第六章_状态反馈和状态观测器1

[A-bK]仍为能控标准形，所以只要开环能控，组成状态反馈 系统后仍然能控。
闭环特征多项式： I （A bK） n (an1 kn1 )n-1 ... a0 k0 0
例：设系统的状态空间表达式为
1 2 0 x x u 3 1 1 y 1 2x
s (an1 kn1 )s (a1 k1 )s (a0 k0 ) 0
n
n1
假设闭环系统希望的极点为 ( , ) 1 2 n
希望的特征方程为： ( s 1 )(s 2 )(s 3 ) ( s n ) s n rn 1s n 1 r0 0
K k1 k2
1 k2 k1 k2 2 k1 1 BK k1 k2 ，A BK 2 2k1 2k2 1 2k1 1 2k2
则状态反馈闭环系统的特征多项式为
sI ( A BK )
0
K1
0 K n 1
0 1 0 0 0 0 1 [A bK ] 1 (a n 1 K n 1 ) (a 0 K 0 ) (a 1 K 1 )
0 b 0 1
实际系统与希望系统的特征方程的系数应当相一致。
3、状态反馈阵K的计算步骤
1）判断A，b能控性 2）写出实际的闭环特征方程（传递阵的分母为0的方程）
SI [A bK] 0
3）根据要配置的特征根，写出希望的特征方程
f (s) (s 1 )(s n ) 0
4）对应实际的与希望的特征方程，求出K。 传递函数—可控标准型—极点配置； 状态方程—可控性判别—极点直接配置（A-BK）； 状态方程—可控性判别—线性变换—可控标准型—极点配置 逆变换—
而希望的特征多项式为 所以
K k1 k2 4 1
x2 (t ) x1 (t )
由K可画出状态反馈闭环系统的结构图
r (t )
u (t )
2

1

2 1
y (t )
1
4
例：设传递函数为：
G(s)
10 10 3 s( s 1)( s 2) s 3s 2 2s
式中，A为n×n矩阵；B为n×r矩阵；C为m×n矩阵。 状态反馈控制律为
u r Kx
式中，r为r×1参考输入；K为r×n状态反馈阵。对单输入系统，K为1×n的 行向量。 状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
( A BK ) x Br x
简记为 K ( A BK ), B, C 。该系统的闭环传递函数阵为
r (t )
u (t )

B
(t ) x

A H
x(t )
C
y (t )
图中受控系统的状态空间表达式为 0 ( A, B, C )的状态空间表达式为
Ax Bu x y Cx
输出反馈控制律为
u r Hy
式中，H为r×m输出反馈阵。对单输出系统，H为r×1的列向量。 输出反馈闭环系统的状态空间表达式为
s 2 k1 1 2k1
1 k2 s 1 2k 2

