高中数学三角函数学案精编
三角函数的概念
〖考纲要求〗理解三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；掌握任意角三角函数定义、符号.
〖复习要求〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义
和符号处理问题；了解三角函数线.
〖复习建议〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义
和符号处理问题；熟记特殊的三角函数值.
〖双基回顾〗⑴角的定义： .
⑵叫正角；叫负角；叫零角.
⑶终边相同角的表示：或者 .
⑷1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是
.⑸任意角三角函数定义为：
sin= cos=
tan=
·
P(x,y)
x
y
O
任意角三角函数的符号规则：在扇形中： .S扇
= 。
形
l
r
⑹两个特殊的公式：
如果∈，那么sin＜＜推论：＞0则sin＜
如果∈，那么1＜sin+cos≤
一、知识点训练：
1、终边在y轴上的角的集合是 .
2、终边在Ⅱ的角的集合是 .
3、适合条件|sin|=－sin的角是第象限角.
4、在－720o到720o之间与－1050o终边相同的角是 .
5、sin2·cos3·tan4的符号是………………………………………………………………………（）
(A)小于0 (B)大于0 (C)等于0 (D)不确定
6、已知角的终边过点P(－4m,3m)，则
2sin+cos=…………………………………………（）
(A)1或者－1 (B)或者－ (C)1或者－ (D)－1或者
二、典型例题分析：
1、确定的符号
2、角终边上一点P的坐标为(－,y)并且，求cos与tan的值.
3、如果角的终边在直线y=3x上，求cos与tan的值.
4、扇形的周长为20cm，问其半径为多少时其面积最大？
三、课堂练习：
1、角终边上有一点（a，a）
则sin=…………………………………………………………（）
(A) (B) －或 (C) － (D)1
2、如果是第二象限角，那么－是第……………………………………………（）象限角
(A)Ⅱ或Ⅲ (B) Ⅰ或Ⅱ (C) Ⅰ或Ⅲ (D) Ⅱ或Ⅳ
3、“=2k+（k是整
数）”是“tan=tan”的…………………………………………………（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分条件也不必要条件
4、如果角与的终边关于y轴对称，则cos+cos= .
5、在（－4，4）上与角终边相同的所有角为 .
四、课堂小结：
1、要熟悉任意角的概念，掌握角度与弧度的转化方法，熟练掌握任意角三角函数的定义方法.
2、已知角的一个三角函数值求其它三角函数值时，必须对讨论角的范围
3、知道所在的象限能熟练求出所在象限.
五、能力测试：姓名得分
1、下列结果为正值的是……………………………………………………………………………（）
(A)cos2－sin2 (B)tan3·sin2 (C)cos2·sin2 (D) sin2·tan2
*2、已知锐角终边上有一点（2sin3，－2cos3），那么=………………………………………（）
(A)3 (B)－3 (C)3－ (D) －3
3、如果与都是第一象限角，并且＞，则一定有如下关
系………………………………（）
(A)sin＞sin (B)sin＜sin (C)sin≠sin (D)不能确定
4、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的
数值为…………………（）
(A) (B) (C) (D)tan1
5、如果角是第二象限角，那么角是第象限角.
6、已知第二、第三象限角x满足cosx=，求实数a的取值范围.
同角三角函数关系与诱导公式
〖考纲要求〗掌握同角三角函数关系和诱导公式，能运用上述公式化简三角
函数式、求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.
〖复习要求〗掌握并熟练应用同角三角函数关系和诱导公式.
〖复习建议〗重点从同角三角函数关系和诱导公式出发，解决知值求值的一
些题型.
〖双基回顾〗⑴诱导公式：sin(－)= ;sin(＋)= ;sin(－)= ;
sin(＋)= ;sin(－)= ;
⑵同角三角函数关系：
平方关系：______________ 商的关系：__________
一、知识点训练：
1、sin(－)=…………………………………………………………………………………
（）
(A) sin(+) (B) cos(+) (C) cos(－) (D) sin(+)
3、
=……………………………………………………………………………………
（ ）
(A)－ (B) (C) (D)－
二、典型例题分析：
1、化简： cos4－sin4＋2sin2.
2、已知，求之值.
