高三一轮复习函数综合(提高)练习题
函数的奇偶性与周期性-专项训练-2025届高三数学一轮复习(含解析)
2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【A级 基础巩固】一、单选题1．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝2x B．y＝xC．y＝|x| D．y＝－x2＋12．设函数f(x)＝x－2x＋2，则下列函数中为奇函数的是( )A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋13．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(－1)＝－2，则f(2 025)＝( )A．2 B．0C．－2 D．－44．已知函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝( )A．3 B．5C．6 D．75．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)6．若函数f(x)＝sin x·ln(mx＋1＋4x2)的图象关于y轴对称，则m＝( ) A．2 B．4C．±2 D．±47．已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( )A.(12，＋∞)B.(－∞，12)C.(－∞，12)∪(34，＋∞)D.(0，12)∪(34，＋∞)8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )A．0 B．－1C．－2 D．2二、多选题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x10．已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－711.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，则下列说法正确的是( )A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f(x)的图象关于点(2,0)对称D．f(x)在(－5,5)内至少有5个零点12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )A．f(2 021)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3D．f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)三、填空题13．已知函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，则a的值等于_________.14．已知奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为_________.15．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_7__.－2≤x≤0时，f(x)＝_________.16．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝__________.17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(12)＝0，则f(x)>0的解集为__________________.【B级 能力提升】1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定2．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )B．f(x)是周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数3．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x的取值范围是( )A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝( )A．－3 B．－2C．0 D．15．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________.6．函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．参考答案【A级 基础巩固】1．[解析] A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B 选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.2．[解析] 化简函数f(x)＝1－4x＋2，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．由题意得，f(x)＝1－4x＋2.对A，f(x－2)－1＝－4x是奇函数；对B，f(x－2)＋1＝2－4x，关于(0,2)对称，不是奇函数；对C，f(x＋2)－1＝－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数；对D，f(x＋2)＋1＝2－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数．故选A.3．[解析] 依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.4．[解析] 函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－1x＋3＋sinx＋x3＋1x＋3＝－sin x－x3－1x＋sin x＋x3＋1x＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.5．[解析] 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．6．[解析] 因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，又y＝sin x为奇函数，所以y＝ln(mx＋1＋4x2)为奇函数，即ln[－mx＋1＋4·(－x)2]＝－ln(mx＋1＋4x2)，解得m＝±2.故选C.7．[解析] 显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>34或a<12，故选C.8．[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.二、多选题9．[解析] 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．10．[解析] 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC.11.[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，但f(x)的最小正周期不一定为4，如f(x)＝sin(3π2x)，满足f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝sin[3π2(x＋2)]＝sin (3π2x＋3π)＝－sin(3π2x)＝－f(x)，而f(x)＝sin(3π2x)的最小正周期为43，故A错误；因为f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)为奇函数可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)内f(x)至少有－4，－2,0,2,4这5个零点，故D正确．故选BCD.12．[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；∵当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；易知当x∈(0,2)时，f(x)>0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确．三、填空题13．[解析] 由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x －2－x lg a＋2－x－2x lg a＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lg a＝0，∴lg a＝1，∴a＝10.14．[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.15．[解析] 因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.16．[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.17．[解析] 由已知可构造y＝f(x)的示意图象，所以f(x)>0的解集为(－12，0)∪(12，＋∞).【B级 能力提升】1．[解析] 因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．[解析] 因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确，故选BD.3．[解析] 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得Error!或Error!或x＝0.解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D.4．[解析] 因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.5．[解析] 解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－(a2－2)＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.6．[解析] (1)若函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，则f(－x)＝－ax＋bx2＋1＝－f(x)＝－ax＋bx2＋1解得b＝0，又∵f(12)＝25.∴12a(12)2＋1＝25，解得a＝1，故f(x)＝xx2＋1.(2)证明：任取区间(－1,1)上的两个实数m，n，且m<n，则f(m)－f(n)＝mm2＋1－nn2＋1＝(m－n)(1－mn)(m2＋1)(n2＋1).∵m2＋1>0，n2＋1>0，m－n<0,1－mn>0，∴f(m)－f(n)<0，即f(m)<f(n)．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．7．[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.。
高考数学一轮复习 核心素养提升系列(一)函数与导数高考压轴大题的突破问题练习 新人教A版-新人教A版
核心素养提升系列(一)1．(导学号14577259)(理科)(2018·湘西州一模)已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋ax，其中a ∈R ，e ＝2.718……(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值X 围． 解：(1)函数h (x )＝x －a ln x ＋1＋ax的定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2.①当1＋a ≤0，即a ≤－1时，h ′(x )＞0，故h (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②当1＋a ＞0，即a ＞－1时，x ∈(0,1＋a )时，h ′(x )＜0；x ∈(1＋a ，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )在(0,1＋a )上是减函数，在(1＋a ，＋∞)上是增函数． (2)由(1)令h (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)，x 0∈[1，e]， ①当a ≤－1时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (1)＝1＋1＋a ＜0，解得，a ＜－2； ②当－1＜a ≤0时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (1)＝1＋1＋a ＜0，解得，a ＜－2；③当0＜a ≤e－1时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (1＋a )＝1＋a －a ln(1＋a )＋1＜0，无解；④当e －1＜a 时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (e)＝e －a ＋1＋ae＜0， 解得，a ＞e 2＋1e －1.综上所述，a 的取值X 围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.1．(导学号14577260)(文科)(2017·某某某某市名校联考)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，某某数m 的取值X 围；(3)若函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且0＜x 1＜x 2，求证：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故g ′(x )＝0时，x ＝1. 当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2＜0，∴g (e )＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. (3)∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0)，B (x 2,0)，∴方程2ln x －x 2＋ax ＝0的两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21＋ax 1＝0，2ln x 2－x 22＋ax 2＝0，两式相减得a ＝(x 1＋x 2)－2ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又f (x )＝2ln x －x 2＋ax ，f ′(x )＝2x－2x ＋a ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝4x 1＋x 2－(x 1＋x 2)＋a ＝4x 1＋x 2－2ln x 1－ln x 2x 1－x 2. 下证4x 1＋x 2－2ln x 1－ln x 2x 1－x 2＜0(*)，即证明2x 2－x 1x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，令t ＝x 1x 2，∵0＜x 1＜x 2，∴0＜t ＜1，即证明u (t )＝21－tt ＋1＋ln t ＜0在0＜t ＜1上恒成立．∵u ′(t )＝－2t ＋1－21－t t ＋12＋1t ＝t ＋12－4tt t ＋12＝t －12t t ＋12，又0＜t ＜1，∴u ′(t )＞0，∴u (t )在(0,1)上是增函数，则u (t )＜u (1)＝0，从而知2x 2－x 1x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，故(*)式＜0，即f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立．2．(导学号14577261)(文科)(2018·某某市一模)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a ＋1)e x. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)函数f (x )有两个极值点，x 1，x 2(x 1＜x 2)，其中a ＞0.若mx 1－f x 2e x 2＞0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝[x 2＋(2－a )x ＋1]e x， 令x 2＋(2－a )x ＋1＝0(*)，①Δ＝(2－a )2－4＞0，即a ＜0或a ＞4时， 方程(*)有2根，x 1＝a －2－a 2－4a2，x 2＝a －2＋a 2－4a2，函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)递增，在(x 1，x 2)递减． ②Δ≤0时，即0≤a ≤4时，f ′(x )≥0在R 上恒成立， 函数f (x )在R 递增．