黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学(文)试题
13．为了了解疫情期间哈一中高三学生的心理需求，更好的开展高考前的心理健康教育
工作，心理老师设计了两个问题，第一个问题是“你出生的月份是奇数吗？”；第二个
问题是“你是否需要心理疏导？”。让被调查者在保密的情况下掷一个均匀的骰子，其
他人不知道掷骰子的结果，要求：当出现 1 点或 2 点时，回答第一个问题；否则回答
()
A． 17 1
B． 2 5 2
C． 2
D． 17
12．已知方程 x a(x3 3x2 ) 0 有 4 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是( )
A．（ 4 ， ） 9
B．（ 2 ， ） 3
C．（0， ）
D．（ 1 ， ） 2
文科数学
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第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二．填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答 题纸相应位置上）
23．[选修 4—5:不等式选讲]
已知 a>0，b>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值为 1. (1)证明：2a＋b＝2； (2)若 a＋2b≥tab 恒成立，求实数 t 的最大值．
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B．“ a 2 ”是“函数 f (x) loga x 在区间（0， ）上为增函数”的充分不必要条件
C．“若 x0 为 y f (x) 的极值点，则 f ' (x) 0 ”的逆命题为真
D．命题 p : x 2,2x 3 0 的否定是 x0 2,2x0 3 0
7．函数 f(x)＝ 1 x2sinx＋xcosx 的图象大致是 2
文科数学
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19．（本小题满分 12 分）如图，正方形 ADMN 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直， AB 2 AD 6 ，点 E 为线段 AB 上一点．
（1）若点 E 是 AB 的中点，求证：BM∥平面 NDE；
（2）若直线
EM
与平面
ABCD 所成的线面角的大小为
π 6
，求VE ADMN
行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数 y f (x) ，
若 y1 f x1 , y2 f x2 , y3 f x3 , x1 x2 x3 ，则在区间 x1, x3 上 f (x) 可以 用二次函数 f (x) y1 k1 x x1 k2 x x1 x x2 来近似代替，其中
k1
y2 x2
y1 x1
,
k
y3 y2 x3 x2
， k2
k k1 x3 x1
，若令 x1
0,
x2
, 2
x3
，请依据上述
算法，估算 sin 2 的近似值是 5
24
A．
25
B． 17 25
16
C．
25
（）
4
D．
5
10．已知 f (x 1) 是定义在 R 上的奇函数， f (2) 2 ，且对任意 x1 1 ， x2 1 ，
14．将函数 f (x) 2 sin(x )( 0) 的图象向右平移 个单位，得到函数 y＝g(x)
3
3
的图象，若
y＝g(x)在
0，4
上为增函数，则ω的最大值为________．
15．若圆（x
3）2 ( y 1)2
9 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 经过第二、四象限
()
8．已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线
AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
()
A． 3 2
B． 15 5
C． 10 5
D． 3 3
文科数学
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9．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法 号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一
: VE CDM
．
M
N
D
A
E
C B
20．（本小题满分
12
分）已知椭圆
C：x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)的离心率为
1 2
，且过点（ 1,
3 ）， 2
椭圆 C 的右顶点为 A，点 B 的坐标为（ 1 ,0）. 2
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知纵坐标不同的两点 P，Q 为椭圆 C 上的两个点，且 B，P，Q 三点共线，
一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题的四 个答案中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A 1,2,3, B x x2 2x m 0 ，若 A B 2，则集合 B ( )
A． 0
B． 2
C． 1
D． 0，2
2．已知 i 是虚数单位，则
求证：
f
x1
f
x2
3 4
ln 2
．
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选考题：本题满分 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑.
22．[选修 4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
的渐近线交于 A, B 两点，且 AB 2 6 ，则此双曲线的离心率为________．
16．某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何 体外接球的表面积是________．
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16 题 第4页共7页
三．解答题:（本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤.）
(1)经计算估计这组数据的中位数； (2)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计 总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有 10000 个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以 10 元/千克收购； B：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于 250 克的以 3 元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
线段 PQ 的中点为 R，求直线 AR 的斜率的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x ax2 bx ln x ，a，b R ．
（1）当 a b 1 时，求曲线 y f x 在 x 1 处的切线方程；
（2）当 b 2a 1 时，讨论函数 f x 的单调性；
（3）当 a 1 ， b 3 时，记函数 f x 的导函数 f x 的两个零点是 x1 和 x2 x1 x2 ．
B．－6
C．6
5．执行如下图所示的程序框图，则输出的 a 值为
A．-3
B． 1 3
C． 1 2
() D． 32
() D．8
() D．2
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开始
a=2,i=1
是 i >2020?
a= 1 a 1 a
输出 a
i=i+1
结束
5题
6．下列关于命题的说法错误的是
()
பைடு நூலகம்
A．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 2 ” 的逆否命题为“若 x 2 ，则 x2 3x 2 0 ”
17．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，AD 是 BC 边的中线，AB2＋AC2＋AB·AC＝BC2，且
△ABC 的面积为 3 .
