课题：相似三角形应用举例(2)
4.5《相似三角形的性质及其应用(2)》参考教案
4.5 相似三角形的性质及其应用（2）
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程。
2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质。
3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题。
1、教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质。
2、“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，涉及到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，证明思想的建构是本节教学的难点。
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
根据本节课的教学内容和目标主要采用讲授法、讨论法、发现法。
27.2.3相似三角形的应用举例(2)
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°， ∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN，∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，
∴
AM AN
EM CN
.
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆
与人的身高的差EM都已测量出，
C
D
A
P
Q
B
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题： 教材第43-44页习题
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该 单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为 警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴能求出CN.
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABND为矩形． ∴DN＝AB. ∴能求出旗杆CD的长度．
8.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的 竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的 影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方 向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测 得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的 高度.
方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
点拨：把太阳的光线看成是平行的.
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB，
∴∠AEB＝∠CBD.
∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD.
∴
AB BE CD BD
.即CD=
S
hA
A'
O BC
B'
C'
相似三角形的应用例析
相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。
生活中的相似三角形例子(二)
生活中的相似三角形例子(二)生活中的相似三角形例子1. 摄影中的景深与相似三角形•景深是指在一张照片中，被摄物体从前景到背景的清晰度渐变程度。
•当摄影师使用较大光圈（如f/）拍摄时，近景物体清晰，背景较模糊；而使用较小光圈（如f/16）拍摄时，前后景物体都较为清晰。
•这种景深的变化可以用相似三角形来解释。
具体来说，照片中的三角形是由摄影机的光轴、近景物体以及背景物体构成的。
•当光轴与近景物体的某条直线平行时，根据相似三角形的性质，可以推导出背景物体模糊度的相对关系。
2. 自然界中的相似三角形例子：云与山•在大自然中，云与山之间存在着相似三角形的关系。
•假设我们观察一座高山，远处有一朵云。
将云与山之间的垂直距离设为h1，将云与我们之间的垂直距离设为h2。
•根据相似三角形的性质，我们可以得到h2与h1的比例与云与山之间的距离与云与我们之间的距离的比例相等。
即 h2/h1 =d2/d1。
•这意味着，通过测量云与山之间的距离及云与我们之间的距离，我们可以估算出云与山之间的垂直距离，从而推断出云的高度。
3. 运动中的相似三角形：身高与影子•在太阳光下，当我们的身体投射出影子时，我们的身高与影子的长度之间存在着相似三角形的关系。
•设我们的身高为H，影子的长度为S，太阳光与地面的夹角为∠A。
•根据相似三角形的性质，我们可以得到S/H = tan(∠A)。
•这意味着，通过测量我们的影子长度以及太阳光与地面的夹角，我们可以估算出我们的身高。
这种方法在实际中被广泛应用，例如在灾害救援中，通过测量影子长度可以估算出被救援人员的身高。
4. 地图与实地之间的相似三角形•地图与实地之间的比例尺关系可以用相似三角形来解释。
•设地图上两点之间的距离为D1，实地上对应两点之间的距离为D2，地图的比例尺为s。
•根据相似三角形的性质，我们可以得到D1/D2 = s。
•这意味着，通过测量地图上的距离以及实地上对应距离，我们可以计算出地图的比例尺。
相似三角形的应用(二)
解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的理解。
路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是从一个点发出的。
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影。
二、新课讲解
例题1、如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子
那么（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出
例题2、有一路灯杆AB(底部
点D处测得自己的影长DF=3m,
的影长FG=4m,如果小明的身高为
三、练习、
1.在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的影子长
路灯下( )
A、小明的影子比小强的影子长
B、小明的影子比小强的影子短
C、小明的影子和小强的影子一样长
D、俩人的影长不确定
2.如图1，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，他沿
着树影BA由点B向点A走去，当走到点
(1) (2)
3. 如图2，身高1.6m的小华（CE）站在距路灯杆