综上，a ＜0或a ＞4时，函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)递增，在(x 1，x 2)递减；0≤a ≤4时，函数f (x )在R 递增．(2)∵f ′(x )＝0有2根x 1，x 2且a ＞0，∴a ＞4且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a －2x 1x 2＝1，∴x 1＞0，mx 1－f x 2e x 2＞0恒成立等价于m ＞f x 2x 1e x 2＝x 22－ax 2＋a ＋1x 1恒成立，即m ＞－x 22＋2x 2＋1恒成立． 令t ＝a －2(t ＞2)，则x 2＝a －2＋a 2－4a2.令g (t )＝t ＋t 2－42，t ＞2时，函数g (t )＝t ＋t 2－42递增，g (t )＞g (2)＝1，∴x 2＞1，∴－x 22＋2x 2＋1＜2， 故m 的X 围是[2，＋∞)．2．(导学号14577262)(理科)(2018·某某市二模)已知三次函数f (x )的导函数f ′(x )＝－3x 2＋3且f (0)＝－1，g (x )＝x ln x ＋ax(a ≥1)．(1)求f (x )的极值；(2)求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)．解：(1)依题意得f (x )＝－x 3＋3x －1，f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 知f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－1)＝－3，f (x )极大值＝f (1)＝1. (2)证明：法一：易得x ＞0时，f (x )最大值＝1，依题意知，只要1≤g (x )(x >0)⇔1≤x ln x ＋a x(a ≥1)(x >0)． 由a ≥1知，只要x ≤x 2ln x ＋1(x ＞0)⇔x 2ln x ＋1－x ≥0(x ＞0)． 令h (x )＝x 2ln x ＋1－x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x ln x ＋x －1， 注意到h ′(1)＝0，当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，即h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)是增函数，h (x )最小值＝h (1)＝0即h (x )≥0.综上知对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)． 法二：易得x ＞0时，f (x )最大值＝1，由a ≥1知，g (x )≥x ln x ＋1x(x >0)，令h (x )＝x ln x ＋1x(x >0)则h ′(x )＝ln x ＋1－1x 2＝ln x ＋x 2－1x2.注意到h ′(1)＝0，当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，即h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)是增函数，h (x )最小值＝h (1)＝1，所以h (x )最小值＝1，即g (x )最小值＝1.综上知对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)． 法三：易得x ＞0时，f (x )最大值＝1.由a ≥1知，g (x )≥x ln x ＋1x (x >0)，令h (x )＝x ln x ＋1x (x >0)，则h ′(x )＝ln x ＋1－1x2(x >0)．令φ(x )＝ln x ＋1－1x 2(x >0)，则φ′(x )＝1x ＋1x3>0，知φ(x )在(0，＋∞)递增，注意到φ(1)＝0，所以，h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)是增函数， 有h (x )最小值＝1，即g (x )最小值＝1.综上知对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)．3．(导学号14577263)(理科)(2018·东北三省(某某、某某、某某、某某四城市)联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f ′12·e2x －2＋x 2－2f (0)x ，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a .(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )的单调区间；(3)如果s 、t 、r 满足|s －r |≤|t －r |，那么称s 比t 更靠近r . 当a ≥2且x ≥1时，试比较e x和e x －1＋a 哪个更靠近ln x ，并说明理由.解：(1)f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，所以f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′12·e －2，所以f ′(1)＝2e 2，所以f (x )＝e 2x＋x 2－2x .(2)∵f (x )＝e 2x－2x ＋x 2，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x ＋14x 2－x －14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x－a (x －1)，∴g ′(x )＝e x －a .①当a ≤0时，g ′(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增； ②当a >0时，由g ′(x )＝e x－a ＝0得x ＝ln a ， ∴x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增.综上，当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为 (－∞，＋∞)；当a >0时，函数g (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a )． (3)设p (x )＝e x－ln x ，q (x )＝e x －1＋a －ln x ，∵p ′(x )＝－e x 2－1x<0，∴p (x )在x ∈[1，＋∞)上为减函数，又p (e)＝0，∴当1≤x ≤e 时，p (x )≥0，当x >e 时，p (x )<0. ∵q ′(x )＝ex －1－1x ，q ″(x )＝e x －1＋1x2>0，∴q ′(x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，又q ′(1)＝0，∴x ∈[1，＋∞)时，q ′(x )≥0，∴q (x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，∴q (x )≥q (1)＝a ＋2>0.①当1≤x ≤e 时，|p (x )|－|q (x )|＝p (x )－q (x )＝e x －e x －1－a ，设m (x )＝e x－e x －1－a ，则m ′(x )＝－e x2－e x －1<0，∴m (x )在x ∈[1，＋∞)上为减函数， ∴m (x )≤m (1)＝e －1－a ，∵a ≥2，∴m (x )<0，∴|p (x )|<|q (x )|，∴e x比e x －1＋a 更靠近ln x .②当x >e 时，设n (x )＝2ln x －ex －1－a ，则n ′(x )＝2x －e x －1，n ″(x )＝－2x2－e x －1<0，∴n ′(x )在x >e 时为减函数，∴n ′(x )<n ′(e)＝2e－e e －1<0，∴n (x )在x >e 时为减函数，∴n (x )<n (e)＝2－a －e e －1<0，∴|p (x )|<|q (x )|，∴e x比e x －1＋a 更靠近ln x .综上：在a ≥2，x ≥1时，e x比e x －1＋a 更靠近ln x .3．(导学号14577264)(文科)(2018·某某市三调)已知函数f (x )＝1x＋a ln x (a ≠0，a∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1)因为f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2，当a ＝1，f ′(x )＝x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)∵f ′(x )＝ax －1x 2，(a ≠0，a ∈R )． 令f ′(x )＝0，得到x ＝1a.若在区间[0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立， 其充要条件是f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0即可．①当x ＝1a＜0，即a ＜0时，f ′(x )＜0对x ∈(0，＋∞)成立，∴f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e＝1e＋a . 由1e ＋a ＜0，得a ＜－1e . ②当x ＝1a＞0，即a ＞0时，(ⅰ)若e≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，∴f (x )在区间(0，e]上单调递减，∴f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ＞0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． (ⅱ)若1＜1a ＜e ，即a ＞1e时，则有∴f (x )在区间[0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝a ＋a ln a.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )＜0，得1－ln a ＜0，解得a ＞e ，即a ∈(e ，＋∞)． 综上，由①②可知：a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)．4．(导学号14577265)(理科)(2018·某某市一模)已知函数f (x )＝a ln x －x －ax＋2a (其中a 为常数，a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，是否存在实数a ，使得当x ∈[1，e]时，不等式f (x )＞0恒成立？如果存在，求a 的取值X 围；如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)解：(1)由于f (x )＝a ln x －x －a x＋2a ，(x ＞0)， 则f ′(x )＝－x 2＋ax ＋ax2， ①a ≤0时，f ′(x )＜0恒成立，于是f (x )的递减区间是(0，＋∞)． ②a ＞0时，令f ′(x )＞0，解得：0＜x ＜a ＋a 2＋4a2，令f ′(x )＜0，解得：x ＞a ＋a 2＋4a2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋a 2＋4a 2递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，＋∞递减．(2)a ＞0时，①若a ＋a 2＋4a2≤1，即0＜a ≤12，此时f (x )在[1，e]递减，f (x )min ＝f (e)＝3a －e －a e＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1e a －e≤⎝⎛⎭⎪⎫3－1e ×12－e ＜0，f (x )＞0恒成立，不合题意．②若a ＋a 2＋4a2＞1，a ＋a 2＋4a2＜e ，即12＜a ＜e2e ＋1时，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋4a 2递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，e 递减．要使在[1，e]恒有f (x )＞0恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f1>0fe >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1>03a －e －ae >0，解得e 23e －1＜a ＜e2e ＋1.③若a ＋a 2＋4a2≥e，即a ≥e2e ＋1时，f (x )在[1，e]递增，令f (x )min ＝f (1)＝a －1＞0，解得a ≥e2e ＋1.综上，存在实数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 23e －1，＋∞，使得f (x )＞0恒成立．4．(导学号14577266)(文科)(2018·某某市二模)已知函数f (x )＝x 2－a2ln x 的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，某某数m 的取值X 围．解：(1)f (x )＝x 2－a 2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a 2x .因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－a＝0，所以a ＝1，f (x )＝x 2－12ln x ，f ′(x )＝2x －12x＝2x －12x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x >12；令f ′(x )＜0，得0<x <12，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)g (x )＝x 2－12 ln x ＋12mx ，由g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2＋mx －12x＝0，得x ＝－m ＋m 2＋168.设x 0＝－m ＋m 2＋168，所以g (x )在(0，x 0]上是减函数，在[x 0，＋∞)上为增函数．因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点，所以g (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立． 由g (x )＞0，得12m >ln x 2x －x ，令y ＝ln x 2x －x ，则y ′＝2－2ln x 4x 2－1＝2－2ln x －4x24x 2. 当x ＞1时，y ′＜0，所以y ＝ln x2x －x 在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ＝1时，y max ＝－1，故12m ≥－1，即m ∈[－2，＋∞)．。
高三一轮复习函数综合(提高)练习题
第一轮复习函数复习训练题一、选择题:1、若集合{}||A x x x ==，{}20B x x x =+≥，则A B =（ ） A ．[1,0]- B ．[0,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞-2、设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=],[b a （b a <），集合}),({M x x f y y N ∈==,则使M=N 成立的实数对),(b a 有（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个 3、已知函数()()⎩⎨⎧∈-⋅==*Nn n f n n n f ,10,1 ， 则()6f 的值是（ ） A ． 6B ． 24C ． 120D ． 7204、若不等式x x a 42-≤对任意]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．4-≥a B ．3-≥a C ．03≤<-a D ．3-≤a5、设二次函数cbx ax x f ++=2)(，如果))(()(2121x x x f x f ≠=，则)(21x x f +等于（ )A ．ab2-B ．ab-C ．cD ．ab ac 442-6、已知时且当时当是偶函数]1,3[,4)(,0,)(--∈+=>=x xx x f x x f y ，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是( ) A ．31B ．32C ．1D ．347、偶函数))((R x x f ∈满足：0)1()4(==-f f ，且在区间[0，3］与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式0)(3<x f x 的解集为（ ）A ．),4()4,(+∞⋃--∞B ．)4,1()1,4(⋃--C ．)0,1()4,(-⋃--∞D ．)4,1()0,1()4,(⋃-⋃--∞8、定义在R 上的偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递增，若21x x >，021>+x x ，则（ ） A ．)()(21x f x f >B ．)()(21x f x f >-C ．)()(21x f x f -<D ．)(1x f ,)(2x f 的大小与1x ,2x 的取值有关9、函数)(x f 为奇函数，)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则+=+==( ）A ．0B ．1C ．25D ．510、对于实数x,符号［x ］表示不超过x 的最大整数，例如,2]08.1[,3][-=-=π定义函数],[)(x x x f -=则下列命题中正确的是( ) A ．1)3(=fB ．方程21)(=x f 有且仅有一个解 C ．函数)(x f 是周期函数 D ．函数)(x f 是增函数11、定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则(1)y f x =+的值域为（ ）A 。
