图论相关算法1

J
A L F
M B H K G I D E C
由深度优先生成树可得出两类关节点的 特性：
(1) 若生成树的根有两棵戒两棵以上的子树，则此 根顶点必为关节点。因为图中丌存在联结丌同子树
பைடு நூலகம்
中顶点的边，因此，若删去根顶点，生成树便变成
生成森林。如上图中的顶点A。 (2) 若生成树中某个非叶子顶点v，它的子树中的任 一结点均没有指向v的祖先的回边，则v为关节点。因 为，若删去v，则其子树和图的其他部分就被分割开
通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现dfn[5]=low[5]=3，退栈后{5} 为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节
点4存在向节点1的回边，节点1还在栈中，所以 low[4]=dfn[1]=1。节点6已经出栈，丌再访问6， 返回3，(3,4)为树边，所以low[3]=low[4]=1。
A
A
B
L
F
C
D
E M
F
G
H
J
B
I
J
K
H K
D
E
C
L
连通图G
M
G I
G的深度优先生成树
树边：深度优先搜索树中的 实线表示树边，在DFS过程 中，从v点访问u点时，若u 没有被访问过，则边(v,u) 为树边。
回边：深度优先搜索 树中的虚线表示回边， 在DFS过程中，从v点 访问u点时，若u点已 经访问过，则边(v,u) 为回边。
广度优先搜索
由BFS得到的路径是原图中从S到T的边数 最少的路径 广度优先搜索树不唯一
广度优先搜索的例子
0
0 0 1 1
1
1
4 4
2
2 2
1
3 3
2
5 5
2
6 6 7 7
4
3
8 8
t = 0; void BFS( int s ) // 从 s 开始遍历 { int queue[maxn], tail, head; head = tail = 0; queue[head] = s; depth[s] = 0; time[s] = t++; visit[s] = true; while ( head <= tail ) // queue not empty { int curr = queue[head++]; int i; for (i = 0; i < n; i++) if ( adj[curr][i] && !visit[i] ) { visit[i] = true; depth[i] = depth[curr] + 1; time[i] = t++; queue[++tail] = i; } } }
void solve() { int i; Stop=Bcnt= times =0; memset(dfn,0,sizeof(dfn)); for (i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i); }
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到
节点u=6时，dfn[6]=low[6]=4，找到了一个强连
中存在指向i祖先的回边。反之，若对于某个顶点v，存 在孩子结点w，且low[w]>=dfn[v],表明w及其子 孙均无指向v的祖先的回边，则该顶点v必为关节点。 具体算法如下：
void dfs(int v) { int i,w,cnum=0; //cnum表示孩子个数 times++; visit[v]=1; dfn[v]=low[v]=times; //记录时间戳 for(i=0;i<map[v].size();i++) { w=map[v][i]; if(!visit[w]) //w没有访问过，则w是v的孩子结点 { cnum++; dfs(w); low[v]=min(low[w],low[v]); if(v==root&&cnum==2) //如果v是根，且有2个以上的孩子，则为关节点 flag[v]=1; if(v!=root&&low[w]>=dfn[v])//丌为根若low[w]>=dfn[v])，则为关节点 flag[v]=1; } else if(v!=w) //w已经访问过了，说明从v到w有一条回边，w是v的祖先 { low[v]=min(low[v],dfn[w]); } }
图
论
（Elementary Graph Algorithms）
图的定义
图是由顶点集合以及顶点间的关系的集合 组成的一种关系的数学表示 G = （V，E） 其中顶点是由有穷非空集合 顶点之间的关系（边）是有穷集合 Path (x , y)表示从x到y的一条单向通路， 它是有方向的
图的分类
有向图：图中的边是有方向的。E (x ,y) 和 E ( y ,x)表示的边不同 无向图：图中的边是没有方向的。 完全图：n个顶点的图两两连边，即有 n(n-1)/2条边，则此图为n的完全图。 用K n表示
图的一些概念
邻接顶点：如果(u ,v) ∈E(G),则称u与v互 为邻接顶点 子图：设有两个图G(V,E)和G’(V’,E’)，若V’ V 且E’ E’，则称图G‘是图G的子图 权：某些图的边上标有相关的数字，称为 该边的权值
深度优先搜索
每个顶点的d[u] < f[u] DFS中，v是u的子孙 d[u]<d[v]<f[v]<f[u]在搜索中发现u时可 以从u出发沿一条完全由白色顶点组成的路 径到达v m条边的连通图，DFS中顺序标号每条边为 1~m，则任意与顶点u关联的所有边（边数 >=2）的标号的GCD为1
桥：图中的桥（bridge）是一条边，如果删除这条边，将 把连通图分离成两个断开的子图。无桥的图称作边连通图 （edge-connected graph）。
0 6 1 2 10 3 5 4 9 7 8 这个图丌是边连通图。 边0-5、6-7和1112（带阴影）为桥。
11
12
在任何DFS树中，当且仅当丌存在回边连通w的子孙
0
6 1 2 10 3 5 4 9 顶点0、4、5、6、 7和11为关节点。 12 7 8
11
割点、割边以及连通分量
时间戳：dfn[i]表示结点i是第dfn[i]个被访问到的结点。有的时候我 们 还要记录某个结点被遍历并检查完毕的时间。
void dfs(v) { dfn[v]=++times; //记录访问结点的时间戳 visit[v]=1; for 寻找一个v的相邻节点u if (visit[u]==0)then DFS(u); }
顶点的度 一个顶点V的度是与它相连边的条数， 记为Deg(V). 顶点的入度 一个顶点V的入度是以它为终点有向 边的条数，记为InDeg(V) 顶点的出度 一个顶点V的入度是以它为起点有向 边的条数，记为OutDeg(V) 路径 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿 一些边经过一些顶点 Vp1, Vp2, …, Vpm，到达 顶点Vj。则称顶点序列 (Vi Vp1 Vp2 ... Vpm Vj) 为从顶点Vi 到顶点 Vj 的路径。它经过的边(Vi, Vp1)、(Vp1, Vp2)、...、(Vpm, Vj) 应是属于E的 边。
不w的祖先时，树边v-w是一座桥。 不割点类似的，我们定义low[]和dfn[]。父子边
e=u→v ，当且仅当low[v] > dfn[u]的时候，e是
割边。
有向图的强连通分量
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两
个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G
的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通 图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。 下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点 1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
深度优先搜索
相关概念
递归实现 结点颜色：
白色（开始），灰色（发现），黑色（结束）
一个结点总是从白色变为灰色，再变为黑色 当所有点都变为黑色时，遍历结束 时间戳(timestamp): d[u]表示一个结点开始被访 问的时间，f[u]表示一个结点结束访问的时间
深度优先搜索
int timestamp = 0; dfs(int p) { timestamp = timestamp + 1; col[p] = GREY; d[p] = timestamp; for (每个与p相邻的点i) if (col[i] == WHITE) dfs(i); timestamp = timestamp + 1; f[p] = timestamp; col[p] = BLACK; }
1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
0
1
2
0 1
0 1 0
G.edge[i][j]= 无向图的临界矩阵是对称的
1 0 0 0
有向图的邻接矩阵往往是不对称的
图的存储表示 邻接表(Adjacency List)
Data adj
0
dest link
1 0 0 0 ∧
dest link
2
dest link
3 ∧
0
1
1
3
2
2
3 2
∧ ∧
3
同一个顶点发出的边链接在同一个边链表 中，每一个链结点代表一条边，结点中另 一个顶点的下表dest和指针link
图论相关算法