公式法解一元二次方程.3 用公式法求解一元二次方程(第一课时)教学设计 (新版)北师大版
北师大版九年级上册3用公式法求解一元二次方程课程设计
北师大版九年级上册3用公式法求解一元二次方程课程设计一、设计背景一元二次方程是初中数学中重要的一章内容，对于学生而言，熟练掌握一元二次方程的解法有助于提高数学素养。
但是，对于公式法求解一元二次方程，学生可能会存在一些困难，在这里我们推出一种新的教学模式——用公式法求解一元二次方程课程设计。
二、教学目标•通过学习本课程设计，学生将掌握使用公式法求解一元二次方程的方法；•了解一元二次方程的基本概念，掌握基本的求解方法；•掌握一元二次方程在实际问题中的应用。
三、教学内容1. 一元二次方程基本概念•一元二次方程的概念；•一元二次方程的标准形式；•一元二次方程的常见求解方法。
2. 用公式法解一元二次方程•使用一元二次方程求根公式求解一元二次方程。
3. 一元二次方程的应用•题目讲解。
四、教学方法•通过讲解的方式教授一元二次方程的基本概念；•通过讲解的方式详解公式法求解一元二次方程的具体步骤；•通过题目讲解的方式演示一元二次方程的应用；•通过课堂练习的方式加强学生的记忆和巩固。
五、教学步骤1. 导入环节本节课主要内容为用公式法求解一元二次方程。
首先，可以通过举例子的方式介绍一元二次方程及其在实际生活中的应用，引起学生们的兴趣。
2. 正文环节（1）一元二次方程基本概念可以先介绍一元二次方程的概念，及一些基本的概念和表示方法，如下：•一元二次方程：形如ax2+bx+c=0的方程，其中a,b,c均为实数，且a e0。
•标准形式：ax2+bx+c=0，其中a,b,c均为实数，且a e0。
（2）用公式法解一元二次方程介绍公式法求解一元二次方程的具体步骤：•先计算b2−4ac的值，记为 $\\Delta$；•如果 $\\Delta<0$，则该方程无实数解；•如果 $\\Delta>0$，则该方程有两个实数解：$x_1=\\frac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ 和 $x_2=\\frac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}$；•如果 $\\Delta=0$，则该方程有唯一的实数解：$x=\\frac{-b}{2a}$。
初中数学_用公式法求解一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思精选全文
可编辑修改精选全文完整版九年级上第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】多媒体出示问题：1、我们把__ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数．2、把下列方程化为一般形式，并填表方程 a b c处理方式：教师用多媒体出示问题，引导学生阅读后填空，然后让学生说一说用配方法解方程的步骤．针对学生的基本学情，从一元二次方程的基本概念引入，复习abc的取值，并回忆归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.活动二：实践探究交流新知活动内容2：(多媒体出示)教师：提出问题：用配方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．学生在演算纸上自主推导，并针对自己推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式．解：移项，得ax2＋bx＝－c.二次项系数化为1，得x2＋ba x＝－ca.配方，得x2＋ba x＋⎝⎛⎭⎫b2a2＝－ca＋⎝⎛⎭⎫b2a2，即⎝⎛⎭⎫x＋b2a2＝b2－4ac4a2.(提示：这时能不能开方解方程？为什么？进而引导学生讨论b2－4ac的值对解方程的影响)当b2－4ac＞0时，直接开平方，得x＋b2a＝±b2－4ac2a，即x＝－b±b2－4ac2a，∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．把握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，掌握推导过程的关键是掌握配方法．让学生自主探索一元二次方程的求根公式，一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过教师引导，学生将会印象深刻，有助于理解求根公式．只有亲身经历公式的推导过程，才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识．才能在集体交流的时候，有感而发．处理方式：例题教师板演，练习学生到黑板上板演。