山东济宁高三数学一轮复习函数专项提升训练
山东济宁高三数学一轮复习函数专项提升训练形如y=kx+b(k,b是常数，k0)的函数叫做一次函数，以下是整理的函数专项提升训练，希望对考生有帮助。
1.记f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N，求：(1)集合M，N;(2)集合MN，MN.解 (1)M={x|2x-30}=，N==={x|x3，或x1}.(2)MN={x|x3}，MN=..二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上，函数y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的上方，试确定实数m的取值范围.解 (1)由f(0)=1，可设f(x)=ax2+bx+1(a0)，故f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b，由题意，得解得故f(x)=x2-x+1.(2)由题意，得x2-x+12x+m，即x2-3x+1m，对x[-1,1]恒成立.令g(x)=x2-3x+1，则问题可转化为g(x)minm，又因为g(x)在[-1,1]上递减，所以g(x)min=g(1)=-1，故m-1..下列函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().A.y=x2B.y=|x|+1C.y=-lg|x|D.y=2|x|解析对于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.答案 C设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)g(a)的表达式。
解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.综上，g(a)=答案.设函数f(x)对任意的a，bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设x10，f(x)1，f(x2)=f(x1+x)=f(x1)+f(x)-1f(x1)，f(x)是R上的增函数.(2)解 f(4)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，f(3m2-m-2)3=f(2).又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，3m2-m-22，-10-20.综上，f(x)0的解集为{x|-20，016-4x16，[0,4).答案 C.已知函数f(x)=若f(a)=，则a的值为().A.-1B.C.-1或D.-1或解析若a0，有log2a=，a=;若a0，有2a=，a=-1.答案 D.函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m2+1)f(-m+1)，则实数m的取值范围是().A.(-，-1)B.(0，+)C.(-1,0)D.(-，-1)(0，+)解析由题意得m2+1-m+1，即m2+m0，故m-1或m0.答案 D.奇函数f(x)在[3,6]上是增函数，且在[3,6]上的最大值为2，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)=().A.5B.-5C.3D.-3解析由题意又f(x)是奇函数，2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-4+1=-3.答案 D.规定记号表示一种运算，即ab=ab+a+b2(a，b为正实数).若1k=3，则k=().A.-2B.1C.-2或1D.2解析根据运算有1k+1+k2=3，k为正实数，所以k=1.答案 B.函数f(x)=的定义域是________.解析由log(x-1)000时，f(x)=ax(a0且a1)，且f=-3，则a的值为().A. B.3 C.9 D.解析 f(log4)=f=f(-2)=-f(2)=-a2=-3，a2=3，解得a=，又a0，a=.答案 A.设a=log3，b=0.3，c=ln ，则().A.aln e=1，故a7，则实数m的取值范围是________.解析 f(2)=4，f(f(2))=f(4)=12-m7，m5.答案 (-，5)函数专项提升训练及答案的所有内容就是这些，更多精彩内容请持续关注。
2023年一轮复习《指数函数》提升训练(含解析)
2023年一轮复习《指数函数》提升训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.2.（5分）已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a+ b=( )A. −12B. −32C. −52D. −12或−523.（5分）已知A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}，则A∩(∁R B)为()A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (0,1)D. (−2,0]4.（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|⩽1,x∈R}，集合B={x|2x⩾1,x∈R}，则集合A∪B=()A. (−∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞)5.（5分）函数y=ln(5−x)+√2x−8的定义域是()A. [2,3)B. [3,5)C. (−∞,3)D. (2,3)6.（5分）设集合A={ x|e x>1}，B={ x||x|>2}，则A∩B=()A. (−2,0)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (1,+∞)7.（5分）已知实数a，b，c满足不等式0<a<b<c<1，且M=2a，N=5−b，P=(17)c，则M、N、P的大小关系为()A. M>N>PB. P<M<NC. N>P>MD. P>N>M8.（5分）若2x+5y⩽2−y+5−x，则有()A. x+y⩾0B. x+y⩽0C. x−y⩽0D. x−y⩾09.（5分）设集合A ={ x |2x ⩾4)，集合B ={ x |−1⩽x ⩽5)，则A ∩B =( )A. { x |−1⩽x ⩽2}B. { x |2⩽x ⩽5}C. { x |x ⩾−1}D. { x |x ⩾2}10.（5分）函数y =3|log 3x|的图象是( )A. B. C. D.11.（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)=f(−x)，当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，则f(x)在区间(1,32)内是( )A. 减函数且f(x)>0B. 减函数且f(x)<0C. 增函数且f(x)>0D. 增函数且f(x)<012.（5分）已知a =log 23+log 2√3，b =log 29−log 2√3，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a =b <cB. a =b >cC. a <b <cD. a >b >c二 、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知实数x ，y 均大于零，且x +2y =4，则log 2x +log 2y 的最大值为______． 14.（5分）已知函数f(x)=ln (√1+x 2−x)+2，则f(≶3)+f(≶13)= ______ ．15.（5分）已知存在实数x ，y ∈(0,1)，使得不等式1x +11−x <2y 2−y+t 成立，则实数t的取值范围为__________.16.（5分）设f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，若f(12)=0，若f(log 14x)>0，那么x 的取值范围是 ______ .三 、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）已知函数f(x)=3x ，且f(a +2)=18，g(x)=3ax −4x 的定义域为[－1，1].（1）求3a 的值及函数g(x)的解析式； （2）试判断函数g(x)的单调性；（3）若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围. 18.（12分）设a ∈R ，函数f(x)=2x −a 2x +a.(1)若a >0，判断并证明函数f(x)的单调性；(2)若a ≠0，函数f(x)在区间[m,n ](m <n)上的取值范围是[k2m ,k2n ](k ∈R)，求ka 的范围．19.（12分）已知函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ，集合B={x |2⩽2x ⩽16}，非空集合C={x |m +1⩽x ⩽2m −1}，全集为实数集R. (1)求集合A ∩B 和∁R B;(2)若A ∪C =A ，求实数m 取值的集合．20.（12分）f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，a>0在区间[−1,2]上最大值9，最小值0．(1)求a，b的值(2)求不等式f(x)⩾1的解集．21.（12分）已知奇函数f(x)=12x−1+a．(1)求f(x)的定义域；(2)求a的值；(3)证明x>0时，f(x)>0．22.（12分）已知函数f(x)=2xa +a2x−1(a>0)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)解方程f(x)=134.答案和解析1.【答案】B;【解析】这道题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性，问题得以解决．解：因为x−1x 1x>0，解得x>1或−1<x<0，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A、D不正确．当x∈(−1,0)时，g(x)=x−1x 1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)是增函数．故选B．2.【答案】B;【解析】当a>1时，f(x)单调递增，有f(−1)=1a+b=−1，f(0)=1+b=0，无解；当0<a<1时，f(x)单调递减，有f(−1)=1a+b=0，f(0)=1+b=−1，解得a=12，b=−2，所以a+b=−32．故选B．3.【答案】D;【解析】该题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩(∁R B)即可．解：A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}={ x|x>0}，∴∁R B={ x|x⩽0}，∴A∩(∁R B)=(−2,0]．故选：D ．4.【答案】D;【解析】【试题解析】此题主要考查集合的并集及其运算，考查指数不等式的求解，属于基础题. 先分别求出集合A 、B ，再根据集合的并集定义求解即可.解：集合A =\left{ x ||x|⩽1,x ∈R }=\left{ x |−1⩽x ⩽1,x ∈R }， 集合B =\left{ x |2x ⩾1,x ∈R }=\left{ x |x ⩾0,x ∈R }， 所以A ∪B =[−1,+∞). 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了函数的定义域及其求法，属基础题． 根据对数的真数大于0，和偶次根式被开方非负列式解得．解：由{5−x >02x −8⩾0，解得：3⩽x <5，故选B.6.【答案】C; 【解析】此题主要考查交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={ x |x >0}，B ={ x |x <−2或x >2}； ∴A ∩B =(2,+∞). 故选C.7.【答案】A;【解析】解：∵0<a <b <c <1， ∴1<2a <2，15<5−b <1，17<(17)c <1， 5−b =(15)b >(15)c >(17)c ， 即M >N >P ， 故选：A根据幂函数指数函数的性质进行比较即可．这道题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键8.【答案】B;【解析】此题主要考查指数幂的运算性质，函数的单调性，是中档题．由已知构造函数f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，利用单调性即可得解.解：由已知可得2x−5−x⩽2−y−5y，令f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，因为2x−5−x⩽2−y−5y，即2x−5−x⩽−(5y−2−y)，所以f(x)⩽f(−y)所以x⩽−y，即x+y⩽0.故选B.9.【答案】B;【解析】此题主要考查集合的交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.解：由A={ x|2x⩾4}={ x|x⩾2}，集合B={ x|−1⩽x⩽5}，则A∩B={ x|2⩽x⩽5}.故选：B.10.【答案】B;x|>0，则y>1，【解析】解：当0<x<1，|log3x|⩾0，则y⩾1，当x⩾1时，|log3故选：B根据对数函数和指数函数的图象的性质即可判断．该题考查了函数图象的识别和对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.【答案】B;【解析】解；因为定义在R上的奇函数满足f(x+1)=f(−x)，所以f(x+1)=−f(x)，即f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，所以函数的周期是2，则f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同， 设x ∈(−1,−12)，则x +1∈(0,12)， 又当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，所以f(x +1)=log 12(−x)，由f(x +1)=f(−x)得，f(−x)=log 12(−x)，所以f(x)=−f(−x)=−log 12(−x)，由x ∈(−1,−12)得，f(x)=−log 12(−x)在(−1,−12)上是减函数，且f(x)<f(−1)=0，所以则f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0， 故选：B ．根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论． 此题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．12.【答案】B;【解析】解：∵a =log 23+log 2√3=log 23√3，b =lo g 29−lo g 2√3=lo g √3=lo g 23√3>1，∴a =b >1，又0<c =log 32<1， ∴a =b >c ． 故选：B ．利用对数的运算性质可求得a =log 23√3，b =log 23√3>1，而0<c =log 32<1，从而可得答案．该题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．13.【答案】1; 【解析】该题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题． 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．