3、已知＜＜2，cos（－9）=－，求cot（－）
5、sin与cos是方程的两个根,求实数m.
三、课堂练习：
1、如果sin=，∈（0，），那
么cos(－)=……………………………………………（）
(A) (B) (C) － (D)－
2、函数的周期是函数的周期的2倍，则=……………（）
(A) (B)1 (C) 2 (D)4
3、=……………………………………………………………………（）
(A)0 (B)2sin51o (C) 2cos51o (D) －2sin51o
4、，那么是第象限的角.
四、课堂小结：
1、记忆诱导公式方法：“奇变偶不变（横同竖余）、符号看象限”.
2、角的运算规则：“偶丢，奇留”，“负化正，大化小、化到锐角再查表”
3、用同角三角函数关系时，首先考虑平方关系，但是要注意符号的讨论.
五、能力测试：
1、如果sin(+)=－,那
么cos()=………………………………………………………（）
(A)－ (B) (C) － (D)
2、sin600o的值
为………………………………………………………………………………………
（）
(A)－ (B) (C) － (D)
3、化简，那么= .
4、= .
5、化简：
8、如果，求sin x之值.
角的和、差、倍
〖考纲要求〗能推导两角和、差、倍、半的正弦、余弦、正切公式.
〖复习建议〗在复习中要注意掌握三角变形的方法和技巧：1的替换、角的
变换（拼凑、分拆）、降次与升次，了解万能代换
〖知识回顾〗
两角和差公式： . 倍角公式：sin2= .
. cos2= .
. = .
.
一、知识点训练：
1、sin(x－y)cosy＋cos(x－y)siny= .
2、tanx=2，那么sin2x= ；cos2x= ；tan2x= ；tan= .
3、如果，则tan=………………………………………………………（
）
(A)－4－ (B) －4＋ (C) (D)－
二、典型例题分析：
1、求之值.
2、如果，，求的值.
3、已知，并且∈(0,)，∈(,),求角.
4、设tan，tan是一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（abc≠0）的两个实数
根，求的值.
三、课堂练习：
1、利用公式求：tan20o＋tan40o＋tan20otan40o= .
2、如果，则函数的值域为…………………………………（）
(A) (B) (C) (D)
3、………………………………………………………（）
(A) (B)－ (C) (D)－
四、课堂小结：
处理三角函数的和、差、倍、半问题，一个最重要的内容是能熟练
记住几组公式：两角和与差的三角函数、倍角与半角公式，最好能记住
万能公式，要学会根据角的范围确定三角函数的符号，掌握几种公式的
变形结果并且能熟练使用.
五、能力测试：
1、如果sinx·cosx=－，其中x∈(,)，
则tanx=…………………………………………（）
(A) － (B)－ (C) －或者－ (D)以上都不对.
2、…………………………………………………………………………………………（）
(A) 2＋ (B) 2－ (C) －2+ (D)－2－
3、=…………………………………………（）
(A) (B) (C) (D)
4、tan18o＋tan42o＋tan18otan42o= .
5、= .
6、设tan，tan是一元二次方程：x2＋3x＋4=0的两个实数根，并且－＜
＜，－＜＜求的值.
7、在等腰三角形ABC中，B=C，，求sinB.
8、已知，，并且∈(0,)，∈(,),求.
三角函数式的化简求值证明
〖考纲要求〗能运用三角函数公式化简三角函数式、在化简的基础上会求某些三角函数式的值，会证明比较简单的三角恒等式（包括条件
恒等式）.
〖复习建议〗1、在复习中主要熟练公式的各种变形；掌握化简的常用方法：异角化同角、异次化同次、高次化低次、切割化弦、特殊
值与特殊角的转化；掌握化简的基本要求：项数尽可能要少、
次数尽可能的低、函数种类尽可能的少、能求值的尽量求值；
在处理化简问题时，观察表达式的结构特点和问题中出现的角
的关系尤为重要.
2、在复习中主要熟练公式的各种变形，注意公式的逆向
使用、变形使用.掌握恒等变形的基本方法：异角化同
角、高次化低次、特殊值与特殊角的转换、条件的代入
等.在做题过程中，要注意做到：过程详细，不能遗漏任
何一个知识点.