数学《用公式法解一元二次方程》教案
数学《用公式法解一元二次方程》教案教学目标：1.掌握二次方程的概念和基本形式。
2.掌握用公式法解一元二次方程的步骤和方法。
3.培养学生独立解决问题的能力。
教学重点：1.用公式法解一元二次方程的方法。
2.培养学生的思维能力。
教学难点：1.理解二次方程的本质。
2.掌握公式法解二次方程的方法。
教学准备：1.黑板、粉笔、草稿纸、尺子等。
2.教学课件和教学视频。
教学过程：Step 1 引入新知二次方程概念及基本形式1.请同学们回忆一下关于方程的知识，存在的意义是什么？2.初步定义二次方程：含有未知数的二次方的方程被称为二次方程。
3.请同学们熟悉二次方程的基本形式：ax²+bx+c=0 (其中a≠0)Step 2 用公式法解一元二次方程1. 引导同学们发掘出解一元二次方程的公式-x1=-b+√(b²-4ac)/2a，x2=-b-√(b²-4ac)/2a。
2.解释公式的含义：通过计算，我们可以求出二次方程的两个解，也就是方程的两个根。
3.请同学们举例说明如何用公式法解一元二次方程。
4.当 b²-4ac=0 时，x1=x2=-b/2a，这个式子大家应该知道，它的意思是“根相等”，请举例说明。
Step 3 通过例题训练能力1.请同学们分组，自行完成以下二次方程的求解：[1] x²-5x+6=0；[2] 3x²-5x+2=0；[3] 5x²-2x-1=0。
2.请同学们互相交流讨论，然后用课本提供的答案核对。
Step 4 课堂总结1.请同学们谈谈对本节课所学内容的理解，以及对解一元二次方程的方法有哪些拓展和应用。
2.出示题目：已知一个矩形长和宽均为a，若面积为S，请问矩形的对角线长是多少？3.引导同学们思考，建立方程并通过解方程来得出答案。
Step 5 课后作业1.完成课后练习题。
2.自行选择几个实际问题，建立相关方程并通过解方程来得出答案。
3.扩展阅读本章相关内容，为下一次课的学习做准备。
用公式法求解一元二次方程(第一课时)
以上这个公式叫做一元二次方程的求根公式，应用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
【新知归结1】
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，应用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.
【例题精讲】
A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
4．关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，那么k可取的最大整数为〔 〕
A．6 B．5 C．4 D．3
5．三角形的两边长区分为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，那么这个三角形的周长为〔 〕
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
6．定义：假设一元二 次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为〝凤凰〞方程．ax2+bx+c=0〔a≠0〕是〝凤凰〞方程，且有两个相等的实数根，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
7.假定关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么一次函数 的大致图象能够是〔 〕
【例题精讲】
例2：不解方程判别以下方程的根的状况.
(1)x - 6x + 1 = 0；(2)2x – x + 2 = 0；
(3)9x + 12x + 4 = 0；
【新知归结3】
根的判别式运用方法
1、化为普通式，确定a,b,c的值.
2、计算 的值，确定 的符号
3.判别根的状况，得出结论.