解：∵实数x ，y >0，且x +2y =4，∴4⩾2√2xy ，化为xy ⩽2，当且仅当x =2y =2时取等号． 则log 2x +log 2y =log 2(xy )⩽log 22=1． 因此log 2x +log 2y 的最大值是1．故答案为：1．14.【答案】4;【解析】解：∵f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=ln1+4=4，∴f(≶3)+f(≶13)=f(≶3)+f(−≶3)=4．故答案为：4．利用f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=4，即可得出．该题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】(3,+∞);【解析】此题主要考查基本不等式的运用，不等式恒成立问题，属于中档题.求出1x +11−x的最小值为4，得到t>4−2y2−y，由0<y<1得到4−2y2−y>3，即可得到答案.解：∵1x +11−x=(x+1−x)(1x+11−x)=2+1−xx+x1−x⩾2+2√1−=4，当x=0.5时，显然等号成立，∴1x +11−x的最小值为4，∴只需存在实数y∈(0,1)，使得2y2−y+t>4成立即可，即t>4−2y2−y，易知当0<y<1时，y²−y<0，∴4−2y2−y>3，∴t>3，∴实数t的取值范围为(3,+∞).故答案为：(3,+∞).16.【答案】（12，2）;【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(|x|)=f(x)，∴f(log14x)=f(|log14x|)，又∵f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，∴f(|log14x|)>0=f(12)，∴|log14x|<12，∴−12<12log2x<12，∴−1<log2x<1，∴12<x<2，故答案为：(12,2).首先，根据偶函数的性质，得到f(log 14x)=f(|log 14x|)，然后，根据函数的单调性得到∴−12<12log 2x <12，从而得到相应的范围．此题主要考查了函数的单调性和奇偶性、函数的单调性的应用，对数的运算等知识，属于中档题，本题解题关键是准确把握偶函数的性质．17.【答案】解：（1）f (a +2)=3a+2=32⋅3a =18，所以3a =2，所以g (x )=(3a )x −4x =2x −4x . （2）g (x )=2x −4x =−(2x )2+2x ， 令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减， 又t =2x 为单调递增函数， 所以g (x )在x ∈[−1,1]上单调递减.（3）由（2）知g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减， 所以g (x )∈[−2,14]，即m ∈[−2,14].;【解析】（1）将a +2代入函数的解析式，根据指数的运算性质可得3a =2，再代入即可得g (x )的解析式；（2）令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14，根据二次函数的性质可得μ(t )单调递减，t =2x 为单调递增函数，根据复合函数的单调性可得结果； （3）利用二次函数的性质求出g (x )的范围即可.18.【答案】解：(1)当a >0时，因为2x >0，所以2x +a >0 所以函数f(x)=2x −a 2x +a 的定义域为R ， 结论：函数f(x)=2x −a 2x +a (a >0)是增函数.证明：设对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则：f(x 1)−f(x 2)=2x 1−a2x 1+a −2x 2−a2x 2+a ， =(2x 1−a)(2x 2+a)−(2x 2−a)(2x 1+a)(2x 1+a)(2x 2+a)，=2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)，因为x 1<x 2，所以2x 2>2x 1，即2x 1−2x 2<0，又因为2x 1+a >0，2x 2+a >0，a >0，所以2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，即证.(2)因为m <n ， 所以2m <2n ，从而12m >12n . 又由[k 2m,k 2n]知，k2m<k 2n，所以k <0，因为a ≠0，所以a <0或a >0. ①当a >0时，由(1)知，函数f(x)=2x −a 2x +a是增函数.因为函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是 [k 2m,k 2n](k ∈R)，所以{f(m)=k2m ,f(n)=k 2n ，即： {2m −a2m +a =k2m2n −a 2n+a=k2n， 从而关于x 的方程2x −a 2x +a=k 2x有两个互异实根.令t =2x ，则t >0，所以方程t 2−(a +k)t −ak =0(k <0)有两个互异正根， 所以 \matrixLatexcasesFa+k2>0,a+k)^{2}+4ak>0,\\-ak>0\end{cases}从而：-3+2\sqrt{2}< \frac{k}{a}< 0.<br/>②$当a <0时，函数$f(x)=1-\frac{2a}{2^{x}+a}在区间(-\infty,\log_{2}(-a))，(\log_{2}(-a),+\infty)上均单调递减，<br/>若[m,n]⊆(\log_{2}(-a),+\infty)，则f(x)>1，于是\frac{k}{2^{m}}>0$，这与k <0矛盾，故舍去$;<br/>若[m,n]\subseteq(-\infty,\log_{2}(-a))，则f(x)< 1，<br/>于是\left{ \begin{array}{l}f(m)=\frac{k}{{2}^{n}}\\ f(n)=\frac{k}{{2}^{m}}\end{array}\right.,\;\;\;\;\;即：\;\left{ \begin{array}{l}\frac{{2}^{m}-a}{{2}^{m}+a}=\frac{k}{{2}^{n}}\;\;\;\;➀\\ \frac{{2}^{n}-a}{{2}^{n}+a}=\frac{k}{{2}^{m}}\;\;\;\;\;②\end{array}\right.,.<br/>所以\left{ \begin{array}{ll}{2}^{n}({2}^{m}-a)=k({2}^{m}+a)\\ {2}^{m}({2}^{n}-a)=k({2}^{n}+a)\end{array}\right.，两式相减并整理得，(k-a)(2^{n}-2^{m})=0，<br/>又2^{m}< 2^{n}，故2^{n}-2^{m}>0，从而k-a=0.$因为a <0，所以$\frac{k}{a}=1.<br/>综上，\frac{k}{a}的范围是(-3+2\sqrt{2},0)∪{ 1}.$;【解析】此题主要考查函数的单调性，函数定义域与值域以及指数函数的性质，属于难题.(1)利用函数单调性的定义求证即可；(2)依题意，函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是[k 2m ,k 2n](k ∈R)，分别讨论a的范围即可求解.19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ， ∴\mathopA={x |−x 2+5x −6⩾又由2⩽2x ⩽16得B=[1,4].∴ A ∩B =[2,3]，∁R B =(−∞,1)∪(4,+∞). (2)∵A ∪C =A. ∴C ⊆A则{&m +1⩾2 2m −1⩽3 ，即1⩽m ⩽2.又要使集合C={ x|m+1⩽x⩽2m−1}为非空集合，则必须m+1⩽2m−1即m⩾2，综上可得m=2，所以实数m的取值集合为{2}.;【解析】此题主要考查集合的运算以及集合中参数的取值范围问题．属于基础题.(1)首先求出集合A与集合B，再求交集、补集；(2)由题意可知C⊆A，因此可建立不等式组，即可解出实数m的取值集合．20.【答案】解：（1）f（x）=a•4x-a•2x+1+1-b，a＞0，设t=2x（12≤t≤4），则g（t）=a t2-2at+1-b=a（t-1）2-a-b+1，当t=1时，取得最小值1-a-b，即有1-a-b=0，①又t=4时，取得最大值8a-b+1=9，②由①②解得a=1，b=0；（2）f（x）≥1，即为4x-2x+1+1≥1，即有2x（2x-2）≥0，由于2x＞0，则2x≥2，解得x≥1，则解集为{x|x≥1}．;【解析】(1)可令t=2x(12⩽t⩽4)，则g(t)=at2−2at+1−b=a(t−1)2−a−b+1，考虑对称轴和区间关系，可得t=1取得最小值，t=4取得最大值，解a，b的方程组，即可得到所求值；(2)由指数不等式的解法，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．该题考查指数函数的性质和运用，考查可化为二次函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及不等式的解法，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵2x-1≠0，即2x≠1，∴x≠0故f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）（2）解：∵f（x）是奇函数又∵f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+a∴f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0∴a=12（3）证明：当x＞0时，2x＞1，∴2x-1＞0∴12x−1+12＞0，即x＞0时，f（x）＞0;【解析】(1)根据2x−1≠0，即2x≠1，求解．(2)根据奇函数的概念，f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0，求解．(3)根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．该题考查了函数的概念，性质，属于容易题．22.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)恒成立，∴2xa +a2x=2−xa+a2−x恒成立，即(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，∴1a−a=0，解得a=±1，∵a>0，∴a=1.(2)由(1)知f(x)=2x+2−x−1=134，∴4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，解得2x=4或14，∴x=±2，所以原方程的解为x=±2.;【解析】【试题解析】此题主要考查了偶函数的定义，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据f(x)为偶函数可得出f(−x)=f(x)恒成立，从而可得出(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，从而可求出a=1；(2)根据(1)即可得出4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，然后解出x的值即可．。
高三一轮复习 函数全章 练习(11套)+易错题+答案
第二章函数第1节函数概念及其表示方法一、选择题1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( A )(A)A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方(B)A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方(C)A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数(D)A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值解析:按照函数定义,选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.2.已知f（x-1）=2x-5,且f(a)=6,则a等于( B )(A)- (B) (C) (D)-解析:令t=x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,又由f(a)=6,则4a-1=6,解得a=.3.若f(1-2x)=(x≠0),那么f（）等于( C )(A)1 (B)3 (C)15 (D)30解析:法一令1-2x=t,则x=(t≠1),则f(t)=-1,则f（）=16-1=15.法二令1-2x=,得x=,则f（）=16-1=15.4.已知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是( C )(A)(-∞,-1] (B)（-1,）(C)[-1,) (D)(0,)解析:要使函数f(x)的值域为R,需使则则-1≤a<.即a的取值范围是[-1,).5.已知函数f(x)=且f(a)=-1,则f(6-a)等于( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意,知a>0,则由-log2(a+1)+2=-1,解得a=7,所以f(6-a)= f(-1)=2-1+1=1,故选A.6.设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数f p(x)=则称函数f p(x)为f(x)的“p界函数”,若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论不成立的是( B )(A)f p[f(0)]=f[f p(0)] (B)f p[f(1)]=f[f p(1)](C)f p[f p(2)]=f[f(2)] (D)f p[f p(3)]=f[f(3)]解析:给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则f(1)=-2,f p(1)=-2,所以f[f p(1)]=f(-2)=7,f p[f(1)]=f p(-2)=2,所以f p[f(1)]≠f[f p(1)],故选B.二、填空题7.函数y=的定义域是.解析:要使函数有意义,需满足即x<且x≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,)8.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(5-a)= . 解析:若a≤1,则2a-2=-3,即2a=-1,不合题设;故a>1,即-log2(a+1)=-3,解之得a=7,代入f(5-a)=f(-2)=-2=-.答案:-9.已知f(2x-2)的定义域是[1,2],则f(2x+1)的定义域为.解析:由题知f(2x-2)中1≤x≤2,则0≤2x-2≤2,即f(x)的定义域为[0,2],所以0≤2x+1≤2,得-≤x≤,故f(2x+1)的定义域为[-,].答案:[-,]10.定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当1≤x≤2时,f(x)= .解析:由f(x-1)=2f(x),则f(x)=f(x-1).由1≤x≤2,则0≤x-1≤1.又当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则f(x-1)=(x-1)[1-(x-1)]=(x-1)(2-x),则f(x)=f(x-1)=(x-1)(2-x).答案:(x-1)(2-x)11.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,则f(-3)= .解析:令x=1,y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+2=6,令x=2,y=1,则f(3)=f(2)+f(1)+4=12,令x=0,y=0,则f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-2x2,则f(-x)=f(0)-f(x)+2x2,则f(-3)=f(0)-f(3)+2×32=0-12+18=6.答案:612.设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围为.解析:由f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1.当a<1时,有3a-1≥1,则a≥,则≤a<1;当a≥1时,有2a≥1,则a≥0,则a≥1.综上,a≥.答案:[,+∞)三、解答题13.设函数f(x)满足2f()+f()=1+x,其中x≠0,x∈R,求f(x). 解:令x=t,则2f()+f()=1+t,①令x=-t,则2f()+f()=1-t,②由①②得f()=t+,令=x可得f(x)=+,x≠1.14.