〖知识回顾〗
一、知识点训练：
1、等于………………………………………………………………（
）
(A) (B) (C) (D)
2、sinx·cosx=，，则cosx－sinx= .
3、= .
4、= .
二、典型例题分析：
1、化简表达式：
2、化简表达式：
3、如果，求证：.
*4、已知、是锐角且，求证：.
5、求值：
6、，，求之值.
7、已知：，，求的值.
三、课堂练习：
1、化简的最简式为…………………………………………………（）
(A) 2sin4 (B)2sin4－4cos4 (C)－2sin4－4cos4 (D)4cos4－2sin4
2、的最简形式为 .
3、= .
五、能力测试：姓名得分 .
1、如果，那么sin4x
＋cos4x=…………………………………………………………（）
(A) (B) (C) (D)
2、如果，则=…………………………………………………………（
）
(A)2 (B) (C) 或者不存在 (D) 不存在
3、（2003广东考题）x∈（－，0），
=……………………………………（）
(A) (B)－ (C) (D)－
4、是方程：x2＋p x＋q=0的两个根，那
么……………………………………（）
(A)p－q＋1=0 (B)p＋q＋1=0 (C)p＋q－1=0 (D) p－q－1=0
5、sin x＋sin2x=1，则cos2x＋cos4x= .
6、如果，求cos（提示：）
三角函数的图象
〖考纲要求〗了解正弦、余弦、正切、余切函数图象的画法，会用“五点
法”画正弦、余弦以及函数的图象，并能解决与正弦曲线有关
的实际问题.
〖复习建议〗熟练掌握三角函数特别是正弦、余弦函数的图象，深刻理解并且熟练掌握函数中参量A、、对正弦函数y=s i nx图象的影响；
用“五点法”画图象时，关键是正确选取“五点”，在如何选
择“五点”上下工夫.
〖知识回顾〗函数图象的几种常见变换：
1、振幅变换：
2、周期变换：
3、相位变换：
4、在横线上填写变换方法：
nx y=s i n(x+) y=s i n(x+)
y=s i nx y=s i n(x+)
5、。
一、知识点训练：
1、把函数的图象向左平移个单位，得到函数的解析式为……………………（）
(A) (B) (C) (D)
2、要得到函数的图象，只要将函数的图象……………………（）
(A)向左平移个单位(B) 向左平移个单位(C) 向右平移个单位(D) 向右平移个单位
3、把函数y=s i nx的图象向平移个单位得到函数的图象，再把函数图象上各点横坐标到原来的倍而得到函数
二、典型例题分析：
1、如果函数（A＞0，＞0，0＜＜2的最小值为－2，周期为，并且
经过点（0，－），求此函数的解析式.
2、如果函数y=ms i n2x－cos2x的图象关于直线对称，同时关于点(a,b)对称，求实数m以及a、b应该满足的条件.
3、已知函数的图形的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的一个解析式.
*4、方程：s i nx+cosx+m=0在上有两个不等的实数根、，求实数m的取值范围以及+的值.
三、课堂练习：
1、要得到函数y=cosx的图象，至少要把函数y=s i nx的图象向左平移个单位.
2、函数的图象的一条对称轴为……………………………………………（）
(A)x=－ (B) x=－ (C) x=－ (D) x=－
3、关于函数f(x)=4s i n(2x+)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可
得：x1－x2是整数倍；②f(x)的表达式可以改写为y=4cos(2x－)；
③f(x)的图象关于点(－,0)对称；④f(x)的图象关于直线x=－对称
其中正确命题的序号是 .
4、函数y=2cosx的图象与直线y=2在时围成的图象面积为 .
四、课堂小结：
三角函数的图象问题有一定的综合性，含有：周期性、奇偶性、最值、函数变换等内容，问题小，但是考察的方法灵活，学习方法包括：观察法、特殊结论法、函数变换法，要多加练习.
