3.1 齐次定理
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齐次分解定理
齐次分解定理齐次分解定理，也被称为数论中的唯一分解定理或质因数分解定理，是数论中的一个重要定理。
该定理指出：任何一个正整数都可以被唯一地分解成若干个质数的乘积，即质因数。
所谓齐次是指分解后的每一个因子的乘幂均为1的情况。
这个定理具有重要的数论性质和实际意义，在数论的研究中有着非常广泛的应用。
齐次分解定理的内容如下：任何一个大于1的自然数N，要么是一个质数，要么可以写成几个质数的乘积，并且这个分解是唯一的。
具体来说，对于任意自然数N，如果N是一个质数，则直接分解为N本身。
如果N不是一个质数，则可以写成以下形式：N = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak其中，p1, p2, ..., pk为质数，a1, a2, ..., ak为正整数。
这种分解的形式是唯一的，即如果还有其他的质因数分解形式，则这些质因数和指数都完全相同。
这个定理在数论中非常重要，它确保了任何一个自然数都可以进行质因数分解，并且这种分解方式是唯一的。
这为数论的研究提供了基础，同时也为数学的其他领域提供了重要的工具。
齐次分解定理的证明方法可以通过数学归纳法来完成。
首先，对于N = 2的情况，由于2是质数，所以分解也是唯一的。
然后，假设对于某个自然数m成立，即m可以唯一分解为几个质数的乘积。
接下来，考虑m + 1的情况，如果m + 1是一个质数，则分解为m + 1本身即可。
如果m + 1不是一个质数，则可以进行质因数分解，即：m + 1 = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak然后，将每个质因数的指数减去1，即：m = p1^(a1-1) * p2^(a2-1) * ... * pk^(ak-1)由于对于m，质因数分解是唯一的，所以对于m + 1来说，其质因数分解也是唯一的。
因此，质因数分解定理成立。
齐次分解定理的重要性体现在许多数论相关的问题中。
首先，齐次分解定理可以用来求解最大公约数和最小公倍数问题。
第三章 叠加方法
5
2 1 I = − u −10 2
2
1
图示电路，已知： 例4：图示电路，已知： Us=1V, Is=1A时： U= 0 ； Us=10V, Is=0时：U= 1V ； =1A时 =0时 =10A时 求:Us=0, Is=10A时：U= ? 解： 根据叠加原理，有 根据叠加原理，
U = K1Is + K2Us
齐次定理应用举例1： 齐次定理应用举例 ： 求图示电路各支路电流。
I2 I1 I3 I4 解: 倒推法
设 I’4=1A U’BD=22V I’3=1.1A I’2=2.1A U’AD=26.2V
120 =3.63 ∴ β= 33.02
I=3.41β=12.39A I2=2.1β =7.63A I4=β=3.63A
代入已知条件， 代入已知条件，有
0 = K1 •1+ K2 •1
1 = K1 • 0 + K2 •10
解得
K1 = −0.1
K2 = 0.1
若Us=0, Is=10A时： =10A时
∴ U = −0.1Is + 0.1Us
U = −1V
§3-3 叠加方法与功率计算
注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。 注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。
' ''
u = u + u = −11.66V
' ''
例3、用叠加原理求图示电路中电流I。 用叠加原理求图示电路中电流I u
⊥ 10V电压源单独作用时 电压源单独作用时： 1、10V电压源单独作用时： 3A电流源单独作用时 电流源单独作用时， 2、3A电流源单独作用时，有
10 − 2I′ I′ = 2 +1
2 1 I = − u −10 2
2
1
图示电路，已知： 例4：图示电路，已知： Us=1V, Is=1A时： U= 0 ； Us=10V, Is=0时：U= 1V ； =1A时 =0时 =10A时 求:Us=0, Is=10A时：U= ? 解： 根据叠加原理，有 根据叠加原理，
U = K1Is + K2Us
齐次定理应用举例1： 齐次定理应用举例 ： 求图示电路各支路电流。
I2 I1 I3 I4 解: 倒推法
设 I’4=1A U’BD=22V I’3=1.1A I’2=2.1A U’AD=26.2V
120 =3.63 ∴ β= 33.02
I=3.41β=12.39A I2=2.1β =7.63A I4=β=3.63A
代入已知条件， 代入已知条件，有
0 = K1 •1+ K2 •1
1 = K1 • 0 + K2 •10
解得
K1 = −0.1
K2 = 0.1
若Us=0, Is=10A时： =10A时
∴ U = −0.1Is + 0.1Us
U = −1V
§3-3 叠加方法与功率计算
注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。 注意：电阻元件的功率不能由叠加原理直接求得。
' ''
u = u + u = −11.66V
' ''
例3、用叠加原理求图示电路中电流I。 用叠加原理求图示电路中电流I u
