间表达式为第六章线性定常系统的综合6.5.2 6.5.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论1) 1) 已知传递函数阵已知传递函数阵111212122212() ()()() ()()() () ()()p p p p pp g s g s g s g s g s g s G s g s g s g s=⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋯是的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差。
现代控制理论知到章节答案智慧树2023年哈尔滨工程大学
现代控制理论知到章节测试答案智慧树2023年最新哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
参考答案:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划;用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
参考答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
参考答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
参考答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
参考答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
参考答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
参考答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
参考答案:错9.线性定常系统线性非奇异变换后（）。
参考答案:系统的特征值不变10.考虑如图所示的串联组合系统，下列论述正确的是（）。
参考答案:串联组合后系统的状态方程为第二章测试1.一般线性系统状态方程的解由两部分组成，第一部分反映系统初态的影响，第二部分反映系统输入对状态的影响。
参考答案:对2.零初态响应指系统初始状态为零时，由系统输入单独作用所引起的运动。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案
=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐 进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始 状态。
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ， 下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得
(工业过程控制)10.解耦控制
在系统运行过程中，通过动态调整控制参数或策略，实现耦合的 实时解耦。
解耦控制的方法与策略
状态反馈解耦
通过引入状态反馈控制 器，对系统状态进行实 时监测和调整，实现解
耦。
输入/输出解耦
通过合理设计输入和输 出信号，降低变量之间
的耦合程度。
参数优化解耦
通过对系统参数进行优 化调整，改善耦合状况， 实现更好的解耦效果。
通过线性化模型，利用线性控制理论设计控制器，实现系统 解耦。
非线性解耦控制
针对非线性系统，采用非线性控制方法，如滑模控制、反步 法等，实现系统解耦。
状态反馈与动态补偿解耦控制
状态反馈解耦控制
通过状态反馈技术，将系统状态反馈 到控制器中，实现系统解耦。
动态补偿解耦控制
通过动态补偿器对系统进行补偿，消 除耦合项，实现系统解耦。
特点
解耦控制能够简化系统分析和设计过 程，提高系统的可维护性和可扩展性 ，同时降低系统各部分之间的相互影 响，增强系统的鲁棒性。
解耦控制的重要性
01
02
03
提高系统性能
通过解耦控制，可以减小 系统各部分之间的相互干 扰，提高系统的整体性能。
简化系统设计
解耦控制能够将复杂的系 统分解为若干个独立的子 系统，简化系统的分析和 设计过程。
调试和维护困难
耦合问题增加了系统调试和维护的难度，提高了运营成本。
解耦控制在工业过程控制中的实施
建立数学模型
01
对工业过程进行数学建模，明确各变量之间的耦合关系。
选择合适的解耦策略
02
根据耦合程度和系统特性，选择合适的解耦策略，如状态反馈、
输出反馈等。
控制器设计
03
现代控制理论系统解耦问题
() = ( − + )− 的两个特征量ҧ 和
ഥ
ҧ
,
ҧ
为满足
(
−
)
≠ 0的最小值
ҧ
= ൝
− 1，当 ( − ) = 0, = 0,1, ⋯ , − 1
ഥ = ( − )
其中： = − = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0
− = , − = + −1 , ⋯ ,
= −1 + −1 −2 + ⋯ + 1
5.4
系统解耦问题
则： () = ( − − + ⋯ + − − + −−1 −− + ⋯ + + )
即 = [11 , 22 , ⋯ , ] 其中 ≠ 0, = 1,2, ⋯ ,
5.4
系统解耦问题
三. 传递函数矩阵的两个结构特征量
1.特征量的定义
设 ()为 × 阶的传递函数矩阵， ()为其第行传递函数向量
即 = [1 , 2 , ⋯ , ]
() = ( − + − )− −
由结构特征量的性质和凯莱－哈密尔顿定理可得：
() = ⋯
() =
+
+
+
⋯
⋯
+
即实现了解耦，充分性得证。
解耦后，各输入输出间的传递函数是多重积分，称为积分型解耦系统。极点在坐
标的原点，其性能在工程上不能被接受。其意义在于理论分析，即可通过简单的
现代控制理论6.4 解耦控制
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
补偿器解耦(3/7)
−1 ( s) ， [I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有 � 分别用 Gp 1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W (s ) ] −1
状态反馈解耦(14/16)
� 由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 � 因此,状态反馈解耦矩阵为 ⎡0 0 −1⎤ K = −E F = ⎢ ⎥ 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎡ 1 0⎤ −1 H =E =⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦
−1
状态反馈解耦(15/16)
� 此时闭环系统状态方程和输出方程为： ⎡0 ̇ (t ) = ⎢0 x ⎢ ⎢ ⎣0 ⎡1 y (t ) = ⎢ ⎣0 0 −1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ 0 0 ⎥ v (t ) 0 1⎥ x ( t ) + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣0 1 ⎥ ⎦ 1 0⎤ x (t ) ⎥ 0 1⎦
� 根据补偿器Gc(s)的求解公式,有
1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W ( s ) ] −1 −1
⎡ 1 ⎤⎡ 1 ⎤⎡ s ⎤ 0 0 0 ⎢ 2s + 1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ 5s ⎥ ⎢ 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎥ ⎦ 2s + 1 ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ s =⎢ ⎥ ⎢ −( s + 1)(2 s + 1) s +1 ⎥ ⎢ s 5s ⎥ ⎣ ⎦
现代控制理论完整版
现代控制理论HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。
互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。
方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。
4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值 =-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题什么是最小实现说明实现存在的条件。
现代控制理论6.1 状态反馈与输出反馈
⎧ ⎡I ⎪ r[λ I -A + BK B ] = r ⎨[λ I -A B ] ⎢ ⎪ ⎣K ⎩ 0⎤ ⎫ ⎪ ⎬ = r[λ I -A B ] ⎥ I ⎦⎪ ⎭
⎧ x ′ = ( A − BHC ) x + Bv ⎨ ⎩ y = Cx
输出反馈的描述式(3/3)
� 输出反馈闭环系统可简记为∑H(A-BHC,B,C),其传递函数阵 为: GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B � 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 � 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。 � 反之,则不然。 � 由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控 制品质,更佳的性能。 Understand?
