2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题
2016年全国初中数学联赛试题+答案
2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） （本题共有6个小题，每题均给出了代号为 确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内） 1 冃x 称为x 的小数部分.已知t ，a 是t2 V3B V2AB 8, CD 2,则 BCE 的面积为A. 12B.15C. 165.如图，在四边形 ABCD 中， BAC 线的交点为M ，则DMA 山 B.二23C.辽D.12 2( )D. 18BDC 900，AB AC . 5 , CD 1,对角6.设实数x, y, z 满足x y z 1,则M xy 2yz 3xz 的最大值为（）的小数部分，b 是t 的小数部分，则1 2b 2.三种图书的单价分别为 30本，那么不同的购书方案有 A. 9 种 B. 10 种10元、 15元和20元, C.11 种 某学校计划恰好用 500元购买上述图书 （ ） 3（A ）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差, D.12 种 则称这个正整数为“和谐数” 如：2 13 ( 1)3,26 33 13, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中, 所有的“和谐数”之和为 A. 6858 B. 6860C.9260D.9262 2 3（B ）.已知二次函数 y ax bx 1（a 0）的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当 a b 为整数时，abB.1 44.已知e O 的半径OD 垂直于弦 AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交e O 于点A. 0 C. § 4 D. 2 E ,若A B, C D 的四个答案，其中有且仅有一个是正.每小题选对得7分；不选、选错或选 ，一律得0分.）1.用x 表示不超过x 的最大整数,C.二、填空题(本题满分28分，每小题7分)(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2( B)】 已知 ABC 的顶点A 、C 在反比例函数y ——(x 0)的图象x上， ACB 900, ABC 300, AB x 轴，点B 在点A 的上方，且AB 6,则点C 的坐 标为1(B).已知 ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分，AD 、、3,则 AM ——2(A).在四边形ABCD 中，BC // AD , CA 平分 BCD , O 为对角线的交点，CD AO, BC OD,贝U ABC3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰 好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ___________ . _______3(B).若质数p 、q 满足：3q p 4 0, p q 111,则pq 的最大值为4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个 5行5列的表格内(每 格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5个和的最小值为 M ,则M 的最大值为第二试(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20)一、(本题满分20分)已知a, b 为正整数，求 M 3a 2 ab 2 2b 4能取到的最小正整数值2 - 3B1 - 2C. D.1(A).如图，点C 在以AB 为直径的e O 上，CD AB 于点D ,点E 在BD 上，AE 四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与e O 交于点N •证明：FN DE .求(a 2 ab b 2)(b 2 be c 2)(c 2 ca a 2)的值.AC,(B).已知：a b c 5, a 2 b 2 c 215, a 3 b 3 c 347.(A).已知正实数x, y, z满足：xy yz zx 1 ,且(x2 l)(y2 1) (y2 l)(z21) (z2 l)(x2 1) 4xy yz zx1 1 1(1) 求的值.xy yz zx(2) 证明：9(x y)( y z)( z x) 8xyz(xy yz zx).(B).如图，在等腰ABC中，AB AC . 5, D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E, EB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD AF的值.A亠\/D V2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） （本题共有6个小题，每题均给出了代号为 确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内）y z 30 xy 20 2x即，解得依题意得，x, y,z 为自然数（非负整数），3y 4z 100 2x z 10 x故0 x 10, x 有11种可能的取值（分别为 0,1,2,L ,9,10）,对于每一个x 值，y 和z 都 有唯一的值（自然数）相对应 .即不同的购书方案共有 11种，故选C.3（A ）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”如：2 13 （ 1）3,26 33 13, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中， 所有的“和谐数”之和为（AB,C D 的四个答案， .每小题选对得 ，一律得0分.）其中有且仅有一个是正7分；不选、选错或选 1.用x 表示不超过x 的最大整数，把x称为x 的小数部分 .已知t一^—=，a 是2 .32b aA.-2B.出2C. 1D ..3【答案】 A .【解析】Qt1 23,1 2, 3 2.3 4,即 3 t 4,2 <3a t 3 3 1. 又t2 x3, 21,42b t (4)21 1 1 1 23 3 12b a 2(2 . 3) 3 12 2■33,A.500元购买上述图（ ）C.11 种D.12 种 【解析】设购买三种图书的数量分别为x, y, z,则x y z 10x 15y30 20z 500’t 的小数部分, 某学校计划恰好用 15元和20元, 10元、2.三种图书的单价分别为 书30本，那么不同的购书方案有 A. 9 种B. 10 种 【答案】C.故选 2b 是t 的小数部分，贝U -2016 年全国初中数学联合竞赛试题及详解）A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 9262【答案】B.【解析】(2k 1)3 (2 k 1)3(2k 1) (2 k 1) (2 k 1)2 (2 k 1)(2k 21) (2k 1)2 22(12k 1)(其中k为非负整数)，由2(12k 1) 2016得, k 0,1,2丄,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为13( 1)3(3313) (5333) (173153) (1931 73) 1931 6860.故选B.3(B).已知二次函数y ax2bx 1(a 0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0). 当a b为整数时，abB.14A. 0 C. D.【答案】B.【解析】依题意知a 0,b2a0,a 0, 0,且b a 1，a b a ( a 1) 2a 0, 2a 1 1124.已知e O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,又a b为整数，2a 10,故a b, ab ，故选B.若AB 8, CD 2,则BCE的面积为(A.12B.15C. 16D. 18【解析】设OC x,则OA OD x 2,QOD AB于C, AC CB -AB 4,2在Rt OAC 中，OC2 AC2 OA2,(第4题答案图) 即x2 2 24 (x 2),解得x 3，即OCQ OC为ABE的中位线，BE 2OC 6. Q AE是eO的直径, B 90o,S BCE 6B BE - 4 62 212.故选 A.5.如图, 在四边形ABCD中, BAC BDC 900，AB AC 5 , CD 1,对角线的交点为则DM ( )（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上 .）,设 AM x,则 CM .5 x, AH 上 CM,512 3A.B.C.D.1234【答案】C. 【解析】2 2M xy (2 y 3x)z xy (2 y 3x)(1 x y) 3x 4xy 2y 3x 2y2 2211 21 2 y 2x -y x3x3x 2x—22221 2212 1 21 233y x—x x—y xx———222244当且仅当x1 ,y 0时， M 取 等号 ，故 M max3■ ?故选C.24二、填空题（本题满分28分，每小题7分）D.-2【答案】D. 【解析】 过点 A 作AH BD 于点H,则 AMH 〜 CMD ,AHC DAM而,QCDAHAM 在 Rt ABM 中，BM 、，AB 2AM 2、•、x 25,则 AHAB AM BMx 2 5「x% ；x‘显然x 0，化简整理得2x2 5 5x10 0解得x 5, （ x 2-、5不符合题意，舍去），故2CM ,在 Rt CDM 中, DMCM 2 CD 2 故选 D.26.