现代控制理论 状态反馈与状态观测器
合集下载
现代控制理论---状态反馈和状态观测器
第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
2) 算
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
第六章 状态反馈与状态观测器
• 考察
T & u x = Ax+B z = A z +CTυ & 的对偶系统 n = BT z y =Cx
(4)Biblioteka 且定义 v=r-Kz • 则
T z =(A −CTk)z +CTr & n = BT z
(5)
• 注意到 AT −CTk =(A−kTC)T
(A−kTC)T 和 A−kTC • 而
(4).带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统. 带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中 不采样原系统的状态进行反 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈 其结构图如下图所示. 其结构图如下图所示
• 状态估计器
2.极点配置条件 极点配置条件 • 若被控系统 Σ0(A, B) 是状态完全能控的,那么 是状态完全能控的 那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 反馈系统的极点必是可以任意配置的 或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控. 控系统完全可控
极点配置(仅讨论单输入 单输出系统) 二.极点配置 仅讨论单输入 单输出系统 极点配置 仅讨论单输入/单输出系统 1.什么是极点配置 什么是极点配置. 什么是极点配置 A− • 如果 Σk[(A−Bk), B,C]的全部 个)极点可以通过 的全部(n个 极点可以通过 选择状态反馈矩阵K的各元素而移至 的各元素而移至S平面 选择状态反馈矩阵 的各元素而移至 平面 任意指定的位置,称该系统是极点可任意配 任意指定的位置 称该系统是极点可任意配 置的。 置的。
• 由(1)和(2)得 和 得
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题.
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。
状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。
状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。
本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。
一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。
其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。
2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。
3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。
状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。
二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。
其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。
3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。
状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。
现代控制理论-第六章_状态反馈与状态观测器-562
23
6.2 极点配置问题
例6.3 考虑线性定常系统
x = Ax + Bu
0
1
0
0
A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制 u = v - Kx
希望使该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。 试设计状态反馈增益矩阵K。
24
6.2 极点配置问题
0 1
0
0
A 0
0
1
,
2、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设 计较困难。
22
6.2 极点配置问题
3、对于低阶系统（n≤3），求解状态反馈
阵K时，并不一定要进行能控标准型的变 换； 可以直接计算状态反馈后的特征多项式 （其系数均为k的函数），然后与闭环系 统希望的特征多项式的系数相比较，确定 出矩阵K——另一种解题思路
状态微分 x 处
u
B
x
x
y
1/s
C
-+
.
x
A
.
x
h
.
x Ax Bu hy, y Cx
.
x (A hC)x Bu, y Cx 28
6.2 极点配置问题
2. 输出反馈至参考输入的极点配置：
v
u B
x
x
1/s
C
y
-
+
A
f
引入输出反馈：
x (A BfC)x Bv, y Cx
29
6.2 极点配置问题 注意：关于输出反馈，有如下定理： • 定理：对单入单出系统，即使完全能控，
f () ( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4 19
6.2 极点配置问题
例6.3 考虑线性定常系统
x = Ax + Bu
0
1
0
0
A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制 u = v - Kx
希望使该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。 试设计状态反馈增益矩阵K。
24
6.2 极点配置问题
0 1
0
0
A 0
0
1
,
2、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设 计较困难。
22
6.2 极点配置问题
3、对于低阶系统（n≤3），求解状态反馈
阵K时，并不一定要进行能控标准型的变 换； 可以直接计算状态反馈后的特征多项式 （其系数均为k的函数），然后与闭环系 统希望的特征多项式的系数相比较，确定 出矩阵K——另一种解题思路
状态微分 x 处
u
B
x
x
y
1/s
C
-+
.
x
A
.
x
h
.
x Ax Bu hy, y Cx
.