v
+ -
u B
+ +
x'
x
y C
∫
A H
开环系统
图6-2 输出反馈系统的结构图
输出反馈的描述式(2/3)
� 输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: � 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
⎧ x ′ = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx u = − Hy + v
u=-Hy+v y=Cx
其中H为r×m维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 � 将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈闭 环控制系统的状态空间模型:
上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 � 由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例,故输出反馈 亦不改变系统的状态能控性。
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(6-78) (6-79)
其闭环特征多项式H2 s可由分块矩阵的行列式恒等关系
det
A11 A21
A12 A22
detA11
det
A22 A21A111A12
(6-80)
展开为
H2 s
det sI A1* C*
B*
q
k
sIq
det
sI A1*
det sIq C*
馈矩阵，将3p q 1个 闭环极点配置在规定位置。对于n 3p的
多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全
部n q个闭环极点；对于n 3p 的多变量系统，则有n 3p 1
个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的Q、q 有关。实际
上通常是n
3p
1个小的数目，通过重复设计
及
Q
，从而重
式(6-87)，即
kWi k1
k2
2 2
2k1
2k2
0
任取 k1 1，则k2 1，故k 1 1。闭环特征多项式由式(6-
85)给出为
H3
s
s
1
s6
2 1
p2 r2
s5
6
q2 1 r2
9r2
s4
12
9 p2 1
r2
r1
9r2
s3
5 p1 9 p2 9q2 2r1 2r2 s2 31 2 p1 2 p2 q1 9q2 s
例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为
0 1 0 0 0 0 1
0
0
1
0
0
0 0
x& 0 0 0 1 0 x 0 2 u
00Βιβλιοθήκη 0010 0
－12 －4 15 5 －3 1 1
y
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 x
试设计PID控制器，将闭环极点配置在1, 2,3, 4, 5,1 j 。
(6-73)
uc q k z uc
(6-74)
作用于系统A1*,B*,C* ，将q－1个极点配置在希望的规定位
置，式中q 为q－1向量，k为1 q向量，uc为 p 1向量。所得闭
环系统A*2,B*,C* 为
x&* A*2x* B*uc I*v E*d
y C*x* Fd
A*2
0
为了配置极点，增广对象A*0, B*,C*应 具有能控能观测性，这就
要求原受控对象具有能控能观测性，以及矩阵
A C
B0 具有满
秩 n q ，后一条件包含着p q（即输入向量维数至少与输出向
量维数相等）及rankC q。
为了工程设计的方便，PID控制器设计通常分三步进行。 第一步：施加初始控制规律
B*
s2 3s s6 3s5 3s4 9s3 5s2 4s
s3
s
s7 3s6
2s5 6s4 9s3 12s2 2s 4s5 18s4 17s3 26s2 33s
2
式中
A*2
A
B
Q
q
k
，它将一个极点配置在规定位置
1
。
C
0
第三步：令uc pky qkz rky&，使极点 1得以保持且配置另 外3p个极位于2, 3, 4, 5, 1 j 处。为保持极点1，需满足
新设计PID控制器，能够得到满意结果。某些 n 3p 的系统，
利用PID控制器可能得不到一个稳定的闭环系统，这意味着将
需要一个更加复杂的控制器。
为配置极点所需的PID控制器也可以完全位于前向通路中，即
t
u Pe Q0 edt Re&
(6-90)
现在来考虑式(6-84)所示闭环系统的稳态特性。只要闭环系统
u Qˆ z uˆ c
(6-69)
作用于增广对象A*0,B*,C* ，Q 为任意的满秩 p q矩阵，结果得
到新的增广系统
x&* A1*x* B*uˆ c I*v E*d y C*x* Fd