设实数x, y,z 满足x y z 1,则Mxy 2yz 3xz 的最大值为（AD 又AM 平分 DAC,QD AC1.【1(A)、2 ( B)】 已知 ABC 的顶点A 、C 在反比例函数y仝(x 0)的图象x上， ACB 900, ABC 30°, AB x 轴，点B 在点A 的上方, 且AB 6,则点C 的坐标为 【答案】 2 . 2，【解析】如图，过点 C 作CD AB 于点D . 在 Rt ACB 中，BCAB cos ABC 3. 3 在Rt BCD 中, CD BC sinB 二 2 (第1题答案图)BD BC cos B 92,AD AB BD n,—n依题意知n m 0,故 CD n m, AD 3亦n m 2 Ji! 13 3 m n 2 解得 J 2 ，故点C 的坐标为 2.31(B).已知 ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分,AD .3,则 AM 【答案】2. 【解析】 依题意得 BAD (1)若 ABC (第1题答案图1) DAM MAC , ADBACB 时，如答案图 所示, (第1题答案图900,故 ABC ADCACB .ADM 也 ADB, BD DM-CM ,2DAC 600,从而 BAC 900, ACD 300.DM CM-,在 Rt DAC 中，即 cos DAC -2 23(B).若质数p 、q 满足：3q p 4 0, p q 111,则pq 的最大值为在 Rt ADC 中，CD AD tan DAC .3 tan 60° 3, DM 1.在 Rt ADM 中，AM AD DM 2.(2)若 ABC ACB 时，如答案图2所示.同理可得AM 2.综上所述，AM 2. 2(A).在四边形ABCD 中，BC // AD , CA 平分 BCD , O 为对角线的交点，代入①得1000 t 3tx, x 1000 t ,Qx 是三位数， x 1000 t 100，解得 3t 3t1000t,Qt 为正整数， t 的可能取值为1,2,3.验证可知，只有t 2符合，此时299x 167, y 334.故所求的六位数为167334.CD AO, BC OD,则ABC【答案】126°. 【解析】设 OCD,ADOQCA 平分 BCD , OCD OCBOCDDAO,AD CD ,Q CDAO, ADAO ,ADO AODBOC OBC5OC BC ,Q BC OD, OC OD, ODC OCDQ BOCODC OCD, BOC OBC OCB 180°2 ,2180o,解得36o,72° , DBC BC DBD CDAD, ABD BAD180°54°254 ,故 ABCABDDBC126°.【解析】设两个三位数分别为x, y ，则 1000x y 3xy ，①y 3xy 1000x (3y 1000) x,故y 是x 的正整数倍，不妨设 y tx (t 为正整数)， OCB OBCDAO 得到一个六位数，这个六位数恰3倍，这个六位数是3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号, 好为原来两个三位数的乘积的 【答案】167334.72oQ BC // AD , ADO【答案】1007.因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当 q 取得最大值时， pq 取得最大值.3又p q 111， 3q 4 q 111, q 28—，因q 为质数，故q 的可能取值为423,19,17,13,11,7,5,3,2，但 q 23 时，p 3q 4 65 5 13 不是质数，舍去.当 q 19 时，p 3q 4 53恰为质数•故 q max 19,( pq)max 53 19 1007. 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个 5行5列的表格内(每格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2•考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为 M ,则M 的最大值为 _________ . ____【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论 ，确定M 的最大值.(1) 若5个1分布在同一列，则 M 5 ；(2) 若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故 2M 5 1 5 3 20,故 M 10;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 3M 5 1 5 2 5 3 30,故 M 10;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾第二试(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20)一、(本题满分20分) 已知a,b 为正整数，求 M3a 2 ab 2 2b 4能取到的最小正整数值【解析】解：因 a,b 为正整数，要使得M 3a 2ab 2 2b 4的值为正整数，则有a 2.当a 2时,b 只能为1,此时M 4.故M 能取到的最小正整数值不超过 4.当a 3时， b 只能为1或2.若b 1,M18;若 b 2，则M 7.【解析】由3q p 40得，p 3q 4,2pq q(3q 4) 3q 4q当a 4时，b 只能为1或2或3•若b 1,M 38 ;若b 2, M 24 ；若 b 3,则M 2.(下面考虑： M 3a 2 ab 2 2b 4的值能否为1?)(反证法)假设 M 1，则 3a 2 ab 2 2b 4 1，即 3a 2 ab 2 2b 5 ,a(3a b 2) 2b 5①因b 为正整数，故2b 5为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设a 2m 1,b 2n ，其中m,n 均为正整数，则a(3a b 2) (2m 1) 3(2m 1) (2n)24(3m 2 3m 2mn 2 n 2) 32即a(3a b )被4除所得余数为3,而2b 52(2n) 1 4n 1被4除所得余数为1,故①式不可能成立，故 M 1.因此，M 能取到的最小正整数值为 2. 二、(本题满分25分)(A).如图，点 C 在以AB 为直径的e O 上，CD AB 于点D ,点E 在BD 上，AE AC,四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与e O 交于点N .证明：FN DE .点 M 在 CD 上, DE DM EF MFQ AE AC, AE 2 AM AN(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、 BN.Q AB 为eO 的直径， CD AB 于点DACBANBADC 90oQ CAB DAC, ACBADC, ACB s ADC,AC ABAD ACAC 2 AD AB由四边形DEFM 是正方形及CDAB 于点D 可知:Q NAB DAM , ANB ADM ,ANB s ADM , AN ^AB AD AMAD AB AM AN2AC AM AN ,以点F为圆心、FE为半径作e F,与直线AM交于另一点P,则e F与AB切于点E,即AE是e F的切线，直线AMP是e F的割线，故由切割线定理得AE2AM AP AN AP,即点N与点P重合，点N在e F上，FN FE DE .(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)2 2 23 3 3(B).已知：a b c 5, a b c 15, a b c 47.求(a2 ab b2)(b2 be c2)(c2 ca a2)的值.【解析】由已知得ab bc ca 1 (a b c)2(a2b2c2) 5由恒等式a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)得，47 3abc 5 (15 5), abc 12 2又a ab b (a b c)(a b) (ab bc ca) 5(5 c) 5 5(c 1)同理可得b2 bc c225(4 a),c2ca a 5(4 b)•••原式=53(4 a)(4 b)(4 c) 125 64 16(a b c) 4(ab bc ca) abc 125 [64 16 5 4 5 ( 1)] 625.【注：恒等式(t a)(t b)(t c) t3(a b c)t2 (ab bc ca)t abc 】三、(本题满分25分)(A).已知正实数x, y, z满足：xy yz zx 1 ,且2 2 2 2 2 2(X 1)(y 1) (y 1)(Z 1) (z 1)(x 1) 4xy yz zx1 1 1(3) 求的值.xy yz zx(4) 证明：9(x y)( y z)( z x) 8xyz(xy yz zx).2 2 2 2 2 2【解析】(1)解：由等式(x 1)(y1) (y1)(z 1) (z 1)(x 1)4, xy yz zx去分母得z(x2 1)(y2 1) x(y2 1((z2 1) y(z2 1)(x2 1) 4xyz ,2 2 22 22 /22\/22\/22、c ,、nx y z xy z x yz x(y z ) y(z x ) z(x y ) 3xyz (x y z) xyz 0,xyz(xy yz zx) (x y z)(xy yz zx) (x y z) xyz 0,[xyz (x y z)]( xy yz zx 1) 0，Q xy yz zx 1, xy yz zx 10 xyz (x y z) 0, xyz x y z，原式=x y z 1.xyz(2)证明:由(1)得计算过程知xyz x y z ，又Q x, y, z为正实数9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx)9(x y)(y z)(z x) 8(x y z)(xy yz zx)x(y2z2) / 2 2y(z x )z(x2y2) 6 xyzx(y z)2y(z x)2z(x y)20.