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0,若f()=0,求f(π)及f(2π)的值.解:令x=y=0,则f(0)+f(0)=2[f(0)]2,则f(0)[f(0)-1]=0,由f(0)≠0,则f(0)=1,令x=y=,则f(π)+f(0)=2[f()]2=0,则f(π)=-1;令x=y=π,则f(2π)+f(0)=2[f(π)]2=2,则f(2π)=1.第2节二次函数一、选择题1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为( B )(A)-3 (B)13 (C)7 (D)5解析:函数f(x)=2x2-mx+3图象的对称轴为直线x=,由函数f(x)的增减区间可知=-2,所以m=-8,即f(x)=2x2+8x+3,所以f(1)=2+8+3=13.2.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( C )(A)[0,+∞) (B)(-∞,0](C)[0,4] (D)(-∞,0]∪[4,+∞)解析:由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.3.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( B )(A)-4 (B)4 (C)4或-4 (D)不存在解析:依题意,函数f(x)是偶函数,则y=x2+ax-5是偶函数,故a=0,则f(x)=(1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当x2=3时,f(x)取最大值为4.4.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)等于( B )(A)56 (B)112 (C)0 (D)38解析:由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.5.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则x1+x2+…+x m等于( B )(A)0 (B)m (C)2m (D)4m解析:由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称,所以这两函数的交点也关于直线x=1对称.不妨设x1<x2<…<x m,则=1,即x1+x m=2,同理x2+x m-1=2,x3+x m-2=2,…,设S m=x1+x2+…+x m,则S m=x m+x m-1+ (x1)所以2S m=(x1+x m)+(x2+x m-1)+…+(x m+x1)=2m,所以S m=m.6.设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( D )(A)当a<0时,x1+x2<0,y1+y2<0(B)当a<0时,x1+x2>0,y1+y2>0(C)当a>0时,x1+x2>0,y1+y2<0(D)当a>0时,x1+x2<0,y1+y2>0解析:当a<0时,作出两个函数的图象,如图,因为函数f(x)是奇函数,所以A与A′关于原点对称,显然x2>-x1>0,即x1+x2>0,-y1>y2,即y1+y2<0;当a>0时,作出两个函数的图象,同理有x1+x2<0,y1+y2>0.二、填空题7.二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为x=3,与y轴交于点(0,3).则它的解析式为 .解析:由题意知,可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=,所以y=(x-3)2=x2-2x+3.答案:y=x2-2x+38.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为.解析:只需要在x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.答案:(-∞,-3]10.若函数f(x)=x2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),则a= ,b= .解析:因为f(x)=(x-1)2+a-,所以其对称轴为x=1,即[1,b]为f(x)的单调递增区间.所以f(x)min=f(1)=a-=1,①f(x)max=f(b)=b2-b+a=b,②由①②解得答案: 311.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为.解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈[-,-2],故当m∈(-,-2]时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.答案:(-,-2]12.若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间(,)上是减函数,则a的取值范围是.解析:f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令sin x=t,则f(x)=-2t2+at+1,因为x∈(,),所以t∈(,1).因为f(x)在x∈(,)上是减函数,所以y=-2t2+at+1在t∈(,1)上是减函数,又对称轴是t=,所以≤,所以a≤2.答案:(-∞,2]三、解答题13.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且f(x)>-2x的解集为{x|1<x<3},方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式. 解:设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),则f(x)=ax2-4ax+3a-2x,因为f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的实根,所以Δ=(4a+2)2-36a2=0,解得a=-,或a=1(舍去).因此f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.14.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.解:因为f(x)的对称轴方程为x=a,且f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2.又x∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,得-1≤a≤3.又a≥2,所以2≤a≤3.所以a的取值范围是[2,3].15.已知函数f(x)= (k∈Z)满足f(2)<f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q>0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,]?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又因为k∈Z,所以k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.(2)假设存在q>0满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点(,)处取得.所以-1<<2,q>0,g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2,所以存在q=2满足题意.第3节二次函数与不等式一、选择题1.已知不等式2x≤x2的解集为P,不等式(x-1)(x+2)<0的解集为Q,则集合P∩Q等于( B )(A){x|-2<x≤2} (B){x|-2<x≤0}(C){x|0≤x<1} (D){x|-1<x≤2}解析:P={x|x2-2x≥0}={x|x≤0或x≥2},Q={x|-2<x<1},所以P∩Q={x|-2<x≤0}.2.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )(A)x≥0 (B)x<0或x>2(C)x∈{-1,3,5} (D)x≤-或x≥3解析:不等式2x2-5x-3≥0的解集是{x|x≥3或x≤-}.由题意,选项中x的范围应该是上述解集的真子集,只有C满足. 3.已知函数f(x)=-x2-mx+1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)>0成立,则实数m的取值范围是( B )(A)[-,0] (B)(-,0)(C)[0,] (D)(0,)解析:函数f(x)=-x2-mx+1的图象开口向下,且过点(0,1),所以为使对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)>0,须即所以-<m<0.4.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),则关于x的不等式>0的解集为( B )(A)(-2,0)∪(1,+∞)(B)(-∞,0)∪(1,2)(C)(-∞,-2)∪(0,1)(D)(-∞,1)∪(2,+∞)解析:关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),所以a<0,=-2,所以b=-2a,所以=>0,因为a<0,所以<0,解得x<0或1<x<2.5.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是( A )(A)(-,+∞) (B)[-,1](C)(1,+∞) (D)(-∞,-]解析:由Δ=a2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为(-,+∞).6.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,0)(C)(0,2) (D)(-2,0)解析:f(x)为R上的减函数,故f(x+a)>f(2a-x)⇔x+a<2a-x,即2x<a在[a,a+1]上恒成立,所以(2x)max=2(a+1)<a,得a<-2.二、填空题7.不等式<4的解集为.解析:由题意得x2-x<2⇒-1<x<2,解集为(-1,2).答案:(-1,2)8. 若“x∈{a,3}”是“不等式2x2-5x-3≥0成立”的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:由题设2a2-5a-3≥0,解得a≥3或a≤-,由集合中元素的互异性可得a≠3.答案:(-∞,-]∪(3,+∞)9.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1. 所以<-1⇔<0⇔(3a-2)(a+1)<0,所以-1<a<.答案:(-1,)10.在R 上定义运算:( a b c d )=ad-bc,若不等式(121 x a a x --+ )≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为 .解析:由定义知,不等式（121 x a a x --+ ）≥1等价于x 2-x-(a 2-a-2)≥1, 所以x 2-x+1≥a 2-a 对任意实数x 恒成立.因为x 2-x+1=（x-）2+≥,所以a 2-a ≤,解得-≤a ≤,则实数a 的最大值为.答案:11.对于实数x,规定[x]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为 .解析:由题意解得<[x]<,所以[x]的取值为2,3,4,5,6,7,又[x]表示不大于x 的最大整数,故2≤x<8.答案:[2,8)12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x -2.若同时满足条件: ①对任意x ∈R,f(x)<0或g(x)<0;②存在x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则m的取值范围是.解析:当x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0,m=0不符合要求;当m>0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4,函数f(x)的两个零点是2m,-(m+3),故m满足或解第一个不等式组得-4<m<-2,第二个不等式组无解,故所求m的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)三、解答题13.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b.(1)若f(x)<0的解集为(-1,3),求a,b的值;(2)当a=1时,若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数b的取值范围;(3)当b=a时,解关于x的不等式f(x)<0(结果用a表示).解:(1)由已知,x2-(a+1)x+b=0的两个根为-1和3,所以解得a=1,b=-3.(2)当a=1时,f(x)=x2-2x+b,因为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,所以Δ=(-2)2-4b≤0,解得b≥1,所以实数b的取值范围是[1,+∞).(3)当b=a时,f(x)<0,即x2-(a+1)x+a<0,所以(x-1)(x-a)<0,所以当a<1时,不等式f(x)<0的解集为{x|a<x<1};当a=1时,不等式f(x)<0的解集为 ;当a>1时,不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<a}.14.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解:由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,有-3<0恒成立;当x≠0时,a<（-）2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当=1,即x=1时,不等式右边取最小值,所以a<.实数a的取值范围是(-∞,).15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2-(-2+1)2=8.(2)由题可知,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].第4节函数的单调性与最值一、选择题1.给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=,④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④解析:①y=在(0,1)上递增;②因为t=x+1在(0,1)上递增,且0<<1,故y=lo(x+1)在(0,1)上递减;③结合图象可知y=|x-1|在(0,1)上递减;④因为u=x+1在(0,1)上递增,且2>1,故y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( A )(A)f(-1)<f(3) (B)f(0)>f(3)(C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)解析:依题意得f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)<f(1)=f(3).同理f(0)<f(3).3.函数y=()的单调递增区间为( B )(A)(1,+∞) (B)（-∞,](C)(,+∞) (D)[,+∞)解析:令u=2x2-3x+1=2(x-)2-.因为u=2(x-)2-在(-∞,]上单调递减,函数y=()u在R上单调递减.所以y=()在(-∞,]上单调递增,即该函数的单调递增区间为(-∞,].4.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( C )(A)(0,1) (B)(0,)(C)[,) (D)[,1)解析:当x=1时,log a1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a>0在x<1时恒成立,令g(x)=(3a-1)x+4a,则必有即解得≤a<.此时,log a x是减函数,符合题意.5.已知a>0,设函数f(x)=(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N等于( D )(A)2 016 (B)2 018(C)4 032 (D)4 034解析:由题意得f(x)==2018-.因为y=2 018x+1在[-a,a]上是单调递增的,所以f(x)=2018-在[-a,a]上是单调递增的,所以M=f(a),N=f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=4 036--=4 034.6.