(1)求∠BAC 的大小及A→B·A→C的值； (2)若 AB＝4，求 AD 的长．
18．(本小题满分 12 分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒 果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)(单 位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．
4 3i 1i
A． 5 5i
B． 5 5i
C． 5 5 i 22
()
D． 5 5 i 22
3．已知等比数列{an} 满足 a1 2 ，且 a1, a2, 6 成等差数列，则 a4
A． 6
B． 8
C．16
4．已知向量 a＝(1，m)，向量 b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则 m＝
A．－8
哈尔滨市第一中学 2020 届高三学年六月第一次模拟考试 数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分）
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卡，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、姓名和准考证号。 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。 4.考试结束，只需上交答题卡。
第二个问题，由于其他人不知道他回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，
你也无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能反映真实情况，
可以从调查结果中得到需要的估计，若调查的 900 名学生中有 156 人回答“是”，由此
可估计我校高三需要心理疏导的学生所占的比例约为_________________
已知曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 a cos（a 0），过点 P（ 2,4）的直线 l
的参数方程为
x 2
2t 2 （t
为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点．
y
4
2t 2
（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）若 PA PB AB 2 ，求 a 的值．
x1
x2
，
f
( x1 ) x1
f (x2 x2
)
0
恒成立，则使不等式
黑龙江省校2020届高三数学第一次模拟考试试题 文
* 22⎪ → → π→ → → →黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第一次模拟考试试题 文5.已知平面向量 a , b 的夹角为 3 ，且| a |= 2,| b |= 1 ，则| a − 2 b |= （ ）1A.4B.2C.1D.6姓名考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔班级书写, 字体工整, 字迹清楚；6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍， 逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示， 若最终输出的 x = 0 ，则一开始输入的x 的值为（ ） 3 7 15 31 A. B. C. D.4 8 16 327.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项m 2 − m 1 =5 lg E 1 2 E 2 ，其中星等为 m k 的星的亮度为 E k (k = 1,2) 。
已知太阳的星等是-26.7，天狼 装 中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {1,2,3,4,5}， B = {0,2,4,6}，则集合 A ⋂ B 的子集共有（ ）A. 2 个B.4 个C.6 个D.8 个订 2.已知复数 z 满足 ( z + i )(1 − i ) = 3 + 3i ，则| z |= （ ）A.2B. 3C.4D. 2星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C. lg10.1D.10−10.18.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对 兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟英语答案
哈尔滨市第一中学2020届高三学年六月第一次模拟考试英语参考答案1-5 ACABA 6-10 ACACB 11-15 CBABC 16-20 BABC21-23 ADB 24-27 ADDC 28-31 DBAC 32-35 BCCA 36-40 DBFEC41-45 DDCAB 46-50BADCD 51-55 CABAB 56-60 CBADC61. on 62. an 63. is expected 64. various 65. Using66. seconds 67. to promote 68. said 69. possibly 70. which短文改错My uncle，who hadhas been working in a hospital in our city, isa∧great success as ast night I went to visit him and told him I was in low spirits because heI had failed themaths test again.After hearing thatwhat I said，he told me that when he was at school，he wanted to bea doctor.He had worked very harderhard at his lessons and tried to enterto＼ a university.However，something unhappy happened to his family，itwhich forced him to work for alifeliving.But he spenthis spare time studyingorand finally became a doctor.“The secret of success，” he said，“areis tonever give up whatever difficulty you may meet with in the future.”书面表达Dear Peter,How was the things with you? Delighted to learn your intention to join one of the clubs in our school , I’d like to convey my heartfelt welcome and offer some help to you.The club I recommend is the table-tennis club, the most popular one among overseas students. As a school-wide pilot programme, it attracts an increasing number of students, where highly-advanced facilities and professional coaches are available for players. In addition to some regular practice, you can also get more opportunities to get involved in some large-scaled competitions, during which you can not only make some friends, but also your skills can be quickly promoted as well. In my mind, it is a win-win club. If you are interested, you can sigh up on the school website or go directly to the Student’s Union .I sincerely hope what I have recommended can meet your needs. For more information,feel free to get me informed .Yours,Li Hua。
【精准解析】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟考试英语试题
哈尔滨市第一中学2020届高三学年六月第一次模拟考试英语试题第I卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间 120分钟。
2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、姓名和准考证号。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
4.考试结束，只需上交答题卡。
第一部分：听力（共两节，满分 30 分）第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，满分 7.5 分）听下面 5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例： How much is the shirt?A. 19.15.B. 9.18.C. 9.15.答案是 C。
1. What does the woman mean?A. She is too busy to get the opener.B. She doesn't know where the opener is.C. She wants the man to help her dress the baby.2. What is the man doing?A. Writing.B. Playing the video game.C. Listening to the radio.3. What do we know about the man?A. He wants to make good use of his intelligence.B. He asks the woman to find him a job.C. He has found a well-paid job.4. Where are the speakers?A. On a bus.B. On a plane.C. On a train.5. What does the woman advise the man to do?A. Take a break.B. Drink some water.C. Figure out the problem.第二节（共15小题，每小题 1.5分，满分22.5分）听下面 5 段对话或独白。
文数答案2020哈三中高三学年第一次模拟考试文数答案(1)
AD 面 PAD , PA AD A , AB 面 PAD , PD 面 PAD
AB PD
……………………4 分
(2) MN / / 面 PCD , MN 面 PBD ,面 PCD 面 PBD PD ,MN / /PD
BM
BN
,
BM 3 , MD 1 , BN 3
MD NP
x
x2
……8 分
x 0,1 ， g‘(x） 0 ， g(x）单调递减； x 1, ， g‘(x） 0 g(x）单调递增；
g(x） g（1） e 1， m 2(e 1)
……12 分
21.