••• 9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).【注：(x y：)(y z)(z x) x2y 2xy 2y z 2 2yz z x 2zx 2xyzx( :y2 z2) y(z2x2) z(x y )2xyz(x y z)(xy yz zx) x2y xy 2 2 y z yz 2 z2x zx2 3xyzx(y2 z2) y(z2 x2) z(x2 y2) 3xyz 】(B).如图，在等腰ABC中，AB AC .5, D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E, EB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD AF的值.ABD AED ,代E, B,D四点共圆，BED BAD (同弧所对得圆周角相等)【解析】如图，连接AE, ED,CF ,则Q AB AC, ABD ACBQ点C关于直线AD的对称点为点E ,BED BCF, AED ACD ACB(第3( B)题答案图)BAD BCF , A,B, F,C 四点共圆，AFB ACB ABDAB AF 2厂2AFB s ABD, , AD AF AB2 5 5.AD AB（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。
2016年北大博雅计划数学试题及答案
K M
B D
由弦切角定理，得
∠DKM = ∠BAK = ∠KLM,
又 ∠KLA = ∠KM L，于是可得 ∠AKL = ∠BKL，因此由角平分线定理可得 AL : BL = AK : BK，从 而可得 BL = 25．
12.解 C． 分别令 x = 0, 1, −1，可得
2f (0) + f (−1) = 1,
B. 12
C. 13
D. 前三个答案都不对
11. 两个圆内切于 K，大圆的弦 AB 与小圆切于 L，已知 AK : BK = 2 : 5，AL = 10，则 BL 的长为 ( )
A. 24
B. 25
C. 26
D. 前三个答案都不对
(
)
Ä √ä
12. f (x) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2f (x) + f x2 − 1 = 1，则 f − 2 等于 ( )
22ff
(1) + f (0) = 1, (−1) + f (0) = 1,
解得
f (0)
=
f (1)
=
f (−1)
=
1 ．再令
x
=
−√2，可得
√ 2f (− 2)
+
f (1)
=
1，从而
√ f (− 2)
=
1．
3
3
13.解 A．
以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个，其中有一个是正三角形．因
的 x 的个数为 11，分别为
11213123415 ,,,,,,,,,,.
23344555566
5.解 A． 根据题意，有
2016年全国中考数学真题分类 “三数”与“三差”及其综合(习题解析)
2016年全国中考数学真题分类三数与三差一、选择题4.（2016江苏淮安，4，3分）在“市长杯”足球比赛中，六支参赛球队进球数如下（单位：个）：3、5、6、2、5、1，这组数据的众数是A.5B.6C.4D.2【答案】A（2016，山东淄博，5，4分）下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数【答案】C．6、（2016广东，6，3分）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数为（）A、4000元B、5000元C、7000元D、10000元答案：B1.(2016湖南益阳，5，5分）小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67【答案】C10．（2016湖南长沙，10，3分）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80【答案】D4．（2016四川南充，4，3分）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是（）A．12岁B．13岁C．14岁D．15岁【答案】C7．（2016湖北孝感，7，3分）在2016年体育中考中，某班一学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为A．28，28，1B．28，5.27，1C．3，5.2，5D．3，2，5【答案】A6．（2016山东烟台，6，3分）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．甲乙丙平均数7.9 7.9 8.0方差 3.29 0.49 1.8根据以上图表信息，参赛选手应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D（2016山东济宁，8，3分）在学校开展的“争创最优中学生”的一次宣讲比赛中编号分别为1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：参赛者编号 1 2 3 4 5成绩（分）27 28 30人数 2 3 1那么这五位同学宣讲成绩的众数与中位数依次是（） A.96，88 B.86，86C.88，86D.86，88【答案】B.7．（2016浙江宁波，7，4分）某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示： 尺寸（cm ） 160 165 170 175 180 学生人数（人）13222则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（ ）A ．165cm ，165cmB ．165cm ，170cmC ．170cm ，165cmD ．170cm ，170cm 【解答】B ．3.（2016山东枣庄，3，3分）某中学篮球队12名队员的年龄如下表：关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是（ ） A ．众数是14 B.极差是3 C ．中位数是14.5 D ．平均数是14.8【答案】D2.（2016湖南株洲，3，3分）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如下表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ） A 、甲 B 、乙 C 、丙 D 、丁【答案】C6．（2016江苏扬州，6，3分）某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：人数 2 5 2 2 1则这12名队员年龄的众数、中位数分别是 ( ) A．2，20岁 B．2，19岁 C．19岁，20岁 D．19岁，19岁【答案】D3.（2016四川成都，8，3分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2如表所示：甲乙丙丁7 8 8 7s2 1 1.2 1 1.8如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C4.(2016福州，10，3分)下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x10－x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 ( )A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．平均数，方差 D．中位数，方差【答案】B5.（2016四川广安，7，3分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下图：编号 1 2 3 4 5 方差平均成绩得分38 34 ■37 40 ■37 那么被遮盖的两个数据依次是（）A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，5 【答案】B．6.（2016聊城，5,3分）某体校要从四名射击手中选择一名参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩及方差如下表所示如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（）A、甲B、乙C、丙D、丁【答案】B7.（2016山东临沂， 9，3分）某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机调查了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是( )A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B8.（2016江苏无锡，4，3分）初三（1）班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如下：进球数（个）1 2 3 4 5 7人数（人） 1 1 4 2 3 1这12名同学进球数的众数是（）A．