五、能力测试：姓名得分
1、已知函数（||＜图象如下，那么……………………………………（
）
1
－
(A)=,= (B) =, =－
(C)=2, = (D)=2, =－
2、函数y=cos(2x+的图象的一条对称轴方程是………………（）
1
1
(A) x=－ (B)x=－ (C)x= (D)x=
3、如果右图是周期是2的三角函数的图象，则其表达式是……（）
(A)s i n(1+x) (B)s i n(－1－x) (C)s i n(x－1) (D)s i n(x－1)
4、要得到函数y=cos(2x－)的图象，只要将函数y=s i n2x的图象………………………………（）
(A)右移个单位 (B)左移个单位 (C) 右移个单位 (D) 左移个单位
5、将函数的图象沿x轴左平移个单位后再将图象上各点的横坐标缩小为
原来的一半得到函数y=s i nx的图象，那么的表达式
为………………………………………………（）
(A)y=s i n2x (B)y=－s i n2x (C) (D)
6、要得到函数的图象，只要把函数的图象向平移个单位.
7、如果图象x2+y2≤k2至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则
正整数k的最小值为 .
8、已知函数y=cos2x＋s i nx·cosx,x∈R，
①当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
②该函数的图象可以由y=s i nx，x∈R的图象经过怎样的平移和伸缩得到？
三角函数的性质（1）
〖考纲要求〗掌握三角函数的性质，了解周期函数和最小正周期的意义，会求形如的函数和可以转化为此类函数的最小正周期.
〖复习建议〗牢记三角函数y=sinx、y=c osx的基本特征，包括定义域、值域、最小正周期等，会求函数的最小正周期.
〖知识回顾〗请填写下列表格：
函数定义域值域周期性
y=sinx
y=c osx[－1，1]
y=tan x周期为T=
注意：求函数的最小正周期时，一定要把函数表达式转化为最简形式，然后利用公式处理.
一、知识点训练：
1、如果，那么此函数是……………………………………………（）
(A)|sinx| (B)c osx (C)sin2x (D)tan x
2、下列表示同一函数的
是…………………………………………………………………………（）
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) ；
3、函数的定义域为 .
4、已知sin(30o+120o)=sin30o,那么30o是y=sinx的周期，对吗？ .
二、典型例题分析：
1、求函数的定义域.
2、指出下列函数的最小正周期：
⑴y=sin(－2x+4) ；⑵y=sin4x－c os4x .
⑶；⑷y=2sin2x－sinx·c osx＋5 .
3、函数的周期为.
⑴求实数a之值；⑵当0≤x≤时，求此函数的最值及此时的x之值.
三、课堂练习：
1、函数的定义域为[0，1]，那么函数的定义域为 .
2、函数的最小正周期为………………………………………………………（）
(A) (B) (C) || (D) ||
3、关于函数的周期问题，正确的是………………………………………（）
(A)不是周期函数 (B)T= (C) (D) 6
四、课堂小结：
三角函数的定义域与三角函数线有密切关系，要对正弦与余弦以及正切函数线非常熟悉，同时要记住一些特殊的三角函数值；三角函数的周期性是此部分的重要内容，要掌握基本三角函数周期并且会求一些特殊的三角函数周期.
五、能力测试：
1、函数tan的最小正周期为………………………………………………………………………（）
(A) a (B) |a| (C) (D)
2、函数的最小正周期为………………………………………………………………（）(A) (B) (C) (D) 2
3、满足sin(x－)≥的x的集合
是………………………………………………………………（）
(A){x|2K+≤x≤2K+} (B) {x|2K－≤x≤2K+}
(C){x|2K+≤x≤2K+} (D){x|2K≤x≤2K+或2K+≤x≤2K+}
4、在区间（0，2）内，使si nx＞co s x成立的x的取值范围
是……………………………………（）
(A)(, )∪(,) (B) (,) (C) (,) (D) (,)∪(,)
5、函数y=sin(2+x)的最小正周期为
6、函数的最小正周期为 .
三角函数的性质（2）
〖考纲要求〗掌握三角函数的性质.
〖考试内容〗正弦、余弦、正切、余切函数的性质.
〖复习建议〗在熟练掌握基本三角函数性质的基础上，要善于把三角函数式尽可能转化为只含一个三角函数的“标准式”，进而取确定其性
质，在确定三角函数的单调区间时，常可先分析函数的定义域
和周期，画出大致图象后在通过观察得出结论.