已知函数f(x)的图象关于(1,0)对称,当x>1时,f(x)=log a(x-1),且f(3)=-1,若x1+x2<2,(x1-1)(x2-1)<0,则( B )(A)f(x1)+f(x2)<0 (B)f(x1)+f(x2)>0(C)f(x1)+f(x2)可能为0 (D)f(x1)+f(x2)可正可负解析:因为当x>1时,f(x)=log a(x-1),f(3)=log a2=-1,所以a=,故函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,若x1+x2<2,则x2<2-x1,又(x1-1)(x2-1)<0,不妨令x1<1,x2>1,所以f(x2)>f(2-x1),又因为函数f(x)的图象关于(1,0)对称,所以f(x1)=-f(2-x1),此时f(x1)+f(x2)=-f(2-x1)+f(x2)>0.二、填空题7.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是.解析:y=画图象如图所示,可知递增区间为[0,].答案:[0,]8.已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a 的取值范围为.解析:由已知可得解得-3<a<-1或a>3.答案:(-3,-1)∪(3,+∞)9.函数f(x)=lg(9-x2)的定义域为;其单调递增区间为.解析:对于函数f(x)=lg(9-x2),令9-x2>0,解得-3<x<3,即函数的定义域为(-3,3).令g(x)=9-x2,则函数f(x)=lg(g(x)),又函数g(x)在定义域内的增区间为(-3,0].所以函数f(x)=lg(9-x2)在定义域内的单调递增区间为(-3,0].答案:(-3,3) (-3,0]10.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是.解析:当x≥1时,x+-3≥2-3=2-3,当且仅当x=,即x=时等号成立,此时f(x)min=2-3<0;当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为2-3.答案:2-311.设0<x<1,则函数y=+的最小值是.解析:y=+=,当0<x<1时,0<x(1-x)=-(x-)2+≤.所以y≥4.答案:412.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是.解析:作出函数f(x)图象的草图如图,易知函数f(x)在R上为减函数,所以不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立等价于x+a<2a-x,即x<在[a,a+1]上恒成立,所以只需a+1<,即a<-2.答案:(-∞,-2)三、解答题13.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.(1)当a<0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.(2)当0≤a<1时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)当1<a≤2时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.(4)当a>2时,由图④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.综上,当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;当1<a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1;当a>2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.14.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.(1)证明:任取x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)解:任取1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].15.函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“圆锥托底型”函数.(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=x3是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.(2)若f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,求出M的最大值.解:(1)对于函数f(x)=2x,因为|2x|=2|x|≥2|x|,即对于一切实数x使得|f(x)|≥2|x|成立,所以函数f(x)=2x是“圆锥托底型”函数.对于g(x)=x3,如果存在M>0满足|x3|≥M|x|,而当x=时,由||3≥M||,所以≥M,得M≤0,矛盾,所以g(x)=x3不是“圆锥托底型”函数.(2)因为f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,故存在M>0,使得|f(x)|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立.所以x≠0时,M≤|x+|=|x|+,此时当x=±1时,|x|+取得最小值2,所以M≤2.而当x=0时,也成立.所以M的最大值等于2.第5节函数的奇偶性与周期性一、选择题1.在函数y=xcos x,y=e x+x2,y=lg,y=xsin x中,偶函数的个数是( B )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:y=xcos x是奇函数,y=lg和y=xsin x是偶函数,y=e x+x2是非奇非偶函数,所以偶函数的个数是2.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( B )(A)y=cos 2x,x∈R(B)y=log2|x|,x∈R且x≠0(C)y=,x∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:选项A中函数y=cos 2x在区间(0,)上单调递减,不满足题意;选项C中的函数为奇函数;选项D中的函数为非奇非偶函数.3.设f(x)=x+sin x(x∈R),则下列说法错误的是( D )(A)f(x)是奇函数(B)f(x)在R上单调递增(C)f(x)的值域为R(D)f(x)是周期函数解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,故B正确;f(x)的值域为R,故C正确;f(x)不是周期函数,D错误. 4.已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则<0的解集为( D )(A)(-3,0)∪(0,3) (B)(-∞,-3)∪(0,3)(C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-3,0)∪(3,+∞)解析:由已知条件,可得函数f(x)的图象大致如图,故<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).5.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f()等于( A )(A) (B) (C)0 (D)-解析:因为f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以f(x)的周期T=2π,又因为当0≤x<π时,f(x)=0,所以f()=f(-+π)=f(-)+sin(-)=0,所以f(-)=,所以f()=f(4π-)=f(-)=.6.已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)=x4,且f(x+t)≤4f(x)在x∈[1,16]时恒成立,则实数t的最大值是( A )(A)-1 (B)16(-1)(C)+1 (D)16(+1)解析:因为f(x)在x>0时满足f(x)=x4,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)在R上为奇函数,所以f(x)在R上单调递增,而f(x+t)≤4f(x)(x∈[1,16])等价于f(x+t)≤f(x)(x∈[1,16]),即当x∈[1,16]时,x+t≤x恒成立,即t≤(-1)x,x∈[1,16],所以只需t≤-1,故t的最大值为-1.二、填空题7.设函数f(x)=x(e x+a)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为.解析:因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+ae x)=x(e x+ae-x),化简得x(e-x+e x)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案:-18.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= .解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(-x)+f(x)=0.当x=0时,可得f(0)=0,可得b=-1,此时f(x)=2x+2x-1,因此f(1)=3.又f(-1)=-f(1),所以f(-1)=-3.答案:-39.奇函数f(x)的周期为4,且x∈[0,2],f(x)=2x-x2,则f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)的值为.解析:函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,由f(x)=2x-x2,x∈[0,2]知f(1)=1,f(2)=0,又f(x)的周期为4,所以f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2)+f(3)+f(0)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.答案:-110.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)满足f(x+3)=f(x),且f(1)≥1,f(2)=,则m的取值范围是.解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1).因为f(x)为奇函数,且f(1)≥1,所以f(-1)=-f(1)≤-1,所以≤-1.解得-1<m≤.答案:(-1,]11.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 018)= .解析:法一令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=-.法二因为f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=cos x,所以f(2 018)=cos(×2 018)=-.答案:-12.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为.解析:易知f(x)在R上为单调递增函数,且f(x)为奇函数,由f(mx-2)+ f(x)<0,得f(mx-2)<-f(x)=f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对所有m∈[-2,2]恒成立,令h(m)=mx+x-2,此时,只需解得x∈(-2,).答案:(-2,)三、解答题13.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)由(1)及已知,f(x)在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,必需且只需所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].14.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.解:因为f(x)的定义域为[-2,2],所以解得-1≤m≤. ①又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,所以f(x)在[-2,2]上递减,所以f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),即1-m>m2-1,解得-2<m<1. ②综合①②可知,-1≤m<1.即实数m的取值范围是[-1,1).第6节函数单调性、奇偶性与周期性综合运用一、选择题1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=-,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于( D )(A)4.5 (B)-4.5 (C)0.5 (D)-0.5解析:由f(x+2)=-,得f(x+4)=-=f(x),所以f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,则f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而1≤x≤2时,f(x)=x-2,所以f(1.5)=-0.5.由上知f(6.5)=-0.5.2.设函数f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是( A )(A)f(-1)>f(2) (B)f(-1)<f(2)(C)f(-1)=f(2) (D)无法确定解析:由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-1)=f(3).又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数,所以f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).3.已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f(x+)=f（x-）.则f(6)等于( D ) (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2解析:因为当x>时,f（x+）=f（x-）,所以x>1时,f(x)=f(x-1),即f(6)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1).因为当x<0时,f(x)=x3-1,所以f(6)=f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.4.定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为( D )(A)0 (B)1 (C)3 (D)5解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为T是函数f(x)的一个正周期,所以f(T)=f(-T)=f(0)=0,又f（-）=f（T-）=f（）,且f（-）=-f（）,所以f（）=0,于是可得f（-）=f（）=0.所以方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数可能为5.5.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+ f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( C )(A)(B)(C)- (D)-解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,且f(x)是奇函数,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.6.记max{x,y}=若f(x),g(x)均是定义在实数集R上的函数,定义函数h(x)=max{f(x),g(x)},则下列命题正确的是( C )(A)若f(x),g(x)都是单调函数,则h(x)也是单调函数(B)若f(x),g(x)都是奇函数,则h(x)也是奇函数(C)若f(x),g(x)都是偶函数,则h(x)也是偶函数(D)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则h(x)既不是奇函数,也不是偶函数解析:对于A,如f(x)=x,g(x)=-2x都是R上的单调函数,而h(x)=不是定义域R上的单调函数,故A错误;对于B,如f(x)=x,g(x)=-2x都是R上的奇函数,而h(x)=不是定义域R上的奇函数,故B错误;对于C,当f(x),g(x)都是定义域R上的偶函数时,h(x)=max{f(x),g(x)}也是定义域R上的偶函数,故C正确;对于D,如f(x)=sin x是定义域R上的奇函数,g(x)=x2+2是定义域R 上的偶函数,而h(x)=g(x)=x2+2是定义域R上的偶函数,故D错误.