3．75 B．3 C．3．5 D．7【答案】B．9.(2016山东滨州，5，3分)某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是( )A.15.5，15.3B.15.5，15C.15，15.5D.15，150 1 2 3 4 51234学习人数时间第9题图答案：D.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.（2016山东菏泽，11，3分）某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是岁．【答案】152.（2016四川巴中，14，3分）两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为．【答案】713．（2016四川南充，13，3分）计算22，24，26，28，30这组数据的方差是．答案：8．13．（2016浙江衢州，13，4分）某校随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则该50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时．【答案】 6，43.(2016四川宜宾，11，3分)已知一组数据：3，3，4，7，8，则它的方差为______．[答案]4.411．（2016江苏连云港，11，3分）在新年晚会的投飞镖游戏环节中，7名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，9，9，4，9，8，8，则这组数据的众数是．答案：9．4.13.（2016山东东营市，13,3分）某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102,115,100,105,92,105,85,104，则他们的成绩的平均数是。
2016北京高考真题数学(文)含答案
绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}2．（5分）复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．364．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y＝B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x5．（5分）圆（x+1）2+y2＝2的圆心到直线y＝x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知向量＝（1，），＝（，1），则与夹角的大小为．10．（5分）函数f（x）＝（x≥2）的最大值为．11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），则a＝，b＝．13．（5分）在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．19．（14分）已知椭圆C：+＝1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．20．（13分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2．【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：＝＝＝i，故选：A．【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝0，k＝1，当k＝1时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝2，当k＝2时，满足进行循环的条件，故S＝9，k＝3，当k＝3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y＝cos x在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5．【分析】先求出圆（x+1）2+y2＝2的圆心，再利用点到到直线y＝x+3的距离公式求解．【解答】解：∵圆（x+1）2+y2＝2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2＝2的圆心到直线y＝x+3的距离为：d＝＝．故选：C．【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n＝＝10，甲被选中包含的基本事件的个数m＝＝4，∴甲被选中的概率p＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．【分析】平行直线z＝2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z＝2x﹣y，则平行y＝2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1＝7．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8．【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B．【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量＝（1，），＝（，1），∴与夹角θ满足：cosθ＝＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x＝2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（1+2）×1＝，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），∴，解得a＝1，b＝2．故答案为：1，2．【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，a＝c，由正弦定理可得：，＝，sin C＝，C＝，则B＝＝．三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则＝1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q＝3，d＝2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n＝a n+b n＝2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2＝3，b3＝9，可得q＝＝3，b n＝b2q n﹣2＝3•3n﹣2＝3n﹣1；即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，则d＝＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）c n＝a n+b n＝2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）＝n•2n+＝n2+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16．【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期公式求出ω的值．（2）直接利用整体思想求出函数的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用和周期性的应用．17．【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w＝3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w＝3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10＝10.5，∴当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w＝3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．【分析】（1）由题意可得a＝2，b＝1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e＝；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+＝1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a＝2，b＝1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e＝；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y＝，取x＝0，得；，PB所在直线方程为，取y＝0，得．∴|AN|＝，|BM|＝1﹣．∴＝＝﹣＝＝＝．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a＝b＝4，c＝0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f （x）有3个零点．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x＝﹣处取得极小值，且为﹣．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的能力，属于中档题．。