x ty m
（1）
y
2
x
联立解得 y2 - ty - m = 0
t
2
4m
0
y1 y2 x1x2
m m2
…………………………… 2 分
K 2 502015 10 52 25 8.333 6.635
30 20 25 25 3
……………………………5 分
所以有 99 ％的把握认为”对冰球运动是否有兴趣与性别有关；
………………………………… 6 分
（2）设抽取的两人都是男生为事件 A 按照性别利用分层抽样的方法从中抽取的 5 人中男生有 3 人，分别用 a1, a2, a3 表示，
满足余弦定理 4 1 3 2 a 2 c2 2ac( 3 ) ……………………………..9 分 2 因为 a2 c2 2ac ,
所以 4 1 3 2 a 2 c2 2ac( 3 ) (2 3)ac , 2
则 4 1
2
3 (2
3)ac , 即 ac 8 , 当且仅当 a c 时取”=”
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2020届高三数学第一次月考试题 文(含解析)新 人教
2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。
黑龙江省哈尔滨一中2020届高考数学一模试卷2 (含答案解析)
黑龙江省哈尔滨一中2020届高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}，B={1,3，5}，则A∩B=()A. {0,1，5}B. {0,2，4}C. {0,3}D. {1,3}2.已知i是虚数单位，若3iz=−1+2i，则z的共轭复数z.等于()A. 23+13i B. 23−13i C. 65+35i D. 65−35i3.已知命题p:关于m的不等式log2m<1的解集为{m|m<2};命题q:函数f(x)=x3+x2−1有极值.则下列命题为真命题的是()A. p∧qB. p∧(¬q)C. (¬p)∧qD. (¬p)∧(¬q)4.已知：在△ABC中，acosB=bcosA，则此三角形的形状为()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形5.对任意的实数有x4=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a4(x−2)4，则a2等于()A. 24B. 16C. 8D. 326.下列图象可以作为函数f(x)=xx2+a的图象的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知函数f(x)对∀x∈R满足：f(x+2)=f(−x)，f(x+1)=f(x)⋅f(x+2)，且f(x)>0，若f(1)=4，则f(2019)+f(2020)=()A. 34B. 2 C. 52D. 48.若tanα=2，则sin2α=()A. −25B. −45C. 25D. 459.已知点P为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1,F2分别为左右焦点，若双曲线C的离心率为√3，ΔPF1F2的内切圆圆心为l，半径为2，若，则b的值是()A. 2B. √2C. √6D. 610.某人参加一次考试，全部答完后才能获取成绩，若4道题中解对3道即为合格，已知他的解题正确率为0.6，则他能合格的概率是()A. 0.3456B. 0.6544C. 0.4752D. 0.524811. 已知函数f(x)=lnx +12ax 2−2x 有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.B. (0,2)C. (0,1)D. (0,3) 12. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 10二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为______ ．14. 抛物线y 2=8x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，∠OFA =2π3，则tan∠ACB =______．15. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F为BB 1中点，且FD ⊥AC 1，则ADDC 1=________．16. 已知P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2=2px 两边同时对x 求导，得2yy′=2p ，则y′=py ，所以过P 点的切线的斜率k =py 0.类比上述方法，求出双曲线x 2−y 22=1在点(2,√6)处的切线方程为 ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1−2a n =2n (n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n =an2n .求数列{a n }的前n项和S n ．18. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，AB =AE =2，CF =3．(1)求证：EF⊥平面BDE；(2)求锐二面角E−BD−F的大小．19.某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的概率分布；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．20.设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,√32)在该椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．21.已知函数f(x)=12+lnx，g(x)=12x2．(1)设ℎ(x)=f(x)+g(x)，求曲线y=ℎ(x)在点(1,ℎ(1))处的切线方程；(2)证明：f(x)≤g(x)．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：√3x+y−4=0，曲线C2：为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C3：为参数，t>0，0<α<π2)分别交C1，C2于A，B两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23.设函数f(x)=|x−m|+|x−3m|，m∈N∗，存在实数x，使得f(x)<4成立．(1)求不等式f(x)<2x的解集；(2)若a≥3，b≥3，且满足f(a)+f(b)=12，求证：4a +1b≥910．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．解不等式，利用交集的定义计算即可．解：集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}={0,1，2，3，4}，集合B={1,3，5}，则A∩B={1,3}．故选D．2.答案：C解析：解：由3iz =−1+2i，得z=3i−1+2i=3i(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=6−3i5=65−35i，∴z.=65+35i．故选：C．