x (A hC)x Bu, y Cx 28
6.2 极点配置问题
2. 输出反馈至参考输入的极点配置：
v
u B
x
x
1/s
C
y
-
+
A
f
引入输出反馈：
x (A BfC)x Bv, y Cx
29
6.2 极点配置问题 注意：关于输出反馈，有如下定理： • 定理：对单入单出系统，即使完全能控，
f () ( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4 19
现代控制理论第六章
的列向量可以由 [ B AB A B] 的列向量 的线性组合表示。这意味着
rankuc ' ≤ rankuc
n1
系统 也可看成是由系统 K 经过状态反馈
( K，I ) 而获得的，因此，同理有
rankuc rankuc '
所以系统 K 的能控性等价于系统 的能控性，
于是定理得证。
例 6.1.1
系统
1 2 0 & ： x x 1 u 3 1
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u [3 1]x V
则闭环系统 K的状态空间表达式为
1 2 0 & K ： x x 1 v 0 0
1 式(6.3.2)可写为 y(s) G(s)u(s) C (sI A) Bu (s)
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u2 ( s ) L L g1 p ( s )u p ( s ) y2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u2 ( s ) L L g 2 p ( s )u p ( s ) M M yq ( s ) g q1 ( s )u1 ( s ) g q 2 ( s )u2 ( s ) L L g qp ( s )u p ( s )
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
6.2 极点配置
6.2.1 极点配臵定理 定理 6.2.1 给定系统
:
& x Ax Bu y Cx Du
u v kx
任意配臵极点的充
通过状态反馈
要条件 完全能控。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
T
• 即 rankQO n是式(4)极点可任意配臵的主 要条件.也就是式(3)G存在的充要条件. • 而
C CA n rankQO rank n 1 CA
• 恰好是系统(1)可观测的充要条件.
• 从而
x Ax Bu y Cx
• 估计的模型
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu G ( y Cx) ˆ ( A GC ) x Bu Gy
(2)
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 e x x 则 ˆ
ˆ e x x ( A GC )e 显然误差e的特性是由
三.状态观测器 • 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题. • 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值. • 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
( A k T C )T 和 A k T C • 而
的特征值是相同的, • 故而 det[sI ( AT CT k )] det[sI ( A k T C )]
• 而方程(3)的特征方程为 det[sI-(A-GC)] • 从而只要 G k ,即若定义 r G z ,则.方 程(4)经过状态反馈后的(5)式,其特征值与 式(3)相同.
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使
e
t t1
0, t1 足够地小,从而G的选择也是使
A-GC的特征根按要求放在合适的位臵上.
(2).状态观测器极点配臵的充分必要条件. • 考虑极点配臵后的方程是.
ˆ ˆ x ( A GC ) x Bu Gy (3)
• 问题可转化为,方程(3)的原系统满足何种 条件时,方程(3)中的极点才可任意配 臵,(实际上是仿照极点配臵的方法). • 或者说是构造一个系统使得经过状态反馈 后,则特征根是由A-GC所决定的.
T T
• 因此可以认为式(4)是(3)的一个原系统,这 样式(4)极点配臵的条件即是式(3)G存在的 条件.
• 显然对式(4)而言,极点可任意配臵的充要条 件是:
rank[C T , AT C T ,,( AT )n1 C T ] n
上式左边 rank[C T , (CA)T , , (CAn 1 )T ] C CA rankQOT rankQO 右边 n rank n 1 CA
• 即
g11 y( s) O
g 22
O u ( s) g pp
• 实现这一目的称为系统解耦. • 显然解耦后的传函阵是对角形且上式 ˆ x ( A Bk ) x Bke Bv (1) • 且 e ( A GC)e (2)
• 由(1)和(2)得
Bk x B x A Bk e 0 e 0 v A GC x y C 0 e
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述: 1).状态反馈. 2).极点配臵. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈 • 对于方程
x Ax Bu y Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
(4).根据给定的一组任意特征值 1 , 2 ,, n 计算式
f ( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) n n 1 n2 an 1 an 2 a1 a0
(5).令 f ( ) f ( ) ,并使对应幂次的系数相等,则可得 到n个关于 k1 , k2 ,, kn 为未知数的方程组. (6).解上述方程组得到 k1 , k2 ,, kn 从而得 k [k1 , k2 ,, kn ]
二.极点配臵(仅讨论单输入/单输出系统) 1.什么是极点配臵.
