离散控制系统分析方法
离散控制系统分析方法
离散控制系统分析方法离散控制系统分析方法指的是对离散控制系统进行建模、分析和设计的方法。
离散控制系统是一种基于离散时间的系统，其输入、输出和状态都是离散的。
离散控制系统广泛应用于工业自动化、通信网络、数字信号处理等领域，因此对其进行有效的分析和设计具有重要意义。
下面将介绍几种常用的离散控制系统分析方法。
1.差分方程法差分方程法是离散控制系统分析的基本方法之一、它通过建立系统的差分方程来描述系统的动态行为。
差分方程的形式类似于连续时间系统的微分方程，但系统状态的变化是以离散时间为单位进行的。
通过求解差分方程，可以得到离散时间下的系统响应。
2.离散频域分析方法离散频域分析方法是一种基于频域的分析方法，主要用于对离散时间系统的频率特性进行分析。
离散频域分析方法常用的工具包括离散傅里叶变换(DFT)、离散余弦变换(DCT)等。
通过对系统的输入和输出信号进行频域分析，可以确定系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
3.状态空间法状态空间法是一种用于描述离散控制系统的方法。
它通过引入状态变量，将系统的动态行为用一组状态方程来表示。
状态方程可以通过差分方程、差分方程组等形式来表示。
状态空间法可以方便地进行系统分析和控制器设计，并且可以应用于线性和非线性离散控制系统。
4.频域折叠法频域折叠法是一种基于频域的系统分析方法，主要用于对离散时间系统的稳定性和性能进行分析。
频域折叠法的基本思想是通过对系统的幅频特性进行折叠，将连续时间系统的频域特性转化为离散时间系统的频域特性。
通过对折叠后的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定域、稳定裕度等性能指标。
5.传函数法传函数法是一种常用的线性离散控制系统分析方法。
它通过将离散时间系统表示为输入信号和输出信号之间的比值，建立系统的传函数模型。
传函数法可以方便地进行系统分析和控制器设计，并且可以应用于多输入多输出(MIMO)离散控制系统。
总结起来，离散控制系统分析方法包括差分方程法、离散频域分析方法、状态空间法、频域折叠法和传函数法等。
第7章 线性离散控制系统分析
f * (t )
7. 3 Z 变换
7.3.1 Z变换的定义
连续信号 f (t ) 经过采样后的离散信号 f * (t ) 为
f * (t ) f (nT ) (t nT )
其拉普拉斯变换为 令
z e Ts
F (s) L[ f (t )] f (nT )e nTs
* * n 0
的根都位于[W] 的左半部。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.2开环增益和采样周期对离散系统稳定性的影响
开环增益与采样周期对离散系统稳定性的影响： （1）采样周期一定时，增大开环增益会使离散系统的稳 定性变差，甚至使系统不稳定； （2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越 多，离散系统的稳定性及动态性能变差，甚至使系
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中，
R( z ) z /( z 1)
。系统输出的变换式为
将上式按幂级数展开，进行Z反变换，可求出输出信号的 脉冲序列 c* (t ) ，绘制单位阶跃响应曲线 c* (t ) ，从而分析 离散系统的动态性能。若不能求出离散系统的闭环脉冲传 递函数 ( z ) ，而R( z) 是已知的，可直接写出 C ( z ) 的表达式。
在线性采样系统理论中，把初始条件为零情况下，系统的离 散输出信号的变换与离散输入信号的变换之比，定义为脉冲 C ( z) 传递函数，记为 G(z)
R( z)
系统输出采样的脉冲序列为 c* (t ) z 1[C ( z)] z 1[G( z) R( z)]
离散系统的时域分析法
第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模／数混合）系统所代替；人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
第七节 离散系统的稳定性分析
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上。
连续系统的稳定性
连续系统稳定
所有特征根均具有负实部
方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
自动控制原理第7章2
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
2020/12/3
11
(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
离散时间系统频域分析
离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。
在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。
离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。
离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。
离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。
通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。
频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。
在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。
频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。
频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。
离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。
在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。
在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。
在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。
差分方程离散系统的z域分析法稳定性
A/D：模拟信号→数字信号，图中还包括 连续信号→离散信号的采样过程
D/A：数字信号→模拟信号，图中还包括 离散信号→连续信号的保持过程 计算机
r
e
数字
控制器
u(t) 执行
D/A
机构