2016年秋北师大版九年级数学上名校课堂小专题(十二).doc
小专题(十二) 反比例函数与一次函数综合1．(益阳中考)正比例函数y ＝6x 的图象与反比例函数y ＝6x的图象的交点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限2．若在同一坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x无交点，则有( )A ．k 1＋k 2＞0B ．k 1＋k 2＜0C ．k 1k 2＞0D ．k 1k 2＜03．(怀化中考)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图，那么正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝kx在同一坐标系中的图象大致是( )4．(福州中考)如图，已知直线y ＝－x ＋2，分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与双曲线y ＝kx交于E ，F 两点．若AB ＝2EF ，则k 的值是( )A ．－1B ．1 C.12D.345．(菏泽中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y ＝mx (x>0)的图象相交于点B(2，1)．(1)求m 的值和一次函数的表达式；(2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx ＋b>mx 的解集．6．(宜昌中考)下表中，y 是x 的一次函数．(1)求该函数的表达式，并补全表格；(2)已知该函数图象上一点M(1，－3)也在反比例函数y＝mx图象上，求这两个函数图象的另一交点N的坐标．7．(成都中考)如图，一次函数y＝kx＋5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y＝－8x的函数交于A(－2，b)，B两点．(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．8．(宜宾中考)如图，一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝－3x的图象交于A，B两点，与x轴交于D点，且C，D两点关于y轴对称．(1)求A，B两点的坐标；(2)求△ABC的面积．9．(自贡中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出kx ＋b －6x ＜0的x 的取值范围；(3)求△AOB的面积．参考答案1．D 2.D 3.B 4.D 5.(1)反比例函数y ＝mx (x>0)的图象经过点B(2，1)，则m ＝1×2＝2.∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，0)，B(2，1)两点，∴一次函数的表达式为y ＝x －1.(2)x>2. 6.4 －6(1)设该一次函数为y ＝kx ＋b(k≠0)．∵当x ＝－2时，y ＝6，当x ＝1时，y ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝0.∴一次函数的表达式为y ＝－3x.当x ＝2时，y ＝－6；当y ＝－12时，x ＝4.(2)∵点M(1，－3)在反比例函数y ＝m x 上(m≠0)，∴－3＝m1.∴m ＝－3.∴反比例函数表达式为y ＝－3x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－3x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.∴另一交点坐标为(－1，3)． 7.(1)把A(－2，b)代入y ＝－8x ，得b ＝4.∴A 点坐标为(－2，4)．把A(－2，4)代入y ＝kx ＋5，得－2k ＋5＝4，解得k ＝12，∴一次函数表达式为y ＝12x ＋5.(2)将直线AB 向下平移m(m ＞0)个单位长度得直线表达式为y ＝12x ＋5－m.根据题意方程组⎩⎨⎧y ＝－8x，y ＝12x ＋5－m只有一组解，消去y 得－8x ＝12x ＋5－m ，整理得12x 2－(m －5)x ＋8＝0，Δ＝(m －5)2－4×12×8＝0，解得m 1＝9，m 2＝1，即m 的值为1或9. 8.(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－3x ，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴A 点坐标为(－1，3)，B 点坐标为(3，－1)．(2)把y ＝0代入y ＝－x ＋2得－x ＋2＝0，解得x ＝2，∴D 点坐标为(2，0)．∵C ，D 两点关于y 轴对称，∴C 点坐标为(－2，0)．∴S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×(2＋2)×3＋12×(2＋2)×1＝8.9.(1)∵A(m ，6)，B(3，n)两点在反比例函数y ＝6x (x ＞0)图象上．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，即A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k ＋b ，2＝3k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝8.∴一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.(2)根据图象可知kx ＋b －6x <0的x 的取值范围是0＜x ＜1或x＞3.(3)分别过A ，B 点作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C 点，直线AB 交x 轴于D 点．令y ＝－2x ＋8＝0得x ＝4，即D(4，0)．∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △DOB＝12×4×6－12×4×2＝8.。
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
2016年北京大学自主招生数学试题
一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知，则x的取值范围是（）
2．的个位数字是（）
A．1 B．3 C．5 D．前三个答案都不对
3．点P位于△ABC所在的平面内，使得△PAB,△PBC,△PCA的面积相等，则满足题意的点P有（）
A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对
4．记f(n)为最接近的整数，其中n∈N∗．若，则正整数m的值为（）
A．1015056 B．1017072 C．1019090 D．前三个答案都不对
5．实数x,y,z满足x+y+z=2016，，则
（）
A．0 B．1 C．−1 D．前三个答案都不对
6．方程组的非负整数解有（）
A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对
7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）
D．前三个答案都不对
8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）
A．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对
二、填空题．
9．已知，g(x)为整系数多项式，
则g(x)的各项系数之和为_______．
10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．
11．用高斯函数[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程
的正整数解有_______个．
12．空间中的一点P(x,y,z)满足∃n∈N∗，使得成立，则所有满足要求的点P所形成的空间几何体的体积为_______．。
北京大学2023中学生数学夏令营试题真题答案详解
2023年北大夏令营试题解答与评析2023年8月5日和6日进行了两场考试，每天上午各一场，每场4小时4题．试题第1，5，7题较简单，第3，4，6题难度中等，第2，8题较困难．试题整体思想性较强，需要将问题想到位，想清楚．试题1．设奇数3n >，求证：1π.2．对正整数n ，用()S n 表示01n ~-在十进制中的数码和之和，求证：对任意正整数,m n ，()()(){}min ,.S m n S m S n m n +≥++3．在ABC V 中，BC 是最长边，设AC 的中垂线与直线,BC AB 分别交于点D E B ，，关于此中垂线的对称点为F ，设AB 的中垂线与直线,BC AC 分别交于点,J K C ,关于此中垂线的对称点为L ，设BL CF ､交于点N ，BJL 的外接圆与直线JN 交于另一点R ，CDF V 的外接圆与直线DN 交于另一点Q ，过N 作BC 的平行线交直线EK 于P ，设M 是FL BC ,的交点，l 是ABC V 外接圆平行于BC 的直径，求证：直线,,QR MP l 交于一点．4．将一个20232023⨯方格表的每个格黑白染色,满足每个22⨯小正方形中均至少有一个黑格,且每个黑格均在一个22⨯小黑色正方形中,记i a 为每行中黑格的个数,i b 为每列中黑格的个数,求()2023221i i i a b =-∑的最大值.5．给定正整数n m >．求所有的数组()(1212,,1)m m i i i i i i n ≤<<<≤ ，使得对任意满足10nii x==∑的实数组()()1212,,n n x x x x x x <<< ，都有10k mi k x =>∑．