状态反馈和状态观测器
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
第六章状态反馈与状态观测器
y 0 1x
1）判断原系统的能控性，能观性。 0 1 rankb Ab rank 2 能控 1 0
C 0 1 rank rank 2 CA 1 0
能观
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6.1 状态反馈和输出反馈
2）引入状态反馈： u v Kx
则： x ( A bK ) x bV 可得：
Modern Control Theory
第六章
状态反馈和状态观测器
1
第六章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
16
6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环系统的 极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获 得所希望的动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件 是：此被控系统状态完全能控。
不改变 系统的 能控性 和能观 性
状态反馈 — 效果佳
都不改变 系统维数 （因为两种 反馈形式均 输出反馈 — 实现方便 但能力有限
未增加新的 状态变量）
15
6.2 极点配置问题
• 系统性能：稳态性能和动态性能
– 稳态性能：稳定性、静态误差 – 动态性能：调节时间、响应速度...
• 影响系统稳定性、动态性能的因素：
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
状态反馈和状态观测器
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。 [解]： （1）先判断该系统的能控性
20112011-4-20 9
0 rank[Qc ] = rank[ B M AB M A2 B ] = rank 0 1
0 1 −6
1 − 6 = 3 31
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 （2）计算闭环系统的特征多项式 设状态反馈增益矩阵为：K = [k1 k 2 k 3 ]
期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标： 如超调量 M p % 和调整时间 t s 等）
α i*还可以由期望闭环传递函数得到：
β n −1 s n −1 + β n − 2 s n − 2 + L + β 1 s + β 0 G( s) = * * * s n + α n −1 s n − 1 + L + α 1 s + α 0
−1 0 0 & x= x + 1 u 0 2
[解]： （1）先判断该系统的能控性 由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。 (2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
20112011-4-20 11
λ − 2 + k2 从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
输出反馈控制规律： u = v − Hy
& x = ( A − BHC ) x + Bv 输出反馈系统状态空间描述为： y = Cx
20112011-4-20 5
h11 h 输出反馈增益矩阵： H = M21 hr 1
h12 L h1m h22 L h2 m M M hr 2 L hrm
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。
状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。
状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。
本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。
一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。
其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。
2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。
3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。
状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。
二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。
其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。
3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。
状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计 解 (1)系统的能控矩阵
因为rankUc=2,所以系统是能控的。 故可以通过状态反馈实现闭环系统极点的任意配置
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计 (2)期望闭环极点配置在-1,-2,由
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计
第13章 线性定常系统的状态反馈 和状态观测器设计
13.1 状态反馈与输出反馈 13.2 闭环系统的极点配置 13.3 状态观测器的设计
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计
13.1 状态反馈与输出反馈
13.1.1 状态反馈 状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈
得 (3)求状态反馈增益矩阵k,则
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计 (4)状态反馈系统模拟结构图如图13-4所示。
图13-4 状态反馈系统模拟结构图
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计
2.方法二 求解实际问题的状态反馈增益矩阵k 的步骤为: (1)计算能控性矩阵Uc,判断系统是否能控; (2)根据闭环系统的期望极点计算系统的期望特征多项 式:
13.4 带观测器的状态反馈系统
13.4.1 系统的结构和状态空间表达式 带观测器的状态反馈系统由三部分组成,即原系统、观
测器和控制器,如图13-7所示。
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计
图13-7 带状态观测器的反馈系统
第13章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计 设能控能观测的受控系统为
绍,下面就其特点和应用方面略加讨论。 (1)状态反馈与输出反馈的共同特点是:反馈的引入并不
北航_自控实验报告_状态反馈和状态观测器
北航_自控实验报告_状态反馈和状态观测器摘要：本实验通过对一个质点的运动进行实时控制的实验研究，了解了状态反馈和状态观测器的原理和应用。
通过实验验证了状态反馈和状态观测器在控制系统中的重要性和有效性。
1引言状态反馈和状态观测器是控制系统中常用的两种控制方法，可以实现对系统状态的准确估计和实时控制。
在实际控制应用中，状态反馈和状态观测器广泛应用于电力系统、轨道交通系统等领域。
本实验通过对一个质点运动的控制，以实验方式掌握状态反馈和状态观测器的原理和应用。
2实验目的2.1理解状态反馈和状态观测器的原理；2.2 学会使用Matlab编程实现状态反馈和状态观测器；2.3通过实验验证状态反馈和状态观测器的有效性。
3实验内容与方法3.1实验设备本实验所需设备和材料有：计算机、Matlab软件。
3.2系统建模通过对质点的运动进行建模，得到系统的状态空间方程，用于状态反馈和状态观测器的设计。
3.3状态反馈设计根据系统建模和状态反馈的原理，设计状态反馈控制器，并进行仿真实验。
3.4状态观测器设计根据系统建模和状态观测器的原理，设计状态观测器，并进行仿真实验。
4实验结果与分析4.1状态反馈实验结果在进行状态反馈实验时，观察到质点运动的稳定性得到了明显提高，达到了预期的控制效果。
4.2状态观测器实验结果在进行状态观测器实验时，观察到对系统状态的估计准确性得到了明显提高，状态观测器的设计能够很好地预测系统状态变化。
5结论本实验通过对一个质点运动进行实时控制的实验研究，学习并实践了状态反馈和状态观测器的原理和应用。
通过实验验证了状态反馈和状态观测器在控制系统中的重要性和有效性。
实验结果表明，状态反馈和状态观测器能够有效改善系统的稳定性和估计准确性，达到了实时控制的目的。