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：C解析：本题主要考查复合命题真假关系的判断，判断命题p，q的真假是解决本题的关键．判断命题p，q命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：由log2m<1得0<m<2，即命题p是假命题，函数f(x)的导数为f′(x)=3x2+2x，则判别式△=4>0，则f′(x)=3x2+2x有两个不同的实根，则f(x)存在极值，故命题q是真命题则(￢p)∧q为真命题，其余为假命题，故选C．4.答案：A解析：解：由题意知，在△ABC中，acosB=bcosA，∴根据正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sinAcosB−sinBcosA=0，则sin(A−B)=0，∵A、B∈(0,π)，∴−π<A−B<π，∴A−B=0，则A=B，∴△ABC是等腰三角形，故选：A．根据正弦定理化简acosB=bcosA，利用两角差的正弦公式化简，根据三角形内角的范围判断出△ABC的形状．本题考查正弦定理，以及两角差的正弦公式的应用，注意内角的范围，属于中档题．5.答案：A解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．根据x4=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a4(x−2)4=[2+(x−2)]4，利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．解：对任意的实数有x4=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a4(x−2)4=[2+(x−2)]4，故a2=C42⋅22=24，故选A．6.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的判断，是中档题．通过a与0的大小，分类讨论，通过函数的奇偶性判断求解即可．解析：，其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是③，解：当a<0时，如取a=−4，则f(x)=xx2−4所以③选项是正确的；当a>0时，如取a=1，其定义域为R，它是奇函数，图象是②.所以②选项是正确的；，其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的．当a=0时，则f(x)=1x故选：C．7.答案：A解析：本题主要考查函数性质的应用，属于中档题．根据已知解得函数f(x)的周期为6，同时代入x=0，1，2分别求得f(2)，f(3)，f(4)，由周期可运算出答案．解：因为f(x+1)=f(x)⋅f(x+2)(1)，故可得f(x+2)=f(x+1)⋅f(x+3)(2)，由(1)(2)式相乘，可得f(x)f(x+3)=1，即f(x+3)=1f(x)，故可得f(x+6)=1f(x+3)=f(x)，故可得函数f(x)的周期为6，又令x=0，可得f(2)=f(0)，故f(1)=f(0)f(2)=4，因为f(x)>0，故可得f(2)=2，令x=1，f(2)=f(1)f(3)，故可得f(3)=12，同理可得f(4)=14，故可得：f(2019)+f(2020)=f(6×336+3)+f(6×336+4)=f(3)+f(4)=12+14=34，故选A．8.答案：D解析：解：∵tanα=2，则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9.答案：C解析：本题考查双曲线的定义、简单性质的应用，是基本知识的考查，利用△PF1F2的内切圆圆心为I，半径为2，若S△PF1I =S△PF2I+2√3，求出a，通过离心率求出c，然后求解b即可．解：点p为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，。
2020年黑龙江省哈尔滨一中高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A=｛x｜y=log2(x−1)｝，B=｛y｜y=√2−x｝，则A∩B=()A. (0,2］B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,2］2.已知复数z=1+2i，则z⋅z.=()A. 3−4iB. 5+4iC. −3D. 53.已知复合命题(¬p)∧q为真命题，则下列命题为真命题的是()A. pB. ¬qC. p∧(¬q)D. ¬(p∧q)4.在△ABC中，a=bsinA，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形5.已知(2−x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯…+a8(1+x)8，则a0+a1+a2+⋯…+a7的值为()A. 1B. 255C. 256D. 7296.已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，它们的部分图像如图，则f(x)g(x)的图像大致是()A. B.C. D.7.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2013)=−f(x+2012)，且f(2013)=−2013，则f(0)=()A. 1B. −1C. 2013D. −20138. 已知sinα+2cosα=0，则tan2α=( )A. 34B. 43C. −43D. −349. 已知点P 是双曲线x 216−y 29=1右支上的一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若成立，则m 的值是( )A. 45B. 53C. 13D. √3310. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为( )A. 2764B. 964C. 364D. 3411. 若函数有两个极值点，则a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,12]C. (0,1)D. (0,1]12. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =√32，则|a ⃗ +t b ⃗ |(t ∈R)的最小值为( )A. 14B. 12C. √32D. 1二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若函数f(x)=sin(ωπx −π6)(ω>0)的最小正周期为15，则f(13)的值为______ ．14. 过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，且|AB|=4，若原点O 是△ABC 的垂心，则点C 的坐标为________．15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 设函数f(x)=13x 3−a2x 2+bx +c ，其中a >0，曲线y =f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y =1，则b = (1) ，c = (2) ． 