二、填空题7.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在[4,5]上单调.(递增,递减)解析:由已知,f(x)在[-3,0]上单调递减,又周期为6,所以f(x)在[3,6]上单调递减,在[4,5]上单调递减.答案:递减8.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为.解析:由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1),又g(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),所以f(-x-1)=-f(x-1),即f(x-1)=-f(-x-1),用x+1替换x,得f(x)=-f(-x-2).又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=-f(x+2).所以f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4.所以f(2 018)=f(4×504+2)=f(2)=2.答案:29.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)= 4x,则f（-）+f(2)= .解析:因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),f(0)=0.所以f（-）=f（-）=-f（）=-4×=-2,f(2)=f(0)=0,所以f（-）+f(2)=-2.答案:-210.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .解析:因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x4=-4,x2+x3=-4.所以x1+x2+x3+x4=-8.答案:-811.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(),则①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.其中所有正确命题的序号是.解析:由已知条件:f(x+1)=f(x-1)得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;当-1≤x≤0时0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=()1+x,函数y=f(x)的图象如图所示,当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=()x-3,因此②④正确.③不正确. 答案:①②④三、解答题12.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解:(1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,所以f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,此时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+)-(+)=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2)(x1+x2-).由于x1≥2,x2≥2,且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+x2>,所以f(x1)<f(x2),故f(x)在[2,+∞)上是增函数.13.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.解:(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).14.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 018,2 018]上根的个数,并证明你的结论.解:(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)因为f(x)=f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]=f(4-x),f(x)=f[7+(x-7)]=f[7-(x-7)]=f(14-x),所以f(14-x)=f(4-x),即f[10+(4-x)]=f(4-x),所以f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.对于区间[7,10],令7+x∈[7,10],则x∈[0,3],7-x∈[4,7],又f(7-x)=f(7+x),f(x)在[4,7]内无零点,所以f(x)在[7,10]内无零点.又因为f(1)=f(3)=0,所以f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z),f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z),即只有x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)是方程f(x)=0的根.由-2 018≤1+10n≤2 018及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3,…,±201,共403个;由-2 018≤3+10n≤2 018及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3,…,±201,-202,共404个;所以方程f(x)=0在闭区间[-2 018,2 018]上的根共有807个.第7节函数的图象一、选择题1.函数f(x)=的图象大致为( A )解析:因为f(x)=,所以f(0)=0,排除选项C,D;当0<x<π时,sin x>0,所以当0<x<π时,f(x)>0,排除选项B.2.(2016·浙江卷)函数y=sin x2的图象是( D )解析:因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C 选项;当x=时,y=sin ≠1,排除B选项,故选D.3.函数y=的图象大致是( C )解析:由题意得,x≠0,排除A;当x<0时,x3<0,3x-1<0,所以>0,排除B;又因为x→+∞时,→0,所以排除D.4.函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是( C )(A)a>0,b>0,c<0(B)a<0,b>0,c>0(C)a<0,b>0,c<0(D)a<0,b<0,c<0解析:函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,所以c<0.令x=0,得f(0)=,又由图象知f(0)>0,所以b>0.令f(x)=0,得x=-,结合图象知->0,所以a<0.5.已知函数y=f(x)及y=g(x)的图象分别如图所示,方程f(g(x))=0和g(f(x))=0的实根个数分别为a和b,则ab等于( A )(A)24 (B)15 (C)6 (D)4解析:由图象知,f(x)=0有3个根,分别为0,±m(m>0),其中1<m<2, g(x)=0有2个根n,p,-2<n<-1,0<p<1,由f(g(x))=0,得g(x)=0或±m,由图象可知当g(x)所对应的值为0,±m时,其都有2个根,因而a=6;由g(f(x))=0,知f(x)=n或p,由图象可以看出当f(x)=n时,有1个根,而当f(x)=p时,有3个根,即b=1+3=4.所以ab=24.6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动,点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A 的路径向A移动,当点Q到达A点时,P,Q两点同时停止移动.记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S=f(t),则f(t)的图象大致为( A )解析:当0≤t≤4时,点P在AB上,点Q在BC上,此时PB=6-t,QC=8-2t,则S=f(t)=QC×BP=(8-2t)×(6-t)=t2-10t+24;当4≤t≤6时,点P 在AB上,点Q在CA上,此时AP=t,P到AC的距离为t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×t=(2t-8)×t=(t2-4t);当6≤t≤9时,点P在BC上,点Q在CA上,此时CP=14-t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×CPsin ∠ACB= (2t-8)·(14-t)×=(t-4)·(14-t).综上,函数f(t)对应的图象是三段抛物线,依据开口方向得图象是A.二、填空题7.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点.解析:由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度,可推出函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).答案:(3,1)8.函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0), (1,2),(3,1),则f()= .解析:由已知f(3)=1,所以=1.所以f()=f(1)=2.答案:29.给定min{a,b}=已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为.解析:设g(x)=min{x,x2-4x+4},则f(x)=g(x)+4,故把g(x)的图象向上平移4个单位长度,可得f(x)的图象,函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).答案:(4,5)10.函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为.解析:在[0,)上y=cos x>0,在(,4]上y=cos x<0.由f(x)的图象知在(1,)上<0,因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为(-,-1)∪(1,).答案:(-,-1)∪(1,)11.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为.解析:令g(x)=log2(x+1),作出函数g(x)的图象如图.由得所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1≤x≤1}.答案:{x|-1≤x≤1}12.若当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=log a x的图象的下方,则实数a的取值范围是.解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=log a x的图象.由于当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=log a x的图象的下方,则解得1<a≤2.答案:(1,2]三、解答题13.讨论方程|1-x|=kx的实数根的个数.解:可以利用函数图象确定方程实数根的个数.设y1=|1-x|,y2=kx,则方程的实根的个数就是函数y1=|1-x|的图象与y2=kx的图象交点的个数.由图象可知:当-1≤k<0时,方程没有实数根;当k=0或k<-1或k≥1时,方程只有一个实数根;当0<k<1时,方程有两个不相等的实数根.14.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.解:(1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.(2)f(x)=x|x-4|=f(x)的图象如图所示.(3)f(x)的单调递减区间是[2,4].(4)从f(x)的图象可知,当a<0或a>4时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,即方程f(x)=a只有一个实数根,所以a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).15.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)的对称图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求函数g(x)的解析式;(2)若直线y=b与C2有且仅有一个公共点,求b的值,并求出交点的坐标.解:(1)设曲线C2上的任意一点为P(x,y),则P关于A(2,1)的对称点P′(4-x,2-y)在C1上,所以2-y=4-x+,即y=x-2+=,。
高三一轮复习函数综合提高资料练习题
第一轮复习函数复习训练题一、选择题：1、若集合{}||A x x x ==，{}20B x x x =+≥，则A B =（ ）A ．[1,0]-B ．[0,)+∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-2、设函数)(1)(R x x x x f ∈+-=，区间M=],[b a （b a <），集合}),({M x x f y y N ∈==，则使M=N 成立的实数对),(b a 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个3、已知函数()()⎩⎨⎧∈-⋅==*Nn n f n n n f ,10,1 , 则()6f 的值是（ ） A ． 6 B ． 24 C ． 120 D ． 7204、若不等式x x a 42-≤对任意]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值X 围是（ ）A ．4-≥aB ．3-≥aC ．03≤<-aD ．3-≤a5、设二次函数c bx ax x f ++=2)(，如果))(()(2121x x x f x f ≠=，则)(21x x f +等于（ ）A ．a b 2-B ．a b -C ．cD ．a b ac 442-6、已知时且当时当是偶函数]1,3[,4)(,0,)(--∈+=>=x xx x f x x f y ，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是（ ）A ．31B ．32C ．1D ．34 7、偶函数))((R x x f ∈满足：0)1()4(==-f f ，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式0)(3<x f x 的解集为（ ）A ．),4()4,(+∞⋃--∞B ．)4,1()1,4(⋃--C ．)0,1()4,(-⋃--∞D ．)4,1()0,1()4,(⋃-⋃--∞8、定义在R 上的偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递增，若21x x >，021>+x x ，则（ ）A ．)()(21x f x f >B ．)()(21x f x f >-C ．)()(21x f x f -<D ．)(1x f ，)(2x f 的大小与1x ，2x 的取值有关9、函数)(x f 为奇函数，)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则+=+==（ ）A ．0B ．1C ．25D ．510、对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如,2]08.1[,3][-=-=π定义函数],[)(x x x f -=则下列命题中正确的是（ ）A ．1)3(=fB ．方程21)(=x f 有且仅有一个解C ．函数)(x f 是周期函数D ．函数)(x f 是增函数11、定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则(1)y f x =+的值域为( )A.[,]a bB.[1,1]a b ++C.[1,1]a b --D.无法确定12、已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值X 围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛41,0 B ．（0，1） C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41 D ．（0，3）13、若函数)2,2()(21)(-++=在为常数，a x ax x f 内为增函数，则实数a 的取值X 围（） A ．),21(+∞ B ．),21[+∞ C ．)21,(-∞ D ．]21,(-∞14、已知二次函数()()()2f x x a x b =---，m 、n 是方程f(x) =0的两根，则a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ ）A ．m<a<b<nB ．a<m<n<bC ．a<m<b<nD ．m<a<n<b15、已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值X 围为 （ ）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()1,1-16、已知方程a b x x x x ba x a x 则且的两根为2121210,,01)2(<<<=+++++的取值 X 围（ ）A ．)32,2(--B ．)21,2(--C ．]32,2(--D ．]21,2(-- 17、定义在R 上的函数)1(+=x f y 的图象如图1所示，它在定义域上是 减函数，给出如下命题：①)0(f =1；②1)1(=-f ；③若0>x ，则0)(<x f ；④若0<x ，则0)(>x f ，其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③18、不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）二、填空题：19、不等式)1,0()24()3(2∈-<-a x a x a 对恒成立，则x 的取值X 围是20、不等式056)5(2>++--a x x a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是.21、设函数a a a f x xx x x f 则实数若,)(,)0(10(121)(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=的取值X 围是.22、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于()x f 的判断： ①()x f 是周期函数； ②()x f 的图像关于直线x ＝1对称③()x f 在[0，1]上是增函数 ④()()02f f = 其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）xyO11-。