⊥ 10V电压源单独作用时 电压源单独作用时： 1、10V电压源单独作用时： 3A电流源单独作用时 电流源单独作用时， 2、3A电流源单独作用时，有
10 − 2I′ I′ = 2 +1
第7讲 齐次定理、叠加定理、替代定理
( 2) 1 (2) 1
)
( R2 ( I2( 1 ) I 22 ) ) U S
比较(2.5 - 4)与(2.5 - 7)两式可见， 它们左边各项系数相同，
右边各项也都相同。如果图2.5 - 3(a)、(b)、 (c)三个电路都具 有惟一解，即 0 则有
I1 I1(1) I1( 2) I2 I
10V
–
Us"= -10I1"+U1”
I1 '
+
6
+
10 I1' – + Us' –
I1''
6
+
10 I1'' –
10V
–
+ 4 U1' –
10 I1 1A 6 4
+ + 4 U1" Us'' – –
4 4 1.6 A 46 46 U 1 4 9.6V 46 I 1
(2) 叠加定理仅适用于线性电路（包括线性时变电路）， 而不适用于非线性电路。
(3)
叠加定理只适用于计算电流和电压，而不能用于计算
功率， 因为功率不是电流或电压的一次函数。证明如下：
i i i u u u
' ''
ui (u u )(i i ) u i u i
+ U1 –
'
Us –
2
–
6
+ Us' –
P 1 4 4W
I1''
10 I1'' + – 4
《电路分析基础》第3章电路等效及电路定理
单口网络：当强调二端网络的端口特性， 而忽略网络内部情况时，又称二端网络为 单口网络，简称为单口。
端口特性：端口电压与电流的关系，表示为方程 （简称为VCR方程）或伏安特性曲线的形式。
明确的网络：当网络内的元件与网络外的某些变量无 任何能通过电或非电方式联系时，则称这样的网络为 明确的。
本书所讨论的单口网络均为明确的单口网络。
解: 伏安法：（1）先设受控源的控制量为1；（2）运用KCL及KVL
设法算得端口电压u和端口电流i；（3）根据电阻的VCR，算得输入 电阻。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
设i0=1A 则uab=2V i1=0.5A
i2=1.5A ucd=4V
i3
i=2A
i3=0.5A
b
d
u= ucd +3i = 10V R u 5 i
u 11.66V
10
例2：图示电路，已知：
Us=1V, Is=1A时： U2=0 ； Us=10V, Is=0时： U2=1V ； 求:Us=0, Is=10A时：U2= ? 解： 根据叠加定理，有
U2 K1Is K2Us 代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
i1
u
i2
外施电压源法，即外施端口电压u，设
法求出端口电流i：
i2
u 3
i1
u
u
2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
在端口电压与端口电流对输入 电阻R为关联参考方向时：
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源单口网络的等效电阻（输入电阻）可能为负值。25
端口特性：端口电压与电流的关系，表示为方程 （简称为VCR方程）或伏安特性曲线的形式。
明确的网络：当网络内的元件与网络外的某些变量无 任何能通过电或非电方式联系时，则称这样的网络为 明确的。
本书所讨论的单口网络均为明确的单口网络。
解: 伏安法：（1）先设受控源的控制量为1；（2）运用KCL及KVL
设法算得端口电压u和端口电流i；（3）根据电阻的VCR，算得输入 电阻。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
设i0=1A 则uab=2V i1=0.5A
i2=1.5A ucd=4V
i3
i=2A
i3=0.5A
b
d
u= ucd +3i = 10V R u 5 i
u 11.66V
10
例2：图示电路，已知：
Us=1V, Is=1A时： U2=0 ； Us=10V, Is=0时： U2=1V ； 求:Us=0, Is=10A时：U2= ? 解： 根据叠加定理，有
U2 K1Is K2Us 代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
i1
u
i2
外施电压源法，即外施端口电压u，设
法求出端口电流i：
i2
u 3
i1
u
u
2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
在端口电压与端口电流对输入 电阻R为关联参考方向时：
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源单口网络的等效电阻（输入电阻）可能为负值。25
线性方程组解的结构
1 0 0
2 0 0
0 1 0
2 7 57 0
1 1 0
于是方程组的同 解方程组为：
x1
2 x2 x3
2 7
x4
5 7
x4
1 1
x1
1
2 x2
2 7 x4
其解为： x2
x3
1
x2
5 7
x4
x4
x4
写成向量形式为 x1 1 2 2 7
x2 x3 x4
0 1 0
问题：方程组Ax=0是否总有基础解系? 基础 解系中含有多少个解向量? 与R(A)有何关系?