s 2 (3 k1 2k 2 ) s (2 k1 )( 1 2k2 ) (1 2k1 )( 1 k2 )
(s 1)( s 2) s 2 3s 2 令以上两个特征多项式相等，可解得： k1 4, k2 1
K 10000 1438 96.1
闭环传递函数：
( s )
AV Y( s ) 3 U ( s) s 114.1s 2 1510s 10000
1 ( s ) 则稳态误差：eP lim s(U ( s) Y ( s)) lim s( )0 s 0 s 0 s s AV 10000
y 10 0 0x
I （A bK） 3 (3 k 2 )2 (2 k1 ) k0
( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 42 6 4
则 k0 4，k1 4，k2 1
4）闭环传递函数为：
10 ( s) 3 s 4s 2 6s 4
6.2
极点配置
控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点的分布。因此 在进行系统设计时，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点应有 的位置。所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统 的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。
6.2.1 状态反馈极点配置 1、极点配置定理
( A BHC ) x Br x y Cx
简记为 H ( A BHC ), B, C 。该系统的闭环传递函数阵为
GH ( s) C sI A BHC B
1
经过输出反馈后，闭环系统同样没有引入新的状态变量，仅仅是系统矩 阵A变成了( A BHC )。比较这两种反馈形式，若令 K HC ， 则 Kx HCx Hy 。因此输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况。 6.1.3 闭环系统的能控性和能观测性 上述两种反馈控制，其闭环系统的能控性和能观测性相对于原受控系统 来说，是否发生变化，是关系到能否实现状态控制和状态观测的重要问题。 定理1：状态反馈不改变受控系统 0 ( A, B, C ) 的能控性，但却不一定保持系 统的能观测性。 定理2：输出反馈系统不改变原受控系统 0的能控性和能观测性。
s1， 2 0.707 j7.07
3
非主导极点为： s
10n，取s3 100
闭环特征多项式为：
( 100)(2 14.1 100) 3 114.12 1510 10000
原系统的特征多项式为：3
182 72 0
则 k0 10000，k1 1438，k2 96.1
例：设受控系统传递函数为：
1 1 G( s) 3 s( s 6)( s 12) s 18s 2 72s 综合指标为： % 5%；t S 0.5s，e p 0, 试用状态反馈实现上述指标。
解：将极点配置为一对主导极点和一个非主导极点；根据二阶 系统的性能指标，求出 0.707，n 10。取 0.707，n 10 则，主导极点为：
试用状态反馈使闭环极点配置在 2， 1 j，并写出闭环传递函数。
解：1）根据传递函数，可知SISO系统可控可观； 2） 可控标准型动态方程为：
0 0 0 1 x u, 0 0 x 1 0 0 2 3 1
3）闭环特征多项式为：
第六章 状态反馈和状态观测器
6.1 状态反馈和输出反馈
6.2 极点配置问题
6.3 状态观测器
6.4 带状态观测器的状态反馈系统
在自动控制系统中，反馈控制是最主要的控ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方式，状态空间设计也不 例外。因此本章主要讨论在状态空间设计中两种常用的设计方法：状态反馈 和输出反馈。
6.1
6.1.1 状态反馈
状态反馈和输出反馈
（2）输出反馈至参考输入，系统的结构图如下
r (t ) u (t )

B
(t ) x

A
H
x(t )
C
y (t )
其中
u r Hy
( A BHC ) x Br x y Cx
则输出反馈闭环系统的状态空间表达式为
定理：对完全能控的受控系统（A,B,C），不能采用输出线性反馈来实现闭 环极点的任意配置。
例：已知系统的状态空间表达式为
2 1 1 x x u 1 1 2 y 1 0x
试求使状态反馈系统具有极点为-1和-2的状态反馈阵K。
解：因为
rank B
1 4 AB rank 2n 2 1
所以原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。设


A H
x(t )
C
y (t )
该受控系统的状态空间表达式为
Ax Bu x y Cx
则输出反馈闭环系统为
Ax Bu Hy x y Cx
即
( A HC ) x Bu x y Cx
定理：采用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件是：受控 系统状态完全能观测。
试分析系统引入状态反馈 K 3 1 后的能控性和能观测性。
解：容易判断原系统是能控且能观测的。引入 K 3 1后，闭环系统 K 的状态空间表达式为
1 x 0 y 1
2 0 x r 0 1
2x
不难判断，系统 K 是能控的，但不是能观测的。可见引入状态反馈 K 3 1 后，闭环系统保持了能控性不变，而不能保持能观测性。
y Cx
GK ( s) CsI ( A BK ) B
1
经过状态反馈后，系数矩阵C和B没有变化，仅仅是系统矩阵A发生了变 化，变成了 ( A BK )。也就是说状态反馈矩阵K的引入，没有增加新的状态 变量，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统达到所要求的性能。 6.1.2 输出反馈 输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端， 构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈 就是这种反馈，其结构图如下 ：
定理：受控系统 0 ( A, B, C ) 利用状态反馈矩阵K，能使其闭环极点任意配置 的充要条件是受控系统0 完全能控。
2、极点配置方法 一个系统完全能控条件下，状态反馈阵K如何确定。
开环系统的特征方程： s n an1s n1 a1s a0 0