高三第一轮复习04----函数图像及综合应用训练题
函数图像及综合应用训练题知识归纳：一、图象变换：①、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．②、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称； （4）函数1()y f x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称； （5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.③、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． ④、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到．二.对称性与周期性①、函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称.推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么()x f y =的图像关于直线2a b x +=（由“x 和的一半()()2a x b x x ++-=确定”）对称.推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=（由a x b x +=-确定）对称. ②、函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称.推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称（由“y 和的一半[()][()]2f x A f x y +-=确定”）.③、函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称.推广：函数()x f y =与函数()y m f n x =--的图像关于点(,)22n m 中心对称.特别地：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =.若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =.若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =.一、选择题：1．函数)32(-x f 的图象，可由)32(+x f 的图象经过下述变换得到（ ）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位2．函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x =- C 、12x =D 、12x =- 3．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（ ） A ．y=－x1B ．y=－(x －1)C ．y=x 2－2D ．y=－|x |4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5),则a 、b 、c 的大小是（ ） A ．a >b>c B ．a > c > b C ．b>a > c D ．c> a >b5．已知函数24()log (3)f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(),4-∞B 、(]4,4-C 、()[),42,-∞-+∞ D 、[)4,2-6．设{}{}(,),,(,)20U x y xR y R A x y x ym =∈∈=-+>，{}(,)0B x y x y n =+-≤，那么点23U P A C B ∈（，）（）的充要条件是（ ） 1,51,51,51,5A m n B m n C m n D m n >-<<-<<->>->、、、、 7．设2()|2|f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(0,4] D．(0,8．偶函数 ()||a f x log x b =-在 (,0)-∞上单调递增，则 (1)f a +与(2)f b +的大小 关系是 （ ） A ．)2()1(+≥+b f a f B ．)2()1(+<+b f a f C ．)2()1(+≤+b f a f D ．)2()1(+>+b f a f 9．已知函数)(x f y =满足：①是偶函数)1(+=x f y ；②在[)+∞,1上为增函数.若0,021><x x ,且221-<+x x ,则)(1x f -与)(2x f -的大小关系是（ ）A . )()(21x f x f ->-B . )()(21x f x f -<-C . )()(21x f x f -=-D .不能确定10．已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是( )A ．10b -<<B ．2b >C ．1b <-或 2b >D ．不能确定11．已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数的图象错误．．的是（ ）12．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量C 与时间t 的函数关系可用图象表示的是（ ）A 、B 、C 、D 、13．已知函数()x f 是定义域为R 的偶函数,且()()x f x f =+2.若()x f 在[]0,1-上是减函数,则()x f 在[]3,2上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数二、填空题：14．将下列变换的结果填在横线上：（1）将函数x y -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象； （2）将函数||tan x y =的图象向右平移3个单位，得到函数 的图象； （3）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（4）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象；15． {}{}2(),|()()()6,()246,()(),|()()g x x x f x g x f x x g x x x h x f x x x f x g x ⎧∈≥⎪=-+=-++=⎨∈<⎪⎩,则()h x 的最大值为 . 16．已知f (x )与g (x )的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函 数，且f (x )+g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= . 17．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 18．已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数,a b 有()()()f a b f a f b ⋅+=，且()0f x >，若1(1)2f =，则(2)f -＝_ ___. 19.定义在R 上的函数()f x 满足11()()222f x f x ++-=，则127()()()888f f f +++＝__ _.20．若关于x 的方程22x +2x a +a +1=0有实根，则实数a 的取值范围是____三、解答题：21．作出下述函数图象：（1）1|2|2+-=x x y ；（2）32--=x x y ；（3）|)1|(|log |2-=x y ；（3）xy -=21lg ； 22. 作出下述函数图象：（1）.|12|2--=x x y （2）.1||1-=x y （3）.|1)21(|1||-=-x y（4）y =10|lg x |； （5）y =x -|x -1|； （6）y = |x 2-4x +3|．函数图像及综合应用训练题参考答案一、 选择题：二、7．保留函数22x y -=在x 轴上方的图像，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数2()|2|f x x =-的图像。
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第一轮复习函数复习训练题
一、选择题：
1、若集合{}||A x x x ==，{}20B x x x =+≥，则A B =（ ）
A ．[1,0]-
B ．[0,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．(,1]-∞-
2、设函数)(1)(R x x x x f ∈+-=，区间M=],[b a （b a <），集合}),({M x x f y y N ∈==，则使M=N 成立的实数对),(b a 有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数多个
3、已知函数()()⎩
⎨⎧∈-⋅==*N n n f n n n f ,10,1 , 则()6f 的值是（ ） A ． 6 B ． 24 C ． 120 D ． 720
4、若不等式x x a 42-≤对任意]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．4-≥a
B ．3-≥a
C ．03≤<-a
D ．3-≤a
5、设二次函数c bx ax x f ++=2)(，如果))(()(2121x x x f x f ≠=，则)(21x x f +等于（ ）
A ．a b 2-
B ．a b -
C ．c
D ．a
b a
c 442
- 6、已知时且当时当是偶函数]1,3[,4)(,0,)(--∈+=>=x x
x x f x x f y ，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是（ ）
A ．31
B ．32
C ．1
D ．3
4 7、偶函数))((R x x f ∈满足：0)1()4(==-f f ，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式0)(3<x f x 的解集为（ ）
A ．),4()4,(+∞⋃--∞
B ．)4,1()1,4(⋃--
C ．)0,1()4,(-⋃--∞
D ．)4,1()0,1()4,(⋃-⋃--∞
8、定义在R 上的偶函数
)(x f 在（－∞，0]上单调递增，若21x x >，021>+x x ，则（ ） A ．)()(21x f x f >
B ．)()(21x f x f >-
C ．)()(21x f x f -<
D ．)(1x f ，)(2x f 的大小与1x ，2x 的取值有关
9、函数)(x f 为奇函数，)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则+=+=
=（ ）
A ．0
B ．1
C ．25
D ．5
10、对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如,2]08.1[,3][-=-=π定义
函数],[)(x x x f -=则下列命题中正确的是（ ）
A ．1)3(=f
B ．方程21
)(=x f 有且仅有一个解
C ．函数)(x f 是周期函数
D ．函数)(x f 是增函数
11、定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则(1)y f x =+的值域为( )
A.[,]a b
B.[1,1]a b ++
C.[1,1]a b --
D.无法确定
12、已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0
)
()(,2
12121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤
⎝⎛41,0 B ．（0，1） C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41
D ．（0，3）
13、若函数)2,2()(21
)(-++=在为常数，a x ax x f 内为增函数，则实数a 的取值范围（
）
A ．),21
(+∞ B ．),21
[+∞ C ．)21
,(-∞ D ．]21
,(-∞
14、已知二次函数()()()2f x x a x b =---，m 、n 是方程f(x) =0的两根，则a 、b 、
m 、n 的大小关系可能是（ ）
A ．m<a<b<n
B ．a<m<n<b
C ．a<m<b<n
D ．m<a<n<b
15、已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区
间()1,2内，则a b -的取值范围为 （ ）
A ．()1,-+∞
B ．(),1-∞-
C ．(),1-∞
D ．()1,1-
16、已知方程a b
x x x x b a x a x 则且的两根为2121210,,01)2(<<<=+++++的取值
范围（ ）
A ．)32
,2(-- B ．)21,2(-- C ．]32,2(-- D ．]21
,2(--
17、定义在R 上的函数)1(+=x f y 的图象如图1
减函数，给出如下命题：①)0(f =1；②1)1(=-f ；③若0>x ，则
0)(<x f ；④若0<x ，则0)(>x f ，其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③
18、不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）
二、填空题：
19、不等式)1,0()24()3(2∈-<-a x a x a 对恒成立，则x 的取值范围是
20、不等式056)5(2>++--a x x a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
21、设函数a a a f x x
x x x f 则实数若,)(,)0(10(121)(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=的取值范围
是 .
22、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，
下面是关于()x f 的判断： ①()x f 是周期函数； ②()x f 的图像关于直线x ＝
1对称 ③()x f 在[0，1]上是增函数 ④()()02f f = 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。