(6-70)
式中A1*
A －C
BQˆ0应具有相异特征值，于是保证了A1* 是循环的。
对于系统A1*,B*,C* ，uˆ c 至 y 的传递函数矩阵G1 s为
望闭环极点位置应满足
H1
i
1
i
k
W1
i
q
0
来确定 k 。
i 1,L , q 1
第三步：以单位秩反馈控制规律
(6-82)
uc pky qkz& rky&
(6-83)
作用于系统 A*2*,B**,C** ，将其余3p个极点配置在希望位置，并
保持已配置的q－1个极点不可改变。式中p、q、r均为 p 1向量，
为了改善闭环系统的瞬态响应，可将求得的PID控制器矩
阵P、Q、R修改为P、Q、 R，这里, , 称为调谐参数。 独立地改变 ,， ,可 分别研究比例项、积分项、微分项对
瞬态响应的影响。一般情况下，通过合适地选择极点位置及 调谐参数，总能获得满意的瞬态响应。
上述PID控制器的设计方法、能满足许多实际多变量系统 的瞬态响应和稳态特性需求。
分输出反馈矩阵，其中P、R位于反馈通路中，Q 位于前向通
路中。
设计要求是：
1.闭环极点处于复平面规定位置，以满足瞬态响应需求；
2.稳态时，输出向量 y 准确跟踪指令向量 v ；
3.对于终值是常数的任意扰动d t，不影响稳态输出。
PD输出反馈可满足第一项要求，而为满足第二、三项要求，
需引入积分项。但积分项的引入将增加系统阶数，定义积分器
A
C
B
Q
q
k
0
或由式(6-67)及式(6-70)导出闭环系统为
x&** A*2*x** B**uc I**v E**d y C**x** Fd
(6-75) (6-76)
式中
x**
x*
z
，A*2*
A1*
C*
B*
q
k
，B**
0
B*
0
，
C** C*
0，I**
I*
I
，E**
置 1 处，任意选择 q 1
1r ，由式(6-82)有
H1
1
1 1
k
W1
1
q
3
k1
k2
2 －1
－1 1 2 1 3 k1 k2 0
任取 k1 1，则k2 4，故 k 1 4。所得系统传递函数矩
阵G2 s为
G2
s
W2 s H2 s
C adj det
sI A*2 sI A*2
稳定，对于阶跃指令向量vt v 1t，稳态时有z& 0 ，即稳态
输出向量y v ，其稳态误差为零。另外，对于终值为常数的
任意扰动d，也有z& 0，即 y v，故稳态时输出向量不受d
的影响。值得指出，在系统参数有大的变化而闭环系统仍能稳
定，上述稳态特性得以保持的意义上来说，PID控制具有鲁棒
性。
解 该受控对象为双输入-双输出系统， p q 2
det sI A s5 3s4 5s3 15s2 4s 12 s4 s 3 5s2 s 3 4 s 3 s 3(s 1) s 1 s 2 s 2
故不稳定。
已知 A,B,C能控能观测，且引入积分器以后的增广系统矩阵
EF* ，
A1*与A*2*具有相同的特征值1,L , q1 。
uc至y 的传递函数矩阵G2 s为
G2 s C**
sI A*2*
1 B** C*
sI A*2
1 B* W2 s H2 s
(6-77)
式中
H2 s det sI A*2 det sI A*2*
W2 s C* adj sI A*2 B* C** adj sI A*2* B**
第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制
状态反馈控制的确是线性系统综合的有力工具，但通常需用 状态观测器解决状态变量测量问题，这并非是简单的事，而输 出变量一般是可测量的，设计人员遇到的大多数系统可用输出 量至输入的反馈信息来改善系统性能。
倒立摆稳定控制就是通过测量倒立 摆的摆杆的角度、角速度和其位移和速 度来设计稳定控制系统的。
s2 s s6 3s5 3s4 9s3 5s2
s7
s2 3s6
2s5 6s4 9s3 5s5 13s4 10s3
12s2 s 3s2 11s 1
式中
A1*
A
B Q ，
C 0
B* B0 ，
C* C* 0
第二步：令
uc
qkˆ z&
uc，将q－1个即1个极点配置在希望位
sI A1*
1
B*
q
k
sq det
sI A1*
det
Iq
1 s
C*
sI A1*
1
B*
q
k
sq det
sI A1*
1
1 s
k
C*
sI A1*
1
B*
q
sq
H1
s
1 s
k
W1
s
q
(6-81)
由于 A1* 是循环的，故可任取q 使 A1* B*q 能控，根据q－1个希
倒立摆控制 点击观看
导弹控制 点击观看
导弹的姿态控制是 通过弹上的传感器测 得导弹的姿态角和角 速度来设计稳定控制 系统。
航天器控制 点击观看
航天器的姿态控制 是通过航天器上的敏 感器测得航天器的姿 态角和角速度来设计 稳定控制系统。
基本思想：
而对于一个多变量控制系统来说，无论采用状态反馈还是输 出反馈，其反馈矩阵诸元的选择均包含了很大的自由度，为了 简单有效地配置多变量系统的极点，可以人为地限制反馈矩阵 的结构形式。