〖知识回顾〗
函数奇偶性单调区间
增区间：
y=s i nx
减区间：
增区间：
y=c osx
减区间：
y=tanx增区间：
y=co tx减区间：
一、知识点训练：
1、比较大小：；；
2、函数y=3|s i nx|－2的最大值为；
3、有下列结论：⑴正切函数是增函数⑵正弦函数在第一象限为增函数
⑶余弦函数在[0，]上是减函数⑷余切函数是减函数.其中正确的命题有…………………………………………（）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4、函数是奇函数，那么函数为…………………………………………………（）
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既奇又偶函数
二、典型例题分析：
1、⑴三个数A=，B=－，C=，试比较A、B、C的大小关系.
⑵如果A、B并且tanA＜，求角A、B的关系.
2、求函数=l g[]的单调区间.
3、奇函数在（－1，1）上是减函数，并且满足：，如果∈[0,2]，求实数的取值范围.
4、函数=为偶函数，求的值.
三、课堂练习：
1、函数为偶函数的充要条件为……………………………………………（）
(A)=± (B) =k+ (C) (D)
2、当函数y=s i nx与y=c osx全部是减函数时，x的取值范围是 .
3、函数y=|s i nx|的单调递减区间是 .
四、课堂小结：
三角函数的奇偶性问题比较难，因为涉及到三角方程问题，但是简
单的三角函数的奇偶性必须熟练掌握；三角函数单调性的描述比较困
难，注意只能用区间表示；比较三角函数值时要遵循：负化正、大化
小、直到锐角再比较.
五、能力测试：
1、在区间（0，）上是增函数的是…………………………………………………………………（）
(A) y= (B)y= (C)y=－s i nx (D) y=－c osx
2、在下列函数中既在是减函数，又是以为周期的偶函数
是…………………（）
(A) y=c os2x (B)y=s i n2x (C)y=tan x (D) y=c os2x
3、如果x∈(0,2)并且满足：s i nx＜c osx＜＜tanx，那么x的准确范围是……………………（）
(A) （0，） (B)（，） (C)（，） (D)（，）
4、如果x、y是同一象限的角，并且满足：c osx＜c osy；s i nx＜s i ny；
tan x>tan y，那么这两个角一定在的象限为…………………………………………………………………………………………（）
(A)Ⅰ (B) Ⅱ (C) Ⅲ (D) Ⅳ
5、设函数=s i n4x+c os4x，它的最小正周期T，值域M，那么是………………………（）
(A)T= ，M=[，1]的偶函数 (B) T= ，M=[，]的偶函数
(C) T= ，M=[，1]的偶函数 (D) T= ，M=[0，1]的奇函数
6、函数的单调递增区间是 .
7、如果，并且，那么= .
8、将下列数从小到大排列起来：
，，.
9、判断函数的奇偶性.
三角函数的值域与最值
〖考纲要求〗掌握三角函数值域及最值的求法.
〖复习建议〗对基本三角函数的性质有透切的理解，掌握基本三角函数的值域，能灵活选取不同的方法来求三角函数的最值
〖双基回顾〗1、正、余弦函数的值域为 .
2、函数+B的最大值为；最小值为 .
3、函数的最大值为；最小值为 .
一、知识点训练：
1、函数的值域为…………………………………………………………
（）
(A)[－1，1] (B) (C) (D)
2、函数的最大值为…………………………………………………（
）
(A)5 (B)15 (C)19 (D)20
3、函数y=的最小值为……………………………………………（）
(A)2 (B) (C)－3 (D)3
4、y=(si nx－a)2在si nx=a时有最小值，在si nx=1有最大值，那么a的取值
范围是…………（）
(A)[－1，1] (B)[－1，0] (C)[0，1] (D)
二、典型例题分析：
1、⑴求函数的最大值.
⑵求函数的最小值.
2、求函数的最值.
3、如果函数的最小值为，求的表达式及的最小值.
4、如图，半径为1的扇形中心角为，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积.
A
B
C
D
O
三、课堂练习：
如果，求的值域.
四、课堂小结：
三角函数的最值问题是建立在求函数值域基础上的一类问题，所以首先要掌握求函数值域的基本方法：换元法、配方法、数形结合法、判别式法、单调性法、部分分式法……，掌握三角函数值域的特殊方法：有界性法、辅助角法.注意题目的隐含条件的挖掘与使用.