四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1−2a n =2n (n ∈N ∗)，数列{b n }满足b n =an2n .求数列{a n }的前n项和S n ．18.如图所示的几何体中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC.AC与BD相交于O．(1)求证：FO⊥平面ABCD；(2)求二面角E−FA−B的余弦值．19.某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．20.设A，B分别为椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,√32)在该椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．21.已知函数f(x)=lnx−mx2．(1)若m=2，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当m∈(1,2)时，证明：f(x)−1x+1<0．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线θ=π4(ρ∈R)与直线{x=2ty=−2t+m(t为参数，m>0)交于点A，与曲线C交于点B(异于极点)，且|OA|·|OB|=8，求m．23.已知函数f(x)=|x−3|+|x−2|．(1)求不等式f(x)<3的解集M；(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．解：由题意可知，集合A =｛x ｜y =log 2(x −1)｝={x|x >1}， B =｛y ｜y =√2−x ｝={y|y ≥0}， ∴A ∩B ={x|x >1}， 故选C ．2.答案：D解析：解：z ⋅z .=(1+2i)(1−2i)=12+22=5． 故选：D ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查命题的真假判断及复合命题的真假判断，属于基础题． 根据题意判断命题p ，命题q 的真假，进而得出答案． 解：由题意易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题， ∴p ∧q 为假命题， ∴¬(p ∧q) 为真命题． 故选：D ．4.答案：B解析：本题考查正弦定理，属于基础题，利用正弦定理化简，再根据特殊角的三角函数值即可判断三角形的形状．解：由正弦定理得asinA =bsinB=2R，又由a=bsinA得2RsinA=2RsinB·sinA，所以sinB=1，所以B=π2．即△ABC一定是直角三角形．5.答案：B解析：解：∵(2−x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯…+a8(1+x)8，∴(2−x)8=[3−(1+x)]8=C80⋅38−C81⋅37⋅(1+x)+C82⋅36⋅(1+x)2+⋯+C88(1+x)8，∴a8=1，1+x=1，得a0+a1+a2+⋯…+a7+a8=28=256，∴a0+a1+a2+⋯…+a7=256−1=255．故选：B．推导出(2−x)8=[3−(1+x)]8=C80⋅38−C81⋅37⋅(1+x)+C82⋅36⋅(1+x)2+⋯+C88(1+x)8，从而a8=1，由1+x=1，得a0+a1+a2+⋯…+a7+a8=28=256，由此能求出a0+a1+a2+⋯…+a7．题考查二项展开式中系数和的求法，考查二项式定理、二项展开式的系数数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性及函数图象的作法，属于基础题．由已知得函数F(x)=f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B，然后结合已知图象得当x>0时f(x)>0，g(x)>0，所以F(x)>0，可排除D即可求解．解：由题意，得f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x).令F(x)=f(x)g(x)，则F(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F(x)，所以函数F(x)=f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B．又由函数f(x)，g(x)的图象可知，当x>0时f(x)>0，g(x)>0，所以F(x)>0，可排除D，故选C．7.答案：C解析：本题考查抽象函数，函数的周期性，属于基础题．由题可得f(2012)=−f(2013)=2013，f(t+2)=f(t)，进而得出f(0)的值．解：f(x+2013)=−f(x+2012)，取x=0可得f(2012)=−f(2013)=2013，令t=x+2012，可得f(t+1)=−f(t)，f(t+2)=f(t)，∴f(0)=f(2012)=2013．故选C．8.答案：B解析：本题考查同角关系，及二倍角公式的应用，难度一般．解：因为sinα+2cosα=0，则则tan2α=2×(−2)1−(−2)2=43．故选B．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，属于中档题．由点M为△PF1F2的内心得到点到PF1，PF2，F1F2的距离相等，以及，得|PF1|=|PF2|+m|F1F2|，用定义即可求解．解：因为M为△PF1F2的内心，所以M到PF1、PF2、F1F2的距离相等．又，所以|PF1|=|PF2|+m|F1F2|，即2a=2mc，所以m=ac =45．故选A．10.答案：B解析：本题主要考查相互独立事件概率计算，考查学生数学应用能力，属于基础题． 利用二项分布概率计算公式，直接计算即可得等答案．解：已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14，所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为P =C 31×(34)1×(14)2=964．故选：B11.答案：A解析：本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的应用，属于中档题． 利用导数研究函数的单调性，判断参数范围即可． 解：f(x)=x(lnx −ax)，求导f ′(x)=lnx −2ax +1， 令f ′(x)=lnx −2ax +1=0， 由题意，关于x 的方程a =lnx+12x 在区间(0,+∞)上有两个不相等的实根，令ℎ(x)=lnx+12x，ℎ′(x)=−2lnx 4x 2，当x ∈(0,1)时，ℎ(x)单调递增，当x ∈(1,+∞)单调递减， 当x →+∞时，ℎ(x)→0，ℎ(1)=12， a =lnx+12x在区间(0,+∞)上有两个不相等的实根，即函数有两个极值点，则0<a <12． 故选A ．12.答案：B解析：本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．根据a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量及a ⃗ ⋅b ⃗ =√32即可求出|a ⃗ +t b ⃗ |2=t 2+√3t +1，然后可求出二次函数t 2+√3t +1的最小值，从而得出|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值． 