22.2.1一元二次方程的解法直接开平方法
华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
2.直接开平方法和因式分解法(二)PPT课件(华师大版)
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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参考答案
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
22.2.1直接开平方法
直接开平方法
试一试
解下列方程，并说明你所用的方 法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
直接开平方法
x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以
x 4
即x=
2.
例1 • 解下列方程： （1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）16y2－25＝0；
例1 （1）x2＝169；
解：直接开平方，得 x= ±13 即 x1=13，x2=-13
例1（2） 45－x2＝0；
解：移项，得 x2=45 直接开平方，得 x 45 3 5 即
x1 3 5, x2 3 5
例1（3） 16y2－25＝0
解：移得 y 16 5 y 直接开平方得 4
例2：解下列方程 （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）16（2－x）2－25＝0.
解 （2）原方程可以变形为 25 2 （ 2-x ） ＝ ， 16 直接开平方，得 5 2-x ＝± .5 4 所以原方程的解是x1＝ 4 ， 5 x2＝ 4 .
练一练1 （1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0.
• 解下列方程：
课堂小节
• １．直接开平方法的依据是什么？ （平方根） • ２．何种类型的一元二次方程适合用 直接开平方法？ （左边为含有未知数的平方的形式，右 边为非负数或能整理为此形式） 即（ax+b）2=c
2
即
5 5 y1 , y2 4 4
例2：解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分 析 两个方程都可以转化为
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法
22.2.1 第1课时 直接开平方法1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( )A ．x 1＝2，x 2＝－2B ．x ＝－2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方，得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________，所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11． ［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116， 即x 1＝94，x 2＝－94. (3)∵5x 2＝125，∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73. 4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27，∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9，∴x －3＝±3，∴x 1＝6，x 2＝0.(3)∵2x －8＝±16，∴2x ＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83， 解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3. 10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y ＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝(x －1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1. 综上所述，x的值为2或－1.。
22.2.1直接开平方法解一元二次方程
5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的 形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方 程左右两边应同时加上一次项系数的一 半的平方.如果二次项系数不是1，应先 化为1，再配方
1.直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程，先把 方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平 方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程， 先把方程左边变成x的平方(或关于x的一 次式的平方),右边变成一个非负常数的形 式,再开平方。
如 果 方 程 能 化 成x p 或
2
（mx n） p( p )的 形 式 ， 那 么 ≥ 0
2
可 得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程 化成 X2=非负常数 然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式
华师大版初中数学九年级上册《22.2.1 直接开平方法和因式分解法》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《22.2.1 直接开平方法和因式分解法》同步练习卷一．解答题（共26小题）1．解方程：（x+1）2=64．2．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x﹣1）2=4解：∵（x﹣1）2=4 （1）∴x﹣1=2，（2）∴x=3．（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤（填序号）原因是请写出正确的解答过程．3．解方程：（1）3（x﹣5）2﹣48=0（2）﹣1=4．解方程：（1）2（x﹣3）2﹣18=0（2）﹣2=5．解方程：（4x﹣1）2﹣9=06．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣9=0（2）5x2+2x﹣1=0．7．解方程：（2x﹣1）2=3．8．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．9．解方程：（1）4x2﹣25=0（2）49（x+1）2=64．10．解方程：5（x﹣1）2=125．11．解方程或不等式组（1）（4x﹣1）2﹣9=0（2）解方程：x2﹣3x﹣2=0．12．解方程：（1）25x2﹣36=0（2）4（2x﹣1）2=36．13．解方程：2（3x﹣1）2=8．14．x﹣2x2=（x﹣3）（x+4）15．解方程：（1）x2﹣6x+5=0（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0 16．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0．（3）（x+1）2﹣9=0（4）（x﹣4）2+2（x﹣4）=0 17．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7（2）x﹣2=x（x﹣2）（3）2x2﹣3x﹣1=018．