6．是否存在质数p 和非零整系数多项式f ，使得对任意正整数{}1,2,,p αα ，中至少有2023p α-个正整数n 使得()p f n α∣？7．魔术师和小美在22N N ⨯的方格表中放入12⨯或21⨯的骨牌．魔术师先放入一些两两无公共格的骨牌，满足对任意12M N ≤≤，方格表中每个M M ⨯的正方形至多与2M⎡⎤⎢⎥⎢⎥个已放入的骨牌有公共格，求证：小美可以再放入骨牌恰覆盖方格表中余下的方格．8．设简单有向图G 的顶点是101000⨯（10行1000列）的格点．G 的边满足：除最后一列外，每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点；除第一列外，每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向；G 中无其他边．对最后一列的每个顶点v 赋予一个实数[]0,1v q ∈，对其余每个顶点u ，若从u 出发指向,,a b c ，则递归定义3a b cu q q q q ++=，求证：150uv uv Eqq ∈-<∑ ．1．证明见解析【分析】证明无理数，常使用反证法【详解】方法一：先证明2个引理：引理1：首一整系数多项式的零点若是有理数，则必是整数.证明：设有首一整系数多项式()()121210011...,,...,n n n n n n f x x a x a x a x a a a a -----=+++++∈Z .若()f x 有一个有理数零点()(),,0,,1pt p q q p q q=∈>=Z ，则1212100...n n n n n n n p p p p pq f q a a a a q q q q q ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=⋅=++++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12211210...n n n n n n n p a p q a p q a pq a q -----=+++++，故()12211210...n n n n n n n p q a p a p q a pq a q ------=-++++，从而n p 是q 的倍数，但,p q 互质，所以1是q 的倍数，得1q =，故t p =是整数.引理1证毕.引理2：对正整数n ，存在首一整系数多项式()n P x ，使得对任意的ϕ都有()2cos 2cos n P n ϕϕ=.证明：设多项式列(){}n P x 满足()02P x =，()1P x x =，()()()()122n n n P x xP x P x n --=-≥.则()02cos 12cos 0P ϕ==，()12cos 2cos P ϕϕ=，()()()122cos 2cos 2cos 2cos n n n P P P ϕϕϕϕ--=-.再结合恒等式()()()()()2cos 2cos 12cos 22cos cos 22cos 22cos n n n n n n ϕϕϕϕϕϕϕ⋅---=+---=，归纳即知()()2cos 2cos 0,1,2,...n P n n ϕϕ==.而根据递推式，可知()n P x 总是整系数多项式，且1n ≥时()n P x 首项系数为1，故引理2得证.回到原题，设n 是正整数，若1π是有理数，可设()()1,,0,,1πp p q q p q q=∈>=Z .则πcosp q =2πcos 12p q n =-，2π2cos 24p q n =-.据引理2，设()()2q f x P x =-，则()f x 是首一整系数多项式，且2π2π2cos 2cos 22cos 2π2220q p p f P p q q ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.而2π2cos24p q n =-是有理数，根据引理1，2π2cos 24p q n =-是整数，所以4n是整数.再由n 是正整数，知{}1,2,4n ∈.而奇数3n >，则1π.方法二：用反证法,若1π,设为sr ,其中r 为正整数.则2π2cos π.s s nr r n -==记m 次多项式()m T x 满足12()2()()m m m T x xT x T x --=-，其中12T x =，22()41T x x =-，一方面，可由递推特征方程求出11()m m m T x ++=另一方面，由递推关系式归纳可得sin(1)(cos )sin m m T θθθ+=，因此()m T x 的根为πcos(1,2,...,)1k k m m =+，于是有1π2(cos 1mn k k x m =-=+∏于是有((0πcos ,rr ri i x x x r =⎛⎫⎤-=+- ⎪⎥⎣⎦⎝⎭∏且2n >,得2n n-为((0r r x x --=一根.化简得()()122112111C 2r r i i i i i rn n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦-+---=--=∑,模n 并结合122111C 2r i r ri +⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==∑,可得22r n ∣,与n 为大于1的奇数矛盾!方法三：用反证法,假设存在大于1的奇数1,arccosπn 是有理数.设()()1,arccos ,,,,1πn qp q p q p θ==∈=Z ,则π,cos q pθθ==2cos2.nnθ-=下面证明:对任何正整数(),cos mna m m θ=,且()12mod ,n n a n -= 1.当1,2m =时结论成立.2.设()()()11cos 1,cos k kk ka a k k θθ---==,且()()2112mod ,2mod k k k k a n a n ---≡≡由()()1cos cos cos 1cos 12k k k θθθθ⎡⎤=-++⎣⎦得()()()()11112cos 12cos cos cos 1.k k k k k a a na k k k θθθθ---+-+=--==设112k k k a a na+-=-,则()()11cos 1k k a k θ+++=,且()12mod kk a n +≡.因此，对一切正整数都成立,所以()()2cos cos π1p pa p q θ===-,故2p p a n =,因此2|p n a ，又()12mod p p n α-≡，所以222,1p nn -=∣或2的方幂,而这与n 是大于1的奇数矛盾.【点睛】法二引入切比雪夫多项式,是考场上大多数同学的证法.法三较为巧妙.由法一可以看出2cospqπ是代数整数,故若其为有理数则必定为整数,则n 为奇数的条件可加强为1,2,4n ≠.法二、法三本质上和法一是一样的.2．证明见解析.【分析】记()s k 为k 在十进制中数码和．不妨设m n ≥，只需证明()()()111m n n k mk s k s k +--==≥+∑∑；采用数学归纳法证明，若命题对小于n 的数均成立，设11010t t n +≤<，关键的想法是把1101t x +--看作在退位上对应最佳，从而走通归纳法．【详解】证明：记()s k 为k 在十进制中数码和．不妨设m n ≥，只需证明()()()111m n n k mk s k s k +--==≥+∑∑，对n 归纳，1n =时成立．若命题对小于n 的数均成立，设11010t t n +≤<．①1110t m n ++-<．设10,010t t m l r r =⋅+≤<．对()()1,101tm k m n s k s k l ≤≤+-≥-⋅+．有()()()1011101t t n l n k mk m ls k s k +--==-≥+∑∑，又归纳假设有()()()1101101t t m n m l k k n ls k s k +---==+≥+∑∑，两式相加即证，即证.②1110,110t t m m n ++<+-≥．有()()()1111100101t t m n m n k k s k s k +++-+--==≥+∑∑，只需证()()()111011101t t n k mk m n s k s k ++--==+-≥+∑∑，又110t x +<时，()()()110191t s x s x t ++--=+．只需证()()()()()()111011111091101911011t t n t t k mk m n t s kt s k ++--++==+-+---≥+---+∑∑，即()()11110121010101()t t t mm n k k ns k s k +++--⋅---==-+≤∑∑，化为归纳假设()110t m n +-<．③110t m +>．设1110,010t t m l r r ++=⋅+≤<．有()()()111110101t t m n m n l k mk m l s k s k +++-+--⋅==-⋅≥+∑∑，只需证()()11110110t t m n l n k k m l s k s k +++--⋅-==-⋅≥∑∑.若1101t m l n +-⋅>-，化为更弱的①②情形；若1101t m l n +-⋅≤-，即()()11110101t t m n l m l k nk s k s k +++--⋅-⋅-==≥∑∑,化为更弱的n 更小情形．【点睛】关键点点睛：本题较为复杂，虽然入手点较多，但无论是直接表示还是讨论进位次数最多的数都容易卡住．关键的想法是把1101t x +--看作在退位上对应最佳，从而走通归纳法．除了此作法外，还可以应用()()()s m s n s m n +-+用类似Kummer 公式表示．通过讨论进位次数来解决一部分(),m n 的情形()①③，其余的情况可用归纳法解决．3．