解：a ⃗ ,b ⃗ 是单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =√32； ∴|a ⃗ +t b ⃗ |2=a ⃗ 2+2t a ⃗ ⋅b ⃗ +t 2b ⃗ 2=1+√3t +t 2； ∵t 2+√3t +1的最小值为4−34=14；∴|a ⃗ +t b ⃗ |的最小值为12． 故选：B ．13.答案：−12解析：利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得f(13)的值．本题主要考查正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题． 解：∵函数f(x)=sin(ωπx −π6)(ω>0)的最小正周期为2πωπ=15，∴ω=10， 则f(13)=sin(10π⋅13−π6)=sin19π6=sin 7π6=−sin π6=−12，故答案为：−12．14.答案：(−3,0)解析：本题考查抛物线的性质及三角形垂心的性质，属于中档题．由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由O 为三角形ABC 的垂心可得C 在x 轴上，设C 的坐标，由OA ⊥BC ，可得数量积为0，求出C 点的坐标． 解：显然直线AB 的斜率不为0，由题意设直线AB 的方程为：x =my +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程{x =my +1y 2=4x ，整理可得y 2−4my −4=0，y 1+y 2=4m ，所以x 1+x 2=4m 2+2，由抛物线的性质可得|AB|=x 1+x 2+2=4m 2+4，由题意可得4m 2+4=4，所以m =0，即直线AB 垂直于x 轴， 所以可得A(1,2)，B(1,−2)，因为原点O 是△ABC 的垂心，所以C 在x 轴上，设C(a,0)，可得AO ⊥BC ，即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即(−1,−2)⋅(a −1,2)=0，整理可得：1−a −4=0，解得a =−3， 所以C 的坐标为：(−3,0)，故答案为：(−3,0)．15.答案：2√3解析：解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1，在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16.答案：01解析：本题考查导数的几何意义，利用导数的几何意义求解即可得结果．解：由题意得f′(x)=x2−ax+b，由切点P(0,f(0))既在函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c上又在切线y=1上，得{f′(0)=0,f(0)=1,即{02−a⋅0+b=0,13×03−a2×02+b⋅0+c=1,解得b=0，c=1．故答案为0；1．17.答案：解：由b n=a n2n ，得：b n+1=a n+12n+1，即b n+1−b n=a n+12n+1−a n2n=12，所以数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为12．所以b n=1+12(n−1)=n+12，所以a n=2n b n=(n+1)×2n−1．所以S n=a1+a2+⋯+a n=2×1+3×2+⋯+(n+1)×2n−1①所以2S n=2×2+3+22+⋯+(n+1)×2n②①−②得：−S n=2×1+2+22+⋯+22−1−(n+1)×2n=2n−(n+1)×2n=−2n n.即S n=2n n．解析：由b n=a n2n ，推出数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为12.求出通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，∴O为BD中点，O为AC中点，∵四边形DBFE 是菱形，∠DAB =∠DBF =60°， ∴ΔDBF 是等边三角形， ∵O 为BD 中点， ∴FO ⊥BD ，∵FA =FC ，O 为AC 中点， ∴FO ⊥AC ，又∵AC ∩BD =O ，AC 、BD ⊂平面ABCD ， ∴FO ⊥平面ABCD ．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°， ∴ΔABD 是等边三角形，O 为BD 的中点， ∴AO ⊥BD ， 即OA ⊥OB ，又OF ⊥平面ABCD ，OA ，OB ⊂平面ABCD ， ∴OA ⊥OF ，OF ⊥OB ，∴OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°，∴BD =2， ∴OB =OD =1，OA =OF =√3， ∴O(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)， F(0,0，√3)，E(0,−2,√3)，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面AFB 的法向量， 则{m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x 1+y 1=0−√3x 1+√3z 1=0,令z 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，设平面AFE 的一个法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{n ⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x 2+√3z 2=02y 2=0, 令x 2=1，则n⃗ =(1,0,1)． 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5⋅√2=√105， ∵二面角E −FA −B 是钝二面角， ∴二面角E −FA −B 的余弦值为−√105．解析：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．(1)根据线面垂直的判定定理即可证明FO ⊥平面ABCD ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E −FA −B 的余弦值；19.答案：解：(1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 A ，则事件 A 的对立事件 A 为：“没有 1 首原创新曲被演唱”． 所以 P(A)=1−P(A)=1−∁54∁84=1314．答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为1314．(2)设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0，1，2，3． 依题意，X =ax +2a(4−x)=8a −ax ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ． 则 P(X =8a)=P(x =0)=∁54∁84=114.P(X =7a)=P(x =1)=∁31∁53∁84=37．