五、能力测试：
1、y=si n4x＋c os4x－1的值域为……………………………………………………………………（）
(A)[0，1] (B)[－1，0] (C)[－，0] (D) [－，1]
2、如果x∈[0,],那么y=si nx－c os x的值域是……………………………………………………（）
(A)[－，1] (B) [－，－1] (C) [－，] (D) [－1，]
3、函数，则实数a＋b的最小值为……………………（）
(A)2 (B) 2 (C) －2 (D) －2
4、si nx＋si ny=，求u=si nx－c os2y的最大与最小值.
5、已知的最大值为，求实数a的值.
高中数学苏教版必修四学案：1.2.2 同角三角函数关系
第2课时三角函数线 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一有向线段 思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？ 思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？ 梳理有向线段 (1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆． 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
思考2三角函数线的方向是如何规定的？ 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理
知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域
类型一 三角函数线 例1 作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝1 2的角α的终边，并求角α的取值集合．
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
高中数学公式三角函数公式大全
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案
5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当
322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质
π??
据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： §1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标 细解考纲】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）. A ．72cm B ．86cm C ．102cm 【小试身手 轻松过关】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系. 经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin ,[0,24]6t y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6 t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122 t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________. 3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将移至（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值 §1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义 问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.) 所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则 1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案（含解析）新人教A 版必修4 考试标准 课标要点学考要求高考要求 任意角的概念 a a 终边相同的角的表示 b b 象限角的概念 b b 注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”． 知识导图 学法指导 1.结合实例明确任意角的概念． 2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限. 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向． (2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”． 3．角的分类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 5．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( ) (2)第一象限的角一定是锐角．( ) (3)终边相同的角是相等的角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 答案：B 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数的概念 〖考纲要求〗理解三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；掌握任意角三角函数定义、符号. 〖复习要求〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义 和符号处理问题；了解三角函数线. 〖复习建议〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义 和符号处理问题；熟记特殊的三角函数值. 〖双基回顾〗⑴角的定义： . ⑵叫正角；叫负角；叫零角. ⑶终边相同角的表示：或者 . ⑷1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是 .⑸任意角三角函数定义为： sin= cos= tan= · P(x,y) x y O 任意角三角函数的符号规则：在扇形中： .S扇 = 。 形 l r ⑹两个特殊的公式： 如果∈，那么sin＜＜推论：＞0则sin＜ 如果∈，那么1＜sin+cos≤ 一、知识点训练： 1、终边在y轴上的角的集合是 . 2、终边在Ⅱ的角的集合是 . 3、适合条件|sin|=－sin的角是第象限角. 4、在－720o到720o之间与－1050o终边相同的角是 . 5、sin2·cos3·tan4的符号是………………………………………………………………………（） (A)小于0 (B)大于0 (C)等于0 (D)不确定 6、已知角的终边过点P(－4m,3m)，则 2sin+cos=…………………………………………（） (A)1或者－1 (B)或者－ (C)1或者－ (D)－1或者 二、典型例题分析： 1、确定的符号 2、角终边上一点P的坐标为(－,y)并且，求cos与tan的值. 3、如果角的终边在直线y=3x上，求cos与tan的值. 4、扇形的周长为20cm，问其半径为多少时其面积最大？ 三、课堂练习： 1、角终边上有一点（a，a） 则sin=…………………………………………………………（） (A) (B) －或 (C) － (D)1 2、如果是第二象限角，那么－是第……………………………………………（）象限角 (A)Ⅱ或Ⅲ (B) Ⅰ或Ⅱ (C) Ⅰ或Ⅲ (D) Ⅱ或Ⅳ 3、“=2k+（k是整 数）”是“tan=tan”的…………………………………………………（） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分条件也不必要条件 4、如果角与的终边关于y轴对称，则cos+cos= . 