【例题精讲】
用公式法求解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
用公式法求解一元二次方程+教学设计
课题 2.3用公式法求解一元二次方程课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解求根公式的推导过程;(2)使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.2.过程与方法(1)通过由配方法推导求根公式,培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.(2)结合使用求根公式解一元二次方程的练习,培养学生运用公式解决问题的能力,全面培养学生解方程的能力,使学生解方程的能力得到切实的提高.3.情感、态度与价值观让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感.教学重难点重点:(1)掌握公式法解一元二次方程的一般步骤.(2)熟练地用求根公式解一元二次方程.难点:用求根公式解一元二次方程的方法.教学活动设计复备课堂导入用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x;(2)3x2+2x+1=0.要求用配方法求解,并写出配方法的一般步骤.学生板演解题过程.探索新知合作探究自学指导你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生尝试用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),两名学生当堂板演.板演完成后,让其他学生纠错,得到正确答案x=-b±√b2-4ac2a.合作探究提问,引发学生思考:经过化简、移项、配方、变形,我们将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化成了x+b2a2=b2-4ac4a2,此时可以直接开平方吗?需要注意什么?等号右边的值有可能为负吗?说明什么?小组交流、讨论,达成共识,最终总结出:只有在b2-4ac≥0时,原方程才有实数解,解的多少与方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a,b,c 的大小有关,只要将a,b,c 的值代入公式x=-b±√b 2-4ac2a就得到了方程的解,这个公式就称为“求根公式”.利用这个公式解一元二次方程就叫做公式法. 课件出示例题:【例】 解方程:(1)5x 2-4x-12=0;(2)4x 2+1=4x.例题讲解后,让学生根据例题自己总结出用求根公式解方程的一般步骤, 指名让学生来回答.教师根据学生的回答,小结出“五步法”: 步骤一:把方程化成一般形式; 步骤二:写出a,b,c 的值; 步骤三:求出b 2-4ac 的值; 步骤四:代入求根公式x=-b±√b 2-4ac2a(a ≠0,b 2-4ac ≥0);步骤五:写出方程的解.探索新知 合作探究 教师指导 1.易错点:(1)不能主动意识到只有当b 2-4ac ≥0时,两边才能开平方; (2)两边开平方,忽略取“±”. 2.归纳小结:对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0),式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c = 0(a ≠0)根的判别式,通常用字母 “Δ” 表示。
《公式法解一元二次方程》教案3
《公式法解一元二次方程》教案3安福县城关中学曹经富教学设计说明：根据教材的特点，把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的.（1）教材分析“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华.（2）学情分析学生的知识技能基础：学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、一次函数以及二次根式的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程和判别式，培养数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想.2. 能够根据方程的各项系数，判断出方程的根的情况，并能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程.3.结合用公式法解一元二次方程的练习，培养快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力.4.体验到所有的一元二次方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识.教学重点、难点教学重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力.关键是由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，通过自学让学生主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位.通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识.教学难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解b2-4ac判别式对一元二次方程根的影响和应用.关键是在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式和灵活运用根的判别式课时设计一课时.教学策略整节课以“复习回顾——自学提要——分析探究——学以致用——总结升华”为主线，使学生亲身体验求根公式的探索过程，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间.教学过程一 复习回顾1、一元二次方程 的一般形式是 .2、方程2410x -+= 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3、若方程（x —1）2= -9，则此方程 .4、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）2x 2-8x -9=0答案：1. ax 2+bx +c =0(a≠0) 2.4 - 1 3.无实数解4.