P(X =6a)=P(x =2)=∁32∁52∁84=37.P(X =5a)=P(x =3)=∁33∁51∁84=114..从而X 的概率分布为：所以 X 的数学期望E(X)=8a ×114+7a ×37+6a ×37+5a ×=132a.解析：(1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 A ，则事件 A 的对立事件 A 为：“没有 1 首原创新曲被演唱”.可得 P(A)=1−P(A).(2)设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0，1，2，3.依题意，X =ax +2a(4−x)=8a −ax ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a.利用超几何分布列计算公式即可得出．本题考查了互为对立事件的概率计算公式、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意：2a =4，所以a =2，所求椭圆方程为x 24+y 2b 2=1；又点(1,√32)在椭圆上，∴14+34b 2=1，∴b 2=1；故所求椭圆方程为：x 24+y 2=1．(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，A(−2,0)，B(2,0)，设P(4,t)，M(x M ,y M )， 则直线PA 的方程为：y =t6(x +2)，(t ≠0)； 由{y =t6(x +2)x 2+4y 2=4得(9+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−36=0； 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以−2+x M =−4t 29+t 2，所以x M =−2t 2+189+t 2；由y M =t 6(x M +2)，得y M =6t 9+t 2，所以M(−2t 2+189+t 2,6t9+t 2)；从而BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4t 29+t 2,6t9+t 2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,t)；所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8t 29+t 2+6t 29+t 2=−2t 29+t2<0． 又M ，B ，P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角；所以△MBP 为钝角三角形．解析：(Ⅰ)由椭圆的长轴长为4，得2a =4，即得a =2；又点(1,√32)在椭圆上，代入椭圆标准方程，可得b ；从而得出方程．(Ⅱ)设P(4,t)其中t ≠0，直线AP 与椭圆交于点M(异于A)，由直线方程与椭圆方程组成方程组，得出点M 的坐标；由B ，P ，M 三点坐标，得向量BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，知∠MBP 是钝角；从而得出证明． 本题(Ⅰ)考查了椭圆的基础知识，(Ⅱ)借助于求直线与椭圆相交时的交点，利用向量的数量积，来判断三角形的形状；要求有较高的计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)依题意，f(x)=lnx −2x 2，f′(x)=1x −4x ，故f′(1)=−3，f(1)=−2，故所求切线方程为y +2=−3(x −1)， 即y =−3x +1． (2)由x >0可知，要证：f(x)−1x+1<0，即证：mx 2−x +1−lnx >0；设ℎ(x)=mx 2−x +1−lnx ，只须证ℎ(x)>0成立； 因为ℎ′(x)=2mx −1−1x =2mx 2−x−1x，m ∈(1,2)，由ℎ′(x)=0，得2mx 2−x −1=0有异号两根；令其正根为x 0，则2mx 02−x 0−1=0，故m =x 0+12x 02；则ℎ(x)的最小值为ℎ(x 0)=mx 02−x 0+1−lnx 0=1+x 02−x 0+1−lnx 0=3−x 02−lnx 0；又ℎ′(1)=2m −2>0，ℎ′(12)=2(m2−32)=m −3<0，所以12<x 0<1，则3−x 02>0，−lnx 0>0；因此3−x 02−lnx 0>0，即ℎ(x 0)>0， 所以ℎ(x)>0， 所以f(x)−1x+1<0．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用原来分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(2)问题转化为证明mx 2−x +1−lnx >0，设ℎ(x)=mx 2−x +1−lnx ，根据函数的单调性求其最小值证明即可．f(x)>1，只需证明me x −lnx −2>0，思路1：设g(x)=me x −lnx −2根据函数的单调性证明即可；思路2：先证明e x ≥x +1(x ∈R)，且lnx ≤x +1(x >0)，设F(x)=e x −x −1，再证明me x −lnx −2>0．22.答案：解：(1)由曲线C 的原极坐标方程ρsin 2θ=4cosθ，可得ρ2sin 2θ=4ρcosθ， 化成直角坐标方程为y 2=4x ． (2)由{x =2t,y =−2t +m ，得x +y =m ，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m ， 将代入，得ρ=√22m ，将代入，得ρ=4√2，则|OA ||OB |=√22m ×4√2=8，解得m =2．．解析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力． (1)利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可． (2)联立方程组求出m 的值即可求解．23.答案：解：(1)f(x)={2x −5,x ≥31,2<x <3−2x +5,x ≤2，∵f(x)<3， ∴{2x −5<3x ≥3或{1<32<x <3或{−2x +5<3x ≤2，解得1<x <4∴M ={x|1<x <4}证明：(2)(a +b)2−(1+ab)2=(a 2−1)(1−b 2)， ∵a ，b ∈(1,4)，∴1−b 2<0，a 2−1>0， ∴(a +b)2<(1+ab)2，∴|a+b|<|1+ab|解析：(1)取绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，(2)当a，b∈M时，(a2−1)(b2−1)>0，即a2b2+1>a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想、是中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三上学期开学考试数学试题(文科)