受控 y(t)对象A/D Nhomakorabea测量
计算机控制系统原理图
4
计算机控制系统的主要特点
修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）； 便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务； 控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声； 有显示、报警等多种功能。 有利于实现“智能化”、“网络化”、“管控一体 化”、多级分布式控制等；
表示为为便于数学处理将2t2t实际上被保持器抵消了该系数在有保持器的系统中率特性系统的传递函不影响离散信号的频系数相差一个变换的角度看两者只脉冲为时刻的单位幅值时刻的单位幅值脉冲表示ntsst二采样信号的数学表达式变换即得到z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式个采样时刻的取值的系数为信号在第n10仿真实验
z-n的系数为信号在第n个采样时刻的取值
Z变换只表达了连续函数在采样时刻的特性，不包含采样 时刻之间的信息。
对f(t) 采样后的 f (t) 是唯一的，但 f (t) 所对应的 f(t) 不 唯一； f (t) 与 F(z) 之间的变换是唯一的。
19
S平面与Z平面的对应关系：
根据Z变换定义，有 z eTs
而 uh( t ) 1( t ) - 1( t - T )
U( s ) ,
Uh(
s
)
1
- e-Ts s
零阶保持器实际的传递函数为
Gh (
s
)
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实验二离散控制系统分析方法
一、实验目的
利用MATLAB对各种离散控制系统进行时域分析。
二、实验指导
1．控制系统的稳定性分析
由前面章节学习的内容可知，对线性系统而言，如果一个连续系统的所有极点都位于s平面的左半平面，则该系统是一个稳定系统。
对离散系统而言，如果一个系统的全部极点都位于z平面的单位圆内部，则该系统是一个稳定系统。
一个连续的稳定系统，如果所有的零点都位于s平面的左半平面，即所有零点的实部小于零，则该系统是一个最小相位系统。
一个离散的稳定系统，如果所有零点都位于z平面的单位圆内，则称该系统是一个最小相位系统。
由于Matlab提供了函数可以直接求出控制系统的零极点，所以使用Matlab判断一个系统是否为最小相位系统的工作就变得十分简单。
2．控制系统的时域分析
时域分析是直接在时间域对系统进行分析。
它是在一定输入作用下，求得输出量的时域表达式，从而分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差。
这是一种既直观又准确的方法。
Matlab提供了大量对控制系统的时域特征进行分析的函数，适用于用传递函数表示的模型。
其中常用的函数列入表1，供学生参考。
例1．z z z H 5.05.1)(2+=
试绘出其单位阶跃响应及单位斜波输入响应。
解：为求其单位阶跃响应及单位斜波输入响应，编制程序如下： num=[1.5];
den=[1 0.5 0];sysd=tf(num,den,0.1) [y,t,x]=step(sysd); subplot(1,2,1) plot(t,y);
xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)');
gtext('单位阶跃响应') grid;
u=0:0.1:1; subplot(1,2,2)
[y1,x]=dlsim(num,den,u); plot(u,y1)
xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)');
gtext('单位速度响应') grid
二、 实验内容
1、MATLAB 在离散系统的分析应用
对于下图所示的计算机控制系统结构图1，已知系统采样周期为T=0.1s ，被
控对象的传递函数为
2
()
s(0.11)(0.05s1)
G s
s
=
++
，数字控制器
0.36
()
0.98
z
D z
z
-
=
+
，试
求该系统的闭环脉冲传递函数和单位阶跃响应。
图1 计算机控制系统结构图
实验步骤：
1）.求解开环脉冲传递函数，运用下面的matlab语句实现：>> T=0.1;
>> sys=tf([2],[0.005 0.15 1 0]); %将传函分母展开
>> sys1=c2d(sys,T,'zoh');
>> sys2=tf([1 -0.36],[1 0.98],0.1);
>> sys3=series(sys2,sys1)
执行语句后，屏幕上显示系统的开环脉冲传递函数为：
sys3 =
0.03362 z^3 + 0.05605 z^2 - 0.01699 z - 0.002717
-------------------------------------------------- z^4 - 0.5232 z^3 - 0.9201 z^2 + 0.4922 z - 0.04879
Sample time: 0.1 seconds
2）.求其闭环脉冲传递函数，可以输入下列matlab语句来实现：
>> sys4=tf([1]);
>> sys5=feedback(sys3,sys4,-1)
执行语句后，会显示系统的开环脉冲传递函数为：
sys5 =
0.03362 z^3 + 0.05605 z^2 - 0.01699 z - 0.002717
--------------------------------------------------
z^4 - 0.4896 z^3 - 0.8641 z^2 + 0.4752 z - 0.05151
Sample time: 0.1 seconds
3）.最后可用下列命令绘制该离散系统的单位阶跃响应，其结果如图所示：>> step(sys5)
离散系统的单位阶跃响应曲线为：
4）.还可以绘制该离散系统的单位脉冲响应，其结果如图所示：>> impulse(sys5)
实验结果：
2、SIMULINK在离散系统的分析应用
所给的离散系统的Simulink仿真模型如图2所示，在建立的仿真模型中，设置数字控制器和零阶保持器的采样时间为0.1s。
运行仿真模型就可以获得系统的单位阶跃响应，该离散系统的单位阶跃响应曲线，如图3。
图2 系统的单位阶跃响应Simulink仿真模型
图3 离散系统的单位阶跃响应曲线
图4 系统的单位脉冲响应Simulink仿真模型设置脉冲输入参数如下：
图5 离散系统的单位脉冲响应曲线实验结果：
问题分析：在实验的过程中，由于对matlab软件熟练度不足和对软件某些认识上的不足，使得程序在运行过程中出现了许多差错，而对专业知识理解的不到位，使得软件实践和理论知识之间产生了隔阂。
最后在老师和同学的帮助下，最终完成了实验，得到了满意的结果和正确的答案。
希望自己将来在matlab的学习与应用中取得进步，感谢老师的教导和帮助！。