[1]袁永安.现代控制理论与技术[M].北京：中国电力出版社。
[2]何国平，刘德海.控制系统设计与应用[M].北京：中国电力出版社。
[3]王晓红.状态反馈和状态观测在电力系统控制中的应用[J].电网技术，2024。
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闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0 ( A, B,C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B,C ) 状态完全能控。
注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。
Bv Dv
k11 k12 k1n
反馈增益矩阵： K k21
k22
k2
n
kr
1
kr 2
krn
K维数是r n
一般D=0，可化简为：
x y
(A Cx
BK
)x
Bv
状态反馈闭环系统表示： k ( A BK , B,C )
状态反馈闭环传递函数矩阵为： Gk (s) C[sI ( A BK )]1 B 状态反馈系统的特征方程为： I (A BK) 0
[解]： （1）先判断该系统的能控性
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0 rank[Qc ] rank[ B AB A2B ] rank0
1
0 1
1
6 3
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该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0
0 0
1、极点配置算法
1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
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(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：f () det[I ( A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f
* (
)
（
即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。
结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。
结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可
观测性。
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将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入 端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
D
v
x
x
ym1
u
B
C
A
K rn
原受控系统
0
(
A,
B,C )：
x
y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
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状态反馈闭环系统：
x y
(A (C
BK )x DK ) x
x&
1
0
0 2
x
0 1
u
[解]： （1）先判断该系统的能控性
由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。
Hale Waihona Puke (2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
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1 0
f ( ) det[I ( A BK )]
k1
2 k2 ( 1)( 2 k2 )
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二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈）
将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）
v
x
u B
x
C
ym1
A
H rm
原受控系统
0
(
A,
B,
C
)：
x y
Ax Cx
Bu Du
输出反馈控制规律：u v Hy
输出反馈系统状态空间描述为：
1
0 0
f () | I A BK | 0
0
0
0
1
0
[k1
k2
k3 ]
0
0
1 5 6 1
1 0
0 1
3 (6 k3) 2 (5 k2 ) 1 k1
1 k1 5 k2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f *( ) ( 2 4 j)( 2 4 j)( 10) 3 142 60 200
x y
(A Cx
BHC ) x
Bv
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h11 h12
输出反馈增益矩阵： H h21 h22
hr1 hr 2
h1m
h2
m
hrm
闭环传递函数矩阵为： GH (s) C[sI ( A BHC )]1 B
结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。
即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，
三、输出到状态微分的反馈
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。
u
x
B
x
C
ym1
A
H nm
原受控系统
0
(
A,
B,
C
)：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈系统状态空间描述为：
x y
(A Cx
HC)
x
Bu
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四、状态反馈极点配置条件和算法
1（)
2
)L（
n
)
n
n1
n1
L
1
0
(4)由 f ( ) f *( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
[例1] 考虑线性定常系统 x& Ax Bu, y Cx
0
1
0
0
其中： A 0
0
1
,
B 0 ,
C 1
0
0
1 5 6
1
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。
第五章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题 3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统
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第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈与输出反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性
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反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） 一、状态反馈
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（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得 6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200 求得： k1 199, k2 55, k3 8
所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响
从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控 部分状态，不能任意配置其极点。
2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3） 求 f () | I (A BK) |将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。
1、首先将原系统 (A, B,C) 化为第二能控标准型 (A, B,C )
2、求出在第二能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K
3、求出在原系统的状态 x 下的状态反馈矩阵 K KPc21