定理3.1 齐次线性方程组(2)的系数矩阵A的秩 R(A)=r<n时，方程组有基础解系，并且基础 解系含有n-r个解向量.
证 因为 R(A)=r<n ，所以 A 中至少有一个r 阶子式不为零，不妨设 A 中位于左上角的r阶 子式不为零，按照上节定理2.1的分析，方程 组(2)有无穷多解，并且
x3
x3
x3
即 x1 1 1 1 x2 0 1 x2 0 x3 . x3 0 0 1
(3) 当 λ= -2 时
2 1 1 1 A 1 2 1 2
1 1 2 4
1 2 1 2 2 1 1 1
2
(-1)
1 1 2 4
1 2 1 2
0 0 λ1
(1) 当 |A|0时， 即 1且 -2时，
根据克莱姆法则，方程组有唯一解.
x1
λ1 λ2
,
x2
1 λ
, 2
x3
λ 12
λ2
(2) 当 λ=1 时，原方程组三个方程相同，即
x1 x2 x3 1. 显然 R( A) R( A). 原方程有无穷多个解.
叠加定理与齐次定理
I2
R2
US2 R1 / / R3
25 7
A
I1
R3 R1 R3
I2
8 10
25 7
20 7
A
I3
I2
I1
25 7
20 7
5 7
A
电工基础
由叠加原理叠加可得
I1
I1
I1
48 7
20ห้องสมุดไป่ตู้7
4A
I2
I2
I2
25 7
32 7
1A
I3
I3
I3
16 7
5 7
3A
电工基础
三、齐次定理
在独立源作用的线性电路中，当所有的激励都同时增大或缩小K倍时，电路 的响应也要增大或缩小相同的倍数，这就是齐次定理。 设激励为x，响应为y，则对于函数关系
电工基础
在应用叠加原理进行计算时，应注意以下几点: (1)叠加原理只适用于线性电路中的电压和电流，
不能用它来计算功率。 (2)某一电源单独作用时，不起作用的电源电
压源应短路，电流源应开路，但电源的内阻要保 留。
(3)求支路的电流（或电压）时，电流分量的 参考方向与支路电流参考方向一致，电流（或电 压）分量取正，反之取负。
(4)由于受控源不代表外界对电路的激励，所以 应用叠加定理时，受控源不单独作用，并且在各 独立源单独作用时，受控源保留其中。
电工基础
例题 2.6.1电路如图2-6-2（a）所示，已知US1=32V，US2=20V， R1=2Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，应用叠加原理求电路的各支路电 流。
，
电工基础
解：将图 2-6-2（a）分解，然后分别画出US1和US2单独作用时的电
电路定理
③替代后其余支路及参数不能改变。
3 戴维南定理与诺顿定理
名词： 二端网络：若一个电路只通过两个输出端与外电路 相联，则该电路称为“二端网络”。 无源二端网络： 二端网络中没有电源
A
有源二端网络： 二端网络中含有电源
A
B
B
等效电源定理的概念
有源二端网络相当与一个供电的电源，可以化简成 一个等效电源。用电源模型替代，便为等效电源定 理。
例
RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i 21A R1 8A R1 + 8V – 13A R2 3A R1 + 3V – 5A R2 2A RL i i '=1A + 2V –
– + 21V + + us R2 – – u '=34V s 解 则
采用倒推法：设 i'=1A
ik
A
uk
–
+
支 路
A
+
k
–
uk
A
ik
+ uk –
ik
ik + uk – R=uk/ik
2.2定理的证明
ik
A
+支 uk –路 k + uk – －
A
ik
+ uk –
A
uk
+ 支 uk 路 – k － uk ＋ ＋
证毕!