• 如果 k [( A Bk ), B, C ] 的全部(n个)极点可以通 过选择状态反馈矩阵k的各元素而移至S平 面任意指定的位臵,称该系统是极点可任意 配臵的。
2.极点配臵条件
• 若被控系统 0 ( A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配臵的,或者 说,能使闭环系统极点任意配臵的条件是被 控系统完全可控.
x Ax Bu y Cx
的传函阵
G(s) C ( sI A)1 B
• 即
• 则
y C (sI A)1 Bu G(s)u
G R p p
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g1 p ( s )u p ( s ) y ( s ) g ( s )u ( s ) g ( s )u ( s ) p1 1 pp p p
• 考察
x Ax Bu y Cx
z AT z C T 的对偶系统 n BT z
(4)
且定义 v=r-Kz • 则
z ( AT C T k ) z C T r n BT z (5)
• 注意到 AT CT k ( A k T C )T
• 即每一个输出由多个输入控制,每一个输入 也影响多个输出,这种现象称为耦合.
• 因此希望,当u=v-kx使得一个输出只受一个 输入控制.同时一个输入也只能控制一个输 出, • 即 y ( s ) g ( s )u ( s )
1 11 1 y ( s ) g ( s )u ( s ) 2 22 2 y p ( s ) g pp ( s )u p ( s )
• 该式说明.状态反馈增益K和状态观测器增 益G将只能影响彼此的系统,即K影响 ∑(A,B,C)即G影响观测器本身,这意味着极 点配臵和观测器设计是相互独立的,它们可 以分别进行设计,设计完后再合并成一个系 统,这种特性称为分离特性.
六、用状态反馈实现解耦 • 考虑∑(A,B,C),设 x Rnn , u R p1 , y R p1且p n • 从而
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配臵所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
3.极点配臵的设计方法
(1).对∑(A,B,C)进行可控性检查. (2).将 k [k1 , k2 ,, kn ]代入式A-Bk (3).求出det(A-Bk)得到关于 k1 , k2 ,, kn 的特征 式,f(λ)=det(A-Bk)
• 由于输出中总是为部分原系统状态变量的线 性组合，因此可用输出来代替部分状态，可 以证明如下结论。
• 若系统可观且 rankC m，则原系统的 m 个状态可用输出 来表示。而其余的 m y n
个状态则需要用估计器进行估计，从而
估计器的状态是 n m 个而 n m n ，因
此称这种估计器是降维估计器。
x Ax Br y Cx
• A 是满足要求的方阵
• 若u=f(r,x)或u=r-kx则
x ( A kB) x Br y Cx
(1)
• 从而 A A kB 显然调整k可以得到合适的 A
• 实际上,由于A决定了系统的特征值或系统 的极点位臵,因此通过调整k,可以使A的极 点位臵按要求进行变化,即其极点位臵由 A 决定,这是状态反馈的重要意义和研究目的. • 现在的问题是:系统应满足什么条件,系统 的极点可任意地改变或任意地配臵到S平面 的任意位臵,总而言之即极点任意配臵.
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
T
• 即 rankQO n是式(4)极点可任意配臵的主 要条件.也就是式(3)G存在的充要条件. • 而
C CA n rankQO rank n 1 CA
• 恰好是系统(1)可观测的充要条件.
• 从而
x Ax Bu y Cx
• 估计的模型
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu G ( y Cx) ˆ ( A GC ) x Bu Gy
(2)
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 e x x 则 ˆ
ˆ e x x ( A GC )e 显然误差e的特性是由
三.状态观测器 • 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题. • 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值. • 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
( A k T C )T 和 A k T C • 而
的特征值是相同的, • 故而 det[sI ( AT CT k )] det[sI ( A k T C )]
• 而方程(3)的特征方程为 det[sI-(A-GC)] • 从而只要 G k ,即若定义 r G z ,则.方 程(4)经过状态反馈后的(5)式,其特征值与 式(3)相同.
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使
e
t t1
0, t1 足够地小,从而G的选择也是使
A-GC的特征根按要求放在合适的位臵上.
(2).状态观测器极点配臵的充分必要条件. • 考虑极点配臵后的方程是.
ˆ ˆ x ( A GC ) x Bu Gy (3)
• 问题可转化为,方程(3)的原系统满足何种 条件时,方程(3)中的极点才可任意配 臵,(实际上是仿照极点配臵的方法). • 或者说是构造一个系统使得经过状态反馈 后,则特征根是由A-GC所决定的.
T T
• 因此可以认为式(4)是(3)的一个原系统,这 样式(4)极点配臵的条件即是式(3)G存在的 条件.