哈一中2019－2020学年度上学期开学测试高三数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1．设P 和Q 是两个集合，定义集合{},P Q x x P x Q -=∈∉且，如果{}2log 1P x x =<，{}21Q x x =-<，那么P Q -等于（） A ．{}01x x << B ．{}01x x <≤ C ．{}12x x ≤<D ．{}23x x ≤<2．已知命题:0p x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为（） A ．00x ∃≤，使得()001e 1xx +≤B ．00x ∃>，使得()001e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1x x +≤D ．0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（） A ．-6B ．-4C ．-2D ．24．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为（） A ．()1,1-B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b +等于（）A B C D ．46．已知点3π,cos π3sin 44P ⎛⎫⎪⎝⎭落在角θ的终边上，且[)2π0,θ∈，则θ的值为（） A ．π4 B ．3π4C ．5π4D ．7π47．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列的前11项和11S =（） A ．58B ．88C ．143D ．1768．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在0,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的是（） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613s s =，则612ss =（） A ．310B ．13 C ．18D ．1910．已知函数()f x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A ．()0,2B ．()2,0-C ．()1,0-D ．()1,211．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π612．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()π6f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（） A ．()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()ππ,π2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()ππ,π2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =．若向量c 与向量ka b +共线，则实数k =_________．14．已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则()2f -=__________，函数()f x 的值域为__________．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC 的外接圆面积为__________．16．已知函数()cos sin 2x f x x =，下列结论中正确的序号是__________．①()y f x =的图象关于点()π,0中心对称， ②()y f x =的图象关于π2x =对称，③()f x ， ④()f x 既是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S ． （1）若110a =，1498S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若16a ≥，110a >，1477S ≤，求所有可能的数列{}n a 的通项公式． 18．（12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=+ （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC 的面积为6，求边长c 的值． 19．（12分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫⎪⎭+ ⎝=+． （1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π6f α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()2f α的值． 21．（12分）已知直线l的参数方程为,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 22．（12分）已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度． （1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．①求实数m 的取值范围；②证明：()22cos 15m αβ-=-．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。
哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第一次模拟考试试题文含解析
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式,以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒,借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，则一开始输入的 的值为( ）
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，考查考生的运算求解能力，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键,属于基础题。
3。 设函数 ，则 的值为（ )
A. —7B. —1C. 0D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质即可得出．
【详解】∵函数 ，
∴
故选D
【点睛】（1)求分段函数 函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,当出现f（f(a））的形式时,应从内到外依次求值．
【答案】B
【解析】
【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心,判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点,
当 平面 时，三棱锥 体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛:本题主要考查三棱锥 外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图像，找到可行域，画出目标函数的等值线 ，并在可行域中进行平移，可得目标函数取最值的最优解。