例
解
求电流I1
用替代：
3
2
6
5
1
6
2
4
＋
I1 4A
I1 4 + ＋ 6V 7V – － 4A
10 I"
+
3.1量纲分析法
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压பைடு நூலகம்差 p 密度重力加速度g。
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) f l g ( 1 , 2 ) 可得原 已知模 v s 型船所 v1 , s1 型船所 , 2 2 1 2 1 l12 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
V2 W p1V1 ln V I V
2
V1 成无量纲项，才能进行对数运算。
量纲齐次原则
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压பைடு நூலகம்差 p 密度重力加速度g。
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) f l g ( 1 , 2 ) 可得原 已知模 v s 型船所 v1 , s1 型船所 , 2 2 1 2 1 l12 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l 2 s g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
V2 W p1V1 ln V I V
2
V1 成无量纲项，才能进行对数运算。
量纲齐次原则
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r(t) =Ke(t)
线性电路中，K是一个常数。
u s = 10 V，求输出电压 u o。 例1 已知图示梯形电路中，
解 先假设输出电压
1 i
i2
1
1
u = 1V
i = 1A
' u1 = 1×(1 + 1) = 2V
' o
' o
us
i3 1
+ u3 -
i1
1
+ u1 -
io
1
+ uo -
' ' i1' = 2 A i2 = i1' + io = 3A ' ' ' ' ' ' ' i = i + i u3 = i2 × 1 + u1 = 5V i3 = 5A 2 3 = 8A ' us' = i ' × 1 + u3 = 13V
输出和输入之比为 当
u s 10 V 时
思考：当电路中有多个激励时，响应与激励的关系？
第三章 电路定理
测试与光电工程学院
生物医学工程系
绪论
教学目的和要求：
掌握叠加定理与齐次定理； 掌握替代定理； 掌握等效电源定理； 掌握最大功率传输定理； 理解特勒根及互易定理； 了解对偶原理。
重 点：
叠加定理； 等效电源定理； 最大功率传输定理。
难 点：
等效电源定理 2、特勒根定理 3、互易定理
§3.1 齐次定理
线性电路的齐次性（比例性）
独立源作为电路的输入，通常称其为激励(excitation)。 响应(response)：由激励产生的输出。 线性电路中响应与激励之间存在着线性关系。
R1
+
R3
R2 R3 u2 = us = Kus R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
us
R激励增加或减小n倍，响应也 同样增加或减小n倍，这种性质称为齐次性(homogeneity)或比例 性(proportionality)。它是线性(linearity)的一个表现。
齐性定理
在单一激励的电路中，如果激励增加或减小K倍，响应也 同样增加或减小K倍。
设激励为e(t)，响应为r(t)，则：
' K = uo us' = 1 13 10 uo = Kus = = 0.77V 13
线性电路中，K是一个常数。
u s = 10 V，求输出电压 u o。 例1 已知图示梯形电路中，
解 先假设输出电压
1 i
i2
1
1
u = 1V
i = 1A
' u1 = 1×(1 + 1) = 2V
' o
' o
us
i3 1
+ u3 -
i1
1
+ u1 -
io
1
+ uo -
' ' i1' = 2 A i2 = i1' + io = 3A ' ' ' ' ' ' ' i = i + i u3 = i2 × 1 + u1 = 5V i3 = 5A 2 3 = 8A ' us' = i ' × 1 + u3 = 13V
输出和输入之比为 当
u s 10 V 时
思考：当电路中有多个激励时，响应与激励的关系？
第三章 电路定理
测试与光电工程学院
生物医学工程系
绪论
教学目的和要求：
掌握叠加定理与齐次定理； 掌握替代定理； 掌握等效电源定理； 掌握最大功率传输定理； 理解特勒根及互易定理； 了解对偶原理。
重 点：
叠加定理； 等效电源定理； 最大功率传输定理。
难 点：
等效电源定理 2、特勒根定理 3、互易定理
§3.1 齐次定理
线性电路的齐次性（比例性）
独立源作为电路的输入，通常称其为激励(excitation)。 响应(response)：由激励产生的输出。 线性电路中响应与激励之间存在着线性关系。
R1
+
R3
R2 R3 u2 = us = Kus R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
us
R激励增加或减小n倍，响应也 同样增加或减小n倍，这种性质称为齐次性(homogeneity)或比例 性(proportionality)。它是线性(linearity)的一个表现。
齐性定理
在单一激励的电路中，如果激励增加或减小K倍，响应也 同样增加或减小K倍。
设激励为e(t)，响应为r(t)，则：
' K = uo us' = 1 13 10 uo = Kus = = 0.77V 13