（1）移项，得：6x 2-7x =-1 二次项系数化为1，得：x 2-76x =-16配方，得：x 2-76x +（712）2=-16+（712）2即 （x -712）2=25144，x -712=±512x 1=512+712=7512+=1 x 2=-512+712=7512-=16（2）二次项系数化为1得x 2-4x -92=0； 移项x 2-4x =92；配方x 2-4x +22=92+4；（x -2）2=172，x -2或x ；解得x 1，x 2=【设计意图】复习一般式的化简以及系数的区分，为公式法的推导铺垫，其次利用所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备.二 自学指导阅读课本，并思考：1、用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)2、什么叫做根的判别式？3、满足什么条件时一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的数根？两个相等的实数根？没有实数根？4、什么是求根公式？5、用公式法解一元二次方程的一般步骤有几步？答案：1.解：20ax bx c ++=方程两边都除以a ，得:20b c x x a a ++= 配方，得：222()()22b b c b x x a a a a++=-+，即：2224()24b b ac x a a -+=当24b ac -≥0时，开平方得：2b x a +=所以方程的解是：x = 当24b ac -<0时，方程无实数根.2.一元二次方程的根的判别式一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的情况由24b ac -来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“△”表示，即△＝24b ac -.3.一般地，方程20ax bx c ++=（a ≠0）.当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.反过来，有当方程有两个不相等的实数根时，△>0；当方程有两个相等的实数根时，△＝0；当方程没有实数根时， △<0.注意：一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值范围.4. 一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式为：x =（240b ac -≥），其中公式中的a 、b 、c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法称为公式法.5.用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①首先把一元二次方程化为一般形式；②确定公式中a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值；④若24b ac -≥0，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式即可求解.当24b ac -<0时，此时方程无实数解.【设计意图】通过相关问题的自学与小组合作交流探讨，使学生认识到有的一元二次方程是没有实数根的，学生会很自然的产生为什么有的一元二次方程没有实数根的疑问，教师适时引导学生一元二次方程的根与一元二次方程什么有关系问题，从而激发学生的求知欲望. 让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.三. 分析探究【设计意图】学生对于字母的一元二次方程的一般形式用配方法解决有难度，教师可进行适当引导与点拨、提示，培养学生独立思考的能力和推导能力.四 学以致用例1：不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x =-3 （2）9x 2+6x +1=0（3）2x 2-9x +8=0 （4）x 2-7x -18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b 2-4ac 的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可.解：（1）化为16x 2+8x +3=0这里a =16，b =8，c =3，b 2-4ac =64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根.（2）a =9，b =6，c =1，b 2-4ac =36-36=0，∴方程有两个相等的实数根.（3）a =2，b =-9，c =8b 2-4ac =（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根.（4）a =1，b =-7，c =-18b 2-4ac =（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根.例2．用公式法解下列方程（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x +2=3x 2（3）4x 2-x +116=0 （4）4x 2-3x +1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可. 解：（1）a =2，b =-4，c =-1b 2-4ac =（-4）2-4×2×（-1）=24>0∴方程有两个不相等的实数根.x =(4)422242--±==⨯∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x -2=0a =3，b =-5，c =-2b 2-4ac =（-5）2-4×3×（-2）=49>0∴方程有两个不相等的实数根.x =(5)57236--±±=⨯ x 1=2，x 2=-13（3）a =4，b =-1，c =116b 2-4ac =（-1）2-4×4×116=0 ∴方程有两个相等的实数根.∴x 1= x 2= (1)1248--±=⨯ （4）a =4，b =-3，c =1b 2-4ac =（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根.例3．某养鸡厂的矩形鸡舍靠墙.现在有材料可以制作竹篱笆20米，若欲围成42平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成52平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由..解：（1）设鸡舍的长为x 米，则宽为202x -米， 由题意得：x ×202x -=42， 解得：x 1=14（14＞10，故舍去），x 2=6（此时宽大于长，舍去）.即可得鸡舍的长为6m ，宽为7米.（2）由题意得：x ×202x -=52， 整理得：x 2-20x +104=0，△=400-4×104＜0，所以方程无解.故不可能围成面积为52平方米的矩形鸡舍.【设计意图】对求根公式解方程与应用作进一步深化，使不同层次的学生都有不同提高，进一步巩固本节课所学知识.