• 显然对式(4)而言,极点可任意配臵的充要条 件是:
rank[C T , AT C T ,,( AT )n1 C T ] n
上式左边 rank[C T , (CA)T , , (CAn 1 )T ] C CA rankQOT rankQO 右边 n rank n 1 CA
• 即
g11 y( s) O
g 22
O u ( s) g pp
• 实现这一目的称为系统解耦. • 显然解耦后的传函阵是对角形且上式 ˆ x ( A Bk ) x Bke Bv (1) • 且 e ( A GC)e (2)
• 由(1)和(2)得
Bk x B x A Bk e 0 e 0 v A GC x y C 0 e
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述: 1).状态反馈. 2).极点配臵. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈 • 对于方程
x Ax Bu y Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
(4).根据给定的一组任意特征值 1 , 2 ,, n 计算式
f ( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) n n 1 n2 an 1 an 2 a1 a0
(5).令 f ( ) f ( ) ,并使对应幂次的系数相等,则可得 到n个关于 k1 , k2 ,, kn 为未知数的方程组. (6).解上述方程组得到 k1 , k2 ,, kn 从而得 k [k1 , k2 ,, kn ]
二.极点配臵(仅讨论单输入/单输出系统) 1.什么是极点配臵.
• 如果 k [( A Bk ), B, C ] 的全部(n个)极点可以通 过选择状态反馈矩阵k的各元素而移至S平 面任意指定的位臵,称该系统是极点可任意 配臵的。
2.极点配臵条件
• 若被控系统 0 ( A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配臵的,或者 说,能使闭环系统极点任意配臵的条件是被 控系统完全可控.
x Ax Bu y Cx
的传函阵
G(s) C ( sI A)1 B
• 即
• 则
y C (sI A)1 Bu G(s)u
G R p p
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g1 p ( s )u p ( s ) y ( s ) g ( s )u ( s ) g ( s )u ( s ) p1 1 pp p p
• 考察
x Ax Bu y Cx
z AT z C T 的对偶系统 n BT z
(4)
且定义 v=r-Kz • 则
z ( AT C T k ) z C T r n BT z (5)
• 注意到 AT CT k ( A k T C )T
• 即每一个输出由多个输入控制,每一个输入 也影响多个输出,这种现象称为耦合.
• 因此希望,当u=v-kx使得一个输出只受一个 输入控制.同时一个输入也只能控制一个输 出, • 即 y ( s ) g ( s )u ( s )
1 11 1 y ( s ) g ( s )u ( s ) 2 22 2 y p ( s ) g pp ( s )u p ( s )
• 该式说明.状态反馈增益K和状态观测器增 益G将只能影响彼此的系统,即K影响 ∑(A,B,C)即G影响观测器本身,这意味着极 点配臵和观测器设计是相互独立的,它们可 以分别进行设计,设计完后再合并成一个系 统,这种特性称为分离特性.
六、用状态反馈实现解耦 • 考虑∑(A,B,C),设 x Rnn , u R p1 , y R p1且p n • 从而
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配臵所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
3.极点配臵的设计方法
(1).对∑(A,B,C)进行可控性检查. (2).将 k [k1 , k2 ,, kn ]代入式A-Bk (3).求出det(A-Bk)得到关于 k1 , k2 ,, kn 的特征 式,f(λ)=det(A-Bk)
• 由于输出中总是为部分原系统状态变量的线 性组合，因此可用输出来代替部分状态，可 以证明如下结论。
• 若系统可观且 rankC m，则原系统的 m 个状态可用输出 来表示。而其余的 m y n
个状态则需要用估计器进行估计，从而
估计器的状态是 n m 个而 n m n ，因
此称这种估计器是降维估计器。
x Ax Br y Cx
• A 是满足要求的方阵
• 若u=f(r,x)或u=r-kx则
x ( A kB) x Br y Cx
(1)
• 从而 A A kB 显然调整k可以得到合适的 A
• 实际上,由于A决定了系统的特征值或系统 的极点位臵,因此通过调整k,可以使A的极 点位臵按要求进行变化,即其极点位臵由 A 决定,这是状态反馈的重要意义和研究目的. • 现在的问题是:系统应满足什么条件,系统 的极点可任意地改变或任意地配臵到S平面 的任意位臵,总而言之即极点任意配臵.