解下列方程（1）x2﹣2x=0（2）（x﹣2）2=9（3）x2+2x﹣3=0（4）2x2+5x﹣1=019．用适当的方法解下列方程：（1）9x2﹣121=0；（2）x（x﹣1）=5（x﹣1）；（3）（x﹣2）（x﹣6）=﹣4；（4）3x2﹣4x﹣1=0．20．解方程（1）x2﹣4x=0（2）2x2+3=7x21．解方程：（1）x2+x﹣2=0（2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．22．解下列方程：（1）4x2﹣1=0；（2）x2﹣4x+3=0；（3）2x2﹣5x+2=0；（4）x+3﹣x（x+3）=0 23．解下列方程：（1）（4y﹣1）2﹣4=0（2）x（x+4）=﹣3（x+4）24．解方程（1）x2﹣x=0（2）2x2﹣3x=425．解方程：①x（x﹣14）=0；②x（5x+4）=5x+4．26．解方程（1）﹣2x2+13x﹣15=0（2）2（x+5）2=x（x+5）华师大新版九年级上学期《22.2.1 直接开平方法和因式分解法》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共26小题）1．解方程：（x+1）2=64．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x+1）2=64，开方得：x+1=±8，解得：x1=7，x2=﹣9．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x﹣1）2=4解：∵（x﹣1）2=4 （1）∴x﹣1=2，（2）∴x=3．（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤（2）（填序号）原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数请写出正确的解答过程．【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方程解一元二次方程是解此题的关键．【解答】解：上述过程中有没有错误？若有，错在步骤（2），原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确大的解答过程为：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x1=3，x2=﹣1，故答案为：（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．解方程：（1）3（x﹣5）2﹣48=0（2）﹣1=【分析】（1）先变形得到（x﹣5）2=16，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为整式方程2x2﹣2x（x﹣3）=x﹣3，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）（x﹣5）2=16，x﹣5=±4，所以x1=9，x2=1；（2）去分母得2x2﹣2x（x﹣3）=x﹣3，解得x=﹣，经检验x=﹣为原方程的解．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了解分式方程．4．解方程：（1）2（x﹣3）2﹣18=0（2）﹣2=【分析】（1）移项、系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先把分式方程化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）2（x﹣3）2﹣18=0，2（x﹣3）2=18，（x﹣3）2=9，开方得：x﹣3=±3，解得：x1=6，x2=0；（2）原方程化为：﹣2=，方程两边都乘以2（x﹣2）得：6x﹣4（x﹣2）=5，解得：x=﹣，检验：当x=﹣时，2（x﹣2）≠0，所以x=﹣是原方程的解，即原方程的解为：x=﹣．【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．5．解方程：（4x﹣1）2﹣9=0【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：由原方程，得（4x﹣1）2=94x﹣1=±34x=±3+1x1=1，x2=﹣．【点评】考查了直接开平方法解方程．形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣9=0（2）5x2+2x﹣1=0．【分析】（1）根据因式分解，可得答案；（2）根据公式法，可得答案．【解答】解（1）因式分解，得（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）=0于是，得x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4；（2）a=5，b=2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4﹣4×5×（﹣1）=24＞0，x==，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．7．解方程：（2x﹣1）2=3．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：开方得：2x﹣1=±，解得：x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．8．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，移项后将二次项系数化为1，再利用直接开平方法求解可得．【解答】解：根据题意知2x2+3+2x2﹣4=0，整理可得：4x2﹣1=0，∴4x2=1，x2=，解得：x=±．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9．解方程：（1）4x2﹣25=0（2）49（x+1）2=64．【分析】（1）根据直接开平方，可得答案；（2）根据直接开平方，可得答案．【解答】解：（1）移项，得4x2=25，系数化为1，得x2=x1=，x2=﹣；（2）系数化为1，得（x+1）2=，开方，得x+1=，x1=，x2=﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，开平方是解题关键．10．解方程：5（x﹣1）2=125．【分析】先方程两边除以5，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：两边都除以5，得（x﹣1）2=25，开方，得x﹣1=±5，即x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．11．解方程或不等式组（1）（4x﹣1）2﹣9=0（2）解方程：x2﹣3x﹣2=0．【分析】（1）根据直接开平方法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解．【解答】解：（1）（4x﹣1）2﹣9=0，移项，得（4x﹣1）2=9，开方，得4x﹣1=±3，x1=1，x2=﹣（2）x2﹣3x﹣2=0，△=b2﹣4ac=9+8=17＞0，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，要利用根的判别式．12．解方程：（1）25x2﹣36=0（2）4（2x﹣1）2=36．【分析】（1）先移项，然后方程的两边同时除以25，利用直接开平方法解方程即可；（2）方程的两边同时除以4，然后利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：（1）由原方程，得x2=，则x=±．（2）由原方程，得（2x﹣1）2=9，所以2x﹣1=±3，所以x1=2，x2=﹣1．【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．