5、在（－4，4）上与角终边相同的所有角为 . 四、课堂小结： 1、要熟悉任意角的概念，掌握角度与弧度的转化方法，熟练掌握任意角三角函数的定义方法. 2、已知角的一个三角函数值求其它三角函数值时，必须对讨论角的范围 3、知道所在的象限能熟练求出所在象限. 五、能力测试：姓名得分 1、下列结果为正值的是……………………………………………………………………………（） (A)cos2－sin2 (B)tan3·sin2 (C)cos2·sin2 (D) sin2·tan2 *2、已知锐角终边上有一点（2sin3，－2cos3），那么=………………………………………（） 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 附件：教学设计模板 （一）创设问题情境 师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 问题1： （1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 问题2:已知如何求的值. 教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题. 【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣. (二)探索开发新结论 教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与(＋)三角函数值的关系，问题就解决了. 探究一：任意角与(＋)三角函数值的关系. 问题3： ①(＋)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称） ②与(＋)角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点P1与P2位置关系如何？ （关于原点对称） ③点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示？（P2(－x，－y)） ④sin与sin(＋)，cos与cos(＋)，tan与tan(＋)的关系如何？ 经过探索，归纳成公式 -----公式二 【设计意图】公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成． 学生活动：小组讨论，代表发言交流． 问题4：公式中的角仅是锐角吗？ 【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻. 师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式． 【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式． 类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察，由公式一知的终边与的终边相同，所以我们必须知道一个任意角与(-)三角函数值的关系. 探究二：任意角与(-)三角函数值的关系. 问题5： ①(-)角的终边位置关系如何？(关于x轴对称) ②设与(-)角的终边分别交单位圆于点P1，P2点P1与P2位置关系如何(关于 第一轮复习 三角函数学案6 知识要点： 成一个整体，先令ππ ππ?ω2,2 3,,2,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值， 用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是 将?ω+x 看成整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期| |2ωπ =T 典型例题： 例1、(1)函数2 161sin lg x x y -+ =的定义域是 . (2)当x ∈?? ? ???-2,2ππ时，函数f （x ）=sinx+3cosx 的值域是 A. [-1，2] B. [-2 1 ，1] C. [-2，2] D. [-1，2] 1.1、函数)cos(sin x y =的定义域是 。 1.2、函数y =1－2sin 2x ＋2cos x 的最大值是 最小值是 。 例2、下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是 A ．y=tan|x |. B ．y=cos(－x ). C ．).2sin(π -=x y D ．|2 cot |x y = 2.1、在下列给定的区间中，使函数y=sin(x+4 π )单调递增的区间是 A ．[0， 4 π ] B ．[ 4π，2 π] C ．[2 π ，π] D ．[－π，0] 2.2、函数y =sin( 6 π －2x )的单调递减区间是 。 例3、.函数R x y 是)0)(sin(π??≤≤+=上的偶函数，则?= A ．0 B ． 4π C ．2 π D ．π 3.1、使)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 是奇函数，且在[4 , 0π ]上是减函数的θ的一个值 A ． 3 π B ．32π C ．34π D ．35π 例4、函数y=sinx+cosx 的最小正周期是 ，图象的相邻两条对称轴之间的距离是 . 4.1、函数y =sin （3 π －2x ）+sin2x 的最小正周期是（ ） A.2π B.π C. 2π D.4π 4.2、已知函数x x x x x f 4 4sin cos sin 2cos )(--=，则 )(x f 的最小正周期是 、最 大值是 、最小值是 。 4.3、函数y =tan x －cot x 的最小正周期为____________。 例5、求函数?? ? ? ?- =62tan 3πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性，再说明函数的图象可以由函数x y tan =的图象通过怎样的变换得到。 5.1、（2006年上海春卷）已知函数?? ????∈-??? ? ? +=πππ,2, cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若5 4 sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 高中数学三角函数公式汇总（正版）一、任意角的三角函数 在角正弦：正切：正割：的终边上任取一点 P(x, y) ，记： 2 2 rx y ，．． y x sin 余弦： cos r r y x tan 余切： cot x y r r sec 余割： csc x y 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正．． 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1 ， cos sec 1， tan cot 1 。 商数关系： tan sin ， cot cos 。cos sin 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan 2 sec2 ，1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名 ．． 不变，符号看象限） ⑵、、3 、 3 的三角函数值，等于的异名函数值， 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看 ．． 象限） 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ，tan 1 cos2 sin 2 cos 2 ， 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 2 tan 1 tan 2 ， tan 2 2 tan 。 sin 2 2 ， cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2高中数学三角函数公式大全全解
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