五、总结升华1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明.3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况.【设计意图】采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识.回答学生在学完本课后发现的未能解决的问题及创新性问题，给学生自由思考的空间.适当给以指导，培养学生归纳和语言表达能力，从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.课后作业1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程﹣4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a =﹣4，b =5，c =3B ．a =﹣4，b =﹣5，c =3C ．a =4，b =5，c =3D ．a =4，b =﹣5，c =﹣32.方程x 2﹣3x ﹣5=0的根的情况是（ ）A 、只有一个实数根B 、有两个不相等的实根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根3.方程x 2+x ﹣1=0的根是（ ）A ．1﹣5B ．15-+C ．﹣1+5D ．15-± 4.下列方程有实数根的是（ ）A 、2501x x +=-B 、12x -=-C 、x 2﹣x +1=0D 、2x 2+x ﹣1=05.已知直角三角形的三个边长为a 、b 、c ，∠C=90°，那么关于x 的方程（a +c ）x 2﹣2bx +（c ﹣a ）=0的根的情况是（ ）A 、无实数根B 、有两个相等的实数根C 、有两个不相等的实根D 、不能确定6．已知一元二次方程2x 2﹣3x =1，则b 2﹣4ac =7.方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的判别式是 ，求根公式是8.一元二次方程x 2﹣x +4=0的解是9.用公式法解方程2x 2﹣7x+1=0，其中b 2﹣4ac = ，x 1= ，x 2=10.一元二次方程a 2﹣4a ﹣7=0的解为11.关于x 的一元二次方程﹣x 2+（2k +1）x +2﹣k 2=0有实数根，则k 的取值范围是12．解方程：(1)5x (x -3)=6-2x ; (2)3y 2+1=23y ; (3)(x -a )2=1-2a +a 2(a 是常数)13．解方程x 2=4x +2时，有一位同学解答如下：解：∵a =1，b =4，c =2，b 2﹣4ac =42﹣4×1×2=8，∴x 24b b ac -±-4822-±=-±即：即x 1=22-x 2=22-分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.14.（1）解下列方程：①x 2﹣2x ﹣2=0；②2x 2+3x ﹣1=0；③2x 2﹣4x +1=0；④x 2+6x +3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式.参考答案1.B2.B3.D4.D5.B 解：∵直角三角形的三个边长为a 、b 、c ，∠C=90°， ∴c 2=a 2+b 2①∴△=4b 2﹣4×（a +c ）（c ﹣a ）=4（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴关于x 的方程（a +c ）x 2﹣2bx +（c ﹣a ）=0有两个相等的实数根．故选B.6.177. b 2﹣4ac8. 无实数解9. 4174-10. 2+ 2 11. k ≥94-12.（1）3，25-；（2）3；（3）1，2a -113.解：有错误．没有把x 2=4x +2变成一般式，b 、c 的值是错的.正确的解题过程如下：x 2﹣4x ﹣2=0，∵a =1，b =﹣4，c =﹣2，b 2﹣4ac =（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=24＞0，∴x =2b a -＝422=-即：x 1，x 2=2.14.解：（1）①解方程x 2﹣2x ﹣2=0①，∵a =1，b =﹣2，c =﹣2，∴x 212±=∴x 1x 2=1.②解方程2x 2+3x ﹣l=0，∵a =2，b =3，c =﹣1，∴x =2b a -∴x 1=34-=，x 2=34-=.③解方程2x 2﹣4x +1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴x===，x1=，x2=.④解方程x2+6x+3=0，∵a=1，b=6，c=3，∴x===﹣3，∴x1=，x2=．（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）.一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数.∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，∴n2﹣ac≥0，∴x====∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为.板书设计教学反思1．充分利用教材，在练习题与例题的编排上打破常规，通过设置自学提要—自学—探索—归纳—总结出公式法，再让学生用求根公式解决问题，深刻地体现了新教材的课改理念.2．在学习过程中，给学生留下了很大的思维空间，通过学生自主学习，运用探索发现法，让学生积极参与自主探究，合作交流，把主体地位返还给学生.无论是公式的推导，还是公式的应用，都是在教师的引导下，学生自己完成的，教师这样做，重视了知识的形成过程，在应用中又开拓了学生的视野，使学生的发散思维与应用技巧得到了锻炼.3．在巩固新知识的阶段中，习题的编排上有梯度上，即注重了双基训练，又注重了能力的培养.使学生在掌握基础的前提下，循序渐进，步入公式的大家庭中.同时在探索升级中，进一步锻炼，培养了学生的猜想能力.。
用公式法解一元二次方程数学教案设计
用公式法解一元二次方程数学教案设计教学内容： 12.1 用公式解一元二次方程〔一〕教学目标：知识与技能目标：1．使同学了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌控一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培育同学分析问题和解决问题的技能；2．通过一元二次方程概念的学习，培育同学对概念理解的完整性和深刻性．情感与立场目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向同学渗透方程的思想方法，由此培育同学用数学的意识．，数学教案－用公式法解一元二次方程。