13．解方程：2（3x﹣1）2=8．【分析】方程两边同时除以2，即可得出（3x﹣1）2=4，同时开方后再解一元一次方程即可得出结论．【解答】解：方程两边同时除以2，得（3x﹣1）2=4，方程两边同时开方，得3x﹣1=±2，移项、两边同时除以3，得x1=1，x2=﹣．【点评】本题考查了平方根以及直接开方法解一元二次方程，熟练掌握开方法解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．14．x﹣2x2=（x﹣3）（x+4）【分析】先将方程化简整理为3x2=12，再两边除以3，得出x2=4，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：x﹣2x2=（x﹣3）（x+4），展开，得x﹣2x2=x2+x﹣12，整理，得3x2=12，两边除以3，得x2=4，解得x1=2，x2=﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．15．解方程：（1）x2﹣6x+5=0（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+5=0，（x﹣5）（x﹣1）=0，x﹣5=0，x﹣1=0，x1=5，x2=1；（2）x（x﹣4）+5（x﹣4）=0，（x﹣4）（x+5）=0，x﹣4=0，x+5=0，x1=4，x2=﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．16．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣3=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0．（3）（x+1）2﹣9=0（4）（x﹣4）2+2（x﹣4）=0【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0，x+1=0，x1=3，x2=﹣1；（2）3x2﹣4x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，x=，x1=，x2=；（3）（x+1）2﹣9=0，（x+1）2=9，x+1=±3，x1=2，x2=﹣4；（4）（x﹣4）2+2（x﹣4）=0，（x﹣4）（x﹣4+2）=0，x﹣4=0，x﹣4+2=0，x1=4，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．17．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7（2）x﹣2=x（x﹣2）（3）2x2﹣3x﹣1=0【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x﹣2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7=0，（x﹣7）（x+1）=0，所以x1=7，x2=﹣1；（2）x﹣2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（1﹣x）=0，所以x1=2，x2=1；（3）△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，x=，所以x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．18．解下列方程（1）x2﹣2x=0（2）（x﹣2）2=9（3）x2+2x﹣3=0（4）2x2+5x﹣1=0【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用公式法解方程．【解答】解：（1）x（x﹣2）=0，所以x1=0，x2=2；（2）x﹣2=±3，所以x1=5，x2=﹣1；（3）（x﹣3）（x+1）=0，所以x1=3，x2=﹣1；（3）△=52﹣4×2×（﹣1）=33，x=，所以x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．19．用适当的方法解下列方程：（1）9x2﹣121=0；（2）x（x﹣1）=5（x﹣1）；（3）（x﹣2）（x﹣6）=﹣4；（4）3x2﹣4x﹣1=0．【分析】（1）根据因式分解法解答即可；（2）根据因式分解法解答即可；（3）整理后根据因式分解法解答即可；（4）根据公式法解答即可；【解答】解：（1）9x2﹣121=0，（3x+11）（3x﹣11）=0，∴3x+11=0或3x﹣11=0，∴x1=﹣，x2=；（2）x（x﹣1）=5（x﹣1），x（x﹣1）﹣5（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣5）=0，∴x﹣1=0或x﹣5=0，∴x1=1，x2=5；（3）（x﹣2）（x﹣6）=﹣4，整理得，x2﹣8x+16=0，（x﹣4）2=0，∴x1=x2=4；（4）3x2﹣4x﹣1=0，∴a=3，b=﹣4，c=﹣1，△=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．解方程（1）x2﹣4x=0（2）2x2+3=7x【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x（x﹣4）=0，x=0或x﹣4=0，所以x1=0，x2=4；（2）2x2﹣7x+3=0，（2x﹣1）（x﹣3）=0，2x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=，x2=3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．21．解方程：（1）x2+x﹣2=0（2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）．【分析】（1）根据十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；（2）移项，提取公因式对等式的左边进行因式分解，转化为两个一元一次方程，再解方程即可．【解答】解：（1）x2+x﹣2=0，（x+2）（x﹣1）=0，∴x﹣1=0或x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．（2）2（x﹣3）=3x（x﹣3），2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（2﹣3x）=0，∴x﹣3=0或2﹣3x=0，∴x1=3，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22．解下列方程：（1）4x2﹣1=0；（2）x2﹣4x+3=0；（3）2x2﹣5x+2=0；（4）x+3﹣x（x+3）=0【分析】（1）根据平方差公式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；（2）利用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；（3）利用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；（4）提公因式x+3，转化为两个一元一次方程，再解方程即可．【解答】解：（1）4x2﹣1=0，（2x+1）（2x﹣1）=0，∴2x+1=0或2x﹣1=0，∴x1=﹣，x2=；（2）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣1=0，∴x1=3，x2=1；（3）2x2﹣5x+2=0，（2x﹣1）（x﹣2）=0，∴2x﹣1=0或x﹣2=0，∴x1=，x2=2；（4）x+3﹣x（x+3）=0，（x+3）（1﹣x）=0，∴x+3=0或1﹣x=0，∴x1=﹣3，x2=1．【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．