证明见解析【分析】设O 为DE 与JK 交点，得到FRCJ 共圆，再由FQD NCD FLN FRN ∠∠∠∠===，得到FNLQR 共圆1，再由BOCKE 共圆2，进而求得PN 与圆1相切，且2PN PK PE =⋅，设PM 与l 交于S ，求得OBLJR 和ODFCQ 共圆，进而求得2SO SQ SR =⋅'，证得R '与R 重合，即可得证．【详解】由题意，可得,,,AJL BLK CFE ADF 共线，如图所示，设O 为DE 与JK 交点，则O 是ABC V 的外心，由,,BJLR CDFQ BCLF 共圆，有RN NJ BN NL CN NF DN NQ ⋅=⋅=⋅=⋅，可得FRCJ 共圆，由FQD NCD FLN FRN ∠∠∠∠===，可得FNLQR 共圆，记为圆1．又由2180180BOC A BEC BKC ∠∠∠∠==-=- ，可得BOCKE 共圆，记为圆2，由NEK NBC NFL ∠∠∠==，可得//FL EK ,再由KNP KBC KEC LFN ∠∠∠∠===，得PN 与圆1相切，且2PN PK PE =⋅，再结合ML MF MB MC ⋅=⋅，可得PM 为圆1与圆2的根轴．设PM 与l 交于S ，由COS OCB OBC ∠∠∠==，得SO 与圆2相切，故S 为圆1，圆2，点圆O 的根心，由180BOJ C BLJ ∠∠=-∠= ，可得OBLJ 共圆，进而OBLJR 共圆，同理ODFCQ 共圆，又由DJQR 共圆，可得ORQ ORJ QRJ OBJ NDJ OCJ QOC QOS ∠∠∠∠∠∠∠∠=+=+=+=，延长SQ 与圆1交于R '，由S 在圆1和点圆O 根轴上，可得2SO SQ SR =⋅'，故OR Q QOS ORQ ∠=∠=∠'，所以ORR Q '共圆，直线SQ 与圆1交于,,R R Q '，故R '与R 重合，即SQR 共线．4．1840727700【分析】染色问题，通常需要通过构造模型解决.【详解】构造为31,3k k -行均染黑()1,2,,674k =⋯,其余染白.因为2023202311i i i i a b ===∑∑，因此()()()20232023202322211112696(22696).4iiiiiiii i i a ba b a b a ===-=+--≤-∑∑∑只需()20232221134813486756751348.i i a =-≤⋅+⋅∑又()22202313481348a -≤,只需()()()222223231313481348134813486752k k k a a a ---+-+-≤+⋅，设第31k -行中某段连续黑格长为1l ,由每个黑格均在22⨯黑色正方形中,第32k -、第3k 行中与这一段同列的黑格总数1l ≥个.设第31k -行中某段连续白格长为2l ,由每个22⨯小正方形中均至少有一个黑格,第32k -、第3k 行中与这一段同列黑格数各有21l ≥-个.若31674k a -≥，由以上论述，32331674k k k a a a --+≥≥,由[]0,2023i a ∈及二次函数凸性，有()()2222323134813481348675,k k a a --+-≤+结合()22311348675k a --≤得证.若31674k a -<,第31k -行白格被分为至多674段,故()223233,1349674675,1348675k k k a a a -≥-=-≤，()()222232311348675,13481348k k a a ---≤-≤，得证.将1,2,674k = 这674条式子与()22202313481348a -≤相加得证.【点睛】关键点点睛：答案较容易猜出，此后调整法可以走通，也可以通过取等配凑均值.这一类题目需敢于下手处理，抓住要点即可做出，难度中等.5．满足()1j n i j j n m ⎡⎤≥≤≤⎢⎥⎢⎥的所有数组()12,,,m i i i 【分析】容易看出数列应集中于较大的一侧，进而用密度大于mn刻画得到最后答案，构造和证明自然就得到了．【详解】答案为满足()1j n i j j n m ⎡⎤≥≤≤⎢⎥⎢⎥的所有数组()12,,,m i i i ，证明如下：若存在{}1,2,,,t n t m i t m ⎡⎤∈<⎢⎥⎢⎥，即t mi nt <，取()12t i t y y y n i ====-- ，1t i n t y y i +=== ，()()11i i t x y n i e i i =--≤≤，()2i i t x y ie i i n =+<≤，使12,e e 趋向于0+且i x 之和为0，则1k mi t k x mi nt e ==-+∑，e 趋向于0时10k mi k x =≤∑，矛盾!若()1j n i j j n m ⎡⎤≥≤≤⎢⎥⎢⎥有k n n k k i m n m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤≥≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥，即k n i k m x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-≥且1k mn n =-+时该式大于等于10n n x x -->，不取等，所以1110k n k mnmni i i i k m k k n x m x x x ⎡⎤⎢⎢⎥=⎡⎤⎢⎢==⎥⎥⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑，即110k mni i k i m x x n ==>=∑∑，得证．【点睛】关键点点睛：容易看出数列应集中于较大的一侧，进而用密度大于mn刻画得到最后答案，构造和证明自然就得到了．6．不存在【分析】通过对()f n 次数deg f s =归纳证明，然后利用反证法证明结论.【详解】不存在常数k ，使存在质数p 和非零整系数多项式f ，使得对任意正整数{},1,2,,p αα 中至少有k p α-个正整数n 使得()p f n α∣．对()f n 次数deg f s =归纳证明．0s =时平凡．若对s 成立，考虑deg 1f s =+的情况．用反证法．若存在常数k ，质数p 和多项式,deg 1f f s =+，使得对任意正整数{},1,2,,p αα 中至少有k p α-个正整数n 使得()p f n α∣．引入优化版本的Hensel 引理：()()()()2mod ,,f x c p f x c p f x p x c ααα+⋅≡+⋅⋅'为整数，由反证假设{2}1,2,,p α 中至少有2k p α-个正整数n 使得()2p f n α∣．待定正整数l ，设有x 个正整数{}1,2,,n p α∈ 使得()lp f n α-'∣．若l p α-不整除()f n '，则(),,,1n n p n p p ααα++- 中有1l p α--≤个数t 满足()2p f t α∣；（由(2p f n cp αα+∣），即()()2p f n cp f n αα+'∣，所有c 模1l p +同余，至多1l p α--个)c ，若l p α-整除()f n '，则(),,,1n n p n p p ααα++- 中有p α≤个数t 满足()2p f t α∣．故()221121k l l kl p p xp p x ppx p p αααααααα---------+-≥⇒≥-，取21l k =-，即11k kp x p p αα--≥≥+．则存在1l k p α---≥个数{}1,2,,l n p α-∈ 满足()lp f n α-'∣．由α的任意性及,k l 为定值，也即存在质数p 和非零整系数多项式f '，使得对任意正整数{},1,2,,p αα 中至少有1k p α--个正整数n 使得()p f n α'∣．又deg deg 1f f s -'==，由归纳假设得矛盾．7．证明见解析【分析】根据2M =，并且给出构造，即可证明.【详解】证明只用到2M =的情况，即每个22⨯只与一个给定多米诺相交，这时给出构造．将棋盘划分为22n 个两两不交的22⨯．若某个22⨯与给定多米诺均不交，用两个多米诺填充该22⨯；若22⨯与一个给定多米诺相交，分类：（1）给定多米诺落在22⨯内部．则再放入一个多米诺填充该22⨯；（2）给定多米诺与这个22⨯（记为A ）与另一个22⨯（记为B ）均恰有一格相交．由条件，AB 相邻且不与其他任一个给定多米诺相交，易得可再放入三个多米诺填充A 和B ．综上，找到了符合条件的构造．【点睛】评注很有脑筋急转弯的感觉．敢于用2M =情况去做可以得到意外简单的答案．也可用一般的M 及Hall 定理处理．8．证明见解析【分析】首先证明()16ju v j j uv E q q A A +∈-<-∑，再推理证明.【详解】证明设i 行j 列处数为j i q ，记110j j j a b a b A q q ≤<≤=-∑．记j E 为j 列指向1j +列的有向边．下证()16j u v j j uv E q q A A +∈-<-∑ 对1,2,,999j = 均成立．对某个j ，记j 列上的数为1210,,,,1a a a j + 列上的数为1210,,,b b b ．存在,,i i i x y z 使得,,,3i i i x y z i i i i b b b a x y z ++=两两不同，{},,110i i i x y z i ≤≤∣中110 各出现3次．则11013a a a b b b j x y z x y z a b A b b b b b b ≤<≤=++---∑1101(9a b a b a b a b a b x x x y x z y x y y a b b b b b b b b b b b ≤<≤≤-+-+-+-+-∑)a b a b a b a b y z z x z y z z b b b b b b b b +-+-+-+-()10110119i i i i i i x y x y y z x z x y i b b b b b b b b ≤≤≤==---+-+-∑∑最后一个等号可以这样理解：每个t b 出现于3组(),,i i i x y z b b b 中，即i j b b -至多出现9次，且i j b b -出现次数与9的差恰为(),i j b b 在(),,x j i b b b 中出现次数．故()()1011263i i i i i i j j x y y z x z i A A b b b b b b +=-≥-+-+-∑10113i i i i x y x z i cyc b b b b =⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭∑∑101(|||||}i i i i y i i i x z b a b a b a ==-+-+-∑ju v uv E q q ∈=-∑ 将1,2,,999j = 的式子相加得()10001100066j u v uv E q q A A A ∈-<-<∑ 不妨1000100010001210q q q ≥≥≥ ，则()100010100011129753125i i A i q ==-≤++++=∑即150u v uv Eq q ∈-<∑ ．q q ，尝试后发【点睛】关键点点睛：本题的关键是想到用两列某个量的差控制列间的u v现这个量是两两差的绝对值和，且它最大为25．从而得到系数6和一个局部不等式，将不好刻画的式子通过逐项相消处理．证明有一定技巧性．解答如有不当之处，敬请指正．。