教学重、难点与关键：重点：一元二次方程的意义及一般形式．难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教辅工具：教学程序设计：程序老师活动同学活动备注创设问题情景1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的'四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让同学拿出事先预备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．同学的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培育同学手、脑、眼并用的技能．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应当怎样求出截去的小正方形的边长？老师启发同学设未知数、列方程，经整理得到方程*2-70*+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．老师恰当的语言，激发同学的求知欲和学习爱好．同学看投影并思索问题通过章前引例和节前引例，使同学真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决很多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动同学积极主动参加数学活动中．同时让同学感到一元二次方程的解法在本章中处于特别重要的地位．探究新知11．复习提问〔1〕什么叫做方程？曾学过哪些方程？〔2〕什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？〔3〕什么叫做分式方程？2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发同学设未知数列方程，并整理得方程*2+5*-150=0，此方程和章前引例所得到的方程*2＋70*＋825＝0加以观测、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．3．练习：指出以下方程，哪些是一元二次方程？〔1〕*〔5*-2〕＝*〔*＋1〕＋4*2；〔2〕7*2＋6＝2*〔3*＋1〕；〔3〕。
《用公式法解一元二次方程》教案设计
《用公式法解一元二次方程》教案设计教学目标1.知识与技能：o掌握一元二次方程的一般形式 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)。
o理解一元二次方程的求根公式，并能正确应用公式求解。
2.过程与方法：o通过实例演示和练习，学会用公式法解一元二次方程。
o培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.情感、态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣。
o培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
教学重点与难点●教学重点：掌握求根公式的应用。
●教学难点：正确识别方程系数并代入求根公式。
教学准备●黑板或多媒体教学设备●一元二次方程的例子和练习题教学过程一、导入新课（5分钟）●回顾一元二次方程的定义和一般形式。
●提问学生：我们之前学过哪些解一元二次方程的方法？（如因式分解法）●指出本节课要学习的新方法——公式法。
二、讲授新课（15分钟）1.介绍一元二次方程的求根公式：o x = [-b ±√(b^2 - 4ac)] / (2a)o强调公式中各部分的含义和来源。
2.演示如何使用求根公式：o选择一个典型的一元二次方程（如 x^2 - 5x + 6 = 0）作为例子。
o引导学生识别方程的系数 a, b, c。
o代入求根公式，逐步计算。
o得出方程的解，并验证解的正确性。
3.讲解公式的适用条件：o强调公式适用于所有一元二次方程，但需注意 b^2 - 4ac 的值决定了方程的根的性质（实数根或复数根）。
三、课堂练习（10分钟）●分发练习题，让学生尝试用公式法解一元二次方程。
●巡视指导，及时纠正学生的错误。
●提问学生，让他们分享解题思路和答案。
四、总结提升（5分钟）●总结求根公式的应用要点。
●强调在解题过程中要注意的细节和常见错误。
●提出拓展问题，引导学生思考如何应用公式法解决更复杂的问题。
五、布置作业（5分钟）●布置相关练习题，要求学生课后完成。
●提醒学生注意解题步骤的规范性和准确性。
教学反思●课后反思教学过程，评估学生的掌握情况。
九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》教案、教学设计
难点：判断根的情况，并解释其对应的实际意义。
3.重点：培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
难点：将复杂问题简化为一元二次方程，并进行有效求解。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
结合生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
-小组研究题：选取一个话题，小组合作研究一元二次方程在该话题中的应用，并准备课堂分享。
作业布置时，我会强调以下几点：
-作业量适中，确保学生有足够的时间进行思考和练习。
-鼓励学生独立完成作业，遇到困难时可以寻求同学或老师的帮助。
-强调作业的完成质量，要求学生书写规范，步骤清晰。
-鼓励学生在作业中展现自己的思考过程，包括解题思路、遇到的困难和解决方案。
-对作业进行及时反馈，指导学生改正错误，提高解题能力。
-探究题：给定一个开放性问题，要求学生通过建立和求解一元二次方程来探究问题的不同解决方案。
-拓展题：鼓励学生探索一元二次方程在其他学科领域的应用，如经济学、生物学等。
4.小组合作题：这类题目要求学生在课后小组合作完成，旨在培养学生的团队协作能力。
-小组讨论题：小组共同讨论一元二次方程的实际应用案例，并撰写总结报告。
4.巩固练习，提高解题能力：
设计不同难度的习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。针对学生的个体差异，进行分层指导，使每个学生都能得到提高。
5.课堂小结，强化重点：
通过对本节课内容的总结，强调一元二次方程公式法的求解步骤、根的判别式等关键知识点。
6.拓展延伸，提高素养：
将一元二次方程与实际应用相结合，如几何图形、物理运动等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
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用公式法求解一元二次方程（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.