测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度
4.如图3，要测水池对岸两点A、B的距离，如果测得
BC
四、课堂小结、作业
授后小记。
相似三角形的性质及其应用(2)教案
4.5相似三角形的性质及其应用（2）教案课题 4.4相似三角形的性质及其应用（2）单元第四单元学科数学年级九年级（上）学习目标1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的性质；2．理解相似三角形的对应线段的比，能应用它解决实际问题．重点关于相似三角形的周长和面积的两个性质.难点“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、创设情景，引出课题在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？三角形中的边长放大10倍，周长放大10倍，角度不变，面积放大100倍．相似三角形有哪些性质？1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、两个相似三角形的对应角平分线之比等于相似比.3、两个相似三角形的对应中线之比等于相似比.4、两个相似三角形的对应高线之比等于相似比.在8×8的正方形网格中，△ABC∽△A/B/C/，探究下面的问题：思考自议运用相似三角形的性质导出相似三角形的周长和面积与相似比的关系；运用转化思想，把三角形的周长比、面积比转化为相似比、相似比的平方．1、两个相似三角形的相似比是多少？2、两个相似三角形的周长比是多少？3、两个相似三角形的面积比是多少？4、两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？已知:ΔABC∽ΔA’B’C’，相似比为k,求证:二、提炼概念归纳相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方几何语言：∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k 讲授新课三、典例精讲例3:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形应用举例》优质公开课课件
例1 已知左、右并排的两棵
大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部相距 BD=5m.一个身高1.6m的 人沿着正对这两棵树的一 F 条水平直路m从左向右前进， E 当他与左边较低的树的距 离小于多少时，就不能看 到右边较高的树的顶端点C?
A
A
A
P
P
Q
Q P
Q
C
BC
BC
B
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/32022/5/3May 3, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
C A
BDm
C A
F H
K
G
EB D m
李巍同学在回家的 路上发现了如图两根电线
杆AB、CD，分别在高10m的A处和15m的C处有 两根钢索将两杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点 M离地面的高度MH.
C AM
E
BH D
F
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同 时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动， 设P、Q两点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积 为S平方米。
老师的小结：
1、“数学建模”解决实际问 题： 构造相似三角形解决实际生活中求线段长问题 2、“数学思想”解决综合题
“方程思想” “分类讨论思想”
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课题：相似三角形应用举例（2）
学习目标： 1、
能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度
和高度（测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 2、
通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步
了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度。
难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）。
一.知识准备：
1、如图，D .E 是△ABC 的边AC 、AB ，请你加 一个条件，使得
∽
，你
能补充的所有条件是：_________________________________ ____________________________________________________。
2、如图，请你画出能求出河宽AB 的草图， 并确定要量出哪些线段的长度。
二、探究新知：
1、教材P49例5——盲区问题。
自学例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m 和CD = 12 m ，两树根部的距离BD = 5 m ．一个身高1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？
分析：（见教材P49页）
解：
三、巩固练习：
1、如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0.5米时，长臂端点应升高_________.
2、做课本第55页7（联想，证明全等三角形对应高相等的证明方法），
归纳：相似三角形对应边上中线的比_____相似比。
相似三角形对
应边上高线的比、角平分线的比_____相似比（你能证明吗）。
3、做课本第56页12。
4、如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，
B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度．
4、如图
18.24所示，△ABC 中，边BC =12cm ，
高AD =6cm ,边长为x 的正方形PQMN 的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则边长x 为______㎝。
四、课堂检测：
1、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，
ED ＝1，BD ＝4，那么AB ＝ .
2、 如图，R t △ABC 中，∠ACB =90º，CD ⊥AB 于D ，若AD :AB =1:4，则CD :AC ＝__________.
3．如图，∠ABD ＝∠C ，AB ＝5，AD ＝3.5，则AC ＝____________．
第7图
A 时
B 时
A
B
C
D
第10题
第8题
第9题 A
D C B。