北大自招数学2016
2016年北京大学自主招生测试数学学科1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。
2. 圆内接四边形ABCD 满足AB =80，BC =102，CD =136，DA =150，求直径。
3. 四个半径为1的球两两相切，求其外切正四面体的棱长为（ ）A.2+B.2+C.4+D.以上均错4. 已知实数x ，y ，z 满足1112016,2016x y z x y z++=++=，求(2016)(2016)(2016)x y z ---=( )A.1B.0C.-1D.以上全错5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381n n n x y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。
6. 正方体八个顶点中任取3个，求能构成等腰三角形的概率________。
7. 设n a的整数，若112016n k k a ==∑，求n =________。
8. 若方程21x ax b ++=有两个不同的非零整数根，则22a b +可能为________。
A. 素数B. 2的非负整数次幂C. 3的非负整数次幂9. 2002n ⎡⎡=⎣⎣有________个正整数解。
10. 实数a ，b ，c 满足33323,2(),,,a b c abc a b c a b c N --==+∈，这样的a 有_________个。
11. 232016(21)(21)(21)...(21)++++的个位数字为（ ）A.1B.3C.5D.以上均错12. 实系数方程4320x ax bx cx d ++++=有四个非实数根，其中两个之和为2+i ，另外两个之积5+6i ，b =________。
13. 若△ABC 的三个顶点对应复数为z 1，z 2，z 3，且满足213112z z i z z -=+-，则△ABC 的面积与其最长边的平方之比为________。
14. 将1~100这100个正整数分成三组，使第一组和为102的倍数，第二组和为203的倍数，第三组和为304的倍数。
北大附中2016—2017学年度初一年级第二学期期末考试数学试卷(修改版)
北大附中2016—2017学年度第二学期期末考试初一年级数学试卷班级________ 姓名_________ 学号_________一、选择题（下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列调查方式，你认为最适合采用抽样调查的是（ ） A. 对旅客上飞机前的安检B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间C. 了解北京电视台《养生堂》栏目的收视率D. 企业招聘，对应聘人员的面试2. 如果y x >，则下列变形中正确的是（ ）A. y x 2121->-B. y x 2121<C.y x 53>D. 33--<--y x3. 如图，为了估计一个池塘岸边两点A ，B 之间的距离，小丽同学 在池塘一侧选取了一点P ，测得P A =7m ，PB =5m ，那么点A 与点B 之间的距离不可能．．．是（ ）． A ．12m B ．9m C ．4.5m D ．3m4.不等式52-<x 的最大整数解是（ ）A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-5. 如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，BE ＝5，则DE 长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 6. 具备下列条件的ABC 中，不是直角三角形的是（ ）A. C B A ∠=∠+∠B. C B A ∠=∠-∠C. 3:2:1::=∠∠∠C B AD. C B A ∠=∠=∠37. 下列各图中，根据图中给定的条件，可以判断∠ 1=∠ 2一定成立的是（ ）① ② ③ ④A ．① ②B ．① ③C ．① ② ③D ．① ② ③ ④ 8. 如图，三边均不相等的锐角△ABC ，若在此三角形内找一点 O ，使得△ OAB 、△ OBC 、 △ OCA 的面积均相等. 下列作法中正确的是（ ） A. 作中线AD ，再取AD 的中点为点OB. 分别作AB 、BC 的高线，再取这两条高线的交点OC. 分别作中线AD 、BE ，再取这两条中线的交点OD. 分别作∠A 、∠B 的角平分线，再取这两条角平分线的交点O9. 如果关于 的不等式组12x m x m >-⎧⎨>+⎩，的解集是1x >-，那么m 的值为（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 110. 关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x y <, 则a 的取值范围（ ）A ．35a ＞B ．13a <C ．3a 5<D ．53a ＞二、填空题（第11—16题每题各4分，第17、18题各3分，共30分） 11. 若代数式有意义，则x 的取值范围是 ．12. 如图，由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= . 13. 写出不等式2 ( x – 1) – 3 <1的非负整数解 ． 14. 若正n 边形每个内角为150 ，则n 的值是 ．15. 若等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ，则另两边长分别为 ．16. 如图，△ ABC 中，在中线AD 及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．不添加辅助线，请添加一个条件，使得△ BDF ≌△ CDE ．你添加的一个条件是:____________________．17. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为40°，那么这个“特征三角形”的最大内角的度数为__________． 18. 如图，在第1个△ ABA 1中，∠B =20°，∠BAA 1=∠BA 1A ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1 到 A 2，使得在第2个△A 1CA 2中，∠A 1CA 2=∠A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2 到A 3，使得在第3个△A 2DA 3中，∠A 2DA 3=∠A 2A 3D ；……，按此做法进行下去，则在第4个三角形中，以A 4为顶点的内角的度数为________；第n 个三角形中，以A n 为顶点的内角的度数为____________．三、计算题（每题5分，本题共10分） 19. 解不等式：4364-≤-+x xx ，并把解集在数轴上表示出来.20. 解一元一次不等式组5626344(1)x x x x +≥-⎧⎨->-⎩．第12题第16题图 第18题A四、解答题（本大题共30分）21. （5分）某校八年级共有8个班，241名同学，历史老师为了了解新中考模式下该校八年级学生选修历史学科的意向，请小红，小亮，小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向，请简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处，并由此估计全年级有意向选修历史的同学的人数.22. （5分）如图，点C 在线段AE 上，BC ∥DE ，AC =DE ，BC =CE ． 求证：AB =CD ．23. （5分）阅读下列材料：为了了解我校初一年级学生共享单车的使用情况，小涓所在实践小组的同学们设计了相应的调查问卷，初一年级共有342人，他们共发放问卷50张，收回有效问卷40张，并利用统计表整理了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们从调查中得知，有关“使用过的共享单车品牌”和“共享单车的使用理由”两个问题的统计情况如下表所示.表1表2：根据以上材料解答下列问题：（1）根据表1中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述；（2）通过表2中统计出的数据你能得到哪些结论？请你说出其中的一条即可.24.（7分）随着生活水平的提高，人们不再满足于从超市购买水果。