学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.
二、教学任务分析
公式法实际上是配方法的一般化，利用总结出来的公式可更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的重点和难点。
本节课的教学目标是：
①学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力.
③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力
三、教学过程分析
本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固
活动内容：
①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
②由学生总结用配方法解方程的一般方法:
第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2
023272=+-
x x
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
02
31649)47(2722=+-+-
x x
即:
16
25)47(2=--x
1625)47(2=
-x
两边开平方取“±” 得：
4547±=-
x 4547±=
x
写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21
第二题： 3x2+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3
031322=++
x x
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
02
391)31(3222=+-++
x x
即:
18
25)31(2=++x
1825)31(2-
=+x ∵0
1825<-
∴原方程无解
活动目的：
（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范
围内都有解。
通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。
第二环节 探究新知
（1）活动1：自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：ax 2
+bx+c=0(a ≠0)
学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.
解：两边都除以一次项系数:a 02=++a
c x a
b x
问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a ≠0
配方:加上再减去一次项系数一半的平方
4)2(2222
=+-++a
c
a b a b x a b x 即:
44)(222=--+a ac
b a b x 2
2244)(a ac b a b x -=
+ 问：现在可以两边开平方吗？
答：不可以，因为不能保证 0442
2
≥-a ac b
问：什么情况下 0442
2
≥-a ac b
学生讨论后回答： 答： ∵ a ≠0
∴ 4a 2
>0
要使0442
2
≥-a ac b
只要 b 2
-4ac ≥0即可
∴当b 2
-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得：
2
244a ac b a b x -±=+ a
ac b a b x 242-±=+
a
ac b a b x 242-±
-=
a
ac b b x 242-±-=
问：如果b 2
-4ac<0时，会出现什么问题？ 答：方程无解
如果b 2
-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。
活动目的：
学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
第三环节：巩固新知 活动内容：
１、判断下列方程是否有解：（学生口答）
(1) 2x 2+3=7x （2）x 2-7x=18 （3）3x 2+2x+1=0（4）9x 2+6x+1=0 (5)16x 2
+8x=3 (6) 2x 2
-9x+8=0
２、上述方程如果有解，求出方程的解
学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题
例：解方程 2x 2
+3=7x
先将方程化成一般形式 解： 2x 2
-7x+3=0 确定a,b,c 的值 a=2, b=-7, c=3
判断方程是否有根 ∵b 2-4ac=(-7)2
-4×2×3=25>0
∴
4
5722257242
±=
⨯±=-±-=
a
ac
b b x
写出方程的根 即x 1=3,x ３、课本随堂练习1、2.
活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程。
第四环节：收获与感悟 提出问题：
1、一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是什么？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
第五环节：布置
1、课本47页1,2题。
2、程解应用题
（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
四、教学反思
1、要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学一致。
2、要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.。