23．解下列方程：（1）（4y﹣1）2﹣4=0（2）x（x+4）=﹣3（x+4）【分析】（1）利用直接开平方法解方程进而得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：（1）（4y﹣1）2﹣4=0（4y﹣1）2=4，则4y﹣1=±2，解得：y1=，y2=﹣；（2）x（x+4）=﹣3（x+4）（x+4）（x+3）=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣4．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．24．解方程（1）x2﹣x=0（2）2x2﹣3x=4【分析】（1）利用提取公因式法分解因式进而解方程得出答案；（2）直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：（1）x2﹣x=0x（x﹣1）=0，解得：x1=0，x2=1；（2）2x2﹣3x=42x2﹣3x﹣4=0，则b2﹣4ac=9﹣4×2×（﹣4）=41，故x=，解得：x1=，x2=．【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．25．解方程：①x（x﹣14）=0；②x（5x+4）=5x+4．【分析】①利用因式分解法求解可得；②利用因式分解法求解可得．【解答】解：①∵x（x﹣14）=0，∴x=0或x﹣14=0，解得：x1=0，x2=14；②∵x（5x+4）﹣（5x+4）=0，∴（5x+4）（x﹣1）=0，则5x+4=0或x﹣1=0，解得：x1=﹣0.8，x2=1．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．26．解方程（1）﹣2x2+13x﹣15=0（2）2（x+5）2=x（x+5）【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解．【解答】解：（1）﹣2x2+13x﹣15=0，2x2﹣13x+15=0，（2x﹣3）（x﹣5）=0，2x﹣3=0或，x﹣5=0，解得，x1=，x2=5；（2）2（x+5）2=x（x+5），2（x+5）2﹣x（x+5）=0，（x+5）[2（x+5）﹣x]=0，x+5=0或2（x+5）﹣x=0，解得，x1=﹣5，x2=﹣10．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．。
22.2.1一元二次方程的解法(直接开平方法和因式分解法)
(2). χ2－1=0
(2). χ2－1=0
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？
还可以这样解： （χ+1）（χ－1）=0 将方程左边分解因式，得 则必有： χ＋1=0，或χ－1=0. 分别解这两个一元一次方程，得 χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
x 5x 6 0 的两个解，求这个等腰
2
三角形的周长
5.若关于x的一元二次方程
(m 1) x 5x m 3m 2 0
因式分解法解方程的一般步骤：
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0. ∴ χ=0,或χ－3=0， 解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0 方程左边分解因式，得 （4χ＋5）（4χ－5）=0 ∴ 4χ+5=0，或4χ－5=0，
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
5 解得 χ1=－ 4
5 ，χ2= 。 4
因式分解法解方程的一般步骤：
（2）因式分解:将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式： （3）得到两个一元一次方程：令每个因式分别为零
（1）移项:将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；
（4）解这两个一元一次方程得原方程的解。
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
7 5 ∴x1= ， x = 2 4 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解 解：2x-1=
2.2.1一元二次方程的解法配方法————直接开平方法
①
② 直接开平方得（ 2 2 x 1) 5( x 1)， x 7
上述解题过程，有无错误，如有，错在第 ？步， 原因是 ？
请写出正确的解答过程
能力提升：解方程： 2(2 x 1) 5( x 1) 解：2(2 x 1) 5( x 1)或2(2 x 1) 5( x 1)
2
2
2x 2
2
解：4 x 2 81
81 x 4 9 9 x1 , x2 2 2
x 1
2
x1 1, x2 1
③
解：
(1 x) 64
2
④
解：
(2 x 1) 9
2
1 x 64 1 x 8 x1 7, x2 9
2x 1 9 2 x 1 3 x1 2, x2 1
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根
归纳：
利用平方根的定义直接开平方求一 元二次方程的方法叫做直接开平方法。
x a(a 0)
2
x a
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两 个一元一次方程
2、自主学习P30—31页，例1、例2，完成下列各题
①
解：
2x 2 0
2
②
4 x 81 0
4 x 2 5x 5
x 7
x1 7
4 x 2 5 x 5
9 x 3
1 x2 3
直接开平方法解一元二次方程也就是 利用平方根的意义解一元二次方程
x a(a 0)
2
b ax b( 0) a
2
动脑筋：用平方根的意义解一元二次方程 （ 4 2 x 1) 25( x 1) 0
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练一练2
解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0.
课堂小节
１．直接开平方法的依据是什么？ （平方根） ２．何种类型的一元二次方程适合用直接 开平方法？ （左边为含有未知数的平方的形式，右边为 非负数或能整理为此形式）
解 （1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得 x＋1＝±2. 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
解 （2）原方程可以变形为 （ ）2＝ ， 直接开平方，得 ＝± . 所以原方程的解是 x1＝ ， x2＝ .
（４）、（５）、（６） 适用刚才的方法吗？
思考：
例题讲解
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分 析 两个方程都可以转化为
2
＝a 的形式，从而用直接开平 方法求解.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
22 一 元 二 次 方 程
22.2 一元二次方程的解法
直接开平方法
试一试
解下列方程，并说明你所用的方 法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1＝0;
直接开平方法
x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以
x 4